一类二阶非线性微分方程解的全局二分行为
272Vol.27No.2 20045ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA May,2004
(264005)
(730070)
x =f(t,x,x )
1
[1]
?x +f(t,x,x )x +g(x)=h(t),
x(0)=x0,x (0)=x1
f
h t(t).
x =f(t,x,x ),(1.1)
x(0)=x0,x (0)=x1,(1.2) f(t,x,p)(x,p)Lipschitz
(1.1),(1.2)
[1]φ(t;x0,x1)(1.1),(1.2)
[0,T).
1.1f
(F1)μ∈C
[0,+∞)
f(t,x,p)
≤μ
|x|
1+|p|2
;
(F2)x→±∞f(t,x,0)→±∞(t∈R1); 2002418200364
292
27
(F 3)(x,p )→(x 0,p 0)f (t,x,p )→f (t,x 0,p 0)(t ∈R 1
),
x (t )=?(t ;x 0,x 1)(1.1),(1.2)
(1)sup [0,T )
x (t )
<+∞,
sup [0,T )
x (t ) <+∞
(
T =+∞);
2)
sup [0,T )
x (t )=+∞,
lim t →T
x (t )=+∞,
lim t →T
x (t )=+∞;
(1.3)
inf [0,T )
x (t )=?∞,
lim t →T
x (t )=?∞,
lim t →T
x (t )=?∞;
(1.4)
(3)
I +∞=
(x 0,x 1)∈R 2:x (t )=φ(t ;x 0,x 1)
(1.3) ,
I ?∞=
(x 0,x 1)∈R 2:x (t )=φ(t ;x 0,x 1)
1.4)
R 2(4)
?x 0∈R 1,
D +∞(x 0)=
x 1∈R 1:x (t )=φ(t ;x 0,x 1)
(1.3) ,
D ?∞(x 0)=
x 1∈R 1:x (t )=φ(t ;x 0,x 1)
(1.4)
R 1(5)
?x 0∈R 1,
DB (x 0)=
x 1∈R 1:x (t )=φ(t ;x 0,x 1)
R +
R 1
1.2f (F 1)(F 4)?A,B ∈R 1,A ≤B ,
f (t,A,0)≤0≤f (t,B,0),
?t ∈R 1,
(1.1)R 1σ(t ),
A ≤σ(t )≤
B .
1.1
(1.1)
R 1
(1.1)
[2]
1.2
[2]
1.2
(1.3)
(1.4)
(
T <+∞),
[2]
1.3
1.1(F 5)f (t,x,p )x
t ∈R
1
?x,p ∈R 1
r >0,
δ>0
f (t,x +r,p )?f (t,x,p )≥δ,
?t ∈R 1,
2293
(1.1),(1.2)R+x(t),
lim t→+∞
x(t)?σ(t)
+
x (t)?σ (t)
=0,(1.5)
σ(1.1),(1.2)() 2
1.1–1.3
2.1[1]a,b∈R1b?a≥τ>0,x∈C2 (a,b)
|x (t)|≤c
1+|x (t)|2
,t∈(a,b),
sup (a,b)
x(t)
≤M0<∞c,M0τC>0
sup
(a,b)
x (t)
≤C.
2.2x∈C2
(0,+∞)
lim
t→+∞
x(t)=0; x C2((0,+∞))<+∞,(2.1)
t n→+∞
x (t n)
+
x (t n)
→0,n→+∞.(2.2)
?n∈N,
x n(t)=x(n+t),t∈[0,1].
(2.1)x n C2
[0,1]
Arzela-Ascoli(
x n)C1
[0,1]
(2.1),
x n C1([0,1])→0,n?→+∞.(2.3)
t n∈[0,1]
x n[0,1]t n x n t∈[0,
1],x n(t)≥0(x n(t)≤0),t n x n().
x n(t n)→0,n→+∞.
t n t n
k ,k,t n
k
x n
k
[0,1]
x n
k (t n
k
)
≥δ>0,?k∈N.
t n
k
x n
k (t n
k
)≥δ>0,?k∈N.
294
27
(2.3),?k 0>0,
k ≥k 0
x n k
(t ) , x n k (t ) <δ8
,?t ∈[0,1].(2.4)
k ≥k 0,
x n k (1)=x n k (0)+
x n k (0)
+
1
t
x n k (s )d s
dt
≥?
δ4
+
1
t
δd s
dt =
δ
4
.(2.4)
2.3
f
(F 1),
A,B ∈R 1,
A ≤B
[a,b ]
f (t,A,0)≤0≤f (t,B,0),
?x 0,y 0∈[A,B ],
x =f (t,x,x );
x (a )=x 0,x (b )=y 0
x ∈C 2 [a,b ]
A ≤x (t )≤
B .
2.3
[3–5]
3
1.1–1.3
1.1
sup [0,T )
x (t )
<+∞,
(F 1),
x (t ) ≤c
1+ x (t ) 2 ,
t ∈[0,T ).
2.1
sup [0,T )
x (t ) <+∞.
(2)
sup [0,T )
x (t )=+∞
(F 2),?t ∈R 1
,?A ≥0,
x >A
f (t,x,0)≥1.
(3.1)
sup [0,T )
x (t )=+∞,
t 0>0,
x (t 0)≥A,
x (t 0)>0.
t ≥t 0
x (t )
lim t →T
x (t )=+∞.(3.2)
?t 1,t 2≥t 0t 1
x (s )>x (t 0)≥A ,x (s )=0,x (s )≤0
(3.1),
2
295
0>x (s )=f s,x (s ),x (s )
=f (s,x (s ),0)≥1,(
x (t )
(1.1),(1.2)).
lim t →T x (t )=+∞.x [0,T )?C >0,
?t ∈[0,T ) x (t )
T =+∞.(F 2),?B >0,?x ≥B , f (t,x,0)≥1, ?t ≥0. (3.3) (3.2), t ?>0 t ≥t ? x (t )≥B .(3.3), x (t )=f (t,x,x )≥1, ?t ≥t ?. (3.4) x (t )=x (t ?)+ t t ?x (t )d t ≥x (t ?)+(t ?t ?)→+∞(→∞) {t n }?[0,T ),t n →T ,x (t n )→+∞(x [t 0,T )t ∈[t 0,T ) x (t )≥0.)?M >0,(3.3),(3.4)?t M >0,t >t M x (t )≤M ,x (t )≥0.t n ≥t M x (t n )≥M ,t ≥t n , x (t )≥M . (3)I +∞R 2 A >0(3.1)x ≥A (x 0,x 1)∈I +∞.t 0>0 x (t 0)>A, x (t 0)>0, x =φ(t ;x 0,x 1).φ(x 0,x 1)δ>0, (y 0,y 1), |y 0?x 0|,|y 1?x 1|<δ y =φ(t ;y 0,y 1) y (t 0)>A, y (t 0)>0. (3.5) (3.2) y t ≥t 0 lim t →T y (t )=+∞, (y 0,y 1)∈ I +∞. A y (t )=c ?<+∞. (3.6) (1) y (t ) [0,T ) T =+∞. y (t )R + 2.2, t n →+∞, y (t n )→0, y (t n )→0, n →+∞ . y (t n ) (F 3), n f t n ,y (t n ),y (t n ) ?f (t n ,c ?,0) <14 . (3.7) y (t n )=f t n ,y (t n ),y (t n ) y (t n )→0, (3.7), n f (t n ,c ?,0)=f (t n ,c ?,0)+ y (t n )?f (t n ,y (t n ),y (t n ) =f (t n ,c ?,0)?f t n ,y (t n ),y (t n ) +y (t n )<1 4 +y (t n )<1, 296 27 c ?>A , (3.1) (4) x 0∈R 1 . A >0 (3.1) x ≥A y 0>max(A,x 0), x =f (t,x,x ),t ∈(0,1); x (0)=x 0, x (1)=y 0. (3.8) 2.3,( 3.8)x ?∈C 2([0,1]).y 0>max(A,x 0),t 0∈(0,1] x ?(t 0)>A x ? (t 0)>0.x 1=x ? (0),x (t )=φ(t ;x 0,x 1). (1.1),(1.2)t ∈[0,1],x (t )=x ? (t ).x (t 0)>A,x (t 0)>0. (3)(3.5)sup [0,T ) x (t )=+∞,(x 0,x 1)∈I +∞.I +∞ D +∞(x 0) D +∞(x 0) I +∞ D ?∞(x 0)R 1 (5)x 0∈R 1,(1)(4)D +∞(x 0)∪D ?∞(x 0)∪DB (x 0)=R 1.D +∞(x 0)∩D ?∞(x 0)=φ,(4)DB (x 0)R 1 1.11.2α,β∈[a,b ],?n ∈N , x (t )=f t,x (t ),x (t ) ;x (?n )=α,x (n )=β. 2.3 [?n,n ],? x n (t ) A ≤x n (t )≤ B . (F 1) x n (t ) = f (t,x n (t ),x n (t )) ≤μ x n (t ) 1+ x n (t ) 2 ≤μ max |A |,|B | 1+ x n (t ) 2 2.1, A c (c n ), n , x n (t ) ≤c, x n (t ) ≤μ0(1+c 2), ?t ∈[?n,n ]. Arzela-Ascoli x n (t )x n (t ),?a >0,x n (t )C 1 [?a,a ] x (t )∈C 1 (R 1).A ≤x (t )≤B (?t ∈R 1 ). x n (t )=f t,x n (t ),x n (t ) (3.9)f x n (t )R 1 x (t )∈C 2(R 2),?a >0,x n (t ) C 2 [?a,a ] x (t ).(3.9)n →∞ x (t )=f t,x (t ),x (t ) . x (t ) (1.1) 1.2 1.3 x (1.1),(1.2) sup R + x (t ) <+∞, 1.1(1) sup R + x (t ) <+∞. (1.1) sup R + x (t ) <+∞. 1.2 1.3 (1.1) R 1 σ(t ). (1.5) R +x (t )≡σ(t ), ?t 1∈R +, x (t 1)?σ(t 1)>0. t ?>0,x ?σ[t ?,+∞) 2 297 10?t 2>t 1, x (t 2)?σ(t 2)<0. ?t ?>t 1, x (t ?)?σ(t ?)≤0, x (t ?)?σ (t ?)<0. x ?σ [t ?,+∞) δ>0,x ?σ[t ?,t ?+δ)x ?σ s,x (s )<σ(s ). x (s )= σ (s ),x (s )≥σ (s ), f (t,x,x ) x s ?x +f (s,x,x ) 20t ≥t 1,x (t )?σ(t )≥0. t ≥t 1,x (t )?σ (t )≤0, x ?σ[t,+∞)t ?=t 1.?t ?≥t 1,x (t ?)?σ (t ?)>0.x (t ?)?σ(t ?)≥0, 10x ?σ[t ?,+∞) x lim t →+∞ x (t )?σ(t ) lim t →+∞ x (t )?σ(t ) =c ?,c ?=0, lim t →+∞ x (t )?σ(t ) =0. (3.10) 1.1(1) (1.1)x (t ),x (t ) 2.2, t n →+∞ x (t n )?σ (t n )→0, x (t n )?σ (t n )→0, n →+∞ . x (t ),σ(t ),x (t ),σ (t ) x (t n )→r,x (t n )→p , σ(t n )?→r ?c ?, σ (t n )?→p. c ?=0, (F 5),?δ0>0, f (t,r,p )?f (t,r ?c ?,p )≥δ0, ?t ∈R 1. (3.11) (F 3), n f t n ,x (t n ),x (t n ) ?f (t n ,r,p ) <14δ0, (3.12) f t n ,σ(t n ),σ (t n ) ?f (t n ,r ?c ?,p ) <14 δ0, (3.13) x (t n )?σ (t n )=f t n ,x (t n ),x (t n ) ?f t n ,σ(t n ),σ (t n ) x (t n )?σ (t n )→0, n f t n ,x (t n ),x (t n ) ?f t n ,σ(t n ),σ (t n ) <14 δ0. (3.14) (3.12)–(3.14),n , f (t n ,r,p )?f (t n ,r ?c ?,p ) ≤ f (t n ,r,p )?f t n ,x (t n ),x (t n ) + f t n ,x (t n ),x (t n ) ?f t n ,σ(t n ),σ (t n ) + f t n ,σ(t n ),σ (t n ) ?f (t n ,r ?c ?,p ) <34 δ0, 29827 (3.11)(3.10) lim t→+∞ x (t)?σ (t) =0.(3.15) x?σ[t?,+∞)(3.10) x(t)?σ(t)≥0,t≥t?.(3.16) t≥t?,x (t)?σ (t)≤0,(3.15)?ε0>0t n∈R+,t n→+∞,x (t n)?σ (t n) R+?δ>0,n x (t)?σ (t) x(t n+δ)?σ(t n+δ)=x(t n)?σ(t n)+ t n+δ t n x (t)?σ (t) dt ≤ x(t n)?σ(t n) ?ε0δ, x(t n)?σ(t n)→0n x(t n+δ)?σ(t n+δ)<0,(3.16) x?σ[t?,+∞)(3.15) σ σ?σ(t)?σ?(t)→0(t→+∞).(1.5) t→?∞σ(t)?σ?(t)→0.σ=σ?,σ?σ? σ?σ?s,σ(s)?σ?(s)>0. s,σ (s)?σ? (s)=0,σ (s)?σ? )≤0, 0≥σ (s)?σ? (s)=f s,σ(s) ?f s,σ?(s),σ? (s) >0, f(t,r,p)r 1.3 1Li D S.Dichotomies of Solutions for a Class of Second-order Nonlinear Di?erential Equations.Glasgow Math.J.,2002,44:339–348 2Li D S.Blow-up Phenomena of Second-order Nonlinear Di?erential Equations.J.Math.Anal.Appl., 2002,276:184–195 3Mawhin J.Topological Degree Methods in Nonlinear Boundary Value Problems.CBMS Regional Conference Series in Mathematics,Vol.40,Amer.Math.Soc.Providence,RI,1979 4Rachunkova I.Upper and Lower Solutions and Topological Degree.J.Math.Anal.Appl.,1999,234: 311–327 5Schrader K W.Boundary Value Problems for Second order Oordinary Di?erential Equations.J.Di?. Eqns.,1967,3:403–413 6Mawhin J,Ward JR J R.BSs of Some Second-order Nonlinear Di?erential Equations.J.London Math.Soc.,1998,58:733–747 2299 GLOBAL DICHOTOMY BEHA VIOR OF SOLUTIONS OF CLASS OF SECOND-ORDER NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS WU yan (Department of Mathematics and Informational Science,Yantai Unversity,Yantai264005) SONG Xuemei (Department of Mathematics,Lanzhou Teachers University,Lanzhou730070) Abstract This paper is concerned with the global dichotomy behavior of the non-periodic second-order di?erential equation:x =f(t,x,x ).Our results improve and generalize the corresponding ones on periodic equations. Key words Non-periodic the second-order di?erential equation global dichotomy behavior 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐 次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将 y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2 pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2 pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2 pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程 的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无 关的解 这是因为 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0 )()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的 两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关 的实数形式的解 函数y 1e ( i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x ) (2 1cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x ) (21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为 目录 1 引言 (1) 2 二阶常系数常微分方程的几种解法 (1) 2.1 特征方程法 (1) 2.1.1 特征根是两个实根的情形 (2) 2.1.2 特征根有重根的情形 (2) 2.2 常数变异法 (4) 2.3 拉普拉斯变化法 (5) 3 常微分方程的简单应用 (6) 3.1 特征方程法 (7) 3.2 常数变异法 (9) 3.3 拉普拉斯变化法 (10) 4 总结及意义 (11) 参考文献 (12) 二阶常微分方程的解法及其应用 摘要：本文通过对特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种二阶常系数常微分方程解法进行介绍，特别是其中的特征方程法分为特征根是两个实根的情形和特征根有重根的情形这两种情况，分别使用特征值法、常数变异法以及拉普拉斯变换法来求动力学方程，现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。 关键词：二阶常微分方程;特征分析法；常数变异法；拉普拉斯变换 METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION AND ITS APPLICATION Abstract:This paper introduces the solution of the characteristic equation method, the method of variation of parameters, the Laplasse transform method the three kind of two order ordinary differential equations with constant coefficients, especially the characteristic equation method which is characteristic of the root is the two of two real roots and characteristics of root root, branch and don't use eigenvalue method, method of variation of constants and Laplasse transform method to obtain the dynamic equation, the current studies on solution of ordinary differential equations of order two has made many achievements, especially in the aspect of solving the problem of two order linear differential equation with constant coefficients very fruitful. Application of the theory of ordinary differential equations has made great achievements, however, the existing theory it is still far from meeting the need, needs further development, to make the discipline theory more perfect. Keywords:second ord er ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform 1 引言 数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程 第七节 二阶常系数线性微分方程 在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线 性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐 §7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求 22dx y d ＋p dx dy ＋qy ＝ 0 (7.1) 其中p 、q 是常数，由上节定理二知，要求方程(7.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,y ２ 我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解， 从方程的形式上来看，它的特点是22 dx y d ，dx dy ，y 各乘 以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数y ， 其22dx y d ，dx dy ，y 之间只相差一个常数因子，这样的函 数有可能是方程(7.1)的特解，在初等函数中，指数函数e rx y ＝e rx (其中r 为待定常数) 将y ＝e rx ，dx dy ＝re rx ，22dx y d ＝r 2e rx 代入方程 (7.1) 得 r 2e rx ＋pre rx ＋qe rx ＝ 0 或 e rx （r 2＋pr ＋q ）＝ 因为e rx ≠ 0 r 2 ＋pr ＋q ＝ 由此可见，若 r r 2＋pr ＋q ＝ 0 (7.2) 的根，那么e rx 就是方程(7.1)的特解，于是方程(7.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2)的根问题。称(7.2)式为微分方程(7.1) 特征方程(7.2)是一个以r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r １，r 2，称为特征根，由代数知识，特征根r 1，r 2 有三种可能的情况，下面 (1)若特证方程(7.2)有两个不相等的实根r １，r 2，此时e r １x ，e r2x 是方程(7.1) 高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常 系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是 式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的 两个解,且≠=x y y tan 2 1常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r , 使rx e y =满足方程(2). 二阶常微分方程解 ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期: 第七节 二阶常系数线性微分方程 的解法 在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题,关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。 §7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法 设给定一常系数二阶线性齐次方程为 ?? 22 dx y d +p dx dy ＋ｑy=０ (7.1) 其中p 、q 是常数,由上节定理二知,要求方程(7．1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,ｙ2就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。 我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解, 从方程的形式上来看，它的特点是22dx y d ，dx dy ,y 各乘以 常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数ｙ,其 22dx y d ，dx dy ，ｙ之间只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程(７.1)的特解,在初等函数中,指数函数e rx ,符合上述要求，于是我们令 y=e r ｘ (其中r 为待定常数）来试解 将y ＝e rx ,dx dy =re r ｘ,22dx y d ＝r ２e r ｘ 代入方程(7.1) 得 r 2e ｒx ＋ｐre rx ＋ｑｅrx ＝０ 或 e r ｘ(r ２+pr+q ）＝0 因为e rx ≠０,故得 ? r 2 +pr ＋q=0 由此可见，若r 是二次方程 ?? r 2＋pr ＋q=０ (7．2) 的根，那么e r ｘ就是方程(7.１)的特解,于是方程（７.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2）的根问题。称（7.2)式为微分方程(７.１)的特征方程。 特征方程(7.2)是一个以r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r 1，r 2，称为特征根,由代数知识，特征根r １，r 2有三种可能的情况,下面我们分别进行讨论。 (1)若特证方程（7．2）有两个不相等的实根r 1， r 2，此时e r １ｘ ,e r2x 是方程（７.1)的两个特解。 高阶线性微分方程常用解法简介 摘要：本文主要介绍高阶线性微分方程求解方法，主要的内容有高阶线性微分方程求解的常 用方法如。 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3, ,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++= 其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++ 其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ 是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++= 的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ （5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ= 均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++ 其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现. 第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数 非齐次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解 这是因为 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111 =++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数y 1e (i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e (i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 2 2ie x sin x )(21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为 y e x (C 1cos x C 2sin x ) 二阶常微分方程解 Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022 第七节 二阶常系数线性微分方程 的解法 在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。 § 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法 设给定一常系数二阶线性齐次方程为 2 2dx y d ＋p dx dy ＋qy ＝0 其中p 、q 是常数，由上节定理二知，要求方程的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,y ２就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。 我们先分析方程可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它 的特点是2 2dx y d ，dx dy ，y 各乘以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数y ，其2 2dx y d ，dx dy ，y 之间只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程的特解，在初等函数中，指数函数e rx ，符合上述要求，于是我们令 y ＝e rx (其中r 为待定常数)来试解 将y ＝e rx ，dx dy ＝re rx ，2 2dx y d ＝r 2 e rx 代入方程 得 r 2e rx ＋pre rx ＋qe rx ＝0 或 e rx （r 2 ＋pr ＋q ）＝0 因为e rx ≠0，故得 r 2＋pr ＋q ＝0 由此可见，若r 是二次方程 r 2＋pr ＋q ＝0 的根，那么e rx 就是方程的特解，于是方程的求解问题，就转化为求代数方程的根问题。称式为微分方程的特征方程。 特征方程是一个以r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r １，r 2，称为特征根，由代数知识，特征根r 1，r 2有三种可能的情况，下面我们分别进行讨论。 (1)若特证方程有两个不相等的实根r １，r 2，此时e r １x ，e r2x 是方程的两个特解。 因为 x r x r 2 1e e ＝e x )r r (21-≠常数 所以e r1x ，e r2x 为线性无关函数，由解的结构定理知，方程的通解为 y ＝C 1e r1x ＋C 2e r2x (2)若特征方程有两个相等的实根r 1＝r 2，此时p 2－4q ＝0，即 有r 1 ＝r 2 ＝2 p -，这样只能得到方程的一个特解y １ ＝e r １x ，因此，我 变系数/非线性微分方程的求解：Example1: van der Pol equation Rewrite the van der Pol equation (second-order) The resulting system of first-order ODEs is 见：vdp_solve.m及vdp.mdl vdp_solve.m vdp.mdl Example2: 2 with x(0) = 4 x (0)=0 5(5)5sin()5 +-+= x t x t x 见：exam2_solve.m及exam2.mdl exam2_solve.m exam2.mdl Example3: ODEs 函数实现及封装说明[以一阶微分方程为例] 510 w i t h (0)4 dx x x dt +==- 引言： 一步Euler 法求解[相当于Taylor 展开略去高阶项]： 11()k k k k k k k k k k k x x x Ax bu t x x t x x t Ax bu ++-==+??=+??=+??+ 补充说明1：对于任意方程/方程组可化为如下一阶形式[方程组]： x Ax Bu =+ 或者(,)(,)M t x x f t x = 补充说明2：ODEs 的解法不同之处在于 1、时间步长的选取（及导数的求解？）：有无误差控制 变步长； 2、积分方法：选用哪几个时间状态信息。 见：my_ode_rough.m[直接求解] / test_my_ode.m[按Matlab/ODEs 方式封装] my_ode_rough.m 二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明 二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明 来源：文都教育 在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。 一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析 通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02=++q p λλ的特征根为 12,λλ，则 1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C e C e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112x x y C e C xe λλ=+； 3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+； 证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++= 212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=， 令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dx λλλ'-=? =?=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得 221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----??=+=+?? (1) 二阶非线性常微分方程的打靶法 1.问题： 试用打靶法求二阶非线性常微分方程亮点边值的数值解： 要求用Matlab 编程计算，请给出一些例子，验证你的算法与程序的正确性。 2.打靶法分析： 非线性打靶法: 非线性打靶法的基本原理是将两点边值问题(1)转化为下面形式的初值问题 令z = y ′,将上述二阶方程降为一阶方程组 3.Matlab 源代码： 创建M 文件： function ys=dbf(f,a,b,alfa,beta,h,eps) ff=@(x,y)[y(2),f(y(1),y(2),x)]; xvalue=a:h:b;%x取值范围 n=length(xvalue) s0=a-0.01;%选取适当的s的初值 x0=[alfa,s0];%迭代初值 flag=0;%用于判断精度 y0=rk4(ff,a,x0,h,a,b); if abs(y0(1,n)-beta)<=eps flag=1; y1=y0; else s1=s0+1; x0=[alfa,s1]; y1=rk4(ff,a,x0,h,a,b); if abs(y1(1,n)-beta)<=eps flag=1; end end if flag~=1 while abs(y1(1,n)-beta)>eps s2=s1-(y1(1,n)-beta)*(s1-s0)/(y1(1,n)-y0(1,n)); x0=[alfa,s2]; y2=rk4(ff,a,x0,h,a,b); s0=s1; s1=s2; y0=y1; y1=y2; end end xvalue=a:h:b; yvalue=y1(1,:); ys=[xvalue',yvalue']; function x=rk4(f,t0,x0,h,a,b)%rung-kuta法求每个点的近似值（参考大作业一）t=a:h:b;%迭代区间 m=length(t);%区间长度 t(1)=t0; x(:,1)=x0;%迭代初值 for i=1:m-1 L1=f(t(i),x(:,i)); L2=f(t(i)+h/2,x(:,i)'+(h/2)*L1); L3=f(t(i)+h/2,x(:,i)'+(h/2)*L2); L4=f(t(i)+h,x(:,i)'+h*L3); x(:,i+1)=x(:,i)'+(h/6)*(L1+2*L2+2*L3+L4); end 4.举例 求二阶非线性方程的边值问题： 在matlab 控制台中输入： f=@(x,y,z)(x^2+z*x^2); x0l=0; x0u=2*exp(-1); alfa=0; beta=2; h=0.01 dbf(f,x0l,x0u,y0l,y0u,h,1e-6); >> y=ans(:,2); x=ans(:,1); >> plot(x,y,'-r') >> 结果： 目 录 待定系数法 常数变异法 幂级数法 特征根法 升阶法 降阶法 关键词：微分方程，特解，通解， 二阶齐次线性微分方程 常系数微分方程 待定系数法 解决常系数齐次线性微分方程[]21220, (1) d x dx L x a a x dt dt ≡++= 12,. a a 这里是常数 特征方程 212()0 F a a λλλ=++= (1.1) (1)特征根是单根的情形 设 12,,,n λλλL 是特征方程的 (1.1)的2个彼此不相等的根，则相应的方程 (1)有如 下2个解： 12,t t e e λλ (1.2) 如果(1,2)i i λ=均为实数，则 (1.2)是方程 (1)的2个线性无关的实值解，而方程 (1)的通解可表示为 1212t t x c e c e λλ=+ 如果方程有复根，则因方程的系数是实系数，复根将成对共轭出现。设 i λαβ=+是一特征根，则i λαβ=-也是特征根，因而与这对共轭复根对应，方程 (1)有两个复值解 (i)t (cos t sin ),t e e i t αβαββ+=+ (i)t (cos t sin ).t e e i t αβαββ-=- 它们的实部和虚部也是方程的解。这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根 i λαβ=±，我们可求得方程 (1)的两个实值解 cos ,sin .t t e t e t ααββ （2）特征根有重跟的情形 若10λ=特征方程的 k 重零根，对应于方程 (1)的k 个线性无关的解211,t,t ,k t -L 。 若这个k 重零根1 0,λ≠设特征根为12,,,,m λλλL 其重数为1212,,,k (k 2) m m k k k k ++=L L 。方程 (1)的解为 11112222111,t ,t ;,t ,t ;;,t ,t ;m m m m t t k t t t k t t t k t e e e e e e e e e λλλλλλλλλ---L L L L 对于特征方程有复重根的情况，譬如假设i λαβ=+是k 重特征根，则i λαβ=-: 也是k 重特征根，可以得到方程 (1)的2k 个实值解 2121cos ,cos ,cos ,,cos ,sin ,sin ,sin ,,sin .t t t k t t t t k t e t te t t e t t e t e t te t t e t t e t ααααααααββββββββ--L L 例1 求方程 220d x x dt -=的通解。 解 特征方程 210λ-=的根为121,1λλ==-有两个实根，均是单根，故方程的通 解为 12, t t x c e c e -=+ 这里 12 ,c c 是任意常数。 例2 求解方程 220d x x dt +=的通解。 解 特征方程 210λ+=的根为12,i i λλ==-有两个复根， 均是单根，故方程的通解 为 12sin cos , x c t c t =+ 这里12 ,c c 是任意常数。 第六章 非线性微分方程和稳定性 6-1 对下列方程求出常数特解，并且画出方程经过()0,0x 的积分曲线的走向，从而判断各驻定解的稳定性；然后作变量替换，使非零驻定解对应于新的方程的零解。 1）+∞<<-∞>>+=02 ,0,0,x B A Bx Ax dt dx 2） ()()0,310≥--=x x x x dt dx 解 1）方程可化为 )( x B A Bx dt dx +=，则其常数特解为 B A x x - ==21,0，即为驻定解。 由于方程为分离变量方程（或迫努利方程），当B A x x - ≠≠,0时，分离变量得 Adt dx B A x x =? ????? ? ?+-11 方程的通解为 At Ce Bx A x =+ 利用初始条件()?? ? ? ?-≠≠=B A x x x x 000,00，得 0 0Bx A x C += ，故得原方程满足初始 条件的解为 ()0)(0≥? ?? ? ??++-= -t e B x A B A t x At （1） 由式（1）和方程右端的表达式，得出 当00>x 时，0>dt dx ，)(t x 递增， 又 B e B x A B B x A At →??? ? ??+->+-00 ,时，+∞→)(t x ， 即)1ln( 10+= →B x A A t t 时，+∞→)(t x 。 当 ???????<-><+>-<>+<0 00,000 00 0 dt dx ,B A x , B x A dt dx ,B A x B x A x 时，有 ()+∞→- →t B A t x )( 所以解（1）的图像如图6-5所示。 图6-5 从解的图像可以看出： 解01=x 不稳定；解B A x -=2稳定。 利用变换B A x y +=，可将原方程化为 2 2 )()(By Ay B A y B B A y A dt dy +-=-+- = 所以原方程的驻定解B A x - =2对应于方程 2 By Ay dt dy +-= 的零解0=y 。 2）由()()031=--x x x ，求得常数解为 3,1,0321===x x x 。 因为()()()31,--=x x x x t f 在全平面上连续可微，故对任意初始点()00,x t ，解唯一存在，当0,0≥≥x t 时有 第八章 8.4讲 第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2) 的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 2 2 sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若 =21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且 ≠=x y y tan 2 1 常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 南京师范大学泰州学院 毕业论文（设计） （一六届） 题目：二阶常微分方程的解法 院（系、部）：数学科学与应用学院 专业：数学与应用数学 姓名：潘陆 学号08120146 指导教师：刘陆军 南京师范大学泰州学院教务处制 摘要：本文主要是介绍了二阶常微分方程众多解法中的三种，分别为特征方程法，拉普拉斯变换法和常数变易法，研究并讨论了二阶常微分方程在特征方程法中特征方程根为实根，复根和重根的情形。我们选用了弹簧振子系统的振子运动，用这三种不同的方法来解决该问题。 关键词：二阶常微分方程；特征根法；常数变易法；拉普拉斯变换 Abstract:The main purpose of this paper is the second-order ordinary many differential equation solution of three, respectively as the characteristic equation method, Laplace transform method and variation of constants method, study and discuss the second-order often differential equation in the characteristic equation of the roots of the characteristic equation for real roots, complex roots and root weight. We choose the spring oscillator the oscillator motion, these three different methods to solve the problem. Keywords: second order ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform 二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法 一 公式解法 目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]: '''()y ay by f x ++=通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本 身的特解之和。微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。那么二阶常系数齐 次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系 数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。而由此产生的通解公式给出了该方程 通解的更一般的形式。 设二阶常系数线性非齐次方程为 '''()y ay by f x ++= (1) 这里b a 、都是常数。为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程 20k ak b ++= (2) 对特征方程的根分三种情况来讨论。 1 若特征方程有两个相异实根12k 、k 。则方程(1) 可以写成 '''1212()()y k k y k k y f x --+= 即 '''212()()()y k y k y k y f x ---= 记'2z y k y =- , 则(1) 可降为一阶方程 '1()z k z f x -=由一阶线性方程的通解公 ()()[()]p x dx p x dx y e Q x e dx c -? ?=+?[5] (3) 知其通解为 1130[()]x k x k t z e f t e dt c -=+?这里0()x h t dt ?表示积分之后的函数是以x 为自变量的。再由11230[()]x k x k t dy k y z e f t e dt c dx --==+? 解得 12212()()340012 [(())]k k x x u k x k k u e y e e f t dt du c c k k --=++-?? 应用分部积分法, 上式即为 1212212()()3400121212 1[()()]k k x k k x x x k x k t k t e e y e f t e dt f t e dt c c k k k k k k ----=-++---?? 1122121200 121[()()]x x k x k t k x k t k k x e f t e dt e f t e dt c e c e k k --=-++-?? (4) 2 若特征方程有重根k , 这时方程为 '''22()y ky k y f x -+=或'''()()()y ky k y ky f x ---= 由公式(3) 得到 '10[()]x kx kt y ky e e f t dt c --=+? 再改写为 '10()x kx kx kt e y ke y e f t dt c ----=+? 即10()()x kx kt d e y e f t dt c dx --=+? 故120()()x kx kt kx kx y e x t e f t dt c xe c e -=-++? (5) 例1 求解方程'''256x y y y xe -+= 解 这里2560k k -+= 的两个实根是2 , 3 2()x f x xe =.由公式(4) 得到方程的解是 33222232 1200x x x t t x t t x x y e e te dt e e te dt c e c e --=-++?? 32321200x x x t x x x e te dt e tdt c e c e -=-++?? 2 232132x x x x x e c e c e ??=--++???? 这里321c c =-. 例2 求解方程'''2ln x y y y e x -+=二次微分方程的通解
二阶常微分方程的解法及其应用.
二阶常微分方程解
高阶线性微分方程常用解法介绍
二阶线性微分方程的解法
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二阶常系数齐次线性微分方程求解方法
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变系数_非线性微分方程的求解
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二阶非齐次线性微分方程的解法
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(整理)二阶常系数线性微分方程的解法word版.
二阶常微分方程的解法
二阶常微分方程的几种解法