2.3绝对值
七年级《数学》学教案
课题：2.3绝对值
学习目标
1.知识目标：
(1)借助数轴理解绝对值的概念；
(2)探索正数、负数、0的绝对值的性质；
(3)会求一个数的绝对值。
2.能力目标：
培养并提高学生对知识的理解和应用能力。
3.情感目标：
学习分类讨论、数形结合的数学思想；感受数学在生活中的价值。
学习重点、难点
重点：正确理解绝对值的含义，会求一个数的绝对值。
难点：对绝对值概念的理解。
节前预习：
1.画一条数轴，在数轴上标出表示4，
2.5，-2，0，-
3.5的点，并说出这些点到原点距离。
2.数轴上一个表示负数的点到原点的距离等于8，这个点表示的数是（）
3.数轴上一个点到原点的距离等于6.2，这个点表示（）
4.请你仔细阅读课本36-37的内容，相信你一定能完成下面的题目。
（1）在数轴上，表示一个数的点到（）的（），叫做这个数的绝对值。
（2）绝对值的表示方法：如，4的绝对值是4，可表示为
学习过程
一、情境创设，引入新课备注：
1.我们来看这样一个例子：
某单位有甲、乙、丙、丁四位职工，其住所与单位所在的位置如下图所示：
谁离单位最近？谁离单位最远？有没有距离单位一样远的？
2.教师引入新课：实际生活中有些问题只关注量的具体值，而与相反 意义无关，即正负性无关，如我们要知道职工家距离单位的远近，我们只关心职工的家与单位之间的路程，而与职工的家在单位的哪个方向无关。所以我们今天学习“绝对值”的知识。 二、合作探究，学习新知 1.绝对值的概念。
在数轴上表示一个数的点到 的 ，叫做这个数的绝对值。 2.说出“节前预习”中各有理数的绝对值。 3.绝对值的表示方法：
︱4︱= 4 ︱-4︱= ︱2︱= ︱-2︱=
︱53|= ︱－5
3
︱= 而︱0︱= 4.教学例1
例1：（1）用数轴上的点表示下列各数：
2，-4.5，53
，-
5
3
，0
这个例子，说
明实际生活中有些问题，人们只需知道它们的具体数值，而并不关注它们所表示的意义．为引入绝对值概念做准备．并使学生体验数学知识与生活实际的联系．
通过对例1的
6
1
6
1
（2）观察上述各点在数轴上的位置，写出这些数的绝对值。 解：
5.结合例1，各组同学讨论并举例说明：一个正数的绝对值与这个数有什么关系？一个负数的绝对值与这个数有什么关系？ 绝对值的性质：
一个正数的绝对值是 ，一个负数的绝对值是 ，0的绝对值是 。 6.求一个数的绝对值的方法
（各组同学讨论，全班交流，最后总结方法）
先判断这个数是正数、负数、还是0，再根据绝对值的性质确定去掉绝对值的符号后的结果是它本身、它的相反数还是0，从而求得该数的绝对值。 7.教学例2
例2；求下列各数的绝对值： -
8
3，+
8
3
，-2.5，2.5，2，-2
由此可知互为相反数的两个数的绝对值 。
三、课上训练
1. 完成课本P 37练习 1、2题。
2. 完成课本38页习题1。
3.一个数的绝对值等于4，并且在数轴上表示它的点在原点的左侧，这数是（ ）
4.一个数的绝对值是它本身，那么这个数是（ ）
5.-8的绝对值是（ ）
6.-6的绝对值是（ ）
解答，让学生讨论后，得出求一个数的绝对值的步骤：（1）在数轴上用点表示这个有理数；（2）求这个点到原点的距离；（3）写出这个数的绝对值。
教师可适当点拨
例2由学生独立完成，此例题的作用：（1）用总结出的规律求有理数的
??
?
A.6
B.
6
1 C.-
6
1 D.-6
7.︱3︱的相反数是 ；3-π的相反数是 ；︱3-π︱= 。 8.绝对值最小的数是 ，绝对值等于它本身的数是 。 9.已知x ＞2,化简︱x-2︱为 。 10.绝对值等于10的数是 。 11.︱x-1︱=2，则x= 。
12.写出绝对值不大于3的所有整数 。 13.若︱a+1︱+︱b-3︱=0,则a= ,b= .
14.石家庄市工商人员在某一食品生产流水线上从中抽查了五袋1千克红糖的质量，超过的质量记为正数，不足的记为负数。其检查结果如下（单位：千克）：+0.12，-0.1，+0.3，-0.21，+0.11
请你指出哪袋红糖的质量更标准一些？怎样用学过的绝对值的知识来判断，请解释说明。 四、课堂小结
1.理解绝对值的概念及其性质。
2.如果a 表示有理数，则有：
（a≥0）
｜a ｜=
（a≤0）
五、作业布置：课本38页习题2、6 绝对值（2）发现和总结出：互为相反数的两个数的绝对值相等。
练习题可根据学生的实际情况适当选择
第23章旋转全章教案.
第二十三章旋转 单元要点分析 教学内容 1．主要内容： 图形的旋转及其有关概念：包括旋转、旋转中心、旋转角．图形旋转的有关性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．通过不同形式的旋转，设计图案．中心对称及其有关概念：中心对称、对称中心、关于中心的对称点；关于中心对称的两个图形．中心对称的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；关于中心对称的两个图形是全等图形．中心对称图形：概念及性质：包括中心对称图形、对称中心．关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号都相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）．课题学习．图案设计． 2．本单元在教材中的地位与作用： 学生通过平移、平面直角坐标系，轴对称、反比例函数、四边形等知识的学习，初步积累了一定的图形变换数学活动经验．本章在此基础上，让学生进行观察、分析、画图、简单图案的欣赏与设计等操作性活动形成图形旋转概念．它又对今后继续学习数学，尤其是几何，包括圆等内容的学习起着桥梁铺垫之作用． 教学目标 1．知识与技能 了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质． 了解中心对称的概念并理解它的基本性质． 了解中心对称图形的概念；掌握关于原点对称的两点的关系并应用；再通过几何操作题的练习，掌握课题学习中图案设计的方法． 2．过程与方法 （1）让学生感受生活中的几何，?通过不同的情景设计归纳出图形旋转的有关概念，并用这些概念来解决一些问题． （2）?通过复习图形旋转的有关概念从中归纳出“对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前后的图形全等”等重要性质，并运用它解决一些实际问题． （3）经历复习图形的旋转的有关概念和性质，分析不同的旋转中心，?不同的旋转角，出现不同的效果并对各种情况进行分类． （4）复习对称轴和轴对称图形的有关概念，?通过知识迁移讲授中心对称图形和对称中心的有关内容，并附加练习巩固这个内容．
初一绝对值专项培优训练
绝对值专题讲解及训练（培优） 【知识梳理】 1、什么叫绝对值？ 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．例如+5的绝对值等于5，记作|+5|=5；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3． 拓展：︱x －2︱表示的是点x 到点2的距离。 例：（1）｜x|＝5，求x 的值. （2）｜x －3|＝5，求x 的值. 2、绝对值的特点有哪些？ （1）一个正数的绝对值是它本身；例如，|4|＝4 , |＋7.1| ＝ 7.1 （2）一个负数的绝对值是它的相反数；例如，|－2|＝2,|－5.2|＝5.2 （3）0的绝对值是0． 容易看出，两个互为相反数的数的绝对值相等．如|-5|=|+5|=5． 绝对值的性质： ① 对任何有理数a ，都有|a|≥0 ②若|a|=0，则|a|=0，反之亦然 ③若|a|=b ，则a=±b ④对任何有理数a,都有|a|=|-a| 何一个有理数的绝对值都是非负数，即|a ≥|0， (0)|0 (0) (0)a a a a a a >??==??-
绝对值化简方法辅导
下面我们就人大附中初一学生的家庭作业进行讲解如何对绝对值进行化简 首先我们要知道绝对值化简公式： 例题1：化简代数式 |x-1| 可令x-1=0，得x=1 （1叫零点值） 根据x=1在数轴上的位置，发现x=1将数轴分为3个部分 1）当x<1时，x-1<0，则|x-1|=-(x-1)=-x+1 2）当x=1时，x-1=0，则|x-1|=0 3）当x>1时，x-1>0，则|x-1|=x-1 另解，在化简分组过程中我们可以把零点值归到零点值右侧的部分 1）当x<1时，x-1<0，则|x-1|=-(x-1)=-x+1 2）当x≥1时，x-1≥0，则|x-1|=x-1 例题2：化简代数式 |x+1|+|x-2| 解：可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值） 在数轴上找到-1和2的位置，发现-1和2将数轴分为5个部分 1）当x<-1时，x+1<0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=-（x+1）-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+1 2）当x=-1时，x+1=0，x-2=-3，则|x+1|+|x-2|=0+3=3 3）当-1
绝对值几何意义知识点、经典例题及练习题带答案
绝对值的几何意义 【考纲说明】 1、 理解绝对值的几何意义，了解绝对值的表示法，会计算有理数的绝对值； 2、 能够利用数形结合思想来理解绝对值的几何意义，根据绝对值的意义及性质进行简单应用。 【趣味链接】 正式篮球比赛所用球队质量有严格的规定,下面是6个篮球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数，检测结果为：-20，+10、+12、-8、-11 请指出那个篮球的质量好一些,并用绝对值的知识进行说明。 【知识梳理】 1、绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。 2、绝对值的性质： （1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a ＞0） （2） |a|= 0 （a=0） （代数意义） -a (a ＜0) （3） 若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0； （4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ， 且|a|≥-a ； （5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义） （6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=| |||b a （b≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2 ； （8） |a+b|≤|a|+|b| |a -b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a -b|
【经典例题】 【例1】（2011青岛）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ） A.a ＜0，b ＜0 B.a ＞0，b ＜0 C.a ＜0，b ＞0 D.ab ＜0 【例2】（2011莱芜）下列各组判断中，正确的是（ ） A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞b C. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2 【例3】（2011日照）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( ) A ．2a+3b-c B ．3b-c C ．b+c D ．c-b 【例4】（2009淮安）如果a a -=||，下列成立的是（ ） A ．0>a B ．0 第二十三章旋转 单元总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点一旋转的基础 旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转.点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角.如图形上的点P经过旋转变化点P'，那么这两个点叫作这个旋转的对应点. 如图所示，A OB '' ?绕定点O逆时针旋转45?得到的，其中点A与点A'叫作对应点，线段OB与?是AOB 线段OB'叫作对应线段，OAB ∠与OA B' ∠）的度数叫 ∠叫作对应角，点O叫作旋转中心，AOA' ∠（或BOB' 作旋转的角度. 【注意】图形的旋转 由旋转中心、旋转方向与旋转的角度所决定. A 【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角. 旋转的特征： ?对应点到旋转中心的距离相等； ?对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； ?旋转前、后的图形全等. 旋转作图的步骤方法： ?确定旋转中心、旋转方向、旋转角； ?找出图形上的关键点； ?连接图形上的关键点与旋转中心，然后按旋转方向分别将它们旋转一定的角度，得到关键点的对应点；?按原图的顺序连接这些对应点，即得旋转后的图形. 【典例分析】 1．（2019春东享区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C'，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（） A．12 B．6 C．D． 2．（2018春桥西区期末）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′//AB，则旋转角的度数为() A．35° B．40° C．50° D．65° 3．（2017春赣州市期末）如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一直线上，则三角板ABC旋转的度数是（） A．60° B．90° C．120° D．150° 一、填空题 1、一个正数的绝对值是＿＿＿＿，一个负数的绝对值是＿＿＿＿，0的绝对值是＿＿＿ 2、绝对值小于3的整数有＿＿＿个，它们是＿＿＿＿＿＿＿＿。 3、用“＞”或“＜”号填空。 －3＿＿－4， －（－4）＿＿－｜－5｜， －65＿＿－7 6 4、若a +｜a ｜＝0，则a ＿＿0，若a －｜a ｜＝0，则a ＿＿0。 5、已知｜a ｜＝73，｜b ｜＝20 9，且b ＜ a ，则a ＝＿＿＿，b ＝＿＿＿。 6、若｜a －2｜＋｜b ＋1｜＝0，则a ＋b ＝＿＿＿。 7、绝对值最小的有理数是＿＿＿，绝对值等于它本身的数是＿＿＿，绝对值等于它的相反数的数是＿＿＿＿。 8、绝对值小于2的整数有＿＿＿个，绝对值不大于3的非负整数是＿＿＿＿＿＿＿。 9、一个数的倒数的绝对值是2 1，则这个数是＿＿＿＿。 10、－31的相反数是＿＿＿，－31的绝对值是＿＿＿，－3 1的倒数是＿＿＿。 11、有理数m ，n 在数轴上的位置如图， 二、选择题 1、－｜－2｜的倒数是（ ）A 、2 B 、21 C 、－2 1 D 、－ 2 2、若｜a ｜＝－a ，则a 一定是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、非正数 D 、非负数 3、代数式｜x －2｜＋3的最小值是（ ） A 、0 B 、2 C 、3 D 、5 4、若｜a ｜＝｜b ｜，则a 与b 的关系是（ ） A 、a ＝b B 、a ＝－b C 、a ＝b 或a ＝－b D 、不能确定 5、下面说法中正确的有（ ）个 ①互为相反数的两个数的绝对值相等；②一个数的绝对值是一个正数；③一个数的绝对值的相反数一定是负数；④只有负数的绝对值是它的相反数。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 6、下面说法中错误的有（ ）个。 ①一个数的相反数是它本身，这个数一定是0；②绝对值等于它本身又等于它的相反数的数一定是0；③｜a ｜＞｜b ｜，则a ＞ b ；④两个负数，绝对值大的反而小；⑤任何数的绝对值都不会是负数。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 7、在有理数中，绝对值等于它本身的数有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、无数多个 8、 如果m>0， n<0， m<|n|，那么m ，n ，-m ， -n 的大小关系（ ） A.-n>m>-m>n B.m>n>-m>-n C.-n>m>n>-m D.n>m>-n>-m 9、比较21、31、4 1的大小，结果正确的是（ ） A 、21＜31＜41 B 、21＜41＜3 1 C 、41＜21＜31 D 、31＜21＜41 三、解答题 1、比较下列各组数的大小。 （1）－87与－78 （2）－33 1与－3.3 （3）－3.21与2.9 （4）－｜－2.7｜与－23 2 （5）－（－2）与－｜－2 4、如图所示，已知a ,b 在数轴上的位置，请比较 a ，b ，｜a ｜，｜b ｜的大小。 6、如果a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，x 的绝对值是1，求代数式x b a +x 2+cd 的值。 b a 0 市一中数学科课时教学设计格式 执教时间:10年9月21日第4周星期二执教班级：初一(5)（6）班执教人：曾海容 学法探求自主发现法，启发引导法，采用小组交流合作和“想——做——想”数学思想相结合的方法。 教具学具准备教具：多媒体课件，三角板；学具：铅笔、三角尺。 教学过程设计 教 学 环 节 教学内容教师活动学生活动设计意图 导入新课第一环节情境引入,激发兴趣 1、让学生观察图画，并回答问题，“大 象和两只小狗分别距离原点多远？”利用 图画将学生引入一定的问题情境，学生积 极思考问题，解决问题，进入主题的重要 环节。 2、引入课题：绝对值 引导学生积 极思考回答 问题。 板书课题。 感知和欣赏生 活中的图形， 并思考教师提 出的问题。 利用动画 展示，让学 生在有趣 的问题情 境中获取 对绝对值 概念的感 性认识.并 激发学生 学习的积 极性与主 动性。 讲授新课 第二环节合作交流，解读探究 1、引入绝对值概念 一个数在数轴上对应的点与原点的 距离叫做这个数的绝对值，用符号“| |” 表示。 [板演] 例1 求下列各数的绝 对值：21 -， 4 9 +，0，7.8 -. 解：|21 -|=21; | 4 9 +|= 4 9 ; |0|=0; |7.8 -|=7.8. [口答] 说出下列各数的绝对值 7-， 2.05 -，0，0.25，1000. [板书：绝 对值的概 念] 经历探索、发 现、思考用数 轴表示数和绝 对值的性质的 联系与区别。 引导学生进 入发现的过 程，让学生对 研究对象的 意义、内容和 解决方法产 生兴趣做好 探索解决问 题的精神准 备。 绝对值的意义及应用 绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|. 一. 绝对值的实质： 正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即 也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。 总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。 二. 绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( ) A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b (第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题) 解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0． 所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)． 三. 绝对值的性质： 1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。 2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。 3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。 4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。 四. 含绝对值问题的有效处理方法 1. 运用绝对值概念。即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。 例2. 已知：|x-2|+x-2＝0， 求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。 解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2) 根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零， ∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2 (1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4； (2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝4 2. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。 例3. 已知|x-2|+x与x-2+|x|互为相反数，求x的最大值． 解：由题意得(|x-2|+x)+(x-2+|x|)＝0，整理得|x-2|+|x|+2x-2＝0 令|x-2|＝0，得x＝2，令|x|＝0，得x＝0 以0，2为分界点，分为三段讨论： (1)x≥2时，原方程化为x-2+x+2x-2＝0，解得x＝1，因不在x≥2的范围内，舍去。 (2)0≤x＜2时，原方程化为2-x+x+2x-2＝0，解得x＝0 (3)x＜0时，原方程化为2-x-x+2x-2＝0，从而得x＜0 综合(1)、(2)、(3)知x≤0，所以x的最大值为0 3. 整体参与运算过程．即整体配凑，借用已知条件确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值符号进行运算。 例4. 若|a-2|＝2-a，求a的取值范围。 解：根据已知条件等式的结构特征，我们把a-2看作一个整体，那么原式变形为|a-2|＝-(a-2)，又由绝对值概念知a-2≤0，故a的取值范围是a≤2 4. 运用绝对值的几何意义．即通过观察图形确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算． 例5. 求满足关系式|x-3|-|x+1|＝4的x的取值范围． 解：原式可化为|x-3|-|x-(-1)|＝4 它表示在数轴上点x到点3的距离与到点-1的距离的差为4 由图可知，小于等于-1的范围内的x的所有值都满足这一要求。 数轴与绝对值专项培优 （一）数轴的应用 一、利用数轴直观地解释相反数； 例1：如果数轴上点A 到原点的距离为3，点B 到原点的距离为5，那么A 、B 两点的距离为 。 拓广训练： 1、在数轴上表示数a 的点到原点的距离为3，则._________3=-a 2、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于 。（北京市“迎春杯”竞赛题） 二、利用数轴比较有理数的大小； 例2：已知有理数a 在数轴上原点的右方，有理数b 在原点的左方，那么（ ） A ．b ab < B ．b ab > C ．0>+b a D ．0>-b a 拓广训练： 1、如图b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有（ ）（“祖冲之杯”邀请赛试题） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2、把满足52≤b a 且0<+b a ，那么有理数b a b a ,,,-的大小关系是 。（用“<”号连接）（北京市“迎春杯”竞赛题） 拓广训练： 1、 若0,0> 第二讲绝对值 【数学小故事】： 动物中的数学“天才” 蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成，组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料，蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极少。 丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字开。“人”字形的角度是110度，更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契？” 蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺和圆规也很难画出像蜘蛛那样匀称的图案。 冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少。 真正的数学“天才”是珊瑚虫。珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹，显然是一天“画”一条。奇怪的是，古生物学业家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”。天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天。 一、回顾与预习 （一）知识回顾 1、具有、、的叫做数轴。 2、3到原点的距离是，-5到原点的距离是，到原点的距离是6的数有，到原点距离是1的数有。 3、2的相反数是，-3的相反数是，a的相反数是， -a b的相反数是。 （二）探究新知 问题1、两位同学在书店O处购买书籍后坐出租车回家，甲车向东行驶了10公里到达A处，乙车向西行驶了10公里到达B处。若规定向东为正，则A处记做，Ｂ处记做。 、的位置； （1）请同学们画出数轴，并在数轴上标出A B 、两点又有什（2）这两辆出租车在行驶的过程中，有没有共同的地方？在数轴上的A B 么特征？ 含参数及绝对值的一元一次方程 一、含参数的一元一次方程的整数解问题 1.系数中不含参数的整数解问题 2.系数中含参数的整数解问题 3.分离常数法 二、含参数的一元一次方程的同解问题 1.只有一个方程含有参数 2.两个方程均含有参数 三、含参数的一元一次方程解的情况 1.已知方程的解求参数 2.已知方程解的情况求参数的范围 3.已知方程有定解 四、含字母系数的一元一次方程 五、含绝对值的一元一次方程 1.绝对值方程解的情况 2.解单个单层绝对值方程 3.解多个单层绝对值方程 4.解多重绝对值方程 一、含参数的一元一次方程整数解问题 1.系数中不含参数的整数解问题 1.【易】若方程255 142 28 x x a -=+有一个正整数解，则a取的最小正数是多少？并求出 相应方程的解． 【答案】由题意得 918 11 9595 a x=+，即当 84 9595 a =时， 1 2 a=，代入得12 x=． 2.【易】（首师大附中2010-2011学年度初一学期期中试卷、2005年北大附中初一上学 期期中考试）已知关于x的方程58 142 25 x a x -=+，当a为某些自然数时，方程的解也 为自然数，试求自然数a的最小值． 【答案】 1014209157977 157 999 a a a a x a ++?+++ ===++， 由于a x 、为自然数，故a的最小值为2． 2.系数中含参数的整数解问题 3.【易】（北京市朝阳外国语学校2011-2012第一学期期中校初一数学A层试卷）已知 关于x 的方程9314x kx +=+有整数解，求整数k 的值． 【答案】()911k x -= 11 9x k = - ∵,x k 均为整数 ∴9111k -=±±， ∴281020k =-，，， 4. 【易】（2011-2012海淀区七年级第一学期期末练习）关于x 的方程(1)30n m x --=是 一元一次方程． （1）则m n ， 应满足的条件为：m ________，n ________； （2）若此方程的根为整数，求整数m 的值． 【答案】（1）1≠，1=； （2）由（1）可知方程为()130m x --=，则3 1 x m =- ∵此方程的根为整数， ∴ 3 1 m -为整数， 又∵m 为整数，则13113m -=--， ，， ∴2024m =-， ，， 5. 【易】（北京汇文中学2010-2011学年度第一学期期中考试试卷初一数学）关于x 的 方程的解为正整数，则整数a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．1或2 D ．2或3 【答案】D 6. 【易】（2011深圳外国语初一上期末）若k 为整数，则使关于x 的一元一次方程 ()200920122010k x x -=-的解也是整数的k 的值有（ ） A ．3个 B ．6个 C ．10个 D ．12个 【答案】D 7. 【易】（河南省竞赛题）若关于x 的方程917x kx -=的解为正整数，则k 的值为 ________． 【答案】917x kx -=可以转化为(9)17k x -=， 即：17 9x k = -，x 为正整数，则8k =或8-． 8. 【易】（北京四中2010-2011学年度第一学期期中考试初一年级数学、“五羊杯”竞 赛题）已知关于x 的方程9314x kx -=+有整数解，那么满足条件的所有整数k =________． 341ax x +=+ 模块一 绝对值的基本概念 （1）非负性：||0a ≥（补充：20a ≥）． 对应题型：绝对值的化简． 方法：判断“||”里面整体的正负性． 易错点：求一个多项式的相反数． 对应策略：求一个多项式的相反数即求多项式中每个单项式的相反数． ①a b -的相反数是a b -+； ②a b c ++的相反数是a b c ---； ③132a b -+的相反数132a b -+-． （2）双解性：||(0)a b b =≥，则a b =±． （3）绝对值的代数意义：(0)||0(0)(0)a a a a a a >?? ==??-?=? -≤? 变式结论：①若||a a =，则0a ≥； ②若||a a =-，则0a ≤． 模块二 零点分段法（目的：去无范围限定的绝对值题型） 零点：使绝对值为0的未知数值即为零点． 方法： ①寻找所有零点，并在数轴上表示； ②依据零点将数轴进行分段； ③分别根据每段未知数的范围去绝对值． 易错点：分类不明确，不会去绝对值． 化简：|1||2|x x -+-． ①零点为1，2，故将数轴分为3个部分， 即1x <，12x ≤<，2x ≥． ②当1x <时，原式23x =-+； 当12x ≤<时，原式(1)(2)1x x =---=； 当2x ≥时，原式23x =-． 模块三 几何意义 ||x 的几何意义：数轴上表示数x 的点与原点 的距离； ||x a -的几何意义：数轴上表示数x 的点与数a 的点之间的距离； ||||x a x b -+-的几何意义：数轴上表示数x 的点与数a 、b 两点的距离之和． 举例： ①|1|=|(1)|x x +--表示x 到1-的距离． ②|1||2|x x +++表示x 到1-和x 到2-的距离之和． ③|1||2|x x +-+表示x 到1-和x 到2-的距离之差． 基本结论：令123n a a a a ≤≤≤≤…， 123||||||+||n x a x a x a x a -+-+-+-… ． 方法：直接套用几何意义画数轴． ①当n 为奇数时，当1 2 n x a +=时取最小值； ②当n 为偶数时，当1 2 2 n n a x a +≤≤时取最小 值． 常见变形： ①|1|2|3|3|4|x x x -+-+-在34x ≤≤时取得最小值． ②()111 113|2|2|3|236x x x x -+-=-+-在2x =时取得最小值． ③|1||2|x x ---既有最小值也有最大值． 专题一 绝对值 题型一、基本定义化简 【典型例题】 例1、（1）已知数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简a b a b b c +++-- (2)已知有理数a , b, c,在数轴上的位置如图所示，化简：a c c b b a ++--+. 例2、已知00x z xy y z x <<>>>， ，，那么x z y z x y +++--= 例3、已知0, >- 题型二、绝对值零点分段化简 【典型例题】 例4、阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()() 0000x x x x x x >??==??- 绝对值的几何意义 【考纲说明】 1、 理解绝对值的几何意义，了解绝对值的表示法，会计算有理数的绝对值； 2、 能够利用数形结合思想来理解绝对值的几何意义，根据绝对值的意义及性质进行简单应用。 【趣味链接】 正式篮球比赛所用球队质量有严格的规定,下面是6个篮球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数，检测结果为：-20，+10、+12、-8、-11 请指出那个篮球的质量好一些,并用绝对值的知识进行说明。 【知识梳理】 1、绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。 2、绝对值的性质： （1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a ＞0） （2） |a|= 0 （a=0） （代数意义） -a (a ＜0) （3） 若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0； （4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ， 且|a|≥-a ； （5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义） （6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=| |||b a （b≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2 ； （8） |a+b|≤|a|+|b| |a -b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a -b| 【经典例题】 【例1】（2011青岛）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ） A.a ＜0，b ＜0 B.a ＞0，b ＜0 C.a ＜0，b ＞0 D.ab ＜0 【例2】（2011莱芜）下列各组判断中，正确的是（ ） A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞b C. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2 【例3】（2011日照）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( ) A ．2a+3b-c B ．3b-c C ．b+c D ．c-b 【例4】（2009淮安）如果a a -=||，下列成立的是（ ） A ．0>a B ．0 初一七年级绝对值练习（含例题、基础、培优） 例题部分 一、根据题设条件 例1 设化简的结果是（）。 （A）（B）（C）（D） 思路分析由可知可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去． 解 ∴应选（B）． 归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路． 二、借助数轴 例2 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式 的值等于（）． （A）（B）（C）（D） 思路分析由数轴上容易看出，这就为去掉绝对值符号扫清了障碍． 解原式 ∴应选（C）． 归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清： 1．零点的左边都是负数，右边都是正数． 2．右边点表示的数总大于左边点表示的数． 3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了． 三、采用零点分段讨论法 例3 化简 思路分析本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于的正负不能确定，由于x是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况—一讨论． 解令得零点：； 令得零点：， 把数轴上的数分为三个部分（如图） ①当时, ∴原式 ②当时，， ∴原式 ③当时，， ∴原式 ∴ 归纳点评虽然的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是：1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）． 2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定． 3．在各区段内分别考察问题． 绝对值 【小故事】 工资的选择 假设你得到一份新的工作，老板让你在下面两种工资方案中进行选择： A ．工资以年薪计，第一年为4000美元，以后每年增加800美元； B ．工资以半年薪计，第一个半年为2000美元，以后每半年增加200美元； 你选择哪一捉方案？这什么？ 令人惊讶的是，第二种方案比第一种方案好得多，如果你接受第二种方案，每年将比第一种方案多挣200美元！下表列出在开头6年中，根据这两种方案你分别能得到的年收入。 年份 方案A 方案B 1 ＄4000 ＄4200 2 4800 5000 3 5600 5800 4 6400 6600 5 7200 7400 6 8000 8200 【典型例题】 例1 若21a -≤<，求22a a ++-的值。 例2 如果()2 2230x y ++-=，则2x y += 。 例3 m 是有理数，求2468m m m m -+-+-+-的最小值。 例4 （1）a ； （2）1x - （3）21x - （4）12x x -+- （5）123x x x -+-+- 例5 已知37a =，9 20 b =，且b a <，试求a 、b 的值。 例6 三个互不相等的有理数，可表示为1，a+b ，a 的形式，又可表示为0， b a ，b 的形式，试求19981999a b +的值。 绝对值练习 1．已知0≤a ≤4，那么23a a -+-的最大值等于（ ）。 A ．1 B ．5 C ．8 D ．3 2．若a+b<0，则化简13a b a b +----的结果是 。 3．如果x<-2，那么11x -+= 。 4．当13x -<<时，化简132x x +--+。 5．若1999a -与2000b +互为相反数，则()3 a b +的值为 。 6．已知120a b -++=，求()2003 a b +. 7．若1a -与2b +互为相反数，则()() ()()2001 2000 2 a b a b a b a b ++++ ++++的值是 。 8．若a 、b 、c 为整数，且12001 2001 =-+-a c b a ，试计算a c b a a c -+-+-的值。 9 ． 已 知 2ab -与1b -互为相反数，试求代数式 ()()()() ()() 111 1 112219991999ab a b a b a b ++++ ++++++的值。 基本要求：借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值 略高要求：会利用绝对值的知识解决简单的化简问题 【知识点整理】 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 绝对值的其它重要性质： （1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-； （3）ab a b =?；a a b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==； a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离． 【例题精讲】 模块一、绝对值的性质 【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ） A ．±2 B ．2 C ．-2 D ．4 【例2】下列说法正确的有（ ） ①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相绝对值第23章 旋转(单元总结)(原卷版)
绝对值同步练习培优
23绝对值教学文档
绝对值的意义及应用
绝对值与数轴专项培优
2绝对值
中考体系-24.含参数及绝对值的一元一次方程(最全,含答案)
初中数学 绝对值的化简和几何意义
培优专题一绝对值
绝对值几何意义知识点、经典例题及练习题带答案
初一七年级绝对值练习(含例题、基础、培优)
绝对值
绝对值的性质及运用