高数习题答案 习题一
习题一
1. 下列函数是否相等,为什么
?
222(1)()();(2)sin (31),sin (31);
1
(3)(),() 1.
1
f x
g x y x u t x x f x g x x x ===+=+-==+- 解: (1)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R ;
x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.
(2)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.
(3)不相等.
因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等. 2. 求下列函数的定义域
211
(1)arctan ;(2);
lg(1)
(3); (4)arccos(2sin ).
1
y y x x x
y y x x ==-==-
解: (1)要使函数有意义,必须
40
0x x -≥??≠?
即 4
0x x ≤??≠?
所以函数的定义域是(,0)
(0,4]-∞.
(2)要使函数有意义,必须
30
lg(1)010x x x +≥??
-≠??->?
即 301x x x ≥-??
≠??
所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).
(3)要使函数有意义,必须
210x -≠ 即 1x ≠±
所以函数的定义域是(,1)
(1,1)(1,)-∞--+∞.
(4)要使函数有意义,必须
12sin 1x -≤≤ 即 11
sin 22
x -≤≤
即ππ2π2π66k x k -+≤≤+或5π7π2π2π66k x k +≤≤+,(k 为整数).
也即ππ
ππ66
k x k -+≤≤+ (k 为整数).
所以函数的定义域是ππ
[π,π]66
k k -++, k 为整数.
3. 求函数1
sin ,0
0,
0x y x
x ?≠?=??=?的定义域与值域. 解: 由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当0x ≠时,1
x
可以是不为零的任意实数,此时,1
sin
x
可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1]. 4. 没1()1x
f x x
-=+,求1(0),(),().f f x f x -
解: 10(0)110f -==+,1()1(),1()1x x f x x x --+-=
=+--1111().11
1x x f x x x
-
-==++ 5.设1,
10()1,02
x f x x x -≤
+≤≤?,求(1)f x -.
解: 1,
1101,01(1).(1)1,012,13x x f x x x x x -≤-<≤
6. 设()2,()ln x
f x
g x x x ==,求(()),(()),(())f g x g f x f f x 和(())g g x . 解: ()ln (())2
2,g x x x f g x ==
(())()ln ()2ln 2(ln 2)2,x x x g f x f x f x x ==?=?
()
2(())2
2,
(())()ln ()ln ln(ln ).
x
f x f f x
g g x g x g x x x x x ====
7. 证明:3
()21f x x =-
和()g x =
. 证:由3
21y x =-
解得x =
故函数3
()21f x x =-
的反函数是)y x =
∈R ,
这与()g x =数,所以3
()21f x x =-
和()g x =
. 8. 求下列函数的反函数及其定义域:
2531(1); (2)ln(2)1;
1(3)3; (4)1cos ,[0,π].x x
y y x x
y y x x +-=
=+++==+∈ 解: (1)由11x
y x
-=
+解得11y x y -=+,
所以函数11x y x -=
+的反函数为1(1)1x
y x x
-=≠-+. (2)由ln(2)1y x =++得1
e 2y x -=-,
所以,函数ln(2)1y x =++的反函数为1
e
2()x y x -=-∈ R .
(3)由25
3
x y +=解得31
(log 5)2
x y =
- 所以,函数25
3x y +=的反函数为31(log 5)(0)2
y x x =-> .
(4)由3
1cos y x =+
得cos x =
又[0,π]x ∈,
故x =又由1cos 1x -≤≤得3
01cos 2x ≤+≤,
即02y ≤≤,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数3
1cos ,[0,π]y x x =+∈的反函
数为(02)y x =≤≤.
9. 判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:
2
(1); (2)ln 1x
y y x x x =
=++ 解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当0x ≤时,有201x x ≤+,当0x >时,有2
1
122
x x x x ≤=+, 故(,),x ?∈-∞+∞有12y ≤.即函数21x
y x
=+有上界. 又因为函数2
1x
y x =
+为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数2
1x
y x =+有界.
又由121212122222
1212()(1)
11(1)(1)
x x x x x x y y x x x x ---=
-=++++知,当12x x >且121x x <时,12y y >,而 当12x x >且121x x >时,12y y <. 故函数2
1x
y x =
+在定义域内不单调. (2)函数的定义域为(0,+∞),
10,0M x ?>?>且12;e 0M x M x >?>>,使2ln x M >.
取012max{,}x x x =,则有0012ln ln 2x x x x M M +>+>>, 所以函数ln y x x =+在定义域内是无界的. 又当120x x <<时,有12120,ln ln 0x x x x -<-<
故1211221212(ln )(ln )()(ln ln )0y y x x x x x x x x -=+-+=-+-<. 即当120x x <<时,恒有12y y <,所以函数ln y x x =+在(0,)+∞内单调递增. 10. 判断下列函数的奇偶性
:
22(1)()(2)e e sin .x x f x y x -==-+
解
: (1)
()()f x f x -==
()f x ∴=.
(2)
222222()e e sin()e e sin (e e sin )()x x x x x x f x x x x f x ----=-+-=-+=--+=-
∴函数22e e sin x x y x -=-+是奇函数.
11. 设()f x 定义在(-∞,+∞)上,证明:
(1) ()()f x f x +-为偶函数; (2)()()f x f x --为奇函数. 证: (1)设()()()F x f x f x =+-,则(,)x ?∈-∞+∞, 有()()()()F x f x f x F x -=-+= 故()()f x f x +-为偶函数.
(2)设()()(),G x f x f x =--则(,)x ?∈-∞+∞,
有()()()[()()]()G x f x f x f x f x G x -=---=---=-
故()()f x f x --为奇函数.
12. 某厂生产某种产品,年销售量为106件,每批生产需要准备费103元,而每件的年库存费为0.05元,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售均匀是指商品库存数为批量的一半). 解: 设年销售批数为x , 则准备费为103x ;
又每批有产品610x 件,库存数为6
102x 件,库存费为6100.052x ?元. 设总费用为,则63
100.05
102y x x
?=+.
13. 邮局规定国内的平信,每20g 付邮资0.80元,不足20 g 按20 g 计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资y 与重量x 的关系. 解: 当x 能被20整除,即[
]2020x x =时,邮资0.802025
x x
y =?=;
当x 不能被20整除时,即[
]2020x x ≠时,由题意知邮资0.80120x y ??
=?+????
.
综上所述有,02000;2520
200.80,02000.120
2020x x
x x y x x x x ???
<≤=??????
=?
??????<≤≠
+?
?????????且且 其中20x ???
???,1
20x ??
+????
分别表示不超过20x ,120x +的最大整数. 14. 已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角?=40°,如图所示.当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时,求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式,并指明其定义域
.
图1-1
解:
011
()(2cot )(cot )22
S h AD BC h h BC BC h BC h ??=
+=++=+ 从而 0
cot S BC h h
?=
-. 000()
22cot sin sin 2cos 2cos 40sin sin 40
L AB BC CD AB CD S h h
BC h h
S S h h h h ?????=++==+=+---=
+=+
由0
0,cot 0S h BC h h
?>=
->
得定义域为. 15. 下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?
5
1224
12
(1)(1);(2)sin (12);1
(3)(110);(4).
1arcsin 2x
y x y x y y x
-=+=+=+=+
解: (1)124
(1)y x =+是由12
4
,1y u u x ==+复合而成.
(2)2
sin (12)y x =+是由2
,sin ,12y u u v v x ===+复合而成. (3)512(110)x y -=+是由152
,1,10,w y u u v v w x ==+==-复合而成.
(4)11arcsin 2y x
=+是由1
,1,arcsin ,2y u u v v w w x -==+==复合而成.
16. 证明
:
11(1)arcsin h ln(h ln ,1121x
x x x x x
+=+=-<<-
证: (1)由e e sinh 2
x x y x --==得2e 2e 10x x
y --=
解方程2e
2e 10x
x y --=
得e x y =因为e 0x >,
所以e x y =
ln(x y =+
所以sinh y x =
的反函数是arcsin h ln(().y x x x ==-∞<<+∞
(2)由e e tanh e e x x x x y x ---==+得21e 1x
y y
+=-,得1112ln ,ln 121y y x x y y ++==--;
又由
101y
y
+>-得11y -<<, 所以函数tanh y x =的反函数为
11arctan h ln (11).21x
y x x x
+==-<<-
17. 写出下列数列的通项公式,并观察其变化趋势:
1234
579
(1)0,,,,,; (2)1,0,3,0,5,0,7,0,
; (3)3,,,,
.3456357
----
解: 1
(1),1
n n x n -=
+当n →∞时,1n x →. 1
(2)cos π2
n n x n -=,
当n 无限增大时,有三种变化趋势:趋向于+∞,趋向于0,趋向于-∞.
21
(3)(1)21
n
n n x n +=--,当n 无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1. 18. 对下列数列求lim n n a x →∞
=,并对给定的ε确定正整数()N ε,使对所有()n N ε>,有
n x a ε-<
:
1π
(1)sin ,0.001; (2)0.0001.2
n n n x x n εε====
解: (1)lim 0n n a x →∞
==,0ε?>,要使11π0sin
2n n x n n ε-=
<<,只须1n ε>.取1N ε??
=????
,则当n N >时,必有0n x ε-<.
当0.001ε=时,110000.001N ??
==????
或大于1000的整数. (2)lim 0n n a x →∞
==,0ε?>,
要使0n x ε-=
=
<=<
1
ε
>
即2
1
n ε>
即可.
取21N ε??
=????
,则当n N >时,有0n x ε-<.
当0.0001ε=时, 8
21100.0001N ??
==????
或大于108的整数. 19. 根据数列极限的定义证明
:
21313
(1)lim
0;(2)lim ;212
(3)1;(4)lim 0.99
9 1.
n n n n n n n n →∞→∞→∞
→∞-==+== 个
证: (1)0ε?>,要使
2211
0n n ε=<-,
只要n >.
取N =,则当n>N 时,恒有2
1
n ε<-.故21lim 0n n →∞=. (2) 0ε?>,要使
555313,2(21)4212n n n n n ε-=
<<<-++只要5n ε>,取5N ε??
=????
,则当
n>N 时,恒有
313
212
n n ε-<-+.故313lim
212n n n →∞-=+. (3) 0ε?>,要
使
2221a n ε=<<-,只
要n >,
取n =,则当n>N 时,
1ε<-,
从而lim 1n →∞=. (4)因为对于所有的正整数n ,有
10.99991
n <-个
,故0ε?>,不防设1ε<,要使
1,0.99
9110n n ε=<-个
只要ln ,ln10n ε->取ln ,ln10N ε-??
=?
???
则当n N >时,恒有,0.9991n ε<-个
故lim 0.99
91n n →∞
=个
.
20. 若lim n n x a →∞
=,证明lim n n x a →∞
=,并举反例说明反之不一定成立. 证:
lim 0n n x →∞
=,由极限的定义知,0,0N ε?>?>,当n N >时,恒有n x a ε-<.
而 n n x x a a ε-<-<
0,0N ε∴?>?>,当n N >时,恒有n x a ε-<,
由极限的定义知lim .n n x a →∞
=
但这个结论的逆不成立.如(1),lim 1,n
n n n x x →∞
=-=但lim n n x →∞
不存在
.
21. 利用单调有界准则证明下列数列有极限,
并求其极限值:
1111(1)1,2,
; (2)1,1,1,2,.1n
n n n
x x x n x x n x ++=====+
=
+
证
: (1)
122x =<,不妨设2k x <,则
12
k x +
<=.
故对所有正整数n 有2n
x <,即数列{}n x 有上界.
又1n n n x x x
+-=
=
0>,又由2n x <从而10n n x x +->即1n n x x +>, 即数列{}n x 是单调递增的.
由极限的单调有界准则知,数列{}n x 有极限. 设lim n n x a →∞
=,
则a =
于是22a a =,2,0a a ==(不合题意,舍去),lim 2n n x →∞
∴=.
(2) 因为110x =>,且111n
n n
x x x +=++, 所以02n x <<, 即数列有界
又 11
11
11111(1)(1)
n
n n n n n n n n n x x x x x x x x
x x --+---????++-=-= ? ?++++?
??
?
由110,10n n x x -+>+>知1n n x x +-与1n n x x --同号， 从而可推得1n n x x +-与21x x -同号， 而 122113
1,1,022
x x x x ==+=-> 故10n n x x +->, 即1n n x x +>
所以数列{}n x 单调递增，由单调有界准则知，{}n x 的极限存在. 设lim n n x a →∞
=, 则11a a a
=+
+， 解得
1122
a a +-=
=(不合题意，舍去). 所以
lim n n x →∞
=
22. 用函数极限定义证明：
22222102
sin 314
(1)lim 0; (2)lim 3; (3)lim 4; 42141
(4)lim 2; (5)lim sin 0.
21x x x x x x x x x
x x x x x x →+∞→∞→-→→-
--===-++-==+
证：(1)0ε?>,要使
1sin sin 0x x
x x x
ε=
≤<-, 只须1
x ε
>
,取1
X ε
>
，则当x X >时，必有
sin 0x
x
ε<-,
故sin lim
0x x
x
→+∞=.
(2)0ε?>,要使
2222
131331
3||44
x x x x ε-=<<-++,
只须x >
取X =
X x >时，必有
22
31
34
x x ε-<-+, 故22
31
lim 34
x x x →∞-=+. (3) 0ε?>,要使
24
(4)22
x x x ε-=<--++, 只要取δε=，则
当02x δ<<+时，必有24
(4)2
x x ε-<--+,
故224
lim
42
x x x →--=-+. (4) 0ε?>,要使
2
1142221221
x x x x ε-==<+-++,
只须12
2x ε
<+
，取2εδ=，则
当102x δ<<+时，必有2
14221
x x ε-<-+
故2
12
14lim
221x x x →-
-=+. (5) 0ε?>,要使
11
sin
0sin x x x x x
ε=≤<-, 只要取δε=，则
当00x δ<<-时，必有1
sin
0x x
ε<-, 故0
1
lim sin
0x x x
→=. 23. 求下列极限：
222423123242233(1)lim ;(2)lim ;131
1(3)lim ;(4)lim ;
2131
1(1)(2)(3)(5)lim ;(6)lim ;215x x x x x n x x x x x x x x x
x x x x x n n n x n
→→→∞→∞→∞→∞-++-+-----++++++ (7)若211lim 221x x ax b x →∞
??+=-- ?+??
，求a 和b . 解：()()2
23
2
233
lim 33933(1)lim 1lim 915
1x x x x x x x →→→---===+++. 222142424211
2
2
22
3
33422424lim()11(2)lim 2.31lim(31)1311
1
111
(3)lim lim .
11212
21111lim (4)lim lim 0.3131311lim 1(5x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x →→→→∞→∞→∞→∞→∞→∞+++===--+-+-?+-
-==----??-- ?-??==
=-+??
-+-+ ???222222121lim 21)
lim lim 01111lim 1x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞??++ ?
+??===+??
++ ???
由无穷大与无穷小的关系知， 21
lim
21
x x x →∞+=∞+. 3(1)(2)(3)1123(6)lim
lim 1115511123lim lim lim .11155
n n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞→∞+++??????
=+++ ???????????
??????=??=+++ ? ? ???????
24. 解:因为221(1)()(1)
11
x a x a b x b ax b x x +--++---=++ 由已知21
1lim 21x x ax b x →∞
??+=-- ?+??
知，分式的分子与分母的次数相同，且x 项的系数之比为
1
2
，于是 10a -= 且
()1
12
a b -+= 解得 3
1,2
a b ==-
. 25. 利用夹逼定理求下列数列的极限:
(1)lim[(1)],01;k k n n n k →∞
+-<<
(2)n 其中11,,
,m a a a 为给定的正常数
;
1(3)lim(123);
(4)n
n n
n n →∞
++
解: 1111(1)
0(1)(1)1(1)1k k k k
k k n n n n n n n -????
<+-=<=+-+-????????
而lim 00n →∞
=,当1k <时,11
lim
0k
n n -→∞=
lim[(1)]0k k n n n →∞
∴+-=.
(2)记12max{,,,}m a a a a =
则有
n <<即
1n
a m a <
而 1lim , lim ,n
n n a a m a a →∞
→∞
=?=
故
n a = 即
12lim max{,,
,}m n a a a =.
(3)
1
11(3)(123)(33)n n
n n n
n n
<++
即 113(123)3n n
n n n
+<++<
而 1lim33,lim3
3n n
n n +→∞
→∞==
故 1lim(123)3n
n n
n →∞
++=.
(4)11111n n
<+
<+ 而 1
lim10,lim(1)1n n n
→∞
→∞
=+=
故
1n =. 26. 通过恒等变形求下列极限：
22
2
221
4123(1)11(1)lim
; (2)lim
;12
221
68
(3)lim
; (4)lim ;
1
54n n n
x x n n x
x x x x x x →∞→∞→→
++++-??
+++
???
-+-+--+
3
22
33π542
2(5)lim ;
1cot lim
;
2cot cot (9)lim(1)(1)
(1)(1);(10)n
x x x x x x
x
x x x x x x →+∞
→→→→∞
---+++< 1
12231100(1(1)
lim ;
(1)11
3(11)lim ; (12)lim ;(1)11log (1)1(13)lim ; (14)lim n n x x x x a x x x x x x x x x x a x x
-→→→→→----+??- ?---??+-3
sin 00;
sin (15)lim(12); (16)lim ln .
x
x x x x x
→→+解：22123(1)(1)11
1(1)lim
lim lim .1222
n n n n n n n n n →∞→∞→∞++++--??===- ???
1
22
1112244411112(2)lim lim 2.
11
221
2
21(1)
(3)lim lim lim(1)0.
11
6
8(2)(4)22(4)lim lim lim .5
4(1)(4)13
n n n n x x
x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x +→∞→∞→→→→→→??- ?
????==+++ ???--+-==-=---+---===-+---
3
2
2
22000(5)lim lim lim
2.
(1lim lim(1 2.x x x x x x x
x x →+∞
→→→===
==-+=--
5555x x x x →→→→====
=
3333ππ
4
4
22π4
22π4
1cot 1cot (8)lim lim 2cot cot (1cot )(1cot )
(1cot )(1cot cot )
lim (1cot )(11cot cot )1cot cot 3lim .
2cot cot 4x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x →→→
→
--=---+--++=-+++++==++
1
222
22(9)lim(1)(1)
(1)(1)
(1)(1)(1)
(1)
lim
111lim .11n
n
n x x x x x x x x x x x x
x x x
+→∞
→∞→∞+++<-+++=--==--
111
211
211
(1(1)
(10)lim
(1))
(1)
)(1)
11
.
234!
n n x n n n n x n n n n x n x x x x x x x x n n -→--→-→--=+++
+=+++
+==???? 2222311122
111321
3(11)lim lim lim (1)(1)(1)(1)11(1)(2)(2)
lim lim 1.
(1)(1)1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→++-+-??==- ?-++-++--??-+-+===--++++
2
2
12211
2
2
1
lim(1)(1)(12)
lim 01lim(1)
1
lim
.(1)
x x x x x x x x x x x x x →→→→--==-+-+-+∴=∞-
1
log (1)
(13)
log (1)a x a x x x
+=+ 而10
lim(1).x
x x e →+= 而1limlog log ln a a u e
u e a
→==
0log (1)1
lim
.ln a x x x a
→+∴=
(14)令1,x
u a =-则log (1),a x u =+当0x →时，0u →.
所以00011
lim
lim ln log (1)log (1)lim x x u a
a u a u a u x u u
→→→-===++(利用(13)题的结果). 11
22000
3
3
6ln(12)ln(12)
sin sin 2sin 0
lim 6ln(12)6lim limln(12)sin sin 61ln e 6(15)lim(12)
lime
lime
e
e
e e .
x
x x x x x
x x x
x
x x
x x x x
x
x x x
x x →→→++→→→??+??+??+======
(16)令sin x u x =
， 则00sin lim lim
1x x x
u x
→→==
而1
limln 0u u →= 所以0
sin limln
0.x x
x
→= 27. 利用重要极限10
lim(1)e u
u u →+=，求下列极限：
22
21
2
3
2
cot 00
113(1)lim ;(2)lim ;
12(3)lim(13tan )
;(4)lim(cos 2);1(5)lim [ln(2)ln ];(6)lim
.
ln x
x x x x
x x x x x x x x x x x
x x x x
+→∞→∞→→→∞
→+????+ ? ?-????+-+-
解：111
2
2
2
2111(1)lim lim e 1lim 11x x
x
x x x x x x →∞→∞→∞??????????====+++ ????? ? ???????????
10
221
21
5
53555(2)lim lim lim 1112222x x x x x x x x x x x -++→∞→∞→∞??+???
?????==?++?? ? ? ?+ ?---??
??
????-????10
25
51051055lim e 1e .1lim 122x x x x x -→∞→∞????????=?=?=+?? ?+?? ?-????
??-???? 2
223
3
1
1
2cot 323tan 23tan 000(3)lim(13tan )lim e .lim(13tan )(13tan )x x x x x x x x x →→→??
??+===+??+??????
[][]
[]
cos 21
1cos 2122
2
1
cos 21
2
1cos 21
20
22
03
33
ln ln cos21(cos21)0
3(cos21)
ln 1(cos21)0
cos213lim
lim ln 1(cos21)2sin 3lim
ln lim (4)lim(cos 2)
lim e
lim e
lim e
e e x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x ----→→→→????
??+-????
→→→-+-→-?+--?=====[]1cos 212
2
01(cos21)sin 6ln e
lim 6116e
e e .
x x x x x -→?????
?+-??????
-?? ?-??-?
?===
2
2
222(5)lim [ln(2)ln ]lim 2ln lim 2ln 12222lim ln 2ln 1lim 12ln e 2.
x
x x x x
x
x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞+??
+-=??=+ ???
??????==?+ ? ?+ ? ??????
?== (6)令1x t =+，则当1x →时，0t →.
1
1
100
0111
1
lim
lim 1.ln ln(1)
ln e
ln lim ln(1)
lim(1)x t t
t t t x t
x t t t →→→→-=-=-
=-
=-
=-+??++????
28. 利用取对数的方法求下列幂指函数的极限：
()11
00
2(1)lim ;(2)lim ;e 3111(3)lim ;(4)lim .sin cos 1x x x
x
x x
x x x x
x x a b c x x x x →→→∞→∞??
+++ ??????
?++ ? ?????
解：(1)令1(e )x
x
y x =+，则1
ln ln(e )x y x x
=+ 于是：
()0000
ln e ln 111e lim ln lim ln lim ln e lim 1e e x x x x x x x x x x x y x x x x →→→→??
++ ?????===++ ???
e 0001e 1lim 1lim lim ln 1ln 11e e e e 11ln e 2
x x
x
x x x x x x x x x x →→→???
???==+?+?++ ? ????????
?=+?= 即()
lim ln 2x y →= 即20
lim e x y →= 即()1
20
lim e e x x x x →=+. (2)令1
3x
x
x
x
a b c y ??++= ???
，则1ln ln
3x x x a b c y x ++= 于是
003
3
3
303
3
00001lim(ln )lim ln 3
13lim ln 1333lim lim ln 1331111lim ln lim 13x x x x x x x
x
x x x x
x x a b c x x x a b c x x
x
x
x
x
x
a b c x x x x x x x x x x a b c y x a b c x a b c a b c x a b c a b c x x x →→++-++-→++-→→→→++=????++-=??
+ ???????
++-??++-=?+ ???
??---++=?++ ?+?
?3
3331
(ln ln ln )ln e ln 3
x x x a b c a b c ++-????-?? ???????
=++?=
即0
lim(ln )ln x y →= 即(
)
lim ln x y →=
故0
lim x y →=即
1
lim 3x x x
x
x a b c →??++=
???
(3)令11sin cos x
y x x ??=+ ??
?，则11ln ln sin cos y x x x ??=+ ??? 于是
1
1sin cos 11
11sin cos 11
11sin cos 111lim ln lim ln 1sin cos 11111lim ln 1sin cos 1sin cos 111sin 1cos lim ln lim 11x
x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x ??+- ?
??+-→∞→∞+-→∞→∞????????=??
++- ???????????
???
???=?++-+- ? ?????????
??- ?=-? ? ???
111sin cos 1111sin cos 1x x x x x +-→∞??????????++- ???????????
2
111
sin 2ln e (10)ln e 1lim lim 1
1x x x x x x →∞→∞???? ?
???=?=-?= ?- ? ?
?
? 即limln 1x y →∞
= 从而()
lim ln 1x y →∞
= 故lim e x y →∞
= 即 11lim e sin cos x
x x x →∞??=+ ???
.
(4)令211x
y x ??=+ ???
，则21ln ln 1y x x ??=+ ???
于是：
2
2
22
1
222211lim(ln )lim ln lim ln 111111lim ln lim lim ln 110ln e 0
x x x x x x x x x x y x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞??????==+?? ?+ ???????
???
?==?++ ? ?????=?= 即 ()
lim lim(ln )0,ln 0x x y y →∞
→∞
==
lim 1x y →∞∴= 即21lim 11x
x x →∞??
=+ ???
. 29. 当0x →时，2
2x x -与2
3
x x -相比，哪个是高阶无穷小量？
解：232
200lim
lim 022x x x x x x x x x
→→--==-- ∴当0x →时，2
3
x x -是比2
2x x -高阶的无穷小量.
30. 当1x →时，无穷小量1x -与2
21
(1)1,(2)
(1)2
x x --是否同阶？是否等价？ 解：211111
(1)
lim
lim 112
x x x x x →→-==
-+ ∴当1x →时，1x -是与2
1x -同阶的无穷小.
2111
(1)
12(2)lim lim 112
x x x x
x →→-+==-
∴当1x →时，1x -是与2
1(1)
2
x -等价的无穷小.
31. 利用0sin lim 1x x
x
→=或等价无穷小量求下列极限：
00
2000sin (1)lim ;(2)lim cot ;
sin 1cos 2(3)lim ;sin arctan 3(5)lim
;(6)lim 2sin ;
2
x x x x x n n x n mx
x x nx x x x x x
x
→→→→→→∞-
22102
320020041arctan (7)lim ;(8)lim ;
arcsin(12)sin arcsin 2
tan sin cos cos (9)lim ;(10)lim ;sin 1cos 4(12)lim 2sin t x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x αβ→→→→→→-----+ 222200;
an ln cos ln(sin e )(13)lim ;(14)lim .
ln cos ln(e )2x x x x x ax x x bx x x
→→+-+-
解：(1)因为当0x →时，sin ~,sin ~,mx mx nx nx
所以00sin lim
lim .sin x x mx mx m
nx nx n
→→==
00002000limcos cos (2)lim cot lim cos lim 1.sin sin sin lim
1cos 22sin sin (3)lim lim 2lim 2.sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x
x x x x x x x x
→→→→→→→→=?===-=== (4)因为当0x →
时，2
2
2
1ln(1e sin )~e sin 1~
2
x
x
x x x +,所以
2
220
0002e sin sin lim lim 2e lim 2.12
x x x x x x x x x x x
→→→→??==?= ??? (5)因为当0x →时，arctan3~3,x x 所以
00arctan 33lim
lim 3x x x x
x x →→==.
sin sin 22(6)lim 2sin lim lim .2
22n n
n n n n n n n
x x x x x x x x →∞→∞→∞=?
== (7)因为当1
2
x →时，arcsin(12)~12x x --,所以
2211112
2
2
2
4141(21)(21)lim lim lim lim(21) 2.arcsin(12)1212x x x x x x x x x x x x →→→→
---+===-+=---- (8)因为当0x →时，22
arctan ~,sin
~,arcsin ~,22
x x
x x x x 所以 22
00arctan lim lim 2sin arcsin 22
x x x x x
x x x →→==?. (9)因为当0x →时，2
331sin ~,1cos ~
,sin ~2
x x x x x x -,所以 2
33300001tan sin sin (1cos )2lim lim lim sin sin cos cos 11
lim .2cos 2
x x x x x x x x x x x x x
x x x →→→→?--==?== (10)因为当0x →时，sin
~
,sin
~
2
2
2
2
x x x x αβ
αβ
αβ
αβ
++--，所以
(完整word版)大一高数练习题
1.填空题 1、当0→x 时，x cos 1-与2x 相比较是 同阶 无穷小。 2、=→2 203sin lim x x x 1/3 3、曲线(1cos ),sin x t t y t =-=在t π=处的切线斜率为 -1/2 4、当k 满足条件__x>2_________时，积分?+∞-1 1k x dx 收敛 5、曲线||x y =的极值点是 x=0 6 、设函数y =则dy = 2xdx 7、若()lim(1)x x t f t x →∞ =+，则=')(t f e t 8、?-=22 35sin cos π πxdx x 0 9、若?=t xdx t f 12ln )(，则=')(t f ln 2 t 10、微分方程0cos 2=-y dx x dy 的通解为siny=x 2__________ 1、当0→x 时，x cos 1-与22x 相比较是 无穷小. 2、设函数?????=≠=0001sin )(3x x x x x f 当当，则=')0(f . 3、设)4)(2)(3)(5()(--++=x x x x x f ，则方程0)(='x f 有 个实根. 4、当k 满足条件___________时，积分1 2k dx x +∞+?收敛. 5、设函数21x y -=，则dy = . 6、函数)2(-=x x y 的极值点是 . 7、=≠∞→)0(sin lim a x a x x . 8、若?=t x dx e t f 02 )(，则=')(t f .
9、?-=π πxdx x 32sin . 10、微分方程 0cos 2=-x dy y dx 的通解为___________. 一、 单项选择题（每小题2分，共10分） 1、函数x x y -=3ln 的定义域为（B ） A ),0(+∞ B ]3,(-∞ C )3,0( D ]3,0( 2、函数()f x 在0x 处)0()0(00+=-x f x f 是()f x 在0x 处连续的( B ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件 3、函数93)(+=x x f 在0=x 处（C ） A 不连续 ； B 可导； C 连续但不可导； D 无定义 4、下列式子中，正确的是（B ） A. ()()f x dx f x '=? B. 22()()d f x dx f x dx =? C. ()()f x dx f x =? D.?=)()(x f dx x f d 5、设()x f x e -=，则(ln )f x dx x =? _C______. A ． 1C x + B. ln x C + C. 1C x -+ D. ln x C -+ 二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．函数241)(x x x f -+=的定义域为（ C ）. A ．]2,2[-； B. )2,2(-； C. ]2,0()0,2[ -； D. ),2[+∞． 2、若)(x f 在0x 的邻域内有定义，且)0()0(00+=-x f x f ，则（B ）. A )(x f 在0x 处有极限，但不连续； B )(x f 在0x 处有极限，但不一定连续;
期末高等数学(上)试题及答案
1 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 （本大题共16小题，总计80分） （本小题5分） 3 求极限 lim 一3x - x 2 2x 3 （本小题5分） 求 X 2 2 dx. （1 x ） （本小题5分） （本小题5分） 设函数y y （x ）由方程y 5 in y 2 x 6 所确定，求鱼. dx （本小题5分） 求函数y 2e x e x 的极值 （本小题5分） 2 2 2 2 求极限lim & ° （2x ° （3x ° 辿」 x （10x 1）（11x 1） （本小题5分） cos2x d x. sin xcosx 二、解答下列各题 （本大题共2小题，总计14分） 3 . ---------- 求 x . 1 xdx . 5 sin x , 2—dx. 0 8 sin 2 x （本小题5分） 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 x 2的单调区间 设 x(t) e kt (3cos 4sin t), 求 dx . 12x 16 9x 2 12x .1 arcs in x 求极限 limarctan x x （本小题5分） 求—^dx. 1 x （本小题5分） 求—x .1 t 2 dt . dx 0 （本小题5分） 求 cot 6 x esc 4 xdx. （本小题5分） 求-1 1 , 求 cos dx. x x 5分） ［曲2确定了函数y es int 5分） （本小题 设 x y （本小 y(x),求乎 dx
（本大题6分） 设f （x ） x （x 1）（ x 2）（ x 3）,证明f （x ） 0有且仅有三个实根 一学期期末高数考试（答案） 、解答下列各题 （本大题共16小题，总计77分） 1、（本小题3分） lim 」^ x 2 12x 18 2、（本小题3分） (1 2 1 d(1 x ) 2 (1 x 2)2 1 1 2 1 x 2 3、（本小题3分） 故 limarctan x 4、（本小题3分） dx dx 」 dx dx 1 x x In 1 x c. 5、 (本小题3分) 原式 2x 1 x 4 6、 (本小题4分) .6 4 cot x csc xdx cot 6 x(1 cot 2 x)d(cot x) 1、（本小题7分） 某农场需建一个面积为 512平方米的矩形的晒谷场，一边可用原来的石条围 另三边需砌新石条围沿 2、（本小题7分） 2 求由曲线y -和y 2 三、解答下列各题 ，问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省? 3 —所围成的平面图形绕 ox 轴旋转所得的旋转体的 8 沿， 体积. 解:原式 lim x 2 6x 3x 2~ 2 12 18x 12 c. 因为 arctanx —而 limarcsin 2 x .1 x arcs in x
高等数学下试题及参考答案
高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy =
2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
大一高等数学复习题含答案
复 习 题 一、 单项选择题： 1、5 lg 1 )(-= x x f 的定义域是（ D ） A 、()),5(5,+∞∞-Y B 、()),6(6,+∞∞-Y C 、()),4(4,+∞∞-Y D 、())5,4(4,Y ∞-Y ()),6(6,5+∞Y 2、如果函数f(x)的定义域为[1，2]，则函数f(x)+f(x 2 )的定义域是（ B ） A 、[1，2] B 、[1，2] C 、]2,2[- D 、]2,1[]1,2[Y -- 3、函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=( D ) A 、是奇函数，非偶函数 B 、是偶函数，非奇函数 C 、既非奇函数，又非偶函数 D 、既是奇函数，又是偶函数 解：定义域为R ，且原式=lg(x 2+1-x 2 )=lg1=0 4、函数)10(1)(2≤≤--=x x x f 的反函数=-)(1 x f （ C ） A 、21x - B 、21x -- C 、)01(12≤≤--x x D 、)01(12≤≤---x x 5、下列数列收敛的是（ C ） A 、1)1()(1 +-=+n n n f n B 、?????-+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,11 )( C 、?????+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,1 )( D 、???????-+=为偶数为奇数n n n f n n n n ,2 21,221)( 解：选项A 、B 、D 中的数列奇数项趋向于1，偶数项趋向于-1，选项C 的数列极限为0 6、设1 111.0个n n y Λ=，则当∞→n 时，该数列（ C ） A 、收敛于0.1 B 、收敛于0.2 C 、收敛于 9 1 D 、发散 解：)10 11(91101101101111.02n n n y -=+++= =ΛΛ 7、“f(x)在点x=x 0处有定义”是当x →x 0时f(x)有极限的（ D ） A 、必要条件 B 、充分条件 C 、充分必要条件 D 、无关条件
高数A1习题册答案
习题一 一、 1. × 2. \/ 3. × 4. × 5. × 6. \/ 7. × 二、 1. A 2. D 3. B 4. A 三、 1. 直线y x = 2. [-1，3） 3. 1[,0]2 - 4. 奇 5. 2 log 1 y y y =- 6. 3,,sin u y e u v v x === 四、 1(2)3f x x += +，2 2 1()1f x x =+， 11(())1211x f f x x x +== ++ +，11()()2f f x x =+ 习题二 一、 1. ∨ 2. × 3. × 4. ∨ 5. ∨ 6. × 7 × 8 × 二、 1. B 2. B 3. A 4. C 5. D 6. C 7. C 三、 1) lim 1x x x - →=-，0 lim 1x x x + →=
lim x x x →不存在 2) 1lim ()2x f x + →=，1 lim ()2x f x - →= 1 lim ()2x f x →= 2 lim ()5,lim ()0x x f x f x →→== 习题三 一、 1. × 2. × 3. ∨ 4. × 5. 二、 1. C 2. B 3. D 4. D 三、 (1) 2131 lim 11 x x x →-+=+ (2) 22 11112 lim lim 21213x x x x x x x →→-+==--+ (3) 2 02lim 2h hx h I x h →+== (4) 23 I = (5) 0I = (6) 422 lim 13 x x I x →-==- (7) 1 1133lim 213 n n I +→∞-==- (8) 111 lim (1)2212 n n →∞- =+ (9) 23 211132 lim lim 111x x x x x I x x x →→++-+==-=--++
高数上试题及答案
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
高等数学下册试题及答案解析word版本
高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；
大一高等数学试题及答案
期末总复习题 一、填空题 1、已知向量2a i j k =+-r r r r ，2b i j k =-+r r r r ，则a b ?r r = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞=?? + ???∑的敛散性为 发散 。 4、设L 是上半圆周222a y x =+（0≥y ），则曲线积分221L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：??--012 1),(y dx y x f dy ＝dy y x dx ),(f 0x -121?? 6．级数∑∞=+1)1(1 n n n 的和为 1 。 二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 （ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 （ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:22>≤+y y x D ,则32222ln(1) 1D x x y dxdy x y ++=++??（ A ）
A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6、微分方程222()()0y y y '''+-=的阶数为 （ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为 （ D ） A 、3x x y e e C =++ B 、3x x y e Ce =+ C 、3x x y Ce e =+ D 、312x x y C e C e =+ 8．lim 0n n u →∞=为无穷级数1 n n u ∞=∑收敛的 （ B ） A 、充要条件 B 、 必要条件 C 、充分条件 D 、什么也不是 三、已知1=a ?，3=b ?，b a ??⊥，求b a ??+与b a ? ?-的夹角.P7
合肥工业大学高数习题册上册答案
习题11- 函数 1．设函数2,0, ()2,0,x x x f x x +≤?=?>? ，求 （1）(1)f -，(0)f ，(1)f ； （2） ()(0)f x f x ?-?，()(0) f x f x -?-?（0x ?>）． 【解】（1）2|2)1(,2|)2()0(,1|)2()1(101===+==+=-==-=x x x x f x f x f ； （2） ()(0)f x f x ?-????????-=?? ?????-=??.0, 1,0,220,2)2(,0,22x x x x x x x x x x ()(0)f x f x -?-?)0(12 )2(>?-=?-?-=x x x 。■ 2．已知21 ()1f x x x =+()f x ． 【解】令x t 1=，则2111)(t t t f + +=，故2 111)(x x x f ++=。■ 3．证明：()2sin f x x x =+在(,)-∞+∞内是严格递增函数． 【证】方法1（定义法） ∵对任意2121),,(,x x x x <+∞-∞∈，有 )sin 2()sin 2()()(112212x x x x x f x f +-+=- 2 sin 2cos 2)(2sin sin )(21221121212x x x x x x x x x x -++-=-+-= 2)1(2)(22sin )1(2)(212121212x x x x x x x x -?-?+->-?-?+-≥ 012>-=x x ，其中用到)0(sin ,cos 1>≤≤-x x x x ， ∴()2sin f x x x =+在(,)-∞+∞内是严格递增函数。 方法2（导数法） ∵) (0cos 2)(+∞<<-∞>-='x x x f
高数B(上)试题及答案1
高等数学B （上）试题1答案 一、判断题（每题2分，共16分）（在括号里填写“√”或“×”分别表示“对”或“错”） （ × ）1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量. （ × ）2. 闭区间上的间断函数必无界. （ √ ）3. 若)(x f 在某点处连续，则)(x f 在该点处必有极限. （ × ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ √ ）5. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量. （ × ）6. ()y f x =在点0x 连续，则()y f x =在点0x 必定可导. （ × ）7. 若0x 点为()y f x =的极值点，则必有0()0f x '=. （ × ）8. 若()()f x g x ''≡，则()()f x g x ≡. 二、填空题（每题3分，共24分） 1. 设2 )1(x x f =-，则(3)f =16. 2．1lim sin x x x →∞ ＝1 。 3.112lim sin sin x x x x x x x x →∞??+??++=?? ??????? 2 1e +. 4. 曲线3 26y y x -=在(2,2)-点切线的斜率为2 3 . 5．设0()f x A '=，则000 (2)(3) lim h f x h f x h h →+--＝ 5A . 6. 设1 ()sin cos ,(0)f x x x x =≠，当(0)f =0时，)(x f 在0=x 点连续. 7. 函数3 3y x x =-在x =1 -处有极大值. 8. 设)(x f 为可导函数,(1)1f '=，2 1()()F x f f x x ??=+ ??? ，则=')1(F 1 . 三、计算题（每题6分，共42分） 1．求极限 3(2)(3)(4) lim 5n n n n n →+∞+++ . 解： 3 (2)(3)(4) lim 5n n n n n →+∞+++
高等数学[下册]期末考试试题和答案解析
高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ．
2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数．
同济大学大一 高等数学期末试题 (精确答案)
学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------
高等数学习题集[附答案及解析]
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从 出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+=x x y 在),(+∞-∞内是有界的。
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。
最新高等数学下考试题库(附答案)
《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+
A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21.
最新同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案练习三
同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案练习三
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4 1. 利用格林公式计算下列曲线积分: (1)?-++L dy x y dx y x )()(2222, 其中L 是由y =0, x =1, y =x 所围成区域的正向边界; 解 这里P =x 2+y 2, Q =y 2-x 2, y x y P x Q 22--=??-??, 由格林公式 ?-++L dy x y dx y x )()(2222dxdy y x dxdy y P x Q D D )(2)(+-=??-??=???? 12 32)(102010-=-=+=???dx x dy y x dx x . (2)?-+-+L x x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (222, 其中L 为正向星形线3232 32a y x =+(a >0); 解 这里x e y x xy x y x P 22sin 2cos -+=, x ye x x Q 2sin 2-=, 0)2cos sin 2()2cos sin 2(22=-+--+=??-??x x ye x x x x ye x x x x y P x Q , 由格林公式 ?-+-+L x x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (222 0)( =??-??=??dxdy y P x Q D . (3)?+-+-L dy y x x y dx x y xy )3sin 21()cos 2(2223, 其中L 为在抛物线2x =πy 2上由点(0, 0)到)1 ,2 (π的一段弧; 解 这里x y xy P cos 223-=, 223sin 21y x x y Q +-=, 0)cos 26()6cos 2(22=--+-=??-??x y xy xy x y y P x Q .
高等数学上考试试题及答案
四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B )
(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）
高等数学 习题册解答_9.多元函数微分(青岛理工大学)
第九章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2 2≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、222)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数?? ??? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22 y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z xy +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：
高数下试题及答案
第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy +
（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，
大学高等数学下考试题库(及答案)
一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+
10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）