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泊松分布

2.2.19 泊松分布的图形及最值

泊松分布同二项分布一样,首先是单调增加,然后再单调递减.所以,泊松分布P(λ)的最值情况如下:

(1)若λ是整数,则泊松分布在X=λ-1和X=λ处概率值最大;

(2)若λ不为整数,则存在整数m有λ-1< span="">,此时泊松分布在X=m 处的概率最大.

注,这些最值的推导分析如同二项分布的分析,即通过比值P{X=k}/P{X=k-1}来推导.

2.2.20 服从泊松分布的例子

泊松分布是重要的离散型分布,它在实际中有着广泛的应用.泊松分布的应用重要集中在三个领域.

1.社会生活对某服务的需求.如

(1)电话交换台在一段时间内的呼叫次数;

(2)公共汽车站在一段时间内的乘客数;

(3)某餐厅在一段时间内等待就餐的顾客数;

(4)某售票窗口接待的顾客数;

(5)某医院每天前来就诊的病人数;

(6)某地区某癌症的发病人数;??

2.物理学和生物学领域.如

(1)放射性物质的放射粒子落在某区域的质点数;

(2)显微镜下某区域中的血球数目;

(3)显微镜下某区域中的细菌数目;

(4)数字通讯中传输数字时发生误码的个数;

(5)一段时间内某放射性物质发射出的粒子数;

(6)一段时间内某容器内部的细菌数;??

3.大量试验中稀有事件出现的次数.

(1)一页中印刷错误出现的次数;

(2)大量螺钉中不合格品出现的个数;

(3)三胞胎出生的次数;

(4)某路口在一段时间内发生事故的次数;

(5)某机器在一段时间内出现故障的次数;

(6)某城市在一段时间内出现火灾(或地震)的次数;

(7)一纺锭在一段时间内发生断头的次数;

(8)特大洪水发生的年数;??

注稀有事件是指在试验中出现的概率很小的事件,也称小概率事件.如,火山爆发、地震、彩票中大奖等等.

2.2.24 泊松分布(3)-例7

例2.2-7 某一城市每天发生火灾的次数X服从参数λ=0.8的泊松分布,求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率.

解由概率的性质及泊松分布的定义,得

P{X≥3}=1-P{X<3}=1-P{X=0}-P{X=1}-P{X=2}

=1-e-0.8(0.800!+0.811!+0.822!)

≈0.0474.■

2.2.25 泊松分布(4)-例8

例2.2-8 某公司生产一种产品300件,根据历史生产记录知废品率为0.01,问现在这300件产品经检验废品数大于5的概率是多少?

解把每件产品的检验看作一次伯努利试验,它有两个结果:A={正品},Aˉ={废品},检验300件产品就是作300次独立的伯努利试验.用X表示检验出的废品数,则

X~b(300,0.01),

从而问题变为计算P{X>5}.

由于n>100,np=3<10,故泊松分布可以很好地近似计算二项分布.记λ=np=3,于是得

P{X>5}=∑k=6300b(k;300,0.01)=1-∑k=05b(k;300,0.01)≈1-∑k=053\spacekk

!e\space-3.

查泊松分布表,得

P{X>5}≈1-0.916082=0.08.■