2019-2020学年高中数学 3.2.3立体几何中的向量方法第3课时教案 新人教版选修2-1.doc
2019-2020学年高中数学 3.2.3立体几何中的向量方法第3课时教案新人教版
选修2-1
【学情分析】：
教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面又学习了用向量表示线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系，所以本节课是通过运用这些关系解决立体几何中的平行与垂直问题。本次课内容不难理解，但学生自己做题时往往会遇到一个如何转化的问题，因此，教学中应重点抓住转换思想来进行.
【教学目标】：
（1）知识与技能：继续理解用向量表示空间中平行与垂直的关系和方法；会用向量法和坐标法等方法解决立体几何中的平行与垂直问题.
（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。
【教学重点】：向量法与坐标法.
【教学难点】：立体几何中的平行与垂直问题向向量问题的转化.
【课前准备】：Powerpoint课件
评注：
向量p 与两个不共线的向量,λ存在实数使)(()(1).
MN MF FA AB AD EB BE AD BE BC BE BE BC λλλλ=+++=++-=-+1111.//CB D A B A BD 平面同理右证：平面平面.,//MN BE BC M EBC MN EBC ∴?∴、、共面平面平面
评注：
本题若用一般法证明，容易证A’F 垂直于BD 用建立空间坐标系的方法能使问题化难为易。设正方体的棱长为2.''(1,1,2)(0,','.A F DB A F DE A F DB A F DE D ??=--?∴⊥=
所以，结论成立。 坐标法： 利用向量解决平行与垂直问题2
22)()(22c a a b b a a a a b b -+-?+=-=+?-1
2
c b =?=
练习与测试：
（基础题）
1，直三棱柱ABC—A1B1C1中，若，则（）
A．+－ B．－+ C．－++ D．－+－
答：D
2，若向量、（） A． B．
C． D．以上三种情况都可能
答：B
3，一空间四边形ABCD的对边AB与CD，AD与BC都互相垂直，用向量证明：AC与BD也互相垂直．证明： . 又，
即.……①.
又，即.……②
由①+②得：即..
4，如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
证：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，设AB＝2a，
BC＝2b，PA＝2c，则：A(0, 0, 0)，B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)，
D(0, 2b, 0)，P(0, 0, 2c)
∵ E为AB的中点，F为PC的中点
∴ E(a, 0, 0)，F(a, b, c)
(1)∵ ＝(0, b, c)，＝(0, 0, 2c)，＝(0, 2b, 0)
∴ ＝(＋) ∴ 与、共面
又∵ E? 平面PAD
∴ EF∥平面PAD．
(2)∵ ＝(-2a, 0, 0)
∴ ·＝(-2a, 0, 0)·(0, b, c)＝0
∴ CD⊥EF．
（较难题）
5，对于任何空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线段与另一对对边平行于同一平面。
分析 要证明EF 、BC 、AD 平行于同一平面（E 、F 分别为AB 、CD 的中点），只要证明相应向量EF 与AD 、BC 共面即可。证明：如图，利用多边形加法法则可得，
EF =EA +AD +DF ，EF =EB +BC +CF …①。
又E 、F 分别是AB 、CD 的中点，故有EA =-EB ，DF =-CF …② 将②代入①后，两式相加得
2EF =AD +BC ，∴EF =12 AD +1
2 BC 即EF 与BC 、AD 共面，∴EF 与AD 、BC 平行于同一平面。
注：本题若用立体几何知识去证明，有一定的难度，由此体会向量法证明的优越性。 6，如图，已知a⊥α,a⊥b,b￠α,求证b∥α。
证明：在α内作不共线向量m ,n b ∵a 、m 、n 不共面，∴b =x a +y m +z n 。 a 两边同乘a 得a ·b =x·a ·a +y·a ·m +z·a ·n m
∵a⊥b,a⊥m,a⊥n,∴a ·b =0,a ·m =0,a ·n =0 n 得x·a·a =0而a≠0,∴x=0,即b=y m +z n ∴b 、m 、n 为共面向量，又b ￠α,b∥α。
7，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 上的点，F 是AC 上的点，且A 1E=2EB ，CF=2AF ， 求证：EF ∥平面A 1B 1CD 。 D 1 C 1 证明： = + + (1)
EF =EA 1+ D A 1+DC
+CF …（2） A 1 B 1
（1）×2+（2）并注意到1EA =-2EB ， D C CF =-2AF ，BA =-DC ， F E
得EF =13 D A 1-1
3 A B
而EF ￠平面A 1B 1CD ，∴EF ∥平面A 1B 1CD 。 ∴，D A 1、为共面向量。