【数学】【衡水金卷】2018年衡水金卷调研卷 全国卷 I A (三)数学(理)模拟试题 含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷
理数（三） 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合(
){
}2
2log 2A x y x x
==--，B =N ，则A B =I
（ ）
A ．{}0
B ．{}1
C ．{}0,1
D ．{}1,0- 2．复数()2i z x x =++（其中i 为虚数单位，x ∈R ）满足
2i
z
+是纯虚数，则z =（ ） A
．
．
3 D
．3
3．已知2:,20p x x x a ?∈++>R ；:28a q <.若“p q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．()1,+∞
B ．(),3-∞
C ．()1,3
D ．()(),13,-∞+∞U
4．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的离心率为e ，其中一条渐近线的倾斜角θ的取值范
围是,63ππ??
????
，其斜率为k ，则2
e k 的取值范围是（ ）
A
．(
B
．1,
3? ?? C
．2,?? D
．2,3???
? 5．电路从A 到B 上共连接着6个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率是1
3
，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A 到B 连通的概率是（ ）
A ．
1027 B ．448729 C ．100243 D ．40
81
6．已知点(),P x y ，若实数,x y 满足330,
10,3,
x y x y x ++≤??
--≤??≥-?
则目标函数21x y z x +-=-的取值范围是
（ ）
A ．1,24??????
B ．1,34?????
? C ．5,24?????? D ．5,34??????
7．已知0.3
2
a =，435
5
2
2b -
-
=+，lg9lg11c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ．b a c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
8．某锥体的三视图如图所示，用平行于锥体底面的平面把锥体截成体积相等的两部分，则截面面积为（ ）
A ．2
B ．．．9．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，数列的通项以及求和由如图所示的框图给出.则最后输出的结果等于（ ）
A ．1N a +
B ．2N a +
C ．11N a +-
D ．21N a +-
10．将函数()y f x =的图象按以下次序变换：①纵坐标不变，横坐标变为原来的1
2
，②向左平移
6π个单位，得到函数()y g x =的图象（如图所示），其中点2,03D π??- ???，点,03E π?? ???
，
则函数()
()
f x y f x =
'在区间[]0,2π上的对称中心为（ ）
A ．(),0π，()2,0π
B ．(),0π
C ．()0,0，(),0π
D ．()0,0，(),0π，()2,0π
11．已知0a c >>，12,r r -
∈R ，
()()2
2
2111:C x a y r r ++-=e ，()()22
2222:C x a y r r -+-=e .给出以下三个命题：
①分别过点(),0E c -，(),0F c ，作1C e 的不同于x 轴的切线，两切线相交于点M ，则点M 的轨迹为椭圆的一部分；
②若1C e ，2C e 相切于点H ，则点H 的轨迹恒在定圆上；
③若1C e ，2C e 相离，且122r r a ==，则与1C e ，2C e 都外切的圆的圆心在定椭圆上. 则以上命题正确的是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
12．已知函数()22
e e ln ln ln 323x
f x c c x x ??=--- ??
?（其中e 为自然对数的底数）有两个极值
点，则函数()()2
2
e 211x
g x x c x c c =--+---的零点个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．某学校男女比例为2:3，从全体学生中按分层抽样的方法抽取一个样本容量为m 的样本，若女生比男生多10人，则m = ．
14．如图所示，已知在ABC ?中，23AE AC =uu u r uuu r ，13
BD BC =uu u r uu u r
，BE 交AD 于点F ，
AF AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r
，则λμ+= ．
15．某港口停泊两艘船，大船从港口出发，沿东偏北60°方向行驶2.5小时后，小船开始向正东方向行驶，小船出发1.5小时后，大船接到命令，需要把一箱货物转到小船上，便折向
驶向小船，期间，小船行进方向不变，从大船折向开始，到与小船相遇，最少需要的时间是 小时．
16．母线长为O ，与圆锥的侧面、底面都相切，现放入一些小球，小球与圆锥底面、侧面、球O 都相切，这样的小球最多可放入 个． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17． 已知数列{}n a 满足12a =，且1122n n n a a ++=+，n ∈*
N .
（1）设2n
n n
a b =
，证明：数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .
18． 如图，在ABCD Y 中，30A ∠=?，AD =2AB =，沿BD 将ABD ?翻折到A BD '?的位置，使平面A BC '⊥平面A BD '. （1）求证：A D '⊥平面BCD ；
（2）若在线段A C '上有一点M 满足A M A C λ''=u u u u r u u u r
，且二面角M BD C --的大小为60°，
求λ的值.
19． 我国华南沿海地区是台风登陆频繁的地区，为统计地形地貌对台风的不同影响，把华南沿海分成东西两区，对台风的强度按风速划分为：风速不小于30米/秒的称为强台风，风速小于30米/秒的称为风暴，下表是2014年对登陆华南地区的15次台风在东西两部的强度统计：
（1）根据上表，计算有没有99%以上的把握认为台风强度与东西地域有关；
（2）2017年8月23日，“天鸽”在深圳登陆，造成深圳特大风暴，如图所示的茎叶图统计了深圳15块区域的风速.（十位数为茎，个位数为叶）
①任取2个区域进行统计，求取到2个区域风速不都小于25的概率；
②任取3个区域进行统计，X 表示“风速达到强台风级别的区域个数”，求X 的分布列及数学期望()E X .
附：()()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
20． 已知双曲线2
212
x y -=的左、右顶点分别为12,A A ，直线:l x p =与双曲线交于,M N ，直线2A M 交直线1A N 于点Q . （1）求点Q 的轨迹方程；
（2）若点Q 的轨迹与矩形ABCD 的四条边都相切，探究矩形ABCD 对角线长是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.
21． 已知函数()e x
x a
f x +=，其中e 为自然对数的底数，若当[]1,1x ∈-时，()f x 的最大值为()
g a .
（1）求函数()g a 的解析式； （2）若对任意的a ∈R ，
1
e e
k <<，不等式()g a ka t ≥+恒成立，求kt 的最大值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos ,
2sin x t y t αα
=+??
=+?（t 为参数），以原点O 为极
点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆M 的极坐标方程为
4cos 6sin ρθθ=+.
（1）求圆M 的直角坐标方程，并写出圆心和半径；
（2）若直线l 与圆M 交于,A B 两点，求AB 的最大值和最小值. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()f x x x a =++.
（1）若不等式()21f x a ≥-对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若不等式()21f x a ≤-的解集为[],3b b +，求实数,a b 的值.
理数（三）答案
一、选择题
1-5:ADCDB 6-10:DCCDD 11、12：AD 二、填空题
13．50 14．6
7
15．3.5 16．10 三、解答题
17．解：（1）把2n n n a b =代入到1122n n n a a ++=+， 得1111222n n n n n b b ++++=+， 两边同除以1
2
n +，
得11n n b b +=+，
∴{}n b 为等差数列，首项1
112
a b =
=，公差为1， ∴()
n b n n =∈*
N .
（2）由22n
n n n n
a b n a n ==
?=?， ∴1331222322n n S n =?+?+?++?L
2342122232n S ?=?+?+?()1122n n n n +++-?+?L ，
两式相减，得1232222n n S -=++++-L ()1
12
122n n n n ++?=-?-
()()1122n n S n n +?=-?+∈*N .
18．解：（1）ABD ?中，由余弦定理，可得1BD =. ∴2
2
2
BD AD AB +=，
∴90ADB ∠=?，∴90DBC ∠=?. 作DF A B '⊥于点F ，
∵平面A BC '⊥平面A BD '， 平面A BC 'I 平面A BD A B ''=， ∴DF ⊥平面A BC '. ∵CB ?平面A BC '， ∴DF BC ⊥.
又∵CB BD ⊥，BD DF D =I ， ∴CB ⊥平面A DB '. 又∵A D '?平面A DB '， ∴CB A D '⊥.
又A D BD '⊥，BD CB B =I ， ∴A D '⊥平面CBD .
（2）由（1）知,,DA DB DA '两两垂直，以D 为原点，以DA uu u r
方向为x 轴正方向建立如图所
示空间直角坐标系Dxyz ，
则()0,1,0B
，()
C
，(A '. 设(),,M x y z ，
则由,
,x A M A C y z λλ?=?
''=?=??
=?uuuu r uuu r
()
,M λ?.
设平面MDB 的一个法向量为(),,m a b c =u r
，
则由0,0,m DB m DM ??=???=??u r uu u r u r uuu u r
)
0,0,
b a b
c λ=????
++=??