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测评网学习资料-高二上期末考试模拟试题十二

高二上期末考试模拟试题十二

数 学

(测试时间:120分钟 满分150分)

第 I 卷

一.选择题 1.已知F 是抛物线4

1=y 2

x 的焦点,P 是该抛物线上的动点,则线段PF 中点的轨迹方程是( )

(A )122-=y x (B )16122

-

=y x (C )212

-=y x (D )222-=y x 2.若双曲线的两条渐近线方程是2

3

±=y x ,焦点 F 1(0,26-), 2F (0,26) ,那么它的两条准线间的

距离是( ) (A).

26138 (B) 26134 (C) 261318 (D)2613

9

3.点P (-3,1)在椭圆

12

2

22=+b y a x ()0>>b a 的左准线上,过点P 且方向为)5,2(-=a 的光线,经直线y =-2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率是( ) (A )

31 (B) 33 (C) 2

2 (D)21 4.当曲线241x y -+=与直线y=k(x-2)+4有两个相异交点时, 实数k 的取值范围( ) (A ))125,

0( (B)???

??43,31 (C) ??

? ??43,125 (D)???

??+∞,125

5.已知A,B 是平面上的两个定点,M 是以A 为圆心定长L 为半径的圆上的 一个动点,线段MB 的中垂线

交直线MA 于点P ,则点P 的集合构成的图形是( )

(A )椭圆 (B) 双曲线的一支 (C) 抛物线 (D)不能确定

6.已知k 是常数,若双曲线1252

2=-+-k

y k x 的焦距与k 的取值无关,则k 的取值范是

(A )-25 (C) 02≤<-k (D)20<≤k

7.若直线y=kx+2与双曲线62

2

=-y x 的右支有两个不同的交点,则k 的取值范围是( )

(A) ???? ??-315,315 (B) ????

??315,0 (C) ????

??-0,315 (D) ???

? ??--1,315

8.已知直线L 交椭圆

116

202

2=+y x 于M,N 两点,椭圆于y 轴的正半轴交于点B ,若B M N ?的重心恰好落

在椭圆的右焦点上,则直线L 的方程是( )

(A)5x+6y-28=0 (B) 5x -6y-28=0 (C) 6x+5y-28=0 (D) 6x -5y-28=0

9.已知点A(5,2),F 是双曲线

19

162

2=-y x 的右焦点,M 是双曲线右支上的一点,则MA MF 54+ 的最小值是( ) (A)9 (B)12 (C)16 (D)20

10.一抛物线型拱桥,当水面离桥顶2米时,水面宽4米,若水面下降1米时,则水面宽为 (A)6米 (B)62米 (C) 4.5 米 (D)9米

11.一个酒杯的截面是抛物线的一部分,它的方程是)200(22≤≤=y y x ,在杯内放入一个玻璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃球的半径r 的范围为( )

(A )10≤

12.已知x,y 满足:????

???≥≥-+≥≤-+0

321

052y y x x y x ,则x y 的最值是( )

(A )最大值为2,最小值为0 (B )最大值为2,无最小值

(C )无最大值,最小值为0 (D )无最值 二.填空题(每题4分,共16分)

13.已知圆上点A (1,0)关于直线x+2y-3=0的对称点仍然在这个圆上,且直线x+2y-3=0被圆截得的弦长为4,则这个圆的方程是

14.以定点A (2,8)和动点B 为焦点的椭圆经过点P (-4,0),Q (2,0),则动点B 的轨迹方程是 15.某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F 为左焦点的椭圆,测得近地点A 距离地面m km ,远地点B 距离地面n km ,地球的半径为R km ,关于椭圆有以下四种说法: (1)焦距长为n-m (2)短轴长为))((r n r m ++ (3) 离心率R

n m m

n 2++-=

(4)以AB 方向为x 轴的正方向,F 为坐标原点,则左准线方程为m

n R n R m x -++-=)

)((2,

以上说法正确的是 16.若x,y 为整数,则称坐标平面上的点(x,y )为格点,直线10

3

73+=x y 与格点的距离的最小值是 三.解答题:

17.已知双曲线的中心在原点,焦点21,F F 在坐标轴上,离心率为2,且过点()

10,4-, (1)求双曲线方程。

(2)若点M (3,m )在双曲线上,求证:21MF MF ⊥。 (3)求:21MF F ?的面积。

18.已知中心在原点的椭圆C 的两个焦点和椭圆1C :36942

2

=+y x 的两个焦点是一个正方形的四个顶点,且椭圆C 过点A (2,-3),

(1)求椭圆C 的方程

(2)若PQ 是椭圆C 的弦,O 是坐标原点,OQ OP ⊥,且点P 的坐标为(

)

32,2 ,求点Q 的坐标。

19.已知圆()()R m m m y m mx y x ∈=--+---+024********* (1)求证:不论m 为何值,圆心在同一直线L 上。 (2)与L 平行的直线中,哪些与圆相交,相切,相离;

(3)求证:任何一条平行于L 且与圆相交的直线被圆截得的弦长相等。 20.设A ()11,y x ,B (22,y x )两点在抛物线22x y =上,L 是AB 得垂直平分线,

(1)当且仅当21x x +取何值时,直线L 经过抛物线得焦点F ?证明你的结论;(2)当3,121-==x x 时,求直线L 得方程。

21.如图所示,线段AB =4,动圆1O 与线段AB 切于点C ,且BC AC -=22,过点A,B 分别作圆1O 的切线,两切线相交于P ,且P 1O 均在AB 的同侧,

(1)建立适当的坐标系,当1O 位置变化时,求动点P 的轨迹E 的方程;

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面积的最小值。

22如图,直线1L :y=kx(k>0)与直线2L :y=-kx 之间的阴影区域(不含边界)记为W ,其左半部分记为1W ,右半部分记为2W ,

(1) 分别用不等式组表示1W 和2W ;

(2) 若区域W 中的动点P (x,y )到1L ,2L 的距离之积等于2

d ,求点P 的轨迹C 的方程;

(3) 设不过原点O 的直线L 与(2)中的曲线C 相交与21,M M ,且与1L ,2L 分别交于43,M M 两点,

求证:21M OM ?的重心与43M OM ?的重心重合。

答案

一.选择题

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二,填空题

13. ()432

2

=+-y x 或458512

2=??

? ??-+??? ??+y x 14. 双曲线()18122=-+y x 的右支 15.(1)(3)(4) 16. 580

58

三.解答题

17.(1)因为 e =2 所以设双曲线方程为λ=-22y x ……………………2’ 因为过(4,10-)点,所以16-10=λ,即λ=6, 所以双曲线方程为622=-y x

(2)易知()

0,321-F ,()

0,322F ,所以3

231+=

m k MF ,3

232-=

m k MF

所以1MF k 。2MF k =3

1292

2m m -=- (6)

因为点(3,m )在双曲线上,所以9-2

m =6,2

m =3

故1MF k 。2MF k =-1,2MF k ⊥1MF k ………………………………………………8 (3)M F F 21?的底21F F =43,其高为h =m =3

所以M F F s 21?=6………………………………………………………………………12 18.椭圆1C :36942

2

=+y x 的两个焦点'1F (0,5-),'

2F (0,5),

又椭圆C 与椭圆1C 的焦点1F ,2F ,'1F ,'

2F 是一个正方形的四个顶点,椭圆C 的中心在原点, 所以1F ,2F 关于原点对称,所以2F (0,5),1F (0,5-)

故椭圆方程C 可以设为:122

22=+a

y b x ()0>>b a (3)

因为椭圆C 过点A (2,-3),所以5

1

942222=-=+???b a a

b ,解得,?????==101522b a 或?????-==2

322

b a (舍) 所以椭圆C 的方程是

115

102

2=+y x ……………………………………………………6 (2)设Q (0x ,0y ),因为OP ⊥OQ,所以OP k 。OQ k =

2

32。

x y =-1 所以0y =-61

0x 又因为115102

020=+y x ,所以3061232

202

0=???

? ??-+x x ,

30±=x ,则26,300-

==y x 或2

6,300=-=y x 故点Q 为)26,3(-

或)2

6

,3(-………………………………………………………………12 19.解 (1)配方得()()[]25132

2

=--+-m y m x ,设圆心为(x,y )

则?

??-==13m y m

x 消去m 得L :x-3y-3=0 (2)

则圆心恒在直线L ::x-3y-3=0上………………………………………………………………4 (2)设与

L

平行的直线是1L :x-3y +b=0,则圆心到直线1L 的距离为

10

310

)1(33b b

m m d +=

+--=

(6)

因为圆的半径为r =5,所以

当d

当d>r 时,即b<3105--或b>3105-时,直线与圆相离,…………………………8 (3)对于任一平行L 且与圆相交的直线1L :x-3y +b=0,由于圆心到直线1L 的距离10

3b d +=,从而弦

长=22d r -与m 无关,

所以任何一条平行于L 且与圆相交的直线被圆截得的弦长都相等, (12)

20.解 (1)因为F ∈L ,∴∣FA ∣=∣FB ∣∴A ,B 两点到抛物线的准线的距离相等----2分

∵抛物线的准线是X 轴的平行线,y1≥0,y2≥0,依题意y1,y2不同时为0,所以上述条件等价于y1=y2?x 2

1

=x 22?(x1+x2)(x1-x2)=0 ----------4分

∵x1≠x2,上述条件等价于x1+x2=0,既当且仅当x1+x2=0时,L 经过抛物线的焦点F

-------6分

(2)1y =212x =2,2

222x y ==18

∴过点AB 的直线的斜率为

41

21

2-=--x x y y ---8分

∵L 与AB 垂直∴L 的斜率为

4

1

------------------------10分 又线段AB 的中点坐标为(

)2

,22

121y y x x ++即(-1,10) ∴L 的直线方程为y-10=

4

1

(x+1) 即所求的方程为x-4y+41=0--------------------------12分

21.解 (1)以线段AB 所在直线为x 轴,线段AB 的中垂线为y 轴,建立直角坐标系,...1 如图,设P (x,y ),因为PE =PF ,AE =AC ,BC =BF (2)

所以AC -BC =PA -PB =22<4,所以点P 的轨迹是以A,B 为焦点,22为实轴长的双曲线的右支(除去与x 轴的交点),a =2,c =2,所以2

b =2,所以点P 的轨迹E 的方程是222=-y x (2>x ) (6)

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(2)设MN :x=αcot .y +2(

<

<απ

4

4

令k '=αcot (-1

则MN :x =k 'y +2由x =k 'y +2,22

2=-y x (2>

x )消去x 得

(2

k '-1)2

y +4k 'y +2=0,设M(11,y x ),N (22,y x ),则21y y -=2

212

22k k '

-+', Y

AMN S ?=21AB .21y y -=21?4?2

212

22k k '

-+'=4

4

1242

2-'++'k k (10)

因为1≤2

k '<2,所以4<2

k '+1+1

4

2

+'k ≤1+4=5 所以0<2

k '+1+

1

4

2

+'k -4≤1,所以AMN S ?≥24 当k '=0,即MN ⊥x 轴时,AMN S ?有最小值24。…………………………………12…

)

14(3

030,30302)(2)(2,,,),(),(,2)(,2),,)(,(,)12(0))((4)2(,0C 02)(,0)1()

0()10(),0,3

2(

,),0,(C ,),0()3()8(0)1(,1

)6(0,),(),5(1||1

|

|1||,0::,0:)2()3}(0,|),{(},0,|),{()1(22

'43214

3214321212143432

1224343443,34321212

221221121'222222222222222222222'4321432121'2222222

222'222'22

2222

2221'21的重心重合。的重心与于是所以

所以从而,得及由的坐标分别为设则的坐标分别为设且有两个不同交点,可知与曲线由直线得由的方程为轴不垂直时,设直线与当直线即它们的重心重合。的重心坐标都为的中点坐标都为轴对称,于是关于与轴对称,且关于曲线由直线的方程为轴垂直时,可设直线与当直线即知由即由题意得

直线直线M OM M OM y y y y x x x x y y n x x m n x x m y y x x m

k m n

x x m

k n

x m k n x n m x y kx y n m x y kx y y x y x M M n

x x m y y m k m n

x x y x y x M M d d k n m k m n m k l d d k n m nx x m k n m x y d k y x k n n m x y l x l a

M OM M OM a M M M M x l l x l a a x l x l d k y x k d k y x k y x k W y x P d k y x k d k y kx k y kx y kx l y kx l x kx y kx y x W x kx y kx y x W ??++=++++=+++=++=++=++=-=

++-=-=+=-=+==++=+-=

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