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巩固练习_幂函数及图象变换_提高

幂函数及图象变换_提高

一、选择题

1.函数1

2y x

=的定义域是( )

A.[0，+∞）

B.(-∞，0)

C.(0，+∞)

D.R

2. 设1112,1,,,,1,2,3232

α??∈---???

，则使()f x x α

=为奇函数且在()0,+∞上单调递减的α的值的个

数是（）．

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

3．当(1,)x ∈+∞时，下列函数的图象全在直线y x =下方的偶函数是（）．

A. 12

y x = B. 2y x -= C. 2y x = D. 1

y x -= 4．如果243

()(1)m m f x m x -+=-是幂函数，则()f x 在其定义域上是（）．

A.增函数

B.减函数

C.在(),0-∞上是增函数，在()0,+∞上是减函数

D.在(),0-∞上是减函数，在()0,+∞上也是减函数 5. 如图所示，幂函数α

x y =在第一象限的图象，比较

1,,,,,04321αααα的大小( )

A ．102431<<<<<αααα

B ．104321<<<<<αααα

C ．134210αααα<<<<<

D ．142310αααα<<<<<

6. 三个数133()4a -=，143()4b -=，1

3()2

c -=的大小顺序是( )

A.c

B.c

C.a

D.b

2()log f x x =，那么(8)f = ( ) A.43 B.8 C.18 D.12

8.若幂函数()f x 存在反函数1

()f

x -，且反函数的图象经过则()f x 的表达式为( )

A.3

()f x x = B.3

()f x x -= C.1

()f x x = D.13

()f x x -=

二、填空题

9.函数152

(1)(3)

y x x -

=-+-的定义域是 .

10.已知5

()8f x x ax bx =++-，且(2)10f -=，则(2)f = . 11.方程2

22x

x +=的解的个数是 . 12.函数1

()2

x f x x +=

+的对称中心是，在区间是函数.(填“增”或“减”) 三、解答题

13．已知二次函数()y f x =满足(2)(3)0f f -==，且()f x 的最大值为5，求()y f x =的表达式.

14. 已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且2

()2f x x x =+．（1）求函数()g x 的解析式；

（2）解不等式函数()()|1|g x f x x ≥--．

15.已知幂函数21322

()()p p f x x

p Z -++=∈在()0,+∞上是增函数，且在其定义域内是偶函数.

（1）求p 的值，并写出相应的函数();f x

（2）对于（1）中求得的函数()f x ，设函数[]2

()()(21)()1g x q f x q f x =-+-+，问是否存在实数

(0)q q <，使得()g x 在区间(],4-∞-上是减函数，且在()4,0-上是增函数，若存在，请求出q 来，若不

存在，请说明理由。

答案与解析一、选择题 1.C

2.A 当11,,1,33

α=-时，()f x x α

=为奇函数，当2,1α=--时()f x 在()0,+∞上单调递减，∴同

时满足两个条件的α只有一个，即1α=-．故选A ．

3.B 因为是偶函数，排除A 、D ；又要求当()1,x ∈+∞时，图象在直线y x =下方，故2

y x -=适合．

4.D 要使()f x 为幂函数，则11m -=，即2m =．当2m =时，2

431m m -+=-，

1()f x x -∴=．∴()f x 在(),0-∞上是减函数，在()0,+∞上也是减函数．

5.D 在()0,+∞上单调递减的幂函数，幂指数小于0，故230,0αα<<，故选D ．

6.B 因为指数函数3()4

y =是减函数，所以1134

33()()44-->，故a b >．又幂函数14y x -=在(0,)+∞上

是减函数，所以114

3342-

> ?

???

，故b c >，所以c b a <<． 7.D 令6,x t =则1

6(0)x t t =>，所以16221()log log 6f t t t ==，所以3

22111(8)log 8log 2662

f ===．

8.B

因为反函数的图象经过

，所以原函数图象经过

，所以3α

?= ??3α=-，故选B ．

二、填空题

9.[1,3)

原函数y =，所以10,

30.x x -≥??->?

解得[)1,3x ∈．

10.-26 令5

()g x x ax bx =++，则()g x 为奇函数，又(2)(2)8f g -=--=10，(2)18g ∴-=。

(2)(2)8(2)818826f g g ∴=-=---=--=-。

11.2个利用数形结合，分别作出函数2x y =和2

2y x =-+的图象，可以看出图象又两个交点，即方

程的解．

12.(-2，1)；(-∞，-2)，(-2，+∞)；增函数11122

x y x x +=

++，将1

y x =-的图象向左平移2个单位，再向上平移一个单位，可以看出图象的对称中心是(-2，1)．增区间是(-∞，-2)，(-2，+∞)．

三、解答题

13．解析：由题意知，-2，3是二次函数的零点，

故设二次函数表达式为()(2)(3)f x a x x =+-，而且对称轴为12

x = 即当1

2x =

时该函数的最大值为5. 111()(2)(3)222

f a =+-=5，解得45a =-

所求的函数表达式为4

()(2)(3)5

f x x x =-+-.

14. 解析：（1）设函数()y f x =的图象上任一点0,0()Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，则

000,20.

x x

y y +?=???

+?=??，即00,x x y y =-??=-?，因为点0,0()Q x y 在函数()y f x =的图象上，所以2

()2()y x x -=-+?-，即2

()2g x x x =-+．

（2）由()()|1|g x f x x ≥--，得2

2|1|0x x --≤

当1x ≥时，2210x x -+≤，由函数2

21y x x =-+的图象可知，此不等式无解．当1x <时，2

210x x +-≤，由函数2

21y x x =+-的图象，解得112

x -≤≤

． ∴原不等式的解集为11,.2??

-????

15.解析：（1）()f x 在()0,+∞上是增函数，

2213

0,230,(3)(1)022

p p p p p p ∴-++>∴--<-+<，

13p ∴-<<，由p Z ∈，得0,1,2p =。

当0p =或2p =时，3

()f x x =不合题意。由此可知当1p =时，相应的函数式为2

().f x x =

（2）函数[]2

()()(21)1(21)1g x q f x q x qx q x =-+-+=-+-+，假设存在实数(0)q q <使得()

g x 满足条件。设12x x <，则

4242

212211()()(21)1(21)1g x g x qx q x qx q x ????-=-+-+--+-+????

=4422

1221()(21)()q x x q x x -+-- =2

1212()()(21)x x q x x q ??-+--??

121212()()()(21)x x x x q x x q ??+-+--??。

①若(]12,,4x x ∈-∞-，易得120x x +<，()()12120x x x x ∴+->，要使()g x 在(],4-∞-上是减函数，则应使2

12()(21)0q x x q +--<恒成立，124,4x x <-≤- ，

221232,x x ∴+>又0q <，2212()32q x x q ∴+<，从而欲使22

12()(21)0q x x q +--<恒成立，则应有

2132q q -≥成立，即1

q ≤-

， ②同理，()12,4,0x x ∈-时，应有130q ≥-

。由①②可得130

q =-，综上所述，存在这样的实数1

q =-

，使得()q x 在(],4-∞-上是减函数，且在()4,0-上是增函数。点评：在（2）问求p 的时候采用了恒成立的问题的解法，进而转化为求最值由两个区间上求得的p 值

取交集即为所求。

函数的图象变换(习题)

函数的图象变换（习题） 1.函数y=-2x2的图象是由函数y=-2x2+4x+6的图象经过怎样的变换得到的？（） A．向左平移1个单位长度，向上平移8个单位长度 B．向右平移1个单位长度，向上平移8个单位长度 C．向左平移1个单位长度，向下平移8个单位长度 D．向右平移1个单位长度，向下平移8个单位长度 4.若函数(1) x y a b =-+（a＞0，且a≠1）的图象在第一、三、四象限，则必有（）

A ．0＜a ＜1，b ＞0 B ．0＜a ＜1，b ＜0 C ．a ＞1，b ＜0 D ．a ＞1，b ＞ 5. 若函数()y f x =与()y f x =的图象相同，则()f x 可能是（） A ．1y x -= B ．2x y = C ．2log y x = D ．21y x =- 6. 当0＜a ＜1时，函数()log ()a f x x =-与()1g x ax =-的图象的交点在（） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 7. 在同一平面直角坐标系内，函数1()3x f x -=与1()3x g x +=的图象关于（） A ．y 轴对称 B ．x 轴对称 C ．原点对称 D ．直线x =1对称

f (x -1)的函数 f (-x )的函数 |f (x )|的函数 f (|x |)的函数 A B C D 10. 将()y f x =的图象向右平移1个单位长度，所得图象与y =ln x 关于y 轴对称，则()y f x =的解析式为（） A ．()ln(1)f x x =+ B ．()ln(1)f x x =- C ．()ln(1)f x x =-+ D ．()ln(1)f x x =-- 11. 若函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线x =-2对称，则a ，b 的值分别为（） A ．15，8 B ．8，15 C ．3，4 D ．-3，-4 12. 已知函数()y f x =的图象关于直线x =1对称，且在[1)+∞，上单调递减， (0)0f =，则(1)0f x +>的解集为（） A ． (1)+∞， B ．(1)(1)-∞-+∞，， C ．(1)-∞-， D ．(11)-， 13. 已知函数() y f x =的图象与ln y x =的图象关于x 轴对称，则 (2)f =_____________．

幂函数题型归纳

幂函数知识点归纳及题型总结一、幂函数定义：对于形如：() x f x α=，其中α为常数.叫做幂函数定义说明： 1、定义具有严格性，x α系数必须是1，底数必须是x 2、 α取值是R . 3、《考试标准》要求掌握α=1、2、3、?、-1五种情况二、幂函数的图像幂函数的图像是由α决定的，可分为五类： 1）1α＞时图像是竖立的抛物线.例如：()2x f x = 2）=1α时图像是一条直线.即() x f x = 3）01α＜＜时图像是横卧的抛物线.例如()1 2x f x = 4）=0α时图像是除去（0,1）的一条直线.即() 0x f x =（0x ≠） 5）0α＜时图像是双曲线（可能一支）.例如() -1 x f x = 具备规律: ①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高） ②幂指数互为倒数时，图像关于y=x 对称 ③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像三、幂函数的性质幂函数的性质要结合图像观察，随着α取值范围的变化，性质有所不同。 1、定义域、值域与α有关，通常化分数指数幂为根式求解 2、奇偶性要结合定义域来讨论 3、单调性：α＞0时，在（0，+∞）单调递增：α=0无单调性；α＜0时，在（0，+∞）单调递减 4、过定点：α＞0时，过（0,0）、（1,1）两

点；α≤0时，过（1,1） 5、由 ()0 x f x α=＞可知，图像不过第四象限一、幂函数解析式的求法 1. 利用定义（1）下列函数是幂函数的是 ______ ①21()y x -= ②22y x = ③21(1)y x -=+ ④0 y x = ⑤1y = （2（3 2 3 1．（1）、函数3 x y =的图像是（）（2）右图为幂函数y x α =在第一象限的图像，则,,,a b c d 的大小关系是（）

(完整版)函数图象变换及经典例题练习

函数图象变换 1、平移变换（左加右减上加下减）： y=f(x)h 左移→y=f(x+h); y=f(x)h 右移→y=f(x -h); y=f(x)h 上移→y=f(x)+h; y=f(x)h 下移→y=f(x)-h. 2、对称变换： y=f(x) 轴x →y= -f(x); y=f(x) 轴y →y=f(-x); y=f(x) 原点 →y= -f(-x). y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x); y=f(x) x y =→直线y=f -1(x); 3、翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到． 4、伸缩变换： y=f(x)ω?→x y=f(ωx ); y=f(x)ω ?→y y=ωf(x). 经典题型：作已知函数的图像、知式选图或知图选式、图像应用例1．函数1 11--=x y 的图象是（）答案B 例2．如图所示，)(),(),(),(4321x f x f x f x f 是定义在]1,0[上的四个函数，其中满足性质：“对]1,0[中任意的1x 和2x ，)]()([2 1)2(2121x f x f x x f +≤+恒成立”的只有（）答案A

例3、利用函数x x f 2)(=的图象，作出下列各函数的图象：（1）)1(-x f ；（2）|)(|x f ；（3）1)(-x f ；（4）)(x f -；（5）.|1)(|-x f 例4已知0>a ，且≠a 1，函数x a y =与)(log x y a -=的图象只能是图中的（）答案B 例5函数)(x f y =与函数)(x g y =的图象如右上，则函数)(x f y =·)(x g 的图象是（）答案A 例6 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )． A ．10个 B ．9个 C ．8个 D ．1个解析：画出两个函数图象可看出交点有10个．答案 A

赏析幂函数的图象特征及应用

一、幂函数图像的分布规律幂函数图像的分布规律可用“一全有、二一偶、三一奇、四全无”来说明。 1.“一全有”：指所有幂函数的图像在第一象限都出现，分布情况如图1所示，其特点如下：①抓住三条特征线：直线x=1，y=x ，y=1把幂函数的图像分为三个区域，这三个区域对应着幂函数y=x α在α<0,0<α<1, α>1时的图像；②第一象限内幂函数y=x α图像的区域分布情况为：在直线x=1的右边，α越大，图像越高，越趋向于直线x=1；在直线x=1的右边，α越小，其图像越低，越趋向于x 轴。 2.“二一偶”：指当幂函数为偶函数时，其图像关于y 轴对称，即幂函数的图像出现在第一、第二象限。 3.“三一奇”：指当幂函数为奇函数时，其图像关于原点对称，即幂函数的图像出现在第一、第三象限。 4.“四必无”：指由定义，知幂函数的图像不可能出现在第四象限。二、幂函数图像的应用 1.识别图像例1.图2中的曲线是幂函数y=x α在第一象限的图像，已知α取±2，±12四个值，则其相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4的α依次为（） A.-2，-12，12，2 B.2，12，-12，-2 C.- 12，-2，2，12 D.2，12，-2，-12 解：根据幂函数的图像特点，立即可以断定相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值排序是由大到小，故选B 。 2.用于判断方程的个数例2.方程x 2=2x 的根的个数为（） A.1 B.2 C.3 D.

解：令f（x）=x2，g（x）=2x，在同一坐标平面内作出这两个函数的图象，如图三所示，由图可知，交点有三个，所以方程x2=2x的根的个数为3，故选C。

三角函数图像的平移、变换练习题

三角函数图像的平移、变换练习题 1、为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6 y x π=+的图像（）（A ）向左平移4π个长度单位（B ）向右平移4 π个长度单位（C ）向左平移2π个长度单位（D ）向右平移2 π个长度单位 2、将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10 π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（A ）sin(2)10y x π=- （B ）sin(2)5 y x π=- （C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220 y x π=- 5y Asin x x R 66ππω???=∈???? 右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的（） (A)向左平移 3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12 倍，纵坐标不变 (B) 向左平移3 π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 (C) 向左平移 6 π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 (D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 4、若将函数()tan 04y x πωω? ?=+> ???的图像向右平移6 π个单位长度后，与函数tan 6y x πω??=+ ?? ?的图像重合，则ω的最小值为（） A ．16 B. 14 C. 13 D. 12 5、已知函数()sin()(,0)4f x x x R π ??=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数

函数图象变换的四种方式

函数图象变换的四种方式集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

函数图象变换的四种方式一，平移变换。（1）水平平移：要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x+a)的图象，只要将f(x)的图象向左平移a个单位。要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x-a)的图象，只要将f(x)的图象向右平移a个单位。（简记：左加右减，这里的a>0。）（2）上下平移：要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)+a的图象，只要将f(x)的图象向上平移a个单位。要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)-a的图象，只要将f(x)的图象向下平移a个单位。（简记：上加下减，这里的a>0）二，对称变换。（1）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称。所以由f(x)的图象得到f(-x)的图象，只需将f(x)的图象以y轴为对称轴左右翻折就可得到f(-x)的图象。(简记：左右翻折) （2）y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 x轴对称。所以由f(x)的图象得到-f(x)的图象，只需将f(x)的图象以x轴为对称轴上下翻折就可得到-f(x)的图象。(简记：上下翻折) （3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称。

所以由f(x)的图象得到-f-(x)的图象，只需将f(x)的图象以原点为对称中心旋转180度就可得到-f(-x)的图象。(简记：旋转180度) 三，翻折变换。（1）如何由y=f(x)的图象得到y=f(|x|)的图象？先画出函数y=f(x) y轴右侧的图象，再作出关于y轴对称的图形（简记：右不动，左对称）（2）如何由y=f(x)的图象得到y=|f(x)|的图象？先画出函数y=f(x)的图象，再将x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方去。（简记：上不动，下上翻）四，伸缩变换。 (1)如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=af(x)的图象？（a>0）可将函数f(x)的图象上每个点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不改变，就可得到函数af(x)的图象。（2）如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(ax)的图象？（a>0）可将函数f(x)的图象上每个点的横坐标变为原来的1/a倍，纵坐标不改变，就可得到函数f(ax)的图象。

幂函数的图像与性质

【知识结构】 1．有理数指数幂（1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂 :0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂 : 1 0,,1)m n m n a a m n N n a -*==>∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q );②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 例2 （1）计算：25 .021 21325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷?÷+---；（2）化简：533233232332 3134)2(248a a a a a b a a ab b b a a ???-÷++-- 变式：（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1） ;)(653 12121 132b a b a b a ????--（2）.)4()3(6521332121231----?÷-??b a b a b a (3) 1 00.256371.5()86-?-+

（三）幂函数 1、幂函数的定义形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。例1.下列函数中不是幂函数的是（） A ．y x = B ．3y x = C ．2y x = D ．1y x -= 例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；变式已知幂函数2 223(1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+，∞时为减函数，则幂函数y =_______． 2.幂函数的图像幂函数y ＝x α的图象由于α的值不同而不同． α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升； α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；

二次函数图像的变换练习题

二次函数图像的变换 1、把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 A ．()213y x =--- B ．()213y x =-+- C ．()213y x =--+ D ．()2 13y x =-++ 2、将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（） A ．()221y x =+ B ．()221y x =- C ．221y x =+ D ．221y x =- /3将抛物线23y x =向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是（） A. 232y x =- B. 23y x = C. 23(2)y x =+ D. 232y x =+ 4、函数23(2)1y x =+-的图象可由函数23y x =的图象平移得到，那么平移的步骤是：（） A. 右移两个单位，下移一个单位 B. 右移两个单位，上移一个单位 C. 左移两个单位，下移一个单位 D. 左移两个单位，上移一个单位 5、函数22(1)1y x =---的图象可由函数22(2)3y x =-++的图象平移得到，那么平移的步骤是（） A. 右移三个单位，下移四个单位 B. 右移三个单位，上移四个单位 C. 左移三个单位，下移四个单位 D. 左移四个单位，上移四个单位 6、把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 A ．()213y x =--- B ．()213y x =-+- C ．()213y x =--+ D ．()2 13y x =-++ 7、将抛物线23y x =向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是（） A. 232y x =- B. 23y x = C. 23(2)y x =+ D. 232y x =+ 8、函数2y x =与2y x =-的图象关于______________对称，也可以认为 2y x =是函数2y x =-的图象绕__________旋转得到． 9、已知：点P （2，7）在函数2y ax =+b 的图象上，而且当x=-√3时，y=5;(1)求a,b 的值并确定此函数的解析式。（2）若（1/2，m ）和点（n,17)也在函数的图像上，求m 和n 的值。 10、已知一个二次函数图像的形状与抛物线Y=4x 2相同，它的顶点坐标是（2，4），求该二次函数的解析式。

幂函数的图像与性质

（三）幂函数 1、幂函数的定义形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。例1.下列函数中不是幂函数的是（） A ．y x = B ．3y x = C ．2y x = D ．1 y x -= 例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；变式已知幂函数2 223(1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+，∞时为减函数，则幂函数 y =_______． 2.幂函数的图像幂函数y ＝x α的图象由于α的值不同而不同． α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升； α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；

3、幂函数的性质 y=x y=x 2 y=x 3 12 y x = y=x -1 定义域 R R R [0，+∞） {}|0x x R x ∈≠且值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {}|0y y R y ∈≠且奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增 x ∈[0，+∞）时，增； x ∈(,0]-∞时，减增增 x ∈(0,+∞)时，减； x ∈(-∞,0)时，减定点（1，1）例3．比较大小：（1）112 2 1.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）112 5.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5 4.幂函数的性质及其应用幂函数y ＝x α有下列性质： (1) 单调性：当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增；当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减． (2)奇偶性：幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断．例4．已知幂函数2 23 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．

函数图象的三种变换

. 函数图象的三种变换函数的图象变换是高考中的考查热点之一，常见变换有以下3种：一、平移变换 2，在同一坐标系中画出：＝x设f(x)例1 (1)y＝f(x)，y＝f(x＋1)和y＝f(x－1)的图象，并观察三个函数图象的关系； (2)y＝f(x)，y＝f(x)＋1和y＝f(x)－1的图象，并观察三个函数图象的关系．解(1)如图 (2)如图

点评观察图象得：y＝f(x＋1)的图象可由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到；y＝f(x－1)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度得到； y＝f(x)＋1的图象可由y＝f(x)的图象向上平移1个单位长度得到； y＝f(x)－1的图象可由y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度得到．小结：

二、对称变换的图象，并观察两个函数图)－xy＝f(x＋1，在同一坐标系中画出y＝f()和x例2设f(x)＝象的关系．1的图象如图所示．＝－x＋x与y＝f(－)＋y解画出＝f(x)＝x1 由图象可得函数y＝x＋1与y＝－x＋1的图象关于y轴对称．点评函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；函数y＝f(x)的图象与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；函数y＝f(x)的图象与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．三、翻折变换例3 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝|f(x)|的图象，并观察两个函数1 / 6

. 图象的关系．解y＝f(x)的图象如图1所示，y＝|f(x)|的图象如图2所示．点评要得到y＝|f(x)|的图象，把y＝f(x)的图象中x轴下方图象翻折到x轴上方，其余部分不变．例4 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(|x|)的图象，并观察两个函数图象的关系．解如下图所示．点评要得到y＝f(|x|)的图象，先把y＝f(x)图象在y轴左方的部分去掉，然后把y轴右边的对称图象补到左方即可．小结：保留x轴上方图象y?f(x)????????y＝|f(x)|. 将x轴下方图象翻折上去保留y轴右侧图象y?f(x)?????????y＝f(|x|). 并作其关于y轴对称的图象如图：

(新)高中数学复习专题一---函数图象问题

专题一函数图象数形结合是中学数学的重要的数学思想方法，尤其是函数的图象更是历年高考的热点.函数图象是函数的一种表达形式，形象的显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题的结果的重要工具. 一、知识方法 1．函数图象作图方法（1）描点法：列表、描点（注意关键点：如图象与x 、y 轴的交点，端点，极值点等））、连线（注意关键线：如；对称轴，渐近线等）（2）利用基本函数图象变换。 2．图象变换（由一个图象得到另一个图象）：平移变换、对称变换和伸缩变换等。（1）平移变换 ① 水平平移：函数()y f x a =+的图象可以把函数()y f x =的图象沿x 轴方向向左 (0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到； ② 竖直平移：函数()y f x a =+的图象可以把函数()y f x =的图象沿y 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到．（2）对称变换 ① 函数()y f x =-的图象可以将函数()y f x =的图象关于y 轴对称即可得到； ② 函数()y f x =-的图象可以将函数()y f x =的图象关于x 轴对称即可得到； ③ 函数()y f x =--的图象可以将函数()y f x =的图象关于原点对称即可得到；（3）翻折变换 ① 函数|()|y f x =的图象可以将函数()y f x =的图象的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； ② 函数(||)y f x =的图象可以将函数()y f x =的图象右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．（4）伸缩变换 ① 函数()y af x =(0)a >的图象可以将函数()y f x =的图象中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到； ② 函数()y f ax =(0)a >的图象可以将函数()y f x =的图象中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(01a <<)或压缩(1)a >为原来的 1 a 倍得到． 3．函数图象的对称性：对于函数)(x f y =，若对定义域内的任意x 都有 ①)()(x a f x a f +=-（或))2()(x a f x f -=，则)(x f 的图象关于直线a x =对称； ②b x a f x a f 2)()(=++-（或)2)2()(b x a f x f =-+，，则)(x f 的图象关于点),(b a P 对称. 4、熟练掌握基本初等函数（如正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，幂函数，三角函数）的图象 5、作函数图象的一般步骤：（1）求出函数的定义域；（2）化简函数式；（3）讨论函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性）以及图像上的特殊点、线（如极值点、渐近线、对称轴等）；（4）利用基本函数的图像（5）利

函数图像的四种变换形式

函数图像的四种变换 1．平移变换左加右减，上加下减 ) ( ) (a x f y x f y+ = ?→ ? =沿x轴左移a个单位； ) ( ) (a x f y x f y- = ?→ ? =沿x轴右移a个单位； a x f y x f y+ = ?→ ? =) ( ) (沿y轴上移a个单位； a x f y x f y- = ?→ ? =) ( ) (沿y轴下移a个单位。 2.对称变换同一个函数求对称轴或对称中心，则求中点或中心。两个函数求对称轴或对称中心，则求交点。（1）对称变换 ①函数) (x f y=与函数) (x f y- =的图像关于直线x=0(y轴)对称。 ②函数) (x f y=与函数) (x f y- =的图像关于直线y=0(x轴)对称。 ③函数) (a x f y+ =与) (x b f y- =的图像关于直线 2a b x - =对称（2）中心对称 ①函数) (x f y=与函数) (x f y- - =的图像关于坐标原点对称 ②函数) (x f y=与函数) 2( 2x a f y b- = -的图像关于点（a,b）对称。 3伸缩变换（1）) (x af y=的图像，可以将) (x f y=的图像纵坐标伸长（a>1）或缩短（a<1）到原来的a倍，横坐标不变。（2）) (ax f y=（a>0）的图像，可以将) (x f y=的横坐标伸长（01）到原来的1/a倍，纵坐标不变。

4．翻折变换（1）形如)(x f y =，将函数)(x f 的图像在x 轴下方的部分翻到x 轴上方，去掉原来x 轴下方的部分，保留原来在x 轴上方的部分。（2）形如)(y x f =，将函数)(x f 在y 轴右边的部分沿y 轴翻到y 轴左边并替代原来y 轴左边部分，并保留)(x f y 轴左边部分，为)(y x f =的图像。习题：①做出32y 2++=）（x 的图像 ②做出3+=x y 的图像

幂函数图象规律

幂函数图象有规律幂函数()n y x n Q = 的图象看似复杂，其实很有规律。假如我们能抓住这些规律，那么幂函数图象问题就可迎刃而解。那么幂函数图象有哪些规律呢？ 1．第一象限内图象类型之规律（如图1）：1．n ＞1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，下凸递增。2．n ＝1时，过（0，0）、（1，1）的射线。 3．0＜n ＜1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，上凸递增。4．n ＝O 时，变形为y ＝1（x ≠0），平行于x 轴的射线。 5．n ＜0时过（1，1），双曲线型，递减，与两坐标轴的正半轴无限接近。 2．第一象限内图象走向之规律（如图1）： x ≥1部分各种幂函数图象，指数大的在指数小的上方；O ＜x ＜1部分图象反之，此二部分图象在（1，1）点穿越直线y ＝x 连成一体。 3．各个象限内图象分布之规律：设p n q = ，,p q 互质，,p Z q N 挝。 1．任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象。 2．n ＝奇数/偶数时，函数非奇非偶，图象只在第一象限（如图1）。 3．n ＝偶数/奇数时，函数是偶函数、图象在第一、二象限并关于y 轴对称（如图2）。 4．n ＝奇数/奇数时，函数是奇函数，图象在第一、三象限并关于原点对称（如图3）。 5. 当n<0时，图像与x 轴，y 轴没有交点。知识点：幂函数的图象特征: （1）任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象．先根据函数特征画出第一象限图象； ① 所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； ②0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数． ③0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．（2）如果幂函数是奇函数，在第象限内有其中心（坐标原点）对称部分；如果幂函数是偶函数，在第象限内有其轴（y 轴）对称部分；如果幂函数是非奇非偶函数，则其函数图象只在第一象限内．

函数图像的三种变换

函数图像的三种变换函数在中学数学及大学数学中都是极其重要的内容，函数思想是解决函数问题的理论源泉; 函数的性质是解决函数问题的基础，而函数的图象则是函数性质的具体的直观的反应。在高中阶段函数图象的变化方式主要有以下三种：一、平移变换函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种： 1、沿水平方向左右平行移动比如函数)(x f y =与函数)0)((>-=a a x f y ，由于两函数的对应法则相同，x a x 与-取值范围一样，函数的值域一样。以上三条决定了函数的形状相同，只是函数的图象在水平方向的相对位置不同，如何将函数)(x f y =的图象水平移动才能得到函数)0)((>-=a a x f y 的图象呢？因为对于函数)(x f y =上的任意一点（11,y x ），在)(a x f y -=上对应的点为),(11y a x +，因此若将)(x f y =沿水平方向向右平移a 个单位即可得到)0)((>-=a a x f y 的图象。同样，将)(x f y =沿水平方向向左平移a 个单位即可得到)0)((>+=a a x f y 的图象。 2、沿竖直方向上下平行移动比如函数)(x f y =与函数)0()(>+=b b x f y ，由于函数)(x f y =函数)0)((>=-b x f b y 中函数y 与b y -的对应法则相同，定义域和值域一样，因此两函数形状相同，如何将函数)(x f y =的图象上下移动得到函数)(x f b y =-的图象呢？因为对于函数)(x f y =上的任意一点（11,y x ），在)0)((>=-b x f b y 上对应的点为),(11b y x +，因此若将)(x f y =沿竖直方向向上平移a 个单位即可得到)0)((>=-b x f b y 的图象。同样，将)(x f y =沿竖直方向向下平移a 个单位即可得到)0)((>=+b x f b y 的图象。函数图象的平移变化可以概括地总结为：（1）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>-=-b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向右平移a 个单位，然后再沿竖直方向向上平移b 个单位即可。（2）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>+=+b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向左平移a 个单位，然后再沿竖直方向向下平移b 个单位即可。（3）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>+=-b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向左平移a 个单位，然后再沿竖直方向向上平移b 个单位即可。（4）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>-=+b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向右平移a 个单位，然后再沿竖直方向向下平移b 个单位即可。函数图象的平移的实质是有变量本身变化情况所决定的。 3、例题讲解例1. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（） A. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度分析把函数 x y 2=的图象向右平移3个单位，然后再向下平移1个单位，就得到函数123-=-x y 的图象。故，本题选A 例2 把函数的图象向右平移1单位，再向下平移1个单位后，所得图象对应的函数解析式是（）．（A ）（B ）（C ）（D ）分析把已知函数图象向右平移1个单位，即把其中自变量换成，得.

(完整word版)高中数学中的函数图象变换及练习题.doc

高中数学中的函数图象变换及练习题 ①平移变换： Ⅰ、水平平移：函数 y f ( x a) 的图像可以把函数 y f ( x) 的图像沿 x 轴方向向左 (a 0) 或向右 (a 0) 平移 | a | 个单位即可得到；左移 h 右移 h 1） y =f ( x ) y =f ( x +h) ； 2）y =f ( x ) y =f ( x h) ； x 轴方向向上 Ⅱ、竖直平移：函数 y f ( x) a 的图像可以把函数 y f ( x) 的图像沿 (a 0) 或向下 (a 0) 平移 | a |个单位即可得到；上移 h 下移 h 1） y =f ( x ) y =f ( x )+h ； 2） y =f ( x ) y =f ( x ) h 。 ②对称变换： Ⅰ、函数 y f ( x) 的图像可以将函数 y f ( x) 的图像关于 y 轴对称即可得到； y 轴 y =f ( x ) y =f ( x ) f ( x) 的图像关于 x 轴对称即可得到； Ⅱ、函数 y f ( x) 的图像可以将函数 y y =f ( x ) x 轴 y = f ( x ) Ⅲ、函数 y f ( x) 的图像可以将函数 y f ( x) 的图像关于原点对称即可得到；原点 y =f ( x ) y = f ( x ) Ⅳ、函数 x f ( y) 的图像可以将函数 y f ( x) 的图像关于直线 y x 对称得到。直线 y x y =f ( x ) x =f ( y ) Ⅴ、函数 y f ( 2a x) 的图像可以将函数 y f (x) 的图像关于直线 x a 对称即可得到 ③翻折变换： f ( x) 的图像的 x 轴下方部分沿 x 轴翻折到 x 轴上 Ⅰ、函数 y | f (x) |的图像可以将函数 y 方，去掉原 x 轴下方部分，并保留 y f ( x) 的 x 轴上方部分即可得到； Ⅱ、函数 y f (| x |) 的图像可以将函数 y f ( x) 的图像右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边替代原 y 轴左边部分并保留 y f ( x) 在 y 轴右边部分即可得到 ④伸缩变换： Ⅰ、函数 y af ( x) ( a 0) 的图像可以将函数 y f (x) 的图像中的每一点横坐标不变纵坐 (a 1) 0 a 1 ）为原来的 a 倍得到； = ( x ) y a 标伸长或压缩（ y =af ( x ) y f Ⅱ、函数 y f (ax) (a 0) 的图像可以将函数 y f (x) 的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长 (a 1) 或压缩（ 0 a 1）为原来的 1 倍得到。 f ( x ) y =f ( x ) x a y =f ( ax ) a 1. 画出下列函数的图像（1） y log 1 ( x) （ 2） y( 1 ) x （3） y log 2 x （4） y x 2 1 2 2 （5）要得到 y lg( 3 x) 的图像，只需作 y lg x 关于 _____轴对称的图像，再向 ____平移 3 个单位而得到。（ 6 ）当 a 1 时，在同一坐标系中函数 y a x 与 y log a x 的图像（）

【新课标】函数.幂函数课堂教案

§2.3幂函数（教案）教学目标：知识与技能通过具体实例了解幂函数的概念，掌握幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用。过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质；培养学生数形结合、分类讨论的思想，以及分析归纳的能力。情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性，培养学生合作交流的意识。教学重点：重点从五个具体幂函数图象中认识幂函数的一些性质。难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律。教学关键：揭示出幂函数y x α =的图象的规律。教学准备：多媒体课件，几何画板。教学方式：引导教学法、探索讨论法、多媒体教学法。学法指导：操作实验、自主探索、合作交流。教学程序与环节设计：教学过程与操作设计：

材料二：幂函数的图象变化规律归纳 ∞）都有定义，并且图象都经

板书设计：幂函数 1、幂函数的定义例2 例4 2、幂函数的图象与性质教案说明：（1）本节课的教学内容，课本中虽然只有3页，但内容丰富。课本通过几个特殊幂函数的图象类比

归纳，得到图象都通过点(1,1)。（2）本节是新课标新增加的内容，教材不仅仅学习有关幂函数图象与性质的问题，还包含着教会学生通过观察和思考，得到有关幂函数的一些知识的问题。（3）有意识地将新知识的学习和研究方法渗透到教学过程之中，通过教学过程的设计，将这部分内容适当展开，重新组合，使知识的传授和能力的培养有机地结合到一起。（4）利用几何画板方便地研究出幂函数的图象，充分展示由幂指数的变化引起幂函数图象的变化的内部规律。这样学生就容易从所举函数的个性中归纳出共性来，从而在整体上对幂函数的图象与性质有较深刻的了解。

高中数学中的函数图象变换及练习题

高中数学中的函数图象变换及练习题 ①平移变换： Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左 (0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到； 1）y =f (x )h 左移→y =f (x +h)；2）y =f (x ) h 右移→y =f (x -h)； Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上 (0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到； 1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ；2）y =f (x ) h 下移→y =f (x )-h 。 ②对称变换： Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； y =f (x ) 轴 y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到； y =f (x ) 轴 x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到； y =f (x ) 原点 →y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。 y =f (x ) x y =→直线x =f (y ) Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到 ③翻折变换： Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原 y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到 ④伸缩变换： Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y =f (x )a y ?→y =af (x ) Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a 倍得到。f (x )y =f (x )a x ?→y =f (ax ) 1.画出下列函数的图像（1）)(log 2 1 x y -= （2）x y )21(-= （3）x y 2 log = （4）12-=x y （5）要得到)3lg(x y -=的图像，只需作x y lg =关于_____轴对称的图像，再向____平移 3个单位而得到。（6）当1>a 时，在同一坐标系中函数x a y -=与x y a log =的图像（）

幂函数的图像性质和应用

幂函数分数指数幂正分数指数幂的意义是：m n a =0a >，m 、n N ∈，且1n >）负分数指数幂的意义是：m n a -= （0a >，m 、n N ∈，且1n >） 1、幂函数的图像与性质幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当11 2,1,,,323 n =±±±的图像和性质，列表如下．从中可以归纳出以下结论： ① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限． ② 11 ,,1,2,332a = 时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1 ,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数． ④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．

0n < 幂函数基本性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 规律总结 1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论； 2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． O x y O x y O x y