2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法
1.二阶矩阵与平面列向量的乘法规则 (1)行矩阵[]a 11 a 12与列矩阵??
????b 11b 21的乘法规则:[]a 11 a 12 ????
??
b 11b 21=[]a 11×b 11+a 12×b 21;
(2)二阶矩阵??????a 11 a 12a 21 a 22与列向量??????x 0y 0的乘法规则:??????a 11 a 12a 21 a 22 ??????x 0y 0=????
??
a 11×x 0+a 12×y 0a 21×x 0+a 22×y 0.
一般地,前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算. 2.二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义
(1)一个列向量??????x y 左乘一个2×2矩阵M 后得到一个新的列向量,如果列向量????
??x y 表示一个点P (x ,y ),那么列向量????
??x y 左乘矩阵M 后的列向量就对应平面上的一个新的点.
(2)对于平面上的任意一个点(向量)(x ,y ),若按照对应法则T ,总能对应唯一的一个点(向量)(x ′,y ′),则称T 为一个变换,简记为:T :(x ,y )→(x ′,y ′)或T :??????x y →??
??
??
x ′y ′.
(3)一般地,对于平面向量变换T ,如果变换规则为T :??????x y →??????x ′y ′=??????
ax +by cx +dy ,那么根据
二阶矩阵与平面列向量的乘法规则可以改写为T :??????x y →??????x ′y ′=??
????a
b c
d ????
??x y 的矩阵形式,反之
亦然(a 、b 、c 、d ∈R ).
(4)由矩阵M 确定的变换,通常记为T M ,根据变换的定义,它是平面内点集到自身的一个映射,平面内的一个图形它在T M 的作用下得到一个新的图形.
[对应学生用书P4]
[例1] 设A =?????? 1 -1-1 1,Z =??????23,Y =????
??
x y ,求AZ 和AY .
[思路点拨] 利用二阶矩阵和平面列向量的乘法公式求解.
[精解详析] AZ =?????? 1 -1-1 1 ??????23=????
??
-1 1,
AY =??
???? 1 -1-1 1 ??????x y =????
??
x -y -x +y .
若矩阵A =??
??
??a b c
d ,列向量为α=??????x y ,则A α=??
????a b c d ??????x y =????
??ax +by cx +dy ,其结果仍是一个列向量,同时应注意,给出点的坐标可写成列向量的形式.
1.计算:(1)??
????1
00 1 ??????x y ;(2)??????0 11 0 ??????x y ;(3)??????a
b c
d ??????
00;(4)??????1
11 1 ????
??
x y . 解:(1)??
????1
00
1 ??????x y =??????1·x +0·y 0·x +1·y =????
??x y ; (2)??????0 11 0 ??????x y =??????0·x +1·y 1·x +0·y =????
??y x ; (3)??
????a b c
d ??????00=??????a ·0+b ·0c ·0+d ·0=????
??00; (4)??????1 11
1 ??????x y =??????1·x +1·y 1·x +1·y =????
??x +y x +y . 2.给定向量α=??????32,矩阵A =??
????
1
00
1,B =??????
00
0,C =??????
-1
0 0
1,D =????
??0
11
0,计算A α,
B α,
C α,
D α.
解:根据矩阵与向量的乘法,得
A α=??
????1
00 1 ??????32=??????32,B α=??????0 00 0 ??????32=????
??
00, C α=??
????-1 0 0
1 ??????32=??????-3 2,D α=??????0 11
0 ??????32=????
??23.
[例2] (1)已知变换??
????x ′y ′=??????3
21 5 ????
??
x y ,试将它写成坐标变换的形式; (2)已知变换??????x ′y ′=????
??
2x -3y y ,试将它写成矩阵的乘法形式.
[思路点拨] 直接应用二阶矩阵与向量乘积的规定.
[精解详析] (1)??????x ′y ′=????
??
3x +2y x +5y .
故它表示的坐标变换为?
??
??
x ′=3x +2y
y ′=x +5y .
(2)??
????x ′y ′=??????2 -30 1 ????
??
x y .
对于??????x ′y ′=??
????a b c
d ??????
x y ,首先由二阶矩阵与平面列向量乘法得??????a
b c d ??????x y =????
??
ax +by cx +dy ,再由向量相等,得?
??
??
x ′=ax +by ,
y ′=cx +dy .
3.已知?
??
??
x ′=x +3y
y ′=y ,试将它写成二阶矩阵与平面向量相乘的形式.
解:因为?
??
??
x ′=x +3y ,
y ′=y ,所以?
??
??
x ′=x +3y ,
y ′=0·x +1·y ,
即??????x ′y ′=?????? x +3y 0·x +1·y =??????1
30 1 ????
??x y . 故??????x ′y ′=??????1 30
1 ????
??x y . 4.解下列用矩阵表达式表示的方程组.
(1)??????3 -42 -3 ??????x y =??????21; (2)??????3 -26 5 ??????x y =??????-1 16. 解:(1)由??????3 -42 -3 ??????x y =????
??
21,
得??????3x -4y 2x -3y =??????
21,即???
??
3x -4y =2,2x -3y =1,
解得???
??
x =2,
y =1.
(2)由??????3 -26 5 ??????x y =????
??-1 16,
得??????3x -2y 6x +5y =??????
-1 16,即???
??
3x -2y =-1,6x +5y =16,
解得?
??
??
x =1,
y =2.
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
高中数学数列专题大题组卷 一.选择题(共9小题) 1.等差数列{a n}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()A.130 B.170 C.210 D.260 2.已知各项均为正数的等比数列{a n},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.B.7 C.6 D. 3.数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,a n+1=3S n(n≥1),则a6=() A.3×44B.3×44+1 C.44D.44+1 4.已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0,a2=﹣,则{a n}的前10项和等于()A.﹣6(1﹣3﹣10)B.C.3(1﹣3﹣10)D.3(1+3﹣10)5.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.B.C.D. 6.已知等差数列{a n}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10=()A.138 B.135 C.95 D.23 7.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m﹣1=﹣2,S m=0,S m+1=3,则m=()A.3 B.4 C.5 D.6 8.等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=() A.n(n+1)B.n(n﹣1)C.D. 9.设{a n}是等差数列,下列结论中正确的是() A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 B.若a1+a3<0,则a1+a2<0 C.若0<a 1<a2,则a2D.若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)>0 二.解答题(共14小题) 10.设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。