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用连续整数之和分解大整数
内容摘要:
关于文章的内容，你可以这样理解，由于N=ab,无法直接求出a 和b,所以将N=ab,转换为1N 42=-y x (文章第二部分的主要思想)；再将其转换为1+2+3+4+……+k=Ny(文章第三部分的主要思想)
目前存在的问题是如何找到k ？
第一部分：前言
目前，大数分解在数学和信息安全方面都有着举足轻重的位置，在没有计算机的十七世纪，费马、高斯等人就已经意识到这个问题的重要性，当计算机发明后，很多的科学家和数学家开始借助于强大的计算机来解决这个问题。
从现在的资料分析，大整数因子分解的算法大体上可分为两个类型。一个类型称为“同余式的组合”；另一类型算法都是利用一个群,且这个群的阶(即元素个数)不含有大素因子。第二个类型中比较经典的有Pollard ’s Rho 法、Pollard ’s P-1法、椭圆曲线分解法，暂不讨论，因为它分解含有大素因子的整数效率很低或不能完全分解[1]。“同余式的组合”主要基于费马分解法的思想，由此改进的有Dixon 法、 连分数法、二次筛法、数域筛法，最终目的都是寻找22y N x =-的解。
数域筛法是目前最好的算法，是1988年由John Pollard 发现[2]，到现在已经20年了,对其不断的改进已近达完美的程度，但是在目前资源下也只能分解不到250的位整数，可见这种思想已达到了顶峰。
因此本文放弃原有思想和方法,另辟新路,采用数形完美结合，导出二元二次不定方程，……（研究中）
第二部分：
假设()b a a +=A N ，a 为正整数并有()a b mod N ≡,那么以(Aa+b)和a 为长和宽作出一个矩形，然后以a 为边长做正方形填充已画出的大矩形，当填充到不能填充时，再以剩下小矩形的短边为边长作正方形填充小矩形，持续这样填充，一直填充到所有的矩形之内全为正方形为止，最后做出来的图形与完美正方形有些类似。例如:填充5917后，如图1。从分析结果看，可以分为两大类，一类如图2的形式，另一类如图3的形式(暂不讨论)，如果用代数式表
示图2则有，
()(){}N B a C D B a C B Aa 2
222=+--+-++ b b b b (1)
在填充大矩形时：
当有A ，B 存在时：N Bb Aa 22=+ (2) 当有A ，B ，C 存在时：()()N CBab 2b CB B a C A 222=-+++ (3) 当有A ，B ，C ，D 存在时
()()()N
DBC DC BC 2DBC 2C DB D CB B DC C A 2222222=++-+++++++ab b a (4)
……
于是根据归纳公理推出：N 2Wab Vb Ua 22=-+ (5) 根据图2，还可看出有另外一个表达式：()N a b Aa =+ (6) 把(5)，(6)联立方程组，求a(因为a 为N 的一个因子)
由(6)得：a a 2
A N b -= (7) 把(7)代入(5)并化简得：()()0VN N 1W 2VA 2WA 2VA U 2242=+++-++a a (8) 为了叙述方便，把(8)替换为0hN gNa -fa 224=+ (9) 发现有：1fh 4g 2=- (10) 证明:1fh 4g 2=-
把(8)中的a 和N 的系数代入到fh 42-g 中
1UV 4W 44AV 4W fh 422+-++=-g
当0W B V A U ===，，存在时，11AB 44AB fh 42=+-=-g
当BC W C B B V C A U 2=+=+=，，存在时
()()()1C B B C A 44BC C B B A 4C B 4fh 4g 22222+++-+++=-
11C B 4BC 4C AB 4AB 44BC C 4AB 4AB C 4B 222222=+----+++=
……
根据归纳公理1fh 42=-g 成立
由(10)得fh g 41+= (11) 把(11)代入(9)得0a N N h N fha 2a f 42422482=-+- (12) 由(12)得：()422
24a N hN fa =- (13) 方程两边同时开平方，并根据实际情况和原题题题意得：
0hN Na fa 224=-+ (14) 由实验和观察得y N fh = 【现在未能证明，但我相信是正确的】
(15) 由(15)得f N h y
= (16)
把(15)代入(14)0N fNa a f 3242=-+y (17) 设m fa 2= (18) 把(18)代入(17)0N mN m 32=-+y (19) 由(19)N 2N 411m ?+±-=y
(20)
根据实际情况和原题题意舍弃负根取正根： 因N 2N 411fa 2?++-=y
(21)
根据分析a 必为N 与2N 411y
++-的公约数 设x y =+N 41 (22) 则有1N 42=-y x (23) 第三部分：
1N 42=-y x
1N 42=-y x
x 为奇数
假设1k 2-=x
那么()14412222+-=-=k k k x
因此1441y 42+-=+k k N
k y -=2k N
如果k 为奇数，k -2k 为偶数
如果k 为偶数，k -2k 也为偶数。
因此Ny 为偶数，但N 为奇数，所以y 为偶数。
1N 82=-y x
1+3+5+7+9+……+(2k-1)+(2k+1)=8Ny+1
3+5+7+9+……+(2k-1)+(2k+1)=8Ny
(3+5)+(7+9)+……+{(4k-1)+(4k+1)}=8Ny
8+16+……+8k=8Ny
1+2+3+4+……+k=Ny
)
,(5432128N N
k y Ny k <<=++++++ ------------------1式 --------------------------------------------------------------------------- 根据上式可以作出下图
图4
设k 1<2p,使k =+1k 2ps ，从右往左用2p 等分图4，
图5
根据图5可得到
()()Ny p s pk p k k =++++221
11s 2221------2式 设t =2s （主要目的降低方程次数）
()()Ny p s pk p k k =++++t 222121
11 设2p=6，则k 1=0,1,2,3,4,5，
随便取一个k 1的值，这里假设取4，便有方程（原因是方程“1式”的解有无穷多个，不管取k 1为多少，至少有一个k 除2p 后余k 1的）
Ny t =++18s 2710
根据N ，可以求出方程的一组解，然后就能有一个方程的解集，我们能否在这个解集里快速找到t =2s ？这个想法的关键所在。可能需要列出一部分方程的解集，然后分析有没有办法快速找到一组t =2s 。
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
你们可以讨论有没有什么好的想法（可以从第三部分开始），不一定按我的想法去做，我的想法不一定管用！我原来的另一个想法是：在考虑假设1+2+3+4+……+k=Ny 加到k/2时会怎样，再考虑k/4,k/8,……，第一次取半后，结果是会同余1/4N ，1/2N 或3/4N,加1/2k,最后求解也好像比较困难。
参考文献：
[1]张效祥.计算机科学技术百科全书[M].北京:清华大学出版社,2005:412.
[2]金家豪.通用型数域筛选因数分解法之参数探讨[D].台湾:台湾国立中央大学-资讯工程研究所.2004(Ch)
关于因式分解的论文
初中数学因式分解常用的方法与技巧 阿舍中学曹金凤 【摘要】多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，也是代数式恒等变形的一个重要组成部分。因式分解在代数的运算、解方程等方面都有极其广泛的应用。本文阐述了因式分解概念，并详细地介绍了因式分解的方法 【关键词】多项式因式分解应用 因式分解是中国数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地初中数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。 一、多项式分解的定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。 二、多项式因式分解的方法 （一）提公因式法 定义：把多项式中每项都含有的公因式提出来，从而把多项式化成两 因式相乘的形式叫提公因数法。 提公因式法基本步骤 1.找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； 2.提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式 除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
例1 ()c b a m cm bm am ++=++； ()()()()()()()()b a y x y x b y x a x y b y x a x y b y x a --=---=-+-=-+- （二）运用公式法 运用公式分解因式，就是把一些形如公式的多项式按公式的形式分解成几个 因式的乘积的形式的方法。 平方差公式：()()b a b a b a -+=-2 2； 完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±； 注：(1)首平方，尾平方，首尾的2倍在中央，同号正，异号负 （2）公式法的关键是寻找首尾项，符号同中央。 （3）分解因式一定要彻底。 例2 分解因式 2 2 2 222 2 22 222 22)( )2()5()2( ) 44-)4()34()3() )(2( ) )(()2() 32)(32(14)(4))(5(44)4(9 2416)3()())(2(9 4)1(m n m n m y x y xy x x q p q p x q x p x q x p x x x m n m m n m y xy x x x q x p x x -=-+=--=+-=+=-++=--++++=-+=++-+-+-+++-+-原式（原式原式原式）原式解（ (三)提公因式法与公式法的混合应用 当题目要因式分解时，首先要先考虑有没有公因式，有公因式要先提公因式，在考虑运用公式。
毕业论文数学系因式分解
XXX大学 本科生毕业论文 题目 ________________ 浅析因式分解 _____________ 院系： _______________ XXX学院________________ 专业： _________________ 数学 __________________ 学生姓名： _____________________________________ 学号： __________________ 01612 _______________ 指导教师： ____________ 初教授__________________ 二?一九年六月
课题来源： 教师提供。 课题研究的目的和意义： 中学代数式的问题，可以概括为四大类：计算、求值、化简、论证。解代数式问题的关键是通过代数运算，把代数作恒等变形。代数式恒等变形的重要手段之一是因式分解，它贯穿、渗透在各种代数式问题之中。 因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，它为以后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础。所以因式分解是中学代数教材的一个重要内容，它具有广泛的基础知识的功能。 由于进行因式分解时要灵活综合运用学过的有关数学基础知识，并且因式分解 的途径多，技巧性强，逆向思维对中学生来讲具有一定的深广度，所以因式分解又是发展学生智能、培养能力、深化学生逆向思维的良好载体。正因为因式分解具有良好的培养能力和思维的功能，所以因式分解又是中学代数教材的一个难点。 国内外同类课题研究现状及发展趋势： 现查阅到的国内参考文献【1—11】中作者对因式分解都有一些思考和归纳总结，但都没有进行深入的研究，没有比较全面系统的探讨。 在所查到的国外参考文献中，对因式分解都做了介绍，也给出了相关的例题说明，但未作深入系统的研究。
小学奥数等差数列经典练习题
小学奥数等差数列经典练习题 精品文档 小学奥数等差数列经典练习题 一、判断下面的数列中哪些是等差数列,在等差数列的括号后面打?。 0,2,6,12,20,30,36…… 6,12,18,24,30,36,42…… 700,693,686,679,673…… 90,79,68,57,46,35,24,13…… 1，3，5，7，10，13，16……5，8，11，14，17，20…… 1，5，9，13，17，21，23…90，80，70，60，50，……20，10 二、求等差数列3，8，13，18，……的第30项是多少, 三、求等差数列8，14，20，26，……302的末项是第几项, 四、一个剧院的剧场有,,排座位，第一排有,,个座位，往后每排比前一排多,个座位，这个剧院一共有多少个座位, 五、计算 11+12+13……+998+999+10002+6+3+12+4+18+5+24+6+30 3、求等差数列6，9，12，15，……中第99项是几, 4、求等差数列46，52，58……172共有多少项, 5、求等差数列245，238，231，224，……中，105是第几项, 1 / 9 精品文档 6、求等差数列0，4，8，12，……中，第31项是几,在这个数列中，2000是第几项, 7、从35开始往后面数18个奇数，最后一个奇数是多少,
、已知一个等差数列的第二项是8，第3项是13，这1个等差数列的第10项是多少, 1、计算: 100+200+300+……21001+79+……+17+15+13 2、有20个同学参加聚会，见面的时候如果每人都和其他同学握手一次，那么参加聚会的同学一共要握手多少次, 3、请用被4除余数是1的所有两位数组成一个等差数列。并求出这个等差数列的和。 4、在13和29之间插三个数，使这个五个数构成一个等差数列，那么插入的三个数分别是多少, 5、如果要在30和70之间插入若干个数，使他们组成一个公差是5的等差数列，那么一共要插入多少个数, 6、学校举行乒乓球赛，每个参赛选手要和其他选手进行一场比赛，一共进行了78场，计算出一共有多少个参赛选手, 7、一把钥匙和一把锁配着，现在有10把钥匙和10把锁混着了，最多要打多少次才能把钥匙和锁都配好, 2 / 9 精品文档 8、40个连续奇数的和是1920，其中最大的一个是多少, 9、小明读一本600页的书，他每天比前一天多读1页。16天读完，那么他最后一天读了多少页, 2 等差数列 1、有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多 少项?。
等差数列的前n项和
等差数列的前n项和 1．理解并掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系．(重点) 2．熟练掌握等差数列的五个基本量a1，d，n，a n，S n之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个．(重点) [基础·初探] 教材整理等差数列的前n项和 1．等差数列的前n项和公式 已知量首项、末项与项数首项、公差与项数 求和公式S n＝n a1＋a n 2S n＝na1＋ n n－1 2d 2.等差数列前n项和公式的函数特点 S n＝na1＋n n－1 2d＝ d 2n2＋? ? ? ? ? a1－ d 2n. d≠0时，S n是关于n的二次函数，且无常数项． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)公差为零的数列不能应用等差数列的前n项和公式．() (2)数列{n2}可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和S n.() (3)若数列{a n}的前n项和为S n＝an2＋bn，则{a n}是等差数列．() 【解析】(1)任何等差数列都能应用等差数列的前n项和公式． (2)数列{n2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式． (3)当公差不为0时，等差数列的前n项和是关于n的二次函数(常数项为0)．【答案】(1)×(2)×(3)√
[小组合作型] 与S n 有关的基本量的计算 (1)已知等差数列{a n }中，a 1＝32，d ＝－1 2，S n ＝－15，求n 和a n ； (2)已知等差数列{a n }中，S 5＝24，求a 2＋a 4； (3)数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求公差d ； (4)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，求a 10. 【精彩点拨】 运用方程的思想，根据已知条件建立方程或方程组求解，另外解题时要注意整体代换． 【尝试解答】 (1)S n ＝n ·32＋n n －1 2·? ?? ?? －12＝－15，整理得n 2－7n －60＝0， 解得n ＝12或n ＝－5(舍去)， 所以a 12＝32＋(12－1)×? ???? －12＝－4. (2)设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则S 5＝5a 1＋ 5×5－1 2 d ＝24， 即5a 1＋10d ＝24，所以a 1＋2d ＝24 5， 所以a 2＋a 4＝2(a 1＋2d )＝2×245＝48 5. (3)因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋ n n －1 2 d ， 又a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022， 所以????? 1＋n －1d ＝－512， ①n ＋1 2n n －1d ＝－1 022， ② 把(n －1)d ＝－513代入②得
等差数列前n项求和
2．3 等差数列的前n 项和 一、教学目标 1、理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式、前n 项和。 2、体会等差数列与二次函数的关系。 二、基础知识 1、数列前n 项和公式： 一般地，称n a a a a ++++...321为数列}{n a 的前n 项的和，用n S 表示，即n n a a a a S ++++= (321) 2、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系 当2≥n 时，有n n a a a a S ++++=...321；13211...--++++=n n a a a a S ，所以n a ＝____________；当n=1时，11s a =。总上可得n a ＝____________ 3、等差数列}{n a 的前n 项和的公式=n S ________________＝__________________ 4、若数列{}n a 的前n 项和公式为Bn An S n +=2（B A ,为常数），则数列{}n a 为 。 5、在等差数列}{n a 中，n S ；n S 2－n S ；n S 3－n S 2；。。。 仍成等差数列，公差为___________ 6、在等差数列}{n a 中：若项数为偶数2n 则=n S ________________；奇偶－s s ＝________________；＝偶奇 s s ________________。 若项数为奇数2n-1则=-1n S ________________；偶奇－s s ＝________________；＝偶奇 s s ________________。 7、若数列}{n a 与}{n b 均为等差数列，且前n 项和分别是n S 和n T ，则 ＝m m b a _____________。 三、典例分析 例1、已知数列{}n a 的前n 项和22+=n S n ，求此数列的通项公式。 解析：32111=+==s a ① )2(12]2)1[(2221≥-=+--+=-=-n n n n s s a n n n ② 在②中，当n=1时，1112=-?与①中的1a 不相等
因式分解的思考方法(论文)
31理化之窗摘要：因式分解是中学数学的重要内容之一，思想、内容和方法贯穿于整个中学数学教学之中。因此，在中学数学教学中这部分内容应使每个学生切实掌握好。本文谈谈中学数学中的因式分解方法。关键词：因式分解公因式公式分组在初中数学思维训练中，因式分解的试题以及相关联的试题屡见不鲜，对因式分解掌握的程度直接影响分式、方程等知识的训练，因此学好因式分解是十分必要的。关于因式分解的基本方法，数学教材作过专门介绍，这里只介绍几种典型的常用方法与技巧。1．首先看多项式的各项是否有公因式可取，若有，先提取公因式。2．然后看是否可用公式。（公式有平方差公式，完全平方公式）3．若上述方法都不能奏效，则应考虑用分组分解法分解因式。步骤：（1）提公因式法基本步骤：①第一步找公因式，可按照确定公因式的方法先确定系数，当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数，再确定字母，字母取各项的相同的字母，最后确定指数，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“－”号时，多项式的各项都要变号。②第二步提公因式，并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别去除原多项式的每一项，所得到商的和作为另一个因式。③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。如：－am＋bm＋cm ＝－m （a－b－c ）；再如：a （x－y ）＋b （y－x ）＝a （x－y ）－b （x－y ）＝（x－y ）（a－b ）。（2）公式法基本步骤：平方差公式：a 2－b 2＝（a＋b ）（a－b ）；完全平方公式：a 2±2ab＋b 2＝（a±b ）2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍。如：x 2－4xy＋（2y ）2＝（x－2y ）2再如：（x＋y ）2＋2（x＋y ）（a－b ）＋（a－b ）2＝［（x＋y ）＋（a－b ）］2＝（x＋y＋a－b ）2（3）分组分解法：能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。（当然还有五项或以上的分法，这就不一一分析了。）比如：ax＋ay＋bx＋by ＝a （x＋y ）＋b （x＋y ）＝（a＋b ）（x＋y ）我们把ax 和ay 分一组，bx 和by 分一组， 利用分配律，两两相配，立即解除了困难。 同样，这道题也可以这样做：ax＋ay＋bx＋by ＝x （a＋b ）＋y （a＋b ）＝（a＋b ）（x＋y ） 当然有时提取公因式法，公式法， 分组分解法等三种方法还要综合运用：请看实例：例1：分解因式：（1）4a 3－24a 2y＋36ay 2；（2）9ay 2＋9by 2－4a－4b 分析研究：（1）容易看出有公因式4a 可提取，且提取公因式后，可用公式法分解因式。4a 3－24a 2y＋36ay 2；＝4a （a 2－6ay＋9y 2）（提取公因式）＝4a （a－3y ）2（运用公式）（2）在此，既无公因数可提取，又不能运用公式，因此应该考虑用分组法分解因式。9ay 2＋9by 2－4a－4b ＝（9ay 2＋9by 2）－（4a＋4b ）（分组）＝9y 2（a＋b ）－4（a＋b ）（提取公因式）＝（a＋b ）（9y 2－4）（再提取公因式）＝（a＋b ）（3y＋2）（3y－2）（运用平方差公式）例2：分解因式：（1）a 2－a 2b－ab 2－b 2＝（a 2－b 2）－（a 2b +ab 2）（分组）＝（a＋b ）（a－b ）－ab （a +b ）（运用公式和提取公因式）＝（a＋b ）（a－b－ab ）（再提取公因式） 而且，有时会因为用的方法顺序不同而有不同的结果： 比如：81x 4－36 解法（一）：81x 4－36＝9（9x 4－4）（提取公因式）＝9（3x 2＋2）（3x 2－2）（运用平方差公式）＝9（3x 2＋2）（3x＋2）（3x－2）（再运用平方差公式） 解法（二）：81x 4－36 ＝（9x 2 ＋6）（9x 2－6）（运用平方差公式） ＝3（3x 2＋2）（3x＋6）（3x－6）（再提取公因式和再运用平方差公 式） 这两种解法对吗？是两种不同的结果。但这两种解法都是对的，结果也对，都成功地解决了问题， 说明只要方法正确，结果不一定相 同。正确运用方法时，要坚持已见。小结：（1）分解因式的思维规律是：提取公因式法———运用公式法———分组分解法。（2）分组应遵循的原则是：首先是分组后的每一组能用 基本方法分解因式；最后就是每一组分解因式后，各组之间又可用基本方法分解因式。【参考文献】 《中学生理科》（广西师范大学出版） 《中学数学教学参考书》（人民教育出版社）（作者地址：广西陆川县乌石 镇初级中学）因式分解的思考方法 筲广西/谢方玲 教学全现 场
等差数列及其性质典型例题及练习(学生)
等差数列及其性质 典型例题： 热点考向一：等差数列的基本量 例1. 在等差数列{n a }中， （1） 已知81248,168S S ==，求1,a 和d （2） 已知6510,5a S ==，求8a 和8S 变式训练： 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知 102030,50a a ==. （1）求通项公式{}n a ； （2）若242n S =，求n . 热点考向二：等差数列的判定与证明. 例2：在数列{}n a 中，11a =，1114n n a a +=- ，221 n n b a = -，其中* .n N ∈ （1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求证：在数列{}n a 中对于任意的* n N ∈，都有 1n n a a +>. （3 ）设n b n c =，试问数列{n c }中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，请说明理由. 跟踪训练：已知数列{n a }中，13 5 a = ，数列11 2,(2,)n n a n n N a *-=-≥∈，数列{n b }满足 1()1 n n b n N a *=∈- （1）求证数列{n b }是等差数列； （2）求数列{n a }中的最大项与最小项. 热点考向三：等差数列前n 项和 例3 在等差数列{}n a 的前n 项和为n S . （1）若120a =，并且1015S S =，求当n 取何值时，n S 最大，并求出最大值； （2）若10a <，912S S =，则该数列前多少项的和最小？ 跟踪训练3：设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知 .0,0,1213123<>=S S a （I ）求公差d 的取值范围； （II ）指出12321,,,,S S S S 中哪一个最大，并说明理由。 热点考向四：等差数列的综合应用 例4.已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点列(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3 a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得 T n
《浅谈多项式因式分解的方法》
贵州师范大学求是学院本科期末论文（设计） 期末论文（设计）题目 《浅谈多项式因式分解的方法》 学生姓名：何娜 科任教师：龙伟锋 专业：数学与应用数学 年级： 2012级 学号： 122008011013 2015年 12 月 10 日
多项式因式分解的方法 摘要：在数学学习过程中以及上个学期的实习实践中（上初三的数学课），常常遇到多项式因式分解问题，本文对一元多项式因式分解的方法进行了初步的探索，归纳了一元多项式因式分解的12种方法，给出具体实例，并对每种方法加以评论。 关键词：一元多项式，因式分解 多项式在高等代数中的重要性使我们有必要对多项式进行深入研究。在高等代数中已经证明了数域上的多项式环内的每一个(n n ＞)0次多项式都可以分解成这个多项式环内不可约多项式的乘积，并且表达式唯一（因式次序及零次因式的差异除外）。本文将对多项式因式分解的方法进行总结归纳。多项式因式分解的方法很多，但具体到某一个多项式，要针对其特征，选取适当的方法，才能提高解题的效率。所以我们要灵活掌握这些方法，这会为我们解题带来很多方便。 １ 求根法 （参见文献[]2）设多项式()x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- 是整系数多项式， 第一步 写出首项系数n a 的全部因数i v ，s i ,,2,1 =； 第二步 写出常数项0a 的全部因数j u ，t j ,2,1=； 第三步 用综合除法对j i u v 试验，确定()x f 的根； 第四步 写出()x f 的标准分解式。 例1 求()x f =251074234-+++x x x x 在有理数域上的因式分解式。 解 先把它转换成求()x f =251074234-+++x x x x 的有理根。 ()x f 的常数项和首项系数的全部因数分别为1±，2±与1±，2±，4±,则需要检验的有 理数为1±，2±，12±，14 ±. 由于()1-f =0，故-1是()x f 的根，且易知()x f =()() 2734123-+++x x x x .
等差数列经典题型
等差数列 第三课时 前N 项和 1、在等差数列{a n }中,已知d ＝2,a n ＝11, S n ＝35,求a 1和n . 2、设{a n }为等差数列, S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7＝7, S 15＝75, T n 为数列? ??? ? ? S n n 的前n 项和,求T n . (1)等差数列{a n }的前m 项和为30,前2m 项和为100,求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ; (2)两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3,求a 5 b 5 的 值. 3、已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n ＝7n ＋45 n ＋3,则使 得a n b n 为整数的正整数n 的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 4、现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为( ) A.9 B.10 C.19 D.29 5、等差数列{a n }中, S 10＝4S 5,则a 1 d 等于( ) A.12 B.2 C.1 4 D.4
6、已知等差数列{a n}中,a23＋a28＋2a3a8＝9,且a n<0,则S10为() A.－9 B.－11 C.－13 D.－15 7、设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3＝9, S6＝36.则a7＋a8＋a9等于() A.63 B.45 C.36 D.27 8、在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为() A.765 B.665 C.763 D.663 9、一个等差数列的项数为2n,若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90,a2＋a4＋…＋a2n＝72,且a1－a2n＝33,则该数列的公差是() A.3 B.－3 C.－2 D.－1 10、设{a n}是公差为－2的等差数列,如果a1＋a4＋…＋a97＝50,那么a3＋a6＋…＋a99＝______. 11、在项数为2n＋1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n的值为______.
等差数列前n项和公式及性质
2.2 等差数列的前n项和 第一课时等差数列前n项和公式及性质 【选题明细表】 基础达标 1.在等差数列{a n}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于( B ) (A)40 (B)42 (C)43 (D)45 解析:∵a1=2,a2+a3=13, ∴3d=13-4=9,∴d=3, a4+a5+a6=S6-S3=6×2+×6×5×3-(3×2+×3×2×3)=42.故选B. 2.等差数列{a n}共有2n+1项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则其中间项为( B ) (A)28 (B)29 (C)30 (D)31
解析:∵S奇=a1+a3+…+a2n+1=(n+1)a n+1, S偶=a2+a4+…+a2n=na n+1, ∴S奇-S偶=a n+1=29.故选B. 3.(2013南阳高二阶段性考试)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若2a8=6+a11,则S9等于( D ) (A)27 (B)36 (C)45 (D)54 解析:∵2a8=a5+a11=6+a11,∴a5=6, ∴S9===9a5=54.故选D. 4.(2012郑州四十七中月考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若 S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( B ) (A)63 (B)45 (C)36 (D)27 解析:由S3,S6-S3,S9-S6成等差数列, ∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6),∴a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2×(36-9)-9=45.故选B. 5.(2013广州市铁一中第一学期期中测试)在各项均不为零的等差数列中,若a n+1-+a n-1=0(n≥2),则S2n-1-4n等于( A ) (A)-2 (B)0 (C)1 (D)2 解析:由已知得2a n-=0, 又a n≠0,∴a n=2, ∴S2n-1===2(2n-1), ∴S2n-1-4n=-2.故选A.
等差数列经典试题(含答案) 百度文库
一、等差数列选择题 1．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{} n a ，则5a =（ ） A ．103 B ．107 C ．109 D ．105 2．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大21 2 ，则该数列的项数是（ ） A ．8 B ．4 C ．12 D ．16 3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10- B ．8 C ．12 D ．14 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（ ） A ．45 B ．50 C ．60 D ．80 5．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a =（ ） A ．1n - B ．n C ．21n - D ．2n 6．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了 3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（ ） A ．34000米 B ．36000米 C ．38000米 D ．40000米 7．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 8．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺 A ． 4 7 B ． 1629 C ． 815 D ． 45 9．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2 6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且 77b a =，则3810b b b =（ ) A ．1 B ．8 C ．4 D ．2 10．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（ ） A ．9 B ．12 C ．15 D ．18 11．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，对*n N ?∈都有333 122n n n a a a ++=+，则10a 等于
高三数学《等差数列及其前n项和》知识点总结
高三数学《等差数列及其前n项和》知 识点总结 www.5y kj.co m 一、等差数列的有关概念 ．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d． 2．等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A ＝/2，其中A叫做a，b的等差中项． 二、等差数列的有关公式 ．通项公式：an＝a1＋d. 2．前n项和公式：Sn＝na1＋n/2d+d＝n/2. 三、等差数列的性质 ．若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，{an}为等差数列，则am＋an＝ap＋aq. 2．在等差数列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k，…仍为等差数列，公差为kd. 3．若{an}为等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍为等差数列，公差为n2d. 4．等差数列的增减性：d>0时为递增数列，且当
a1<0时前n项和Sn有最小值．d<0时为递减数列，且当a1>0时前n项和Sn有最大值． 5．等差数列{an}的首项是a1，公差为d.若其前n项之和可以写成Sn＝An2＋Bn，则A＝d/2，B＝a1－d/2，当d≠0时它表示二次函数，数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn是{an}成等差数列的充要条件． 四、解题方法 .与前n项和有关的三类问题 知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想． Sn＝d/2*n2＋n＝An2＋Bn⇒d＝2A. 利用二次函数的图象确定Sn的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值．2．设元与解题的技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…； 若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．
等差数列前n项和性质
精心整理 2.3.2等差数列的前n 项和的性质【学习目标】 1.熟练掌握等差数列前n 项和公式，等差数列前n 项和的性质以及其与二次函数的关系； 2. 在学习等差数列前n 项和性质的同时感受数形结合的基本思想，会由等差数列前n 项和公式求其通项公式. 【自学园地】 1. 等差数列的前n 项和的性质： 已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)若m ，n ，p ，q ，k 是正整数，且m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k . (2)a m （3）（4（5(6){pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2. 2.{}n a 为等差数列?其前n 项和2n S An Bn =+． 3.若数列{}n a 为等差数列{ }n S n ?成等差． 4.等差数列的单调性的应用： （1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，n 是不等式100 n n a a +≥??
（2）当10,0a d <>时，n S 有最大值，n 是不等式1 00n n a a +≤??>?的正整数解时取得． （II ）当数列中有某项值为0时，n 应有两解．110m m m S S a ++=?=． 5.知三求二问题：等差数列数列前n 项和公式中各含有4个元素：1,,,n n S n a a 与1,,,n S n a d ，已知其中3个量，即可求出另外1个；综合通项公式及前n 项和公式，已知其中3个量即可求出另外2个量． 【典例精析】 1.（1（2（3（4，则项数n （5d ． （62.3.4（1（2）问12,,S 中哪个值最大？5中，a 1＝－60，6.7.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)n a n n = +，求n S 8.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(2) n a n n = +，求n S 【巩固练习】 1．一个有11项的的等差数列，奇数项之和是30，则它的中间项是（） A.8 B.7 C.6 D.5 2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则612 S S =（）
等差数列经典例题 百度文库
一、等差数列选择题 1．已知等差数列{}n a 中，161,11a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ． 53 B ．2 C ．8 D ．13 2．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200 B ．100 C ．90 D ．80 3．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ） A ．3斤 B ．6斤 C ．9斤 D ．12斤 4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足 122527 n n a a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ） A ．6- B ．2- C ．1- D ．0 5．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（ ） A ．16 B ．-16 C ．4 D ．-4 6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（ ） A ．45 B ．50 C ．60 D ．80 7．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了 3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（ ） A ．34000米 B ．36000米 C ．38000米 D ．40000米 8．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231 n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ） A ． 13 15 B ． 2335 C ． 1117 D ． 49 9．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161 B ．155 C ．141 D ．139 10．在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，则11S 的值是（ ） A ．60 B ．11 C ．50 D ．55
求等差数列前n项和的最值问题的两种常用解法
求等差数列前n 项和的最值问题的两种常用解法 【必备方法】 1.函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2， 通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解，一定注意n 是正整数。 2.邻项变号法： ①0,01<>d a 时，满足???≤≥+0 01n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ； ②当0,01>
完整版等差数列前n项和教案
等差数列的前n项和（第一课时）教学设计 【教学目标】 一、知识与技能 1 ?掌握等差数列前n项和公式； 2?体会等差数列前n项和公式的推导过程； 3?会简单运用等差数列前n项和公式。 二、过程与方法 1?通过对等差数列前n项和公式的推导，体会倒序相加求和的思想方法； 2.通过公式的运用体会方程的思想。 三、情感态度与价值观 结合具体模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣，并通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。 【教学重点】 等差数列前n项和公式的推导和应用。 【教学难点】 在等差数列前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法。 【重点、难点解决策略】 本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究、分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。 【教学用具】 多媒体软件，电脑 【教学过程】 一、明确数列前n项和的定义，确定本节课中心任务：
前n 和呢，于数列{a n } :ai, a 2, as, a n ,…我 称ai+且2+23+…+a n 数列{a n } 的前n 和，用Sn 表不，Sn=ai+a2+a3+…+a 如 , Si =ax S 7 =ai+a 24-a 3+ +a 7,下面我们来共同探究如何求等差数列的前 n 项 和。 二、问题牵引，探究发现 问题1：（播放媒体资料情景引入）古算术《张邱建算经》中卷有一道题：今有与人钱，初一人 与一钱，次一人与二钱，次一人与三钱，以次与之，转多一钱，共有百人，问共与几钱？ 即:Sioo=l+2+3+ ? +100=? 著名数学家高斯小时候就会算，闻名于世；那么小高斯是如何快速地得出答案的呢？请同 学们思考高斯方法的特点，适合类型和方法本质。 同学们讨论后总结发言：等差数列项数为偶数相加时首尾配对，变不同数的加法运算为 相同数的乘法运算大大提高效率。高斯的方法很妙，如果等差数列的项数为奇数时怎么办 呢？ — ...... .... 探索与发现1：假如让你计算从第一人到第21人的钱数，高斯 的首尾配对法行吗？ 即计算S2F1+2+3+?+21的值，在这个过程中让学生发现当 项数为奇数时，首尾配对出现了问题，通过动画演示引导帮助 学生思考解决问题的办法，为引出倒序相加法做铺垫。 特点： 首项与末项的和： 第2项与倒数第2项的和: 第3项与倒数第3项的和: 1+ 100 = 101, 2 + 99 =101, 3+98 =101, 50+ 51 = 101, 101 X 50 = 5050。 5050 第50项与倒数第50项的和: 于是所求的和是： 1 + 2+3+ ? +100 二 101X50
初等代数研究因式分解的论文
多项式因式分解的方法 学院：专业：班级：学号：姓名: 摘要：多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是解决许多数学问题的有力工具，在代数式的运算、解方程等方面有极其广泛的运用．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养解题技能，发展思维能力，都有着独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作一些整理. 关键词：多项式定义因式分解转化十字相乘法拆项添项分项分组换元配方公式综合双十字相乘主元图像 在初等数学中，因式分解是一个十分重要的概念，在解题过程中有着广泛的应用，借助分解因式可解决计算、求值、说理等多方面的问题，因式分解也是整式乘法的一种重要变形，而转化是其中最重要的数学思想，即将高次的多项式分解转化为若干个较低次的因式的乘积.这种转化通常要通过观察、分析、尝试，应用提取公因式、乘法公式、分组分解等方法来达到目的.在解题过程中，问题变化万千，方法灵活多变.本文归纳总结因式分解的几种常用方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、简单的十字相乘法、拆、添项法、配方法、因式定理法、换元法、求根法、综合除法、整除法、图象法、主元法、特殊值法、待定系数法、双十字相乘法、综合法. （一）定义 定义把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）.
因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用.学习它，既可以复习整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力. 分解因式与整式乘法为相反变形. (a-b)(a+b) a2-b2 整式乘法 (a-b)(a+b) a2-b2 因式分解 同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤. （二）基本方法 2.1提公因式法 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式. 例1 分解因式 bm-am+cm 解：在多项式bm-am+cm中，每个单项式都含有字母m，故提出m就可以了. bm-am+cm =m(b-a+c) 例2 分解因式 a(x-y)+b(y-x) 解1：通过适当的变形可以找出公因式（x-y）或（y-x），再提出就可以了. a(x-y)+b(y-x) =a(x-y)-b(x-y) =(a-b)(x-y) 解2：a(x-y)+b(y-x) =-a(y-x)+b(y-x) =(y-x)(b-a).