7排列组合的综合问题
7排列组合的综合问题（第7课时）
**学习目标**
1．
2．
**要点精讲**
1．
2．
**范例分析**
例1．
例2．排列、组合的混合问题，主要指既与组合有关，又与排列有关的应用问题.如分配问题.
例6六本不同的书,按下列条件,各有多少种不同的分法?
(1) 分为三堆,每堆2本；
(2) 分为三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本；
(3) 分给甲、乙、丙三人，每人2本；
(4) 分给甲、乙、丙三人，一人得1本，一人拿2本，一人得3本；
(5) 分给甲、乙、丙三人，每人至少得1本.
解(1) 依题意,每次从书中取2本,共有种取法.但ab，cd，ef；ab，ef，cd；cd，ef，ab；cd，ab，ef；ef，ab，cd；ef,cd，ab.作为三堆书来说，它们是同一种分法.
故将6本书分成三堆,每堆2本,应有＝15种不同的分法．
(2) 共有＝60种不同的分法．
(3) 解法１由(1)先将6本书分成三堆，每堆2本，共有种分法（先分组）；
再分给甲、乙、丙三人，有·种分法（再分配）．故共有90种不同的分法．
解法２甲先取，有种取法；乙再去取，有种取法；最后丙去取，有种取
法．故共有
· ·
＝90种取法．
(4) 由于谁得1本，2本，3本并不确定，即得1本书的可以是甲，也可以是乙，也可以是丙．故相当于在(2)的基础上，将三堆书分配给甲、乙、丙三人，故共有＝360种分法．
(5) 依题意，可以有如下三种分法：ⅰ)2，2，2；ⅱ)1，2，3；ⅲ)1，1，4． ⅰ)就是题(3)； ⅱ)就是题(4)．
ⅲ)的分法有
＝90种．
∴ 共有90＋360＋90＝540种分法．
评析 本例属分配问题，解这类问题的基本思路是先分组，再分配，即先组合、后排列．同时注意在分组时，若出现平均分组（即两组元素个数相同）的情况，则要除以组数（即平均分组的数目）的阶乘．
若平均分组时各组的元素均为1时，可将这几个组放在最后取，因为它的分法仅一种，如题(5)第ⅲ)种情况：1，1，4．我们可以先从6本书中取出4本，有
种取法，剩下的两
本书，分成1，1两堆，只有一种分法，故共有
种分法．类似地，如将8本书分成1，1，
1，1，2，2六组，则有
＝840种分法．因为剩下的4本书分成4组，每组1本的分
法只有1种．
例4（2002年北京文科高考题）5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
（A ）480 种 （B ）240种 （C ）120种 （D ）96种
误解：先从5本书中取4本分给4个人，有4
5A 种方法，剩下的1本书可以给任意一个人有4种分法，共有480445=?A 种不同的分法，选A .
错因分析：设5本书为a 、b 、c 、d 、e ，四个人为甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下的表1和表2：
乙 丙 丁 a 甲 e d c b 表1 乙
丙 丁 a 甲 e d c b 表2
表1是甲首先分得a 、乙分得b 、丙分得c 、丁分得d ，最后一本书e 给甲的情况；表2是甲首先分得e 、乙分得b 、丙分得c 、丁分得d ，最后一本书a 给甲的情况.这两种情况是完全相同的，而在误解中计算成了不同的情况。正好重复了一次.
正解：首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人.第一步：从5本书中任意取出2
本捆绑成一本书，有25C 种方法；第二步：再把4本书分给4个学生，有4
4A 种方法.由乘法原理，共有?25C 24044=A 种方法，故选B .
例3．
例4．例12、设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳1
个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有 种（用数字作答）.
解：赋值。记质点沿x 轴正方向跳1个单位为1+，沿x 轴负方向跳1个单位为1-， 经过5次跳动质点落在点（3，0）处的方法数，即为不定方程123453x x x x x ++++=的解
的个数，其中1,1,2,3,4,5i x i =±=。显然，i x 中必有四个数为1+，一个数为1-，故有1
55
C =种方法。
推广1：设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳
1个单位，经过()
21n n N *
+∈次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，问质点
不同的运动方法共有多少种？
仿上，质点不同的运动方法种数，即为不定方程123213n x x x x +++++=的解的个数，
其中1,1,2,3,
,21i x i n =±=+。显然，i x 中必有2n +个数为1+，1n -个数为1-，故共
有121n n C -+种方法。
推广2：设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳
1个单位，经过()
n n N *
∈次跳动质点落在点()()
,0,m m n m N *<∈（允许重复过此点）
处，问质点不同的运动方法共有多少种？
仿上，质点不同的运动方法种数，即为不定方程123n x x x x m ++++=的解的个数，
其中1,1,2,3,
,i x i n =±=。显然，,m n 有相同的奇偶性，且i x 中必有
2
n m
+个数为1+，2
n m
-个数为1-，故共有2n m
n C -种方法。 推广3：设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿与x 轴平行或重合的方向跳动，每次
向正方向或负方向跳1个单位，沿与y 轴平行或重合的方向跳动，每次向正方向或负方向跳
1个单位，经过()
n n N *
∈次跳动质点落在点()()
,,,s t s t N s t n *∈+<（允许重复过此点）
处，问质点不同的运动方法共有多少种？
一般地，质点的运动途径分横、纵两步完成。设沿与x 轴平行或重合的方向跳动p 次，其方法数为不定方程123p x x x x s +++
+=（1,1,2,3,
,i x i p =±=）的解的个数，有
2p s p
C
-种方法；沿与y 轴平行或重合的方向跳动n p -次，其方法数为不定方程
123n p y y y y t -++++=（1,1,2,3,
,i y i n p =±=-）的解的个数，有2n p t n p
C
---种方法，
其中s p n t ≤≤-，p 与s 、s t +与n 有相同的奇偶性。记22p s n p t p p
n p
a C
C
----=?，则共有
24n t
s s s n t i i s
T a a a a a -++-==+++
+=∑种不同的方法。
**规律总结**
2.解排列组合的应用题，要注意四点：
（1）仔细审题，判断是组合问题还是排列问题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步.
（2）深入分析、严密周详，注意分清是乘．还是加．，既不少也不多，辩证思维，多角度分析，全面考虑，这不仅有助于提高逻辑推理能力，也尽可能地避免出错.
（3）对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类计数原理或分步计数原理来解决.
（4）由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看是否相同.在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复.
**基础训练** 一、选择题
884. 如图,A 、B 、C 、D 是某油田的四口油井,计划建三条路,将这四口油井连结起来(每条路只
连结两口油井),那么不同的建路方案有 …( )
A.12种
B.14种
C.16种
D.18种
885. 在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，y 轴正半轴上有3个点，连成15条线段，
这15条线段在第一象限内的交点最多有( )
A.105个
B.35个
C.30个
D.15个
886. 将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内
放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不．一致的放入方法种数为 A ．120 B ．240 C ．360 D ．720
887. (2005年高考·湖北卷·文9)把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全
部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （ ） A ．168 B ．96 C ．72 D ．144
888. (2005年高考·北京卷·文8)五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程
队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有 （ ）
A ．C 14C 44种
B ．
C 14P 4
4种
C ．C 44种
D ．P 44种
例6、在某次乒乓球单打比赛中，原计划每2名选手恰好比赛一场，但有3名选手各比赛
了2场之后就退出了。这样全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是（ ）
.0A .1B .2C .3D
解：选B 。设共有选手n 名，则50场比赛中包括了()3n -名选手的所有比赛，3名选手之间的比赛r 场，以及()3n -名选手与3名选手间的比赛场数x 。
因为3名选手各赛了2场，共赛6场，但3名选手之间的比赛被重复计算，所以62x r =-。
由此可得，()2
35062n C r r -=++-，其中03r ≤≤，5,n n N ≥∈。
所以，()()34882n n r --=+，只有当1r =时有整数解13n =。
例7、在集合{}10,,3,2,1 =M 的所有子集中，有这样一族不同的子集，它们两两的交集都不是空集，则这样的子集最多有（ ）
A 、 1024个
B 、512个
C 、100个
D 、81个
解：选B 。由集合M 的所有6、7、8、9、10元子集构成的子集族满足条件，另外，在 所有5元子集中，有一半符合条件，故共有6
7
8
9
10
5
10101010101015122
C C C C C C +++++
=个。 例20、两个同心圆，小圆上有3个点，大圆上有6个点，经过这9个点，最多可组成多少条直线？最少可组成多少条直线？
解：最多有2
936C =条；当小圆上两点与大圆上两点共线时，可组成的直线最少，有22943321C C -+=条。
二、填空题
889. 【2004浙江理15文16】设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正
方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有__________种
三、解答题
**能力提高**
11．从1、2、3、4、7、9这6个数中任意取出两个数分别作为一个对数的底数与真数，可组成多少个不同的对数值？
解：当1为对数的真数时，对数值为0；从2、3、4、7、9这5个数中任意取出两个数分别
作为一个对数的底数与真数，可以写出2
5A 个对数式，其中对数值相同的有
24log 3log 9=，39log 2log 4=，23log 4log 9=，49log 2log 3=，故可组成
251417A +-=个不同的对数值。
**参考答案**
1．排列
（1）排列的定义：从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素，按照一定的 排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列。
（2）排列数的定义：从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素的 的个数叫做
从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数，用m
n A 表示。 （3）排列数公式：m n A ＝ .
（4）全排列：n 个不同的元素全部取出的 ，叫做n 个为同元素的一个全排列，
(1)(2)21________m n A n n n =?-?-?
??=.于是排列数公式写成阶乘的形式为
________m n A =，这里规定0!_______.=
2．组合
（1）组合的定义：从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素 叫做从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素的一个组合。
（2）组合数：从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素 的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素的组合数，用m
n C 表示。
（3）组合数的计算公式：()
m m n
n
A C =＝____________＝___________. 由于
0!_______=所以0
______.n C =
（4）组合数的性质：①___________m n C =；②1____________________.m n C +=+
1．排列与组合的定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。处理排列组合的综合题一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列组合问题的基本方法和原理，通过训练要注意积累分类与分步的基本技能； 2．复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字简化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径。由于结果的正确性难以直接验证，因而常常需要用不同的方法求解来获得对结果的检验；
3．在解决排列组合的综合题蛙，必须深刻理解排列组合的概念，能够熟练确定一个问题是排列问题还是组合问题，牢记排列数、组合数的计算公式和组合数的性质。 4．排列组合问题的常见解法主要有以下几种： （1）特殊元素优先安排的策略； （2）合理分类与准确分步的策略；
（3）排列、组合混合问题先选后排的策略； （4）正难则反、等价转化的策略； （5）相邻问题捆绑处理的策略； （6）不相邻问题插空处理的策略； （7）定序问题除法处理的策略； （8）分排问题直排处理的策略； （9）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略； （10）构造模型的策略。
例4．4个不同的红球和6个不同的白球放入同一个袋中，现从中取出4个球： （1）若取出的球的个数不少于白球的个数，则有多少种不同的取法？
（2）取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球总分不小于5分，则有多少种不同的取法？ ［剖析］（1）由于取出的4个球中红球的个数不少于白球的个数，因此至少要取出2个红球，可分为三类：①全部取出红球；②取出3个红球；③取出2个红球，可用搭配法进行求解。 ［解］（1）依题意可知，取出的4个球中至少有2个红球，可分为三类：
①全取出红球，有44C 种不同的取法；②取出的4个球中有3个红球1个白球，有3146C C ?种取法；③取出的4个球中有2个红球2个白球的取法有2246
C C ?种不同的取法， 由分类加法计数原理知，共有44C ＋3146C C ?＋2246
C C ?＝115种不同的取法。 （2）依题意中知，取出的4个球中至少要有1个红球，从红白10个球中取出4个球的取法
有410C 种不同的取法，而全是白球的取法有46C 种，从而满足题意的取法有：410C －4
6C ＝195.
［警示］在解决某些问题时，直接法往往不能奏效，需要利用间接法去求解，即把问题中不符合题意要求的情况求出来，从总数减去即可得到所要求解的结果。直接法与间接法在使用时要根据题目的特点进行恰当地选择，在直接法不便解题时，应考虑使用间接法。
例5．某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆，现从这个公司中抽调出10辆车，并且每个车队中至少抽取1辆车，那么共有多少种不同的抽调方式？
［剖析］要抽取7辆车，可以看作是将7个抽取名额分配到7个车队中去，每个车队至少有一个名额，从而可想到分类，也可以使用挡板法。
［解］解法一：在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车，可分为三类：从第一个
车队中抽调，有1
7C 种；从两个车队中抽调，一个车队中抽1辆，另一个车队中抽2辆，有
2
742C =种；从三全车队中抽调，每个车队中抽调1辆，有37
35C =种。故由分类加法计数原理知，共有7423584++=种抽调方法。
解法二：（档板法）由于每个车队的车均多于4辆，只需将10个份额分成7份.可将10个元素排成一排，在相互之间的9个空档（除去两端）中插入6个档板，即可将元素纷成了7
份，因而有6
984C =种抽调方法。
［警示］指标分配问题是指n 个相同的元素分配给m 个不同的单位（n m >），每个单位至少分配一个元素。该问题常用档板法来解决，在元素的个数不是太多时，有时也可以用分类法来解决（如本例）。在有些问题中，有时还需要分析，把相似的其它问题转化为档板问题，比如求方程10a b c ++=有多少组不同的正整数解，就相当于当10个相同的糖果分给3个小朋友，每位小朋友至少一个，有多少种不同的排法。
例6．有10只不同的试验产品，其中4只是次品，6只是正品。现每次取1只进行测试，直到4只次品全部测出为止，求最后1只次品恰好在第五次测试时被发现的不同的情形有多少种？
［剖析］本题的实质是前五次测试中有1只是正品，4只正品，且第五次测试的是次品。 ［解］解法一：设想有5个位置，先从6只正品中任选1只，放在前四个位置的任一个上，
有1164C C 种方法；再把4只次品在剩余的四个位置上任意排列，有44A 种排法，故不同的情形有1164C C 44
576A =种。 解法二：设想有5个位置，先从4只次品中任选1只，放在第五个位置上，有14C 种方法；再从6只正品中任选1只，和剩下的3只次品一起在前四个位置上任意排列，有1464C A 种方法。故不同的情形共有14C 1464576C A =种。
［警示］排列组合问题从解法看，大致有以下几种：（1）有附加条件的排列组合问题，大多需要分类讨论的方法，注意分类时应不重不漏；（2）排列与组合的混合型问题，用分类加法或分步乘法计数原理解决；（3）元素相邻，可以看作是一个整体的方法；（4）元素不相邻，可以利用插空法；（5）间接法，把不符合条件的排列与组合剔除掉；（6）穷举法，把不符合条件的所有排列或组合一一写出来。 1．（2006年天津卷）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．36种 D ．52种 2．（2007年广东深圳）5人站成一排,甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数 ( ) A ． 18 B ．24 C ． 36 D ． 48 3．以一个正方体顶点为顶点的四面体共有（ ） A ．70个 B ．64个 C ．58个 D ．52个
4．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承
担这三项任务，不同的选法总数有（）
A．1260种B．2025种C．2520种D．5040种
5．（2006年全国II卷）5名志愿者分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法有（）
A．150种B．180种C．200种D．280种
6．为配制某种染色剂，需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种添加剂，其中有机染料的添加顺序不可以相邻。现研究试验所有的不同添加顺序对染色效果的影Array响，总共要试验的次数为（用数字作答）
7．如图，A、B、C、D为海中的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连
接起来，不同的建桥方案共有种。
8．在平面直角坐标系xoy中，已知点A（1,1）、B（－2，－2）、C（3,5）、
D（－1,1）、E（1，－1）、O（0,0），则过这6个点可以组成的不同的三角
形的个数为
9．（2006年江苏卷）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法（用数字作答）。
10．在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，求共有多少种安排方法?
11.四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有多少种？
12. 某种产品有5件不同的正品，4件不同的次品，现在一件件地进行检测，直到4件次品全部测出为止，则最后一件次品恰好在第6次检测时被测出，这样的检测方案有多少种？
10.4 排列与组合的综合问题
●知识梳理
1.排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题，排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合问题的基本思维是“先组，后排”.
2.解排列组合的应用题，要注意四点：
（1）仔细审题，判断是组合问题还是排列问题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步.
（2）深入分析、严密周详，注意分清是乘．还是加．，既不少也不多，辩证思维，多角度
分析，全面考虑，这不仅有助于提高逻辑推理能力，也尽可能地避免出错.
（3）对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类计数原理或分步计数原理来解决.
（4）由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看是否相同.在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复.
●点击双基
1.（2004年福建，理6）某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为
A.A 26C 24
B.
2
1A 26C 2
4
C.A 26A 24
D.2A 2
6
解析：将4名学生均分成两组，方法数为
2
1C 2
4，再分配给6个年级中的2个，分配方法数为A 2
6，∴合要求的安排方法数为
2
1C 24·A 26. 答案：B
2.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为
A.24
B.48
C.120
D.72
解析：若不含A ，则有A 44种；若含有A ，则有C 34·C 12·A 33种.∴A 44+C 34·C 12·A 33=72.
答案：D
3.5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为 A.480 B.240 C.120 D.96
解析：先把5本书中的两本捆起来（C 25），再分成四份（A 44），∴分法种数为C 25·A 44=240.
答案：B
4.从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有_____________个.（用数字作答）
解析：①四位数中包含5和0的情况：
C 13·C 14·（A 33+A 12·A 2
2）=120.
②四位数中包含5，不含0的情况：
C 13·C 24·A 33=108.
③四位数中包含0，不含5的情况：
C 23C 14A 33=72.
综上，四位数总数为120+108+72=300. 答案：300
5.市内某公共汽车站有10个候车位（成一排），现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式共有_____________种.（用数字作答）
解析：把四位乘客当作4个元素作全排列有A 44种排法，将一个空位和余下的4个空位
作为一个元素插空有A2
5种排法.∴A4
4
·A2
5
=480.
答案：480
●典例剖析
【例1】从6名短跑运动员中选4人参加4×100 m接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法?
解法一：问题分成三类：（1）甲、乙两人均不参加，有A4
4
种；（2）甲、乙两人有且仅
有一人参加，有2C3
4（A4
4
－A3
3
）种；（3）甲、乙两人均参加，有C2
4
（A4
4
－2A3
3
＋A2
2
）
种.故共有252种.
解法二：六人中取四人参加的种数为A4
6
，除去甲、乙两人中至少有一人不排在恰当位
置的有C1
2A3
5
种，因前后把甲、乙两人都不在恰当位置的种数A2
4
减去了两次.故共有A4
6
－
C1
2A3
5
＋A2
4
=252种.
评述：对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种方法处理. 【例2】对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次
品为止.若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?
解：C1
4（C1
6
C3
3
）A4
4
=576，第5次必测出一次品，余下3件在前4次被测出，从4件
中确定最后一件品有C1
4种方法，前4次中应有1正品、3次品，有C1
6
C3
3
种，前4次测试
中的顺序有A4
4
种，由分步计数原理即得.
评述：本题涉及一类重要问题，即问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素（即组合）后排列.
思考讨论
用类似的方法，讨论如下问题.
某种产品有5件不同的正品，4件不同的次品，现在一件件地进行检测，直到4件次品全部测出为止，则最后一件次品恰好在第6次检测时被测出，这样的检测方案有多少种？
提示：问题相当于从10件产品中取出6件的一个排列，第6位为次品，前五位有其余3件次品，可分三步：先从4件产品中留出1件次品排第6位，有4种方法；再从5件正品
中取2件，有C2
5种方法；再把3件次品和取出的2件正品排在前五位有A5
5
种方法.所以检
测方案种数为4×C2
5·A5
5
=4800.
【例3】在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄.为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有多少种？
解：依题意，A、B两种作物的间隔至少6垄，至多8垄.（1）间隔6垄时，有3×A2
2
种；
（2）间隔7垄时，有2×A2
2种.（3）间隔8垄时，有A2
2
种.所以共有3A2
2
+2A2
2
+A2
2
=12
种种植方法.
【例4】有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是
A.234
B.346
C.350
D.363
解法一：分类讨论法.
（1）前排一个，后排一个，2C1
8·C1
12
=192.
（2）后排坐两个（不相邻），
2（10+9+8+…+1）=110.
（3）前排坐两个，2·（6+5+…+1）+2=44个.
∴总共有192+110+44=346个.
解法二：考虑中间三个位置不坐，4号座位与8号座位不算相邻.
∴总共有A2
19
+2+2=346个.
答案：B
评述：本题考查分类讨论在解排列组合应用题中的运用.这是一道难度较大的小综合题.
●闯关训练
夯实基础
1.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植.不同的种植方法共有
A.24种
B.18种
C.12种
D.6种
解析：∵黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法数是C2
3
种，在不同土质的三块土地上种植
的方法是A3
3
.
∴种法共有C2
3·A3
3
=18种.
答案：B
2.四个不同的小球全部随意放入三个不同的盒子中，使每个盒子都不空的放法种数为
A.A1
3A3
4
B.C2
4
A3
3
C.C3
4
A2
2
D.C1
4
C3
4
C2
2
解析：4个球放入3个盒子，则有一个盒子要放两个球，故C2
4A3
3
.
答案：B
3.书架上原有5本书，再放上2本，但要求原有书的相对顺序不变，则不同的放法有_____________种.
解析：分三步，每步各有6，7，8种放法，共有6×7×8=336种.
答案：336
4.（2004年浙江，文16）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点
．．）处，则质点不同的运动方法共有__________种.（用数字作答）
解析：记向左跳一次为－1，向右跳一次为+1，则只要5次和为+3，质点一定落在（3，0），
所以只需4个“+1”，1个“－1”即可，从5次中挑出一次取“－1”，结果数为C 15=5，故质点运动方法共有5种.
答案：5
5.在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，求共有多少种安排方法?
解法一：添加的三个节目有三类办法排进去：①三个节目连排，有C 17A 3
3种方法；②三个节目互不相邻，有A 37种方法；③有且仅有两个节目连排，有C 13C 17C 16A 22种方法.根据分类计数原理共有C 17A 33+A 37+C 13C 17C 16A 22=504种.
解法二：从结果考虑，排好的节目表中有9个位置，先排入三个添加节目有A 39种方法，余下的六个位置上按6个节目的原有顺序排入只有一种方法.故所求排法为A 39=504种.
解法三：
66
99A A =504.
评述：插空法是处理排列、组合问题常用的方法.
培养能力
6.18人的旅游团要选一男一女参加生活服务工作，有两位老年男人不在推选之列，共有64种不同选法，问这个团中男女各几人?
解：设这个团中有男人x 人，则有女人18－x 人，根据题意得C 12-x · C 1
18x -=64.解得
x =10.
∴这个团中有男10人，女8人.
7.（理）如下图，矩形的对角线把矩形分成A 、B 、C 、D 四部分，现用五种不同色彩给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，共有多少种不同的涂色方法?
A B
C
D
解法一：依题意，给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色：
第一类，用4种颜色涂色，有A 4
5种方法；
第二类，用3种颜色涂色，选3种颜色的方法有C 35种；在涂的过程中，选对顶的两部
分（A 、C 或B 、D ）涂同色，另两部分涂异色有C 12种选法；3种颜色涂上去有A 33种涂法.共C 35·C 12·A 33种涂法；
第三类，用两种颜色涂色.选颜色有C 2
5种选法；A 、C 与B 、D 各涂一色有A 22种涂法.共C 25·A 22种涂法.
所以共有涂色方法A 45+C 35·C 12·A 33+C 25·A 2
2=260种.
解法二：区域A 有5种涂色法；区域B 有4种涂色法；区域C 的涂色法有2类：若C 与A 涂同色，区域D 有4种涂色法；若C 与A 涂不同色，此时区域C 有3种涂色法，区域D 也有3种涂色法.
所以共有5×4×4+5×4×3×3=260种涂色法.
（文）10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取一只测试，直到4只次品全测完为止.求第4只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种?
分析：这个问题实际上可以看成是有约束条件的“10选5”排列.主要约束条件是第5个位置上的限定.考查对这类问题的“10选5”模型的转化.
解：优先考虑第五次（位置）测试.这五次测试必有一次是测试正品，有C 16种；4只次品必有一只排在第五次测试，有A 14种；那么其余3只次品和一只正品将在第1至第4次测
试中实现，有A 44种.于是根据分步计数原理有C 16A 14A 44种.
评述：C 16A 5
5是本题的错解，原因是这样排正好有可能正品出现在第五次测试.
探究创新
8.有点难度哟！
6名运动员分到4所学校去做教练，每校至少1人，有多少种不同的分配方法? 分析：人员分配有两类：1，1，1，3或1，1，2，2. 解法一：先取人，后取位子.
1，1，1，3：6人中先取3人有C 36种取法，与剩余3人分到4所学校去有A 4
4种不同分法，∴共C 36A 44种分法；
1，1，2，2：6人中取2人、2人、1人、1人的取法有C 26·C 24·C 1
2种，然后分到4
所学校去，有
2
2
2244
A A A ?种不同的分法，共
C 2
6·C 24·C 12
·
2
2
2244
A A A ?种分法.所以符合条件的
分配方法有
C 36A 4
4+C 2
6·C 24·C 12
·
22
22
44A A A ?=1560种.
解法二：先取位子，后取人.
1，1，1，3：取一个位子放3个人，有C 14种取法，6人中分别取3人、1人、1人、1
人的取法有C 36·C 13·C 12·C 11种，∴共有C 14·C 36·C 13·C 12·C 1
1种.
1，1，2，2：先取2个位子放2（其余2个位子放1）有C 24种取法，6人中分别取2
人，2人，1人，1人的取法有C 26·C 24·C 12·C 11种，共有C 24·C 26·C 24·C 12·C 11种.
所以符合条件的分配方法有C1
4·C3
6
·C1
3
·C1
2
+C2
4
·C2
6
·C2
4
·C1
2
=1560种.
●思悟小结
1.解排列、组合混合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本原理作最后处理.
2.对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏.
3.对于选择题的答案要谨慎选择，注意等价答案的不同形式.处理这类选择题可从分析答案形式入手，采用排除法.错误的答案，都是犯有重复或遗漏的错误.
●教师下载中心
教学点睛
1.对排列、组合的应用题应遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事件发生的过程进行分步.
2.对于有附加条件的排列组合应用题，通常从三个途径考虑：
（1）以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.
（2）以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.
（3）先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数.
3.关于排列、组合问题的求解，应掌握以下基本方法与技巧
（1）特殊元素优先安排；（2）合理分类与准确分步；（3）排列、组合混合问题先选后排；（4）相邻问题捆绑处理；（5）不相邻问题插空处理；（6）定序问题排除法处理；（7）分排问题直排处理；（8）“小集团”排列问题先整体后局部；（9）构造模型；（10）正难则反，等价转化.
拓展题例
【例1】（1）一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法?
（2）一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法?
解：（1）先将3人（用×表示）与4张空椅子（用□表示）排列如图（×□□×□□×），这时共占据了7张椅子，还有2张空椅子，一是分开插入，如图中箭头所示（↓
×□↓□×□↓□×↓），从4个空当中选2个插入，有C24种插法；二是2张同时插
入，有C1
4种插法，再考虑3人可交换有A3
3
种方法.
所以，共有A3
3（C2
4
+C1
4
）=60（种）.
下面再看另一种构造方法：
先将3人与2张空椅子排成一排，从5个位置中选出3个位置排人，另2个位置排空椅
子，有A3
5C2
2
种排法，再将4张空椅子中的每两张插入每两人之间，只有1种插法，所以
所求的坐法数为A3
5·C2
2
=60.
（2）可先让4人坐在4个位置上，有A4
4
种排法，再让2个“元素”（一个是两个作为
一个整体的空位，另一个是单独的空位）插入4个人形成的5个“空当”之间，有A 2
5种插法，所以所求的坐法数为A 44·A 25=480.
【例2】 已知1
证法一：由二项式定理（1+m ）n =C 0n m 0+C 1n m 1+…+C n n m n
， （1+n ）m =C 0m n 0+C 1m n 1+…+C m m m n ，
又因为
C i
i n
m =
!
A i i m i n ，C i
i m n =!A i n i i m ， 而A i n m i >A i i m n ，所以C 2n m 2>C 22n m ，C 33m n >C 3m n 3，…，C m m n m >C m
m m n .
又因为C 00m n =C 00n m ，C 11m n =C 11n m ，
所以（1+m ）n >（1+n ）m . 证法二：（1+m ）n >（1+n ）m
?n ln （1+m ）>m ln （1+n ）
?
m m )1ln(+>n n )
1ln(+. 令f （x ）=x
x )
1ln(+，x ∈［2，+∞］，
只要证f （x ）在［2，+∞］上单调递减，只要证f ′（x ）<0.
f ′（x ）=2)1ln(])1[ln(x x x x x +?'-'+=)
1()1ln(2)
1(x x x x x ++-+.
当x ≥2时，x －lg （1+x ）)1(x +<0，
x 2（1+x ）>0，得f ′（x ）<0，即x ∈［2,+∞］时，f ′（x ）<0.
以上各步都可逆推，得（1+m ）n >（1+n ）m .
排列组合综合问题
排列组合综合问题 教学目标 通过教学，学生在进一步加深对排列、组合意义理解的基础上，掌握有关排列、组合综合题的基本解法，提高分析问题和解决问题的能力，学会分类讨论的思想． 教学重点与难点 重点：排列、组合综合题的解法． 难点：正确的分类、分步． 教学用具 投影仪． 教学过程设计 （一）引入 师：现在我们大家已经学习和掌握了一些排列问题和组合问题的求解方法．今天我们要在复习、巩固已掌握的方法的基础上，来学习和讨论排列、组合综合题的一般解法． 先请一位同学帮我们把解排列问题和组合问题的一般方法及注意事项说一下吧! 生：解排列问题和组合问题的一般方法直接法、间接法、捆绑法、插空法等．求解过程中要注意做到“不重”与“不漏”． 师：回答的不错!解排列问题和组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等． 解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”． （教师边讲，边板书） 互斥分类——分类法 先后有序——位置法 反面明了——排除法 相邻排列——捆绑法 分离排列——插空法 （二）举例 师：我下面我们来分析和解决一些例题． （打出片子——例1） 例1 有12个人，按照下列要求分配，求不同的分法种数． （1）分为两组，一组7人，一组5人； （2）分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人； （3）分为甲、乙两组，一组7人，一组5人； （4）分为甲、乙两组，每组6人； （5）分为两组，每组6人； （6）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人； （7）分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人； （8）分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人； （9）分为甲、乙、丙三组，每组4人； （10）分为三组，每组4人． （教师慢速连续读一遍例1，同时要求学生审清题意，仔细分析，周密考虑，独立地求解．这是一个层次分明的排列、组合题，涉及非平均分配、平均分配和排列组合综合．各小题之
四年级下册数学讲义-奥数专题讲练：第六讲 排列组合的综合应用(例题解析版)全国通用
第六讲排列组合的综合应用 排列组合是数学中风格独特的一部分内容.它具有广泛的实际应用.例如：某城市电话号码是由六位数字组成，每位可从0～9中任取一个，问该城市最多可有多少种不同的电话号码？又如从20名运动员中挑选6人组成一个代表队参加国际比赛.但运动员甲和乙两人中至少有一人必须参加代表队，问共有多少种选法？回答上述问题若不采用排列组合的方法，结论是难以想像的.（前一个问题，该城市最多可有1000000个不同电话号码.后一个问题，代表队有20196种不同选法.） 当然排列组合的综合应用具有一定难度.突破难点的关键：首先必须准确、透彻的理解加法原理、乘法原理；即排列组合的基石.其次注意两点：①对问题的分析、考虑是否能归纳为排列、组合问题？若能，再判断是属于排列问题还是组合问题？②对题目所给的条件限制要作仔细推敲认真分析.有时利用图示法，可使问题简化便于正确理解与把握. 例1 从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？ 分析首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理.当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理.由此可知这是一道利用两个原理的综合题.关键是正确把握原理. 解：符合要求的选法可分三类： 不妨设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在5张国画中选1张，第二步再在3张油画中选1张.由乘法原理有5×3＝15种选法.第二类为国画、水彩画各一幅，由乘法原理有5×2＝10种选法.第三类油画、水彩各一幅，由乘法原理有3×2＝6种选法.这三类是各自独立发生互不相干进行的. 因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有15＋10＋6＝31种. 注运用两个基本原理时要注意： ①抓住两个基本原理的区别，千万不能混. 不同类的方法（其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完）数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数. 不同步的方法（全程分成几个阶段（步），其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段）数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数. ②在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则.请看一些例：从若干件产品中抽出几件产品来检验，如果把抽出的产品中至多有2件次品的抽法仅仅分为两类：第一类抽出的产品中有2件次品，第二类抽出的产品中有1件次品，那么这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况.又如：把能被2、被3、或被6整除的数分为三类：第一类为能被2整除的数，第二类为能被3整除的数，第三类为能被6整除的数.这三类数互有重复部分. ③在运用乘法原理时，要注意当每个步骤都做完时，这件事也必须完成，而且前面一个步骤中的每一种方法，对于下个步骤不同的方法来说是一样的. 例2 一学生把一个一元硬币连续掷三次，试列出各种可能的排列. 分析要不重不漏地写出所有排列，利用树形图是一种直观方法.为了方便，树形图常画成倒挂形式.
排列组合的应用
排列组合的应用 一、填空题： 1、有不同的书6本，平均分给甲、乙两人，有种分法。 2、某校举办排球赛，有10支队参赛，赛制为单循环赛，这次比赛共要进行场，冠军和亚军的获得者有种可能情况。 3、有5本不同的故事书，准备送给3个小朋友，如果每人只能得1本，有种送法；如果5本书都要送出，但不限定每个小朋友都得到，有种送法。 4、有8台车床，分配给甲、乙、丙三名技工管理，如果甲管4台，乙管3台，丙管1台，有 种分配方法；如果甲管4台，其余两人是一人管3台，1人管1台有种分配方法。 5、从1，2，3，4，5，6这六个数字中，任取两个相减，可得到个不同的差。 6、有8位男生，7位女生，现准备从中选出6人组成试验小组，如果男女各占一半，有种选法；如果最多只能有3位女生，有种选法。 二、选择题： 1、6个队员排成一列进行操练，其中新队员甲不能站排首，也不能站排尾，有（）种不同排法。 A、4P55 B、4P66 C、2P55 D、2P66 2、6件不同的商品将它们排成一列，陈列在橱窗里，如果a、b两件商品要分别放在两端，有（）种不同排法。 A、P44 B、P66-2 C、2P44 D、P46 3、某铁路线上一共有51个大小车站，铁路局要为这条路线准备（）种不同的车票。 A、102 B、2601 C、1275 D、2550 4、有甲、乙、丙、丁、戊5个队比赛足球，分主客场比赛，总共要比赛（）场。 A、10 B、20 C、25 D、120 5、如果从4，5，6，7，8，9，10，14，17各数中每次取出两个数，使其和为偶数，共有（）种选法。 A、20 B、16 C、9 D、32 6、从12名学生中选3人参加歌咏比赛的选法有（）种。A、1320 B、220 C、3960 D、660 7、某校文艺演出的节目中有5个是唱歌的，3个是舞蹈，若舞蹈节目不能安排成连续的，有（）种出场顺序。 A、120 B、240 C、336 D、14400 8、参加小组唱的6个男生和4个女生站成一排，要求女生站在一起有（）种不同站法。 A、10！ B、4！×6! C、4×7！ D、4！×7！ 9、若x、y分别在1、2、3、4、5、6中取值，则x+y=7有（）组解。 A、3 B、6 C、7 D、9 10、若x、y分别在0，1，2，…，9中取值，则点P（x,y）在第一象限中的点的个数是（） A、100 B、99 C、121 D、81 三、解答题： 1、某厂生产一批五档数字的号码锁（每档数字都可以是0，1，2，…，9这十个数字中的任一个），问产品中总共可有多少不同的锁？ 2、某市的电话号码从原来的7个数码，升位为8个数码，电话号码升位后，可增加多少用户（如果规定号码的第1个数字不得用0）。 3、用5面不同颜色的小旗升上旗杆，以作出信号，总共可作出多少种不同的信号（作信号时，可以只用一面小旗，也可以用多面小旗）？
排列与组合的综合应用.
高三数学(理一轮复习—— 10.3排列与组合的综合应用 教学目标:1. 进一步加深对排列、组合意义理解的基础上,掌握有关排列、组合综合题的基本解 法,提高分析问题和解决问题的能力,学会分类讨论的思想. 2. 使学生掌握解决排列、组合问题的一些常用方法。 教学重点:排列组合综合题的解法。教学过程: 一.主要知识: 解排列组合问题,首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成,对于元素之间的关系, 还要考虑“是有序”的还是“无序的” ,也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义,其次,对一些复杂的带有附加条件的问题,需掌握以下几种常用的解题方法: 1.特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们可以从这些特殊的东西入手,先解决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法。 2.科学分类法:对于较复杂的排列组合问题,由于情况繁多,因此要对各种不同情况,进行 3.分配、分组(堆问题的解法: 4. 插空法 :解决一些不相邻问题时, 可以先排一些元素然后插入其余元素, 使问题得以解决。 5.捆绑法:相邻元素的排列,可以采用“整体到局部”的排法,即将相邻的元素当成“一个” 6.排除法:从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法 . 7.剪截法(隔板法 :n 个相同小球放入m(m≤ n 个盒子里 , 要求每个盒子里至少有一个小球
的放法等价于 n 个相同小球串成一串从间隙里选 m-1个结点剪成 m 段 (插入 m -1块隔板 , 有 11 --m n C 种方法 . 8. 错位法:编号为 1至 n 的 n 个小球放入编号为 1到 n的 n 个盒子里 , 每个盒子放一个小球 . 要求小球与盒子的编号都不同 , 这种排列称为错位排列 . 特别当 n=2,3,4,5时的错位数各为 1,2,9,44.2个、 3个、 4个元素的错位排列容易计算。关于 5个元素的错位排 列的计算,可以用剔除法转化为 2个、 3个、 4个元素的错位排列的问题: ① 5个元素的全排列为:5 5120A =; ②剔除恰好有 5对球盒同号 1种、恰好有 3对球盒同号 (2个错位的 351C ?种、恰好有 2对球盒同号 (3个错位的 252C ?种、恰好有 1对球盒同号 (4个错位的 1 59C ?种。 ∴ 120-1-351C ?-252C ?-1 59C ?=44. 用此法可以逐步计算:6个、 7个、 8个、……元素的错位排列问题。 二.典例分析 【题型一】“分配” 、“分组”问题 例 1.将 6本不同的书按下列分法,各有多少种不同的分法? ⑴分给学生甲 3 本,学生乙 2本,学生丙 1本;
解决排列组合难题二十一种方法
高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =???种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C ，然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A ，由分步计数原理得113434288C C A = C 1 4 A 3 4 C 1 3 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需 先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
组合数学在计算机中的应用
目录 摘要 (1) 1.组合数学概述 (1) 2.组合数学在生活中的应用 (1) 3.组合数学与计算机软件 (1) 3.1 信息时代的组合数学 (2) 3.2 组合数学在计算机软件的应用 (2) 3.3组合数学与计算机软件的关系 (2) 3.4组合数学在国外软件业的发展状况 (2) 4 Ramsey 数在计算机科学中的应用 (3) 4.1Ramsey 定理和Ramsey 数 (3) 4.2信息检索 (3) 参考文献 (5)
组合数学在计算机中的应用 摘要：介绍了组合数学的概念、起源与研究的主要内容,分析了组合数学的特点以及其在生活中的应用,阐述了组合数学与计算机软件的联系,并着重通过两个例子说明了Ramsey 数在计算机科学的信息检索中的重要应用。 关键词：组合数学;组合算法;Ramsey 数;信息检索; 1：组合数学概述 组合数学，又称为离散数学，但有时人们也把组合数学和图论加在一起算成是离散数学。组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好象是有思维的。 2：组合数学在生活中的应用 在日常生活中我们常常遇到组合数学的问题。如果你仔细留心一张世界地图，你会发现用一种颜色对一个国家着色，那么一共只需要四种颜色就能保证每两个相邻的国家的颜色不同。这样的着色效果能使每一个国家都能清楚地显示出来。但要证明这个结论确是一个著名的世界难题，最终借助计算机才得以解决，最近人们才发现了一个更简单的证明。 当你装一个箱子时，你会发现要使箱子尽可能装满不是一件很容易的事，你往往需要做些调整。从理论上讲，装箱问题是一个很难的组合数学问题，即使用计算机也是不容易解决的。航空调度和航班的设定也是组合数学的问题。怎样确定各个航班以满足不同旅客转机的需要，同时也使得每个机场的航班起落分布合理。此外，在一些航班有延误等特殊情况下，怎样作最合理的调整，这些都是组合数学的问题。 组合数学在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析等领域都有重要的应用。在美国有一家用组合数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。最近，德国一位著名组合数学家利用组合数学方法研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用，引起了制药业的关注。 总之，组合数学无处不在，它的主要应用就是在各种复杂关系中找出最优的方案。所以组合数学完全可以看成是一门量化的关系学，一门量化了的运筹学，一门量化了的管理学。 3：组合数学与计算机软件 随着计算机网络的发展，计算机的使用已经影响到了人们的工作，生活，学习，社会活动以及商业活动，而计算机的应用根本上是通过软件来实现的。
数学解排列组合应用题的21种策略
解排列组合应用题的21种策略 排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有（ ） A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种 解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列， 4424A =种，答案：D . 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种 解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同 的排法种数是525 63600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ） A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种 解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602 A =种，选 B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）
高考数学专题之排列组合综合练习
高考数学专题之排列组 合综合练习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
1．从中选个不同数字，从中选个不同数字排成一个五位数，则这些五位数中偶数的个数为（） A． B． C． D． 2．五个同学排成一排照相，其中甲、乙两人不排两端，则不同的排法种数为（）A．33 B．36 C．40 D．48 3．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有（） A．900种 B．600种 C．300种 D．150种 4．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有__________种（用数字作答）. 5．有五名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能站在最左端，而乙必须站在丙的左侧（不一定相邻），则不同的站法种数为__________．(用数字作答） 6．有个座位连成一排，现有人就坐，则恰有个空位相邻的不同坐法是 __________． 7．现有个大人，个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人，则不同的合影方法有__________种．（用数字作答） 8．（2018年浙江卷）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 9．由0，1，2，3，4，5这6个数字共可以组成______.个没有重复数字的四位偶数． 10．将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中. (1)有多少种放法
排列组合问题的解题方法与技巧的总结(完整版)
种。故不同插法的种数为：26A + 22A 16A =42 ，故选A 。 例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区 不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答） 解：由题意，选用3种颜色时，C 43种颜色，必须是②④同色，③⑤同色，与①进行全排列，涂色 方法有C 43A 33=24种4色全用时涂色方法：是②④同色或③⑤同色，有2种情况，涂色方法有 C 21A 44=48种所以不同的着色方法共有48+24=72种；故答案为72 六、混合问题--先选后排法 对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略． 例8．（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4 人，则不同的分配方案共有（ ）种 A. B.3种 C. 种 D. 解：本试题属于均分组问题。则12名同学均分成3组共有 种方法,分配到三 个不同的路口的不同的分配方案共有： 种，故选A 。 例9．（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出 3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共 有（） A ．24种 B ．18种 C ．12种 D ．6种
解：黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法数是C32种，在不同土质的三块土地上种植的方法是A33， ∴种法共有C32A33=18，故选B． 七．相同元素分配--档板分隔法 例10．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？本题考查组合问题。 解一：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“I”（一般可视为“隔板”）共有2 C种插法，即有15种分 6 法。 2、解二：由于书相同，故可先按阅览室的编号分出6本，此时已保证各阅览室所分得的书不小于其编号，剩下的4本书有以下四种分配方案：①某一阅览室独得4本，有种分法；②某两个阅览室分别得1本和3本，有种分法；③某两个阅览室各得2本，有种分法；④某一阅览室得2本，其余两阅览室各得1本，有种分法.由加法原理，共有不同的分法3+=15种. 八．转化法: 对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解 。例11 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种? 分析此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他
排列数、组合数公式及二项式定理的应用
排列数、组合数及二项式定理整理 慈济中学全椒 刘 1、排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n Λ=！！ )(m n n -.(n ，m ∈N*，且m n ≤)． 2、排列恒等式 (1) 1(1)m m n n A n m A -=-+;(2) 1m m n n n A A n m -= -;(3)11m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-; (5) 1 1m m m n n n A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +?+?++?=+-L . 3、组合数公式 m n C =m n m m A A =m m n n n ???+--ΛΛ21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N*，m N ∈，且m n ≤). 4、组合数的两个性质 (1) m n C =m n n C - ; (2) m n C +1 -m n C =m n C 1 +. 5、排列数与组合数的关系 m m n n A m C =?！ . 6、二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L 【注】： 1．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 2．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
高中数学排列组合应用
课题：___排列组合应用_ 教学任务 教学过程设计 排列组合应用 一、选择： 1、某班元旦联欢会原定的5个学生节目已排成节目单，开演前又增加了两个教师节目 入原节目单中，那么不同插法的种数为（） A．42B．30C．20D．12 2、将1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，没格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法（）种. A． 6 B． 9 C． 11 D．23 3、6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的分法有（）A．33 34 p p?B．33 33 p p?C．33 44 p p?D．33 33 2p p? 4、有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有（） A．70B．80C．82D．84 二、填空： 5、从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行实验，有 _____种不同的种植方法。 6、9位同学排成三排，每排3人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法种数共有种 7、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有_____________种。 8、某兴趣小组有4名男生，5名女生：（1）从中选派5名学生参加一次活动，要求必须有2名男生，3名女生，且女生甲必须在内，有种选派方法；（2）从中选派5名学生参加一次活动，要求有女生但人数必须少于男生，有_ _ __种选派方法；（3）分成三组，每组3人，有种不同分法 9、一天课表中，6节课要安排3门理科，3门文科，要使文、理科间排，不同的排课方法有 _ 种；要使3门理科的数学与物理连排，化学不得与数学、物理连排，不同的排课方法有种
组合的综合应用
组合的综合应用 探究点1 有限制条件的组合问题 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选． (2)至多有两名女生当选． (3)既要有队长，又要有女生当选． 【解】 (1)至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有C12·C411＋C22·C311＝825种．或采用排除法有C513－C511＝825种． (2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966种． (3)分两种情况： 第一类：女队长当选，有C412种； 第二类：女队长不当选， 有C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44种． 故共有C412＋C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44＝790种． [变问法]在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？ 解：分两类情况： 第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人有C511＝462种选法．第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有：C411＋C411＝660种选法． 所以至多1名队长被选上的方法有462＋660＝1 122 种． 有限制条件的组合问题分类 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类： 一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数； 二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏． 1.若从1，2，3，…，9这9个整数中取4个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有( ) A．60种B．63种
完整版例析立体几何中的排列组合问题
例析立体几何中的排列组合问题 过月圆春晖中学在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了《考试大纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。立体几何中的计数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法， 下面列举立体几何中排列、组合问题的几个例子。1 点 1．1 共面的点 11997年全国高考（文））（例 A3A在同四面体的一个顶点为个点，使它们和点，从其它顶点与棱的中点中取）一平面上，不同的取法有（ A30 B33 C36 D39种种．种．．．种4666A所解析：四面体有个中点， 每个面上的个顶点，个点共面。点条棱有 34AA个面内，共有在点组合有个，点在的每个面中含个组合；点的A6333 点与这条棱对棱的中点共面。条棱的个点，这条棱上，每条棱上有在 A共面的四点组合共有个。所以与点 B答案：97文科试题中难度最大的选点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属3点与它对棱上的中点共面的情况计择题，失误的主要原因是没有 把每条棱上的算在内。1．2 不共面的点 21997年全国高考（理））（例 104个不共面的点，不同的取法共有个点，在其中取四面体的顶点和各棱中点共）（A150 B147 C144 D141 种．种．种．种． 410 4点共面的情况有三类：第一个点中任取个点有解析：从种取法，其中
4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上类，取出的346种；第三类，由中位线构成的平行四边的个点及对棱的中点，这点共面有43种。形，它的个顶点共面，有 以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有种。 D答案：。点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则 反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。2 直线 例3（2005年全国高考卷Ⅰ（理）） 过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（） A．18对B．24对C．30对D．36对 分析：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树图法。 解析：法一：一条底面棱有5条直线与其异面。 例：与AB异面的直线分别是B1C、A1C、B1C1、A1C1、CC1。 侧面中与底面相交的棱有4条与其异面的直线； 例：与BB1异面的直线分别是AC、AC1、A1C1、A1C,侧面中的对角线有5 条与其异面的直线； 例: 与AB1异面的直线分别是BC、BC1、CC1、A1C、A1C1,而每条直线都数 两遍。共有。 法二：一个四面体中有3对异面直线，在三棱柱的六个顶点中任取四个，可构 故共有异面直线。成四面体的个数为：D 答案：点评：解法一是例举法，把符合要求的所有的情况全列出来，列举时一定要按一定的次序进行，以防遗漏和重复，这一看似笨拙的方法对数目不太大的情况常给人以清新，大智若愚之感，在近年高考中，这一方法经常用到；解法二是 利用影射，构造四面体解决的，有较高的技巧，在竞赛中时常出现。3 平面
排列组合综合应用
第九讲 排列组合综合应用 【内容概述】 乘法原理是指做一件事，完成它需要分成几个步骤，做第一步有m 1种不同的方法， 做第二步有m 2种不同的方法…做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×……×m n 种不同方法（即每一步都不能单独完成这件事情，需要所有步骤合在一 起才能完成这件事情） 加法原理是指做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中，有m 1种不同的 方法，在第二类办法中，有m 2种不同的方法……在第n 类办法中，有m n 种不同的方法。 那么完成这件事共有N=m 1+m 2+m n 种不同方法。（即每一类办法都能独立完成，每一类与 另一类不重复，所有这些类型合起来构成这个事情） 【典型题解】 例1 某人到食堂去买饭，食堂里有4种荤菜，3种素菜，2种汤，他要各买一样，共有多少种不同的买法？ 【答案解析】根据题目条件可知，买饭可以分3个步骤。直接利用乘法原理计算。 不同的买法的种数：24234=??（种） 练习一“IMO ”是国际数学奥林匹克的缩写，把这三个字母用三种不同的颜色来写，现有五种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法？ 【答案解析】根据题目条件可知，写完IMO 可以分三个步骤，第一步写“I ”有5种写法，第二步写“M ”有4种写法，第三步写“O ”有3种写法。直接利用乘法原理计算。 不同的写法的种数60345=??（种） 例2 一个篮球队，五名队员A 、B 、C 、D 、E ，由于某种原因，C 不能做中锋，而其余 四人可以分配到五个位置的任何一个上，问：共有多少种不同的站位方法？ 【答案解析】把球场的上的五个位置分别称为1、2、3、4、5号位；令1号位为中锋，由于C 不能做中锋，那么还有4种不同的选择方法，2号位还有剩下的4个人可供选择，3号位还有剩下的3个人可供选择，4号位还有剩下的2个人可供选择，5号位只剩个人可供选择，根据乘法原理，它们的积就是全部的选择方法． 不同的站位方法：9612344=????（种） 练习二 广州电话号码有8个数码，其中第一个数字不为0，而且数字不重复，这样的电话号码共有多少个？ 【答案解析】首先考虑第1个位置，有9种选择。其它位置根据乘法原理，依次有9、8、7、6、5、4、3种选择。 电话号码个数：163296034567899=???????（个）
小学数学《排列组合的综合应用》练习题(含答案)
小学数学《排列组合的综合应用》练习题（含答案） 例1 从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？ 分析首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理.当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理.由此可知这是一道利用两个原理的综合题.关键是正确把握原理. 解：符合要求的选法可分三类： 不妨设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在5张国画中选1张，第二步再在3张油画中选1张.由乘法原理有 5×3＝15种选法.第二类为国画、水彩画各一幅，由乘法原理有 5×2＝10种选法.第三类油画、水彩各一幅，由乘法原理有3×2＝6种选法.这三类是各自独立发生互不相干进行的. 因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有 15＋10＋ 6＝31种. 注运用两个基本原理时要注意： ①抓住两个基本原理的区别，千万不能混. 不同类的方法（其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完）数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数. 不同步的方法（全程分成几个阶段（步），其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段）数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数. ②在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则.请看一些例：从若干件产品中抽出几件产品来检验，如果把抽出的产品中至多有2件次品的抽法仅仅分为两类：第一类抽出的产品中有2件次品，第二类抽出的产品中有1件次品，那么这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况.又如：把能被2、被3、或被6整除的数分为三类：第一类为能被2整除的数，第二类为能被3整除的数，第三类为能被6整除的数.这三类数互有重复部分. ③在运用乘法原理时，要注意当每个步骤都做完时，这件事也必须完成，而且前面一个步骤中的每一种方法，对于下个步骤不同的方法来说是一样的. 例2 一学生把一个一元硬币连续掷三次，试列出各种可能的排列. 分析要不重不漏地写出所有排列，利用树形图是一种直观方法.为了方便，树形图常画成倒挂形式. 解：
排列与组合的应用.
排列与组合的应用 四川成都市大弯中学 李植武 摘要 在信息学奥林匹克竞赛中，多次出现了排列与组合的竞赛题目。本文介绍了排列与组合的概念、公式，重点讲解了排列与组合的生成算法，最后通过几个竞赛题目的解决，体现了排列与组合在信息学竞赛中的应用。 关键词 排列 组合 生成 应用 说明：本文中的pascal 程序在Lazarus v0.9.22 beta 下调试完成，c 程序dev-c++ 4.9.9.2下调试完成，所有程序通过相应数据测试。 一、排列与组合 1．排列及公式 (1)线排列 一般地，从n 个不同元素中，取出m(m ≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个线排列；从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有线排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数， 用符号 m n A 表示。 )! (!A 1)-m -...(n )2)(1(m n m n n n n n A m n -= --= 规定 0！＝1。 (2)圆排列 从n 个不同元素中取出m 个元素按照某种次序（如逆时针）排成一个圆圈， 称这样的排列为圆排列，圆排列个数为)! (! m n m n m A m n -= 。 因为从n 个不同元素中取出m 个元素排成一列的个数是m n A 。不妨设一个排 列是：a 1a 2…a m 。而这个排列与排列a 2…a m a 1, a 3…a m a 1a 2,…, a m a 1a 2…a m-1，是一样 的圆排列，共有m 个，所以一个圆排列对应m 个普通排列，所以有圆排列数m A m n 。 (3)无限重排列 从n 个不同元素中取r 个元素按次序排列，每个元素可以取无限次，这样的排列称为无限重排列。显然，其排列数为n r 。 (4)有限重排列 从k 个不同元素{ a 1a 2…a k }中取n 个元素按次序排列，元素a i 可以取r i 次,r 1+r 2+...+r k =r ，这样的排列称为有限重排列。 实际上,这个问题与下面的问题等价：
排列组合应用
课题：___排列组合应用_教学任务 教学流程说明 教学过程设计
排列组合应用 一、选择： 1、某班元旦联欢会原定的5个学生节目已排成节目单，开演前又增加了两个教师节目如果将这两个教师节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ A ） A ．42 B ．30 C ．20 D ．12 2、将1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，没格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法（B ）种. A ． 6 B ． 9 C ． 11 D ． 23 3、6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的分法有 （ D ） A ．333 4p p ? B ．3333p p ? C ．3344p p ? D ．33332p p ?
4、有两条平行直线a 和b ，在直线a 上取4个点，直线b 上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有（A ） A ．70 B ．80 C ．82 D ．84 二、填空： 5、从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行实验，有 __24___种不同的种植方法。 6、9位同学排成三排，每排3人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法种数共有 166320 种 7、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有______540________种。 8、某兴趣小组有4名男生，5名女生：（1）从中选派5名学生参加一次活动，要求必须 有2名男生，3名女生，且女生甲必须在内，有 22 4436C C = 种选派方法；（2）从 中选派5名学生参加一次活动， 要求有女生但人数必须少于男生，有__14235 4 5 4 45C C C C +=__种选派方法；（3）分成三组，每组3人，有 333963 3 3280C C C P = 种不同分法 9、一天课表中，6节课要安排3门理科，3门文科，要使文、理科间排，不同的排课方法有 72种；要使3门理科的数学与物理连排，化学不得与数学、物理连排，不同的排课方法有 144种 三、解答 10、甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表 ？ 答案：解法一：（排除法）4221 31424152426=+-C C C C C C ． 解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有2 324C C ；另一类为甲不值周一，但值周六，有2 41 4C C ，∴一共有2 41 4C C +2 32 4C C ＝42种方法． 11、某科技组有6名同学，现在从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选时的不同 选法有16种，则小组中的女生数目是多少？ 答案：2 12、赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余5人两舷都能划，现要从中挑选6人上艇，平均分配在两舷上划桨，共有多少种选法？ 答案：333223133 3763553545675C C C C C C C C C +++=． 13、有5张卡片，它们的正反面分别写0或1，2或3，4或5，6或7，8或9，将其中任 意3张并放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ 答案：986432??= 14、将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒 子放一个球，恰好3个球的标号与盒子的标号不一致的放入方法的种数是多少？ 答案：240 15、第17届世界杯足球赛于2002年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有32支球队有幸参
排列与组合综合用题
排列与组合的综合应用题（2） 授课教师：黄冈中学高级教师汤彩仙 一、知识概述 例1、有13名医生，其中女医生6人．现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区，若医疗小组至少有2名男医生，设不同的选派方法种数为P，则下列等式： ①②；③；④； 其中能成为P 的算式有________．（填序号） 答案：②③ 例2、袋中有3个不同的红球，4个不同的黄球，每次从中取出一球，直到把3个红球都取出为止，共有多少种不同的取法？ 解：＋＋＋＋=4110（种）． 例3、某停车场有连成一排的9个停车位，现有5辆不同型号的车需要停放，按下列要求各有多少种停法？（1）5辆车停放的位置连在一起； （2）有且仅有两车连在一起； （3）为方便车辆进出，要求任何3辆车不能在一起. 解：（1）（种）．
（2）（种）． （3）要求任何3辆车不能连在一起，可以分成①5辆车均不相邻，②有且仅有两辆车相邻，③有2组2辆车相邻，三种情况． 有． 例4、设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内： （1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？ （2）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ （3）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？解：（1）． （2）． （3）（种）． 法二：恰有两个球的编号与盒子编号是相同时，投法数为种； 恰有三个球的编号与盒子编号是相同时，投法数为种； 恰有五个球的编号与盒子编号是相同时，投法数为1种； 故至少有两个球的编号与盒子编号是相同的投法数为
例5、某学习小组有8名同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求每科均有一人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中男女同学分别有多少人？ 解：设有男生x人，女生8－x人，（x∈N＋，且2≤x≤7）． 则有，即x（x－1）（8－x）=60． ∴x＝6或x＝5． ∴男生6人，女生2人或男生5人，女生3人． 例6、一栋7层的楼房备有电梯，现有A，B，C，D，E五人从一楼进电梯上楼，求：（1）有且仅有一人要上7楼，且A不在2楼下电梯的所有可能情况种数． （2）在（1）的条件下，一层只能下1个人，共有多少种情况？ 解：（1）分A上不上7楼两类A上7楼，有54种；A不上7楼，有4×4×53种．共有54＋4×4×53=2625种． （2）（种）． 例7、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有__________种．（以数字作答） 解：（种）．