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打印整理版中考数学函数与几何综合压轴题集合

2010中考数学函数与几何综合压轴题集合

1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A(-2,-6),C(1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上；

(2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程.

(3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k(k>0)个单位，此时

AD 与BC 相交于E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式.

[解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考）

方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC

∴

,EO DO EO BO AB DB CD DB

''''

又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB

''+= ∵AB=6，DC=3，∴EO ′=2

又∵DO EO DB AB

''=，∴2

316EO DO DB AB ''=?=?=

∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上

方法二：

由D （1，0），A （-2，-6）得DA 直线方程：y=2x-2① 再由B （-2，0），C （1，-3

得BC 直线方程：y=-x-2 ② 联立①②得0

x y =??

=-?

∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上（2）设抛物线的方程y=ax 2+bx+c(a ≠0)

过A （-2，-6），C （1，-3）

E （0，-2）三点，得方程组426

2a b c a b c c -+=-??++=-??=-?

解得a=-1,b=0,c=-2 ∴抛物线方程y=-x 2-2

（3）（本小题给出三种方法，供参考）

由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。

图①

图②

同（1）可得：1E F E F AB DC ''

+= 得：E ′F=2

方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?=，∴13

DF DB =

S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =11122223

DC DB DC DF DC DB ?-?=? =13

DC DB ?=DB=3+k

S=3+k 为所求函数解析式方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA

∴S △AE ′C = S △BDE ′()11

32322

BD E F k k '=

?=+?=+ ∴S=3+k 为所求函数解析式.

证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB=1∶2

同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221

3992

AE C ABCD S S AB CD BD k '?=

=?+?=+梯形 ∴S=3+k 为所求函数解析式.

2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点.

（1）求点A 的坐标；

（2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明；

（3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若

21h S S =，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式.

[解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1，

在Rt △AOM 中，AO ＝

122=-OM AM ，

∴点A 的坐标为A （0，1）

（2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1 ∴y ＝x ＋1 令y ＝0则x ＝－1 ∴B （—1，0），

AB ＝2112

222=+=+AO BO

在△ABM 中，AB ＝2，AM ＝2，BM ＝2

222224)2()2(BM AM AB ==+=+

∴△ABM 是直角三角形，∠BAM ＝90°

∴直线AB 是⊙M 的切线（3）解法一：由⑵得∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝22， ∴BC ＝

10)22()2(2222=+=+AC AB

∵∠BAC ＝90° ∴△ABC 的外接圆的直径为BC ，

∴π

ππ2

10()2

(221=?=?=BC S

而π

ππ2)222()2(222=?=?=AC S

421h S S =

，

5,4

5=∴=h h

即 ππ

设经过点B （—1，0）、M （1，0）的抛物线的解析式为：

y ＝a （＋1）（x －1），（a≠0）即y ＝ax 2－a ，

∴－a ＝±5，∴a ＝±5

∴抛物线的解析式为y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5 解法二：（接上）求得∴h ＝5

由已知所求抛物线经过点B （—1，0）、M （1、0），则抛物线的对称轴是y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5）

∴抛物线的解析式为y ＝a （x －0）2±5

又B （－1,0）、M （1,0）在抛物线上，∴a±5＝0， a ＝±5 ∴抛物线的解析式为 y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5 解法三：（接上）求得∴h ＝5

因为抛物线的方程为y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）

由已知得?????-===?????==?????????

±=-=+-=++5

055c 0b 5544002c b a a a

b a

c c b a c b a 或＝－解得

∴抛物线的解析式为 y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5.

3.(2004湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P （1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A 、B 两点，抛物线)0(2

>++=a c bx ax y 过点A 、B ，且顶点C 在⊙P 上. (1)求⊙P 上劣弧⌒

AB 的长； (2)求抛物线的解析式；

(3)在抛物线上是否存在一点D ，使线段 OC 与PD 互相平分？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由.

[解] （1）如图，连结PB ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M.

在Rt △PMB 中，PB=2,PM=1, ∴∠MPB ＝60°，∴∠APB ＝120° ⌒

AB 的长＝

42180120π

π=

???? （2）在Rt △PMB 中，PB=2,PM=1,则MB ＝MA ＝3. 又OM=1，∴A （1－3，0），B （1＋3，0），由抛物线及圆的对称性得知点C 在直线

则C(1，－3).

点A 、B 、C 在抛物线上，则

???

????++=-+-+-=++++=c b a c b a c

b a 3)31()31(0)31()31(02

2 解之得??

?-=-==221

c b a ∴抛物线解析式为222

--=x x y （3）假设存在点D ，使OC 与PD 互相平分，则四边形OPCD 为平行四边形，且PC ∥OD.

又PC ∥y 轴，∴点D 在y 轴上，∴OD ＝2，即D （0，－2）. 又点D （0，－2）在抛物线222

--=x x y 上，故存在点D （0，－2），使线段OC 与PD 互相平分.

4.（2004湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的直角顶

点C（0

在y轴的正半轴上，A、B是x轴上是两点，且OA∶OB

＝3∶1，以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E，交BC于点F.直线EF交OC于点Q.

（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想. （3）在△AOC中，设点M是AC边上的一个动点，过M作MN∥AB 交OC于点N.试问：在x轴上是否存在点P，使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

[解] (1)在Rt△ABC中，OC⊥

∴△AOC≌△COB.

∴OC2＝OA·OB.

∵OA∶OB＝3∶

∴23.

OB OB

∴OB＝1.∴OA＝3.

∴A(-3,0),B(1,0).

设抛物线的解析式为2

y ax

则

930,

a b c

?-+=

++=

解之，得

∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为：2

y x

(2)EF与⊙O1、⊙O2都相切.

证明：连结O1E、OE、OF.

∵∠ECF＝∠AEO＝∠BFO＝90°,

∴四边形EOFC为矩形.

∴QE＝QO.

∴∠1＝∠2.

∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°，∴EF与⊙O1相切.

同理：EF理⊙O2相切.

(3)作MP⊥OA于P，设MN＝a,由题意可得MP＝MN＝a.

∵MN∥OA, ∴△

∴.

MN CN

AO CO

=∴

解之，得

此时，四边形OPMN

∴MN OP

∴(P

考虑到四边形PMNO此时为正方形，

∴点P在原点时仍可满足△PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角

形.

故x轴上存在点P使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三

角形且(P或(0,0).

5.（2004湖北宜昌）如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(

，

)，

P是以AC为对角线的矩形ABCD内部(不在各边上)的—个动点，点D

在y轴，抛物线y＝ax2+bx+1以P为顶点．

(1)说明点A、C、E在一条条直线上；

(2)能否判断抛物线y＝ax2+bx+1的开口方向?请说明理由；

(3)设抛物线y＝ax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧)，△GAO

与△FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交

点．这时能确定a、b的值吗?若能，请求出a、b的值；若不能，请

确定a、b的取值范围．

由方程组

y=ax 2—6ax +1

x +1 得：ax 2—（6a +

）x =0 (本题图形仅供分析参考用)

[解] （1）由题意，A(0，1)、C(4，3)

确定的解析式为：y=21

x+1.

将点E 的坐标E(415，8

)代入

y=21x+1中，左边=823，右边=21×415+1=8

， ∵左边=右边，∴点E 在直线y=2

x+1上，即点A 、C 、E 在一条直线上.

（2）解法一：由于动点P 在矩形ABCD 内部，

∴点P 的纵坐标大于点A 的纵坐标，而点A 与点P 都在抛物线上，且P 为顶点，故，这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下解法二：∵抛物线

y=ax 2+bx+c

的顶点P 的纵坐标为a

b a 442

—，且P 在

矩形ABCD 内部，∴1＜a b a 442—＜3，由1＜1—a b 42得—a

b 42

＞0，∴a

＜0，∴抛物线的开口向下.

（3）连接GA 、FA ，∵S △GAO —S △FAO =3 ∴

21GO ·AO —2

FO ·AO=3 ∵OA=1，∴GO —FO=6. 设F （x 1,0）、G （x 2,0），则x 1、x 2为方程ax 2+bx+c=0的两个根，且x 1＜x 2，又∵a ＜0，∴x 1·x 2=

＜0，∴x 1＜0＜x 2， ∴GO= x 2，FO= —x 1，∴x 2—（—x 1）=6，即x 2+x 1=6，∵x 2+x 1= —a b ∴—a

=6， ∴b= —6a,

∴抛物线解析式为：y=ax 2—6ax+1, 其顶点P 的坐标为（3，1—9a ）, ∵顶点P 在矩形ABCD 内部， ∴1＜1—9a ＜3, ∴—9

＜a ＜0.

∴x=0或x=a a 216

=6+a

21. 当x=0时，即抛物线与线段AE 交于点A ，而这条抛物线与线段AE 有两个不同的交

点，则有：0＜6+a

21≤415，

解得：—

92≤a ＜—121 综合得：—9

＜a ＜—121

∵b= —6a ，∴

21＜b ＜3

4 6.（2004湖南长沙）已知两点O(0，0)、B(0，2)，⊙A 过点B 且与x 轴分别相交于点O 、C ，⊙A 被y 轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l 与⊙A 切于点O ，抛物线的顶点在直线l 上运动. （1）求⊙A 的半径；

（2）若抛物线经过O 、C 两点，求抛物线的解析式；

（3）过l 上一点P 的直线与⊙A 交于C 、E 两点，且PC ＝CE ，求点E 的坐标；

（4）若抛物线与x 轴分别相交于C 、F 两点，其顶点P 的横坐标为m ，求△PEC 的面积关于m 的函数解析式.

[解] (1)由弧长之比为3∶1，可得∠BAO ＝90o

再由AB ＝AO ＝r ，且OB ＝2，得r ＝ 2 (2)⊙A 的切线l 过原点，可设l 为y ＝kx

任取l 上一点(b ，kb)，由l 与y 轴夹角为45o可得： b ＝－kb 或b ＝kb ，得k ＝－1或k ＝1， ∴直线l 的解析式为y ＝－x 或y ＝x

又由r

，易得C(2，0)或C(－2，0)

由此可设抛物线解析式为y ＝ax(x －2)或y ＝ax(x ＋2) 再把顶点坐标代入l 的解析式中得a ＝1 ∴抛物线为y ＝x 2－2x 或y ＝x 2＋2x

……6分

(3)当l 的解析式为y ＝－x 时，由P 在l 上，可设P(m ，－m)(m ＞0) 过P 作PP′⊥x 轴于P′，∴OP′＝|m|，PP′＝|－m|，∴OP ＝2m 2，又由切割线定理可得：OP 2＝PC·PE,且PC ＝CE ，得PC ＝PE ＝m ＝PP′7分

∴C 与P′为同一点，即PE ⊥x 轴于C ，∴m ＝－2，E(－2，2)…8分同理，当l 的解析式为y ＝x 时，m ＝－2，E(－2，2)

(4)若C(2，0)，此时l 为y ＝－x ，∵P 与点O 、点C 不重合，∴m≠0且m≠2，

当m ＜0时，FC ＝2(2－m)，高为|y p |即为－m ， ∴S ＝

22(2)()

m m m m --=-

同理当0＜m ＜2

时，S ＝－m 2＋2m ；当

m ＞2

时，S ＝m 2－2m ；

∴S ＝222(02)

2(02)m m m m m m m ?-<>?-+<

或又若C(－2，0)，

此时l 为y ＝x ，同理可得；S ＝22

2(20)

m m m m m m m ?+<->

---<<或

4+=kx y 与函数)0,0(>>=

m x x

y 的图像交于A 、B 两点，且与x 、y 轴分别交于C 、D 两点．（1）若COD ?的面积是AOB ?的面积的2倍，求k 与m 之间的函数关系式；

（2）在（1）的条件下，是否存在k 和m ，使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ．若存在，求出k 和m 的值；若不存在，请说明理由．

[解]（1）设),(11y x A ，),(22y x B

(其中2121,y y x x ><)，由AOB COD S S ??=2，得

)(2BOD AOD COD S S S ???-=

∴

1·OC ·2=OD (21·OD ·-1y 21·OD ·2y )，)(221y y OC -=，

又4=OC ，∴8)(221=-y y ，即84)(21221=-+y y y y ，由x

y =

可得y m x =，代入4+=kx y 可得042=--km y y ①

∴421=+y y ，km y y -=?21， ∴8416=+km ，即m

k 2

=．又方程①的判别式08416>=+=?km ， ∴所求的函数关系式为m

k 2

-=)0(>m ．

（2）假设存在k ,m ，使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ．则BP AP ⊥，过A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ． ∵MAP ∠与BPN ∠都与APM ∠互余，∴MAP ∠ BPN ∠=． ∴Rt MAP ?∽Rt NPB ?，∴NB

PN AM =

． ∴

2122y x x y -=

-，∴0)2)(2(2121=+--y y x x ， ∴0)2)(2(212

=+--y y y m y m ，

即0)(4)(222121212=+++-y y y y y y m m ②

由（1）知421=+y y ，221=?y y ，代入②得01282=+-m m ，

∴2=m 或6，又m k 2-=，∴???-==12k m 或??

?-==316k m ， ∴存在k ,m 使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ，且???-==12

k m 或??

???-==316k m ． 8.（2004江苏镇江）已知抛物线2

(5)5(0)y mx m x m =--->与x 轴

交于两点1(,0)A x 、2(,0)B x 12()x x <，与y 轴交于点C ，且AB=6.

（1）求抛物线和直线BC 的解析式.

（2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC.

（3）若

P 过A 、B 、C 三点，求P 的半径.

（4）抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，使MBN

?被直线BC M [解] （1）1215,m x x x m

-+=2

12125()436,m x x x x m -??+-= ???

解得1251,.7m m ==-

经检验m=1，

∴抛物线的解析式为：y =或：由2

(5)5mx m x ---=

1x =或5x m

0,m

16, 1.m m

-∴-

=∴= ∴抛物线的解析式为24 5.y x x =+-

由2

450x x +-=得125, 1.x x =-=

∴A （－5，0），B （1，0），C （0，－5）. 设直线BC 的解析式为,y kx b =+则5,5,

0. 5.

b b k b k =-=-??∴??

+==?? ∴直线BC 的解析式为5 5.y x =- (2)图象略. （3）

法一：在Rt AOC 中，

5,45.OA OC OAC ==∴∠=?

90BPC ∴∠=?.

又BC =

∴

的半径PB == 法二：由题意，圆心P 在AB 的中垂线上，即在抛物线2

y x x =+-的对称轴直线2x =-上，设P （－2，－h ）（h ＞0），连结PB 、PC ，则2

(12),(5)2PB h PC h =++=-+，

由22

PB PC =，即2222

(12)(5)2h h ++=-+，解得h=2.

(2,2),P P ∴--∴

的半径PB ==.

法三：延长CP 交

P 于点F.

CF 为P 的直径，90.CAF COB ∴∠=∠=? 又,.ABC AFC ACF OCB ∠=∠∴

,.CF AC AC BC

CF BC OC OC

?∴

=∴=

又AC =

=5,CO BC ==∞

CF ∴= P ∴

（4）设MN 交直线BC 于点E ，点M 的坐标为2

(,45),t t t +-则点E

的坐标为(,55).t t - 若13,MEB

ENB

=则13.ME EN =

34,45(55).3

EN MN t t t ∴=∴+-=-

解得11t =（不合题意舍去），25,3t =540,.39M ??∴ ??

? 若31,MEB

ENB

=则31.ME EN =

214,454(55).EN MN t t t ∴=∴+-=-

解得31t =（不合题意舍去），415,t =()15,280.M ∴

∴存在点M ，点M 的坐标为540,39?? ?

或（15，280）.

9. 如图，⊙M 与x 轴交于A 、B 两点，其坐标分别为)03(，-A 、)01(，B ，直径CD ⊥x 轴于N ，直线CE 切⊙M 于点C ，直线FG 切⊙M 于点F ，交CE 于G ，已知点G 的横坐标为3.

(1) 若抛物线m x x y +--=22经过A 、B 、D 三点，求m 的值及点D 的坐标.

(2) 求直线DF 的解析式.

(3) 是否存在过点G 的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由.

[解] (1) ∵抛物线过A 、B 两点，

∴1

1)3(-=

?-m

，m=3. ∴抛物线为322+--=x x y . 又抛物线过点D ，由圆的对称性知点D 为抛物线的顶点. ∴D 点坐标为)41(，-. (2) 由题意知：AB=4.

∵CD ⊥x 轴，∴NA=NB=2. ∴ON=1. 由相交弦定理得：NA ·NB=ND ·NC ， ∴NC×4=2×2. ∴NC=1. ∴C 点坐标为)11(--，.

设直线DF 交CE 于P ，连结CF ，则∠CFP=90°. ∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°. ∵GC 、GF 是切线，

∴GC=GF. ∴∠3=∠4. ∴∠1=∠2. ∴GF=GP. ∴GC=GP. 可得CP=8. ∴P 点坐标为)17(-，设直线DF 的解析式为

b kx y +=

则??

?-=+=+-1

b k b k 解得

???????=-=8

2785b k ∴直线DF 的解析式为：82785+-=x y (3) 假设存在过点G 的直线为11b x k y +=，则1311-=+b k ，∴1311--=k b . 由方程组??

?+--=--=3

11x x y k x k y 得034)2(112=--++k x k x

由题意得421=--k ，∴61-=k . 当61-=k 时，040<-=?， ∴方程无实数根，方程组无实数解. ∴满足条件的直线不存在. 10.（2004山西）已知二次函数2

y x bx c =

++的图象经过点A （－3，6），并与x 轴交于点B （－1，0）和点C ，顶点为P.

（1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象；

（2）设D 为线段OC 上的一点，满足∠DPC ＝∠BAC ，求点D 坐标；（3）在x 轴上是否存在一点M ，使以M 为圆心的圆与AC 、PC 所在

（第9题图）

的直线及y 轴都相切？如果存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.

[解] （1）解：∵二次函数212

y x bx

=+B （－1，0），得9

362102

b c b c ?-+=????-+=?? 解得?????∴这个二次函数的解析式为：212y x x =-由解析式可求P （1，－2），C （3，0）画出二次函数的图像

（2）解法一：易证：∠ACB ＝∠PCD ＝45° 又已知：∠DPC ＝∠BAC ∴△DPC ∽△BAC ∴DC PC BC

= 易求4AC PC BC ===

∴43DC = ∴45333OD =-= ∴5,03D ?? ???

解法二：过A 作AE ⊥x 轴，垂足为E. 设抛物线的对称轴交x 轴于F.

亦可证△AEB ∽△PFD 、∴PE EB

PF FD

=. 易求：AE ＝6，EB ＝2，PF ＝2

∴23FD = ∴25133OD =+= ∴5,03D ?? ?

（3）存在.

1°）过M 作MH ⊥AC ，MG ⊥PC 垂足分别为H 、G ，设AC 交y 轴于S ，CP 的延长线交y 轴于T

∵△SCT 是等腰直角三角形，M 是△SCT 的内切圆圆心， ∴MG ＝MH ＝OM 又∵MC =且OM ＋MC ＝OC

∴

3,3OM OM +==得 ∴()

3,0M

2°）在x 轴的负半轴上，存在一点M ′ 同理OM′＋OC ＝M′C ，OM OC ''+=

得3OM '= ∴M ′()

3,0- 即在x 轴上存在满足条件的两个点.

11.（2004浙江绍兴）在平面直角坐标系中，A （－1，0），B （3，0）. （1）若抛物线过A ，B 两点，且与y 轴交于点（0，－3），求此抛物线的顶点坐标；

（2）如图，小敏发现所有过A ，B 两点的抛物线如果与y 轴负半轴交于点C ，M 为抛物线的顶点，那么△ACM 与△ACB 的面积比不变，请你求出这个比值；

（3）若对称轴是AB 的中垂线l 的抛物线与x 轴交于点E ，F ，与y 轴交于点C ，过C 作CP ∥x 轴交l 于点P ，M 为此抛物线的顶点.若四边形PEMF 是有一个内角为60°的菱形，求次抛物线的解析式.

[解] （1）322--=x x y ，顶点坐标为（1，－4）.

（2）由题意，设y ＝a （x ＋1）（x －3即y ＝ax 2－2ax －3a ，

∴ A （－1，0），B （3，0）， C （0，－3a ），M （1，－4a ），

∴S △ACB ＝2

×4×a 3-＝6a ，而a ＞0S △ACB ＝6A 、作MD ⊥x 轴于D ，又S △ACM ＝S △ACO ＋S OCMD －S △AMD

＝21·1·3a ＋21（3a ＋4a ）－2

·2·4a ＝a ， ∴ S △ACM ：S △ACB ＝1：6.

（3）①当抛物线开口向上时，设y ＝a （x －1）2＋k ，

即y ＝ax 2－2ax ＋a ＋k ，有菱形可知k a +＝k ，a ＋k ＞0，k ＜0， ∴ k ＝2

， ∴ y ＝ax 2－2ax ＋2a ， ∴ 2=EF .

记l 与x 轴交点为D ，若∠PEM ＝60°，则∠FEM ＝30°，MD ＝DE·tan30°＝6

， ∴ k ＝－

66，a ＝3

6， ∴ 抛物线的解析式为666326312+-=x x y .

若∠PEM ＝120°，则∠FEM ＝60°，MD ＝DE·tan60°＝2

， ∴k ＝－

26，a ＝6， ∴抛物线的解析式为2

66262+-=x x y . ②当抛物线开口向下时，同理可得6

6326312-

=x x y ， 2

66262-

+-=x x y . 12.（2005北京）已知：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx k

=-4的图象与x 轴交于点A ，抛物线y ax bx c =++2

经过O 、A 两点。

（1）试用含a 的代数式表示b ；

（2）设抛物线的顶点为D ，以D 为圆心，DA 为半径的圆被x 轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x 轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D 内，它所在的圆恰与OD 相切，求⊙D 半径的长及抛物线的解析式；（3）设点B 是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x 轴上方的部分上是否存在这样的点P ，使得∠∠POA OBA =4

？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

[解] （1）解法一：

∵一次函数y kx k =-4的图象与x 轴交于点A ∴点A 的坐标为（4，0）

∵抛物线y ax bx c =++2

经过O 、A 两点

∴=+=c a b 01640， ∴=-b a 4

解法二：∵一次函数y kx k =-4的图象与x 轴交于点A

∴点A 的坐标为（4，0）

∵抛物线y ax bx c =++2

经过O 、A 两点

∴抛物线的对称轴为直线x =2 ∴=-=x b

22 ∴=-b a 4 （2）由抛物线的对称性可知，DO ＝DA ∴点O 在⊙D 上，且∠DOA ＝∠DAO

又由（1）知抛物线的解析式为y ax ax =-2

4 ∴点D 的坐标为（24，-a ）

①当a >0时，如图1，设⊙D 被x 轴分得的劣弧为⌒

OmA ，它沿x 轴翻折后所得劣弧为OnA ⌒，显然OnA ⌒

所在的圆与⊙D 关于x 轴对称，设它的圆心为D'

∴点D'与点D 也关于x 轴对称 ∵点O 在⊙D'上，且⊙D 与⊙D'相切 ∴点O 为切点 ∴D'O ⊥OD ∴∠DOA ＝∠D'OA ＝45°

∴△ADO 为等腰直角三角形 ∴=OD 22 ∴点D 的纵坐标为-2

∴-=-∴==-=-42

242

a a

b a ， ∴抛物线的解析式为y x x =

-12

②当a <0时，同理可得：OD =22 抛物线的解析式为y x x =-

+12

综上，⊙D 半径的长为22，抛物线的解析式为

y x x =

-1222或y x x =-+1

22 （3）抛物线在x 轴上方的部分上存在点P ，使得∠∠POA OBA =43

设点P 的坐标为（x ，y ），且y ＞0 ①当点P 在抛物线y x x =

-12

上时（如图2） ∵点B 是⊙D 的优弧上的一点

∴=

=?∠∠OBA ADO 1

45 ∴=

=?∠∠POA OBA 4

60 过点P 作PE ⊥x 轴于点E

∴=

∴=?∴=tan tan ∠POE EP

OE y x y x

603 由y x

y x x

==-????

?31222解得： x y x y 112242364300

=+=+??

???==???，（舍去）

∴点P 的坐标为()

423643++， ②当点P 在抛物线y x x =-

+12

上时（如图3）同理可得，y x =3。由y x

y x x

==-+????

?31222

解得：x y x y 1122

423

64300=-=-+?????==???，（舍去）

∴点P 的坐标为()

423643--+，综上，存在满足条件的点P ，点P 的坐标为

(

)423643++，或()

423643--+，

13.（2005北京丰台）在直角坐标系中，⊙O 1经过坐标原点O ，分别与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于点A 、B 。

（1）如图，过点A 作⊙O 1的切线与y 轴交于点C ，点O 到直线AB

的距离为

123

sin 55

ABC ∠=，，求直线AC 的解析式；（2）若⊙O 1经过点M （2，2），设?BOA 的内切圆的直径为d ，试

判断d+AB 的值是否会发生变化，如果不变，求出其值，如果变化，求其变化的范围。

[解] （1）如图1，过O 作OG B ⊥A 于G ，则OG =

125

设OA k k AOB ABC =>∠=?∠=

309035

(),,sin ∴AB k OB k ==54，

OA OB AB OG S k k k AOB ?=?=∴?=?

∴=234512

1?,,∴===OA OB AB 345，， ∴A （3，0）

∠=?∴AOB 90,AB 是⊙O 1的直径

AC 切⊙O 1于A ，∴⊥∴∠=?BA AC BAC ,90

在Rt ABC ?中 cos ,∠=

=∴=

∴=-=

ABC AB BC BC OC BC OB 4525

∴-

C ()094

， y

O 1

O A x

设直线AC 的解析式为y kx b =+，则 3094k b b +==-??

∴==-k b 349

，

∴直线AC 的解析式为y x =

-3494

（2）结论：d AB +的值不会发生变化

设?AOB 的内切圆分别切OA 、OB 、AB 于点P 、Q 、T ，如图2所示

图2

∴====

∴==-==-

∴=+=-+-=+-BQ BT AP AT OQ OP d BQ BT OB d AP AT OA d

AB BT AT OB d OA d

OA OB d

，，2

22, 则d AB d OA OB d OA OB +=++-=+

在x 轴上取一点N ，使AN=OB ，连接OM 、BM 、AM 、MN

M OM (,),22∴平分∠∴=AOB OM ,22

∴∠=∠=?∴=∠=∠=BOM MON AM BM MAN OBM OB AN

45,,又

∴?∴∠=∠=?∠=∠??BOM ANM BOM ANM ANM MON ,,45

∴=∠=?OM NM OMN ,90

∴+=+==+=?=?=OA OB OA AN ON OM MN OM 2222224

∴+d AB 的值不会发生变化，其值为4。

14.（2005福建厦门）已知：O 是坐标原点，P （m ，n ）(m ＞0)是函数y ＝ k

x (k ＞0)上的点，过点P 作直线PA ⊥OP 于P ，直线PA 与x

轴的正半轴交于点A （a ，0）(a ＞m). 设△OPA 面积为s ，且s ＝1＋n 4

（1）当n ＝1时，求点A 的坐标；（2）若OP ＝AP ，求k 的值；

（3 ) 设n 是小于20的整数，且k ≠n 4

，求OP 2的最小值.

[解] 过点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，则PQ ＝n ，OQ ＝m

(1) 当n ＝1时， s ＝54 ∴ a ＝2s n ＝5

(2) 解1： ∵ OP ＝AP PA ⊥OP ∴△OPA 是等腰直角三角形 ∴ m ＝n ＝a 2 ∴ 1＋n 44＝1

2·an 即n 4－4n 2＋4＝0 ∴ k 2－4k ＋4＝0 ∴ k ＝2 解2：∵ OP ＝AP PA ⊥OP ∴△OPA 是等腰直角三角形∴ m ＝n 设△OPQ 的面积为s 1, 则：s 1＝s 2

∴1

2·mn＝1

2(1＋

4) 即：n

4－4n2＋4＝0

∴ k2－4k＋4＝0 ∴ k＝2

(3) 解1：∵PA⊥OP，PQ⊥OA ∴△OPQ∽△OAP

设：△OPQ的面积为s1，则s1

s＝

PO2

AO2

即：

1＋

＝

n2＋

4 (1＋

化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0

（k－2）（2k－n4）＝0

∴k＝2或k＝n4

2(舍去) 。∴当n是小于20的整数时，k＝2.

∵ OP2＝n2＋m2＝n2＋k2

n2又m＞0，k＝2，

∴ n是大于0且小于20的整数

当n＝1时，OP2＝5

当n＝2时，OP2＝5

当n＝3时，OP2＝32＋4

32＝9＋

9＝

当n是大于3且小于20的整数时，即当n＝4、5、6、…、19时，OP2

得值分别是：42＋4

42、5

2＋

52、6

2＋

62、…、19

2＋

192

∵192＋4

192＞182＋

182＞…＞3

2＋

32＞5

∴ OP2的最小值是5. 解2：∵ OP2＝n2＋m2＝n2＋

n2＝n

2＋

n2＝(n－

2＋4

当n＝

n时，即当n＝2时，OP

2最小；

又∵n是整数，而当n＝1时，OP2＝5；n＝2时，OP2＝5

∴ OP2的最小值是5.

解3：∵PA⊥OP，PQ⊥OA ∴△OPQ∽△P AQ

QA＝

a－m

＝

化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0

（k－2）（2k－n4）＝0 ∴k＝2或k＝

2(舍去)

解4：∵PA⊥OP，PQ⊥OA ∴△OPQ∽△P AQ

s－s1

＝

OQ2

PQ2化简得：2n

4＋2k2－k n4－4k＝0

（k－2）（2k－n4）＝0 ∴k＝2或k＝

2(舍去)

解5：∵PA⊥OP，PQ⊥OA ∴△OPQ∽△OAP

∴OP

OA＝

OP∴ OP

2＝OQ·OA 化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0 （k－2）（2k－n4）＝0 ∴k＝2或k＝

2(舍去)

15.（2005湖北黄冈课改）如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P 沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。

（1）求出直线OC 的解析式及经过O 、A 、C 三点的抛物线的解析式。（2）试在⑴中的抛物线上找一点D ，使得以O 、A 、D 为顶点的三角形与△AOC 全等，请直接写出点D 的坐标。

（3）设从出发起，运动了t 秒。如果点Q 的速度为每秒2个单位，试写出点Q 的坐标，并写出此时t 的取值范围。

（4）设从出发起，运动了t 秒。当P 、Q 两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC 的周长的一半，这时，直线PQ 能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t 的值；如不可能，请说明理由。

[解] （1）∵O 、C 两点的坐标分别为O ()0,0，C ()6,8

设OC 的解析式为b kx y +=，将两点坐标代入得： 4

k ，0=b ，∴

x y 43=

∵A ，O 是x 轴上两点，故可设抛物线解析式为：

()()180--=x x a y

再将C ()6,8代入得：40

-=a ∴x x y 20274032+-=

（2）D ()6,10

（3）当Q 在OC 上运动时，可设Q ??

??m m 43,，依题意有：

()

2243t m m =??

? ??+ ∴t m 58=，∴Q ??? ??t t 56,58，()50≤≤t 当Q 在CB 上时，Q 点所走过的路程为t 2， ∵OC ＝10，∴CQ ＝102-t

∴Q 点的横坐标为228102-=+-t t ， ∴Q ()6,22-t ，

()105≤

()()5

2221,

322?-=

?-?t t t OPQ S 梯形OABC 的面积＝

()84610182

=?+，依题意有： ()2

84532221?=?-t t 整理得：0140222=+-t t ∵△＝01404222

∴梯形OCQP 的面积＝()t t +--?102262

1＝36≠84×21

∴这样的t 值不存在。综上所述，不存在这样的t 值，使得P ，Q 两点同时平分梯形的周长和面积

16.（2005湖北荆门）已知：如图，抛物线m x x y +-=

2312与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，∠ACB ＝90°，（1）求m 的值及抛物线顶点坐标；

（2）过A 、B 、C 的三点的⊙M 交y 轴于另一点D ，连结DM 并延长交⊙M 于点E ，过E 点的⊙M 的切线分别交x 轴、y 轴于点F 、G ，求直线FG 的解析式；

（3）在（2）条件下，设P 为CBD 上的动点（P 不与C 、D 重合），连结PA 交y 轴于点H ，问是否存在一个常数k ，始终满足AH·AP ＝k ，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.

[解] （1）由抛物线可知，点C 的坐标为（0，m ），且m ＜0.

设A （x 1，0），B （x 2，0）.则有x 1·x 2＝3m 又OC 是Rt △ABC 的斜边上的高， ∴△AOC ∽△COB ∴OB

OC OC

OA =

∴

1x m

m x -=

--，即x 1·x 2＝－m 2 ∴－m 2＝3m ，解得 m ＝0 或m ＝－3 而m ＜0，故只能取m ＝－3 这时，4)3(3

33323122--=--=

x x x y 故抛物线的顶点坐标为（3，－4）

（2）解法一：由已知可得：M （3，0），A （－3，0）， B （33，0），C （0,－3），D （0， 3）

∵抛物线的对称轴是x ＝3，也是⊙M 的对称轴，连结CE

∵DE 是⊙M 的直径， ∴∠DCE ＝90°，∴直线x ＝3，垂直平分CE ， ∴E 点的坐标为（23，－3）

∵3

3==OD

OM OC

OA ，∠AOC ＝∠DOM ＝90°，

∴∠ACO ＝∠MDO ＝30°，∴AC ∥DE ∵AC ⊥CB ，∴CB ⊥DE 又FG ⊥DE ， ∴FG ∥CB

由B （33，0）、C （0，－3）两点的坐标易求直线CB 的解析式为：

y ＝

x 3

－3 可设直线FG 的解析式为y ＝

x 3

＋n ，把（23，－3）代入求得n ＝－5

故直线FG 的解析式为y ＝

x 33

－5 解法二：令y ＝0，解x x 3

2312-

－3＝0得， x 1＝－3，x 2＝33 即A （－3，0），B （33，0）

根据圆的对称性，易知：：⊙M 半径为23， M （3，0）在Rt △BOC 中，∠BOC ＝90°，OB ＝33，，OC ＝3 ∴∠CBO ＝30°，同理，∠ODM ＝30°。而∠BME ＝∠DMO ，∠DOM ＝90°，∴DE ⊥BC ∵DE ⊥FG ， ∴BC ∥FG ∴∠EFM ＝∠CBO ＝30°

在Rt △EFM 中，∠MEF ＝90°，ME ＝23，∠FEM ＝30°， ∴MF ＝43，∴OF ＝OM ＋MF ＝53， ∴F 点的坐标为（53，0）

在Rt △OFG 中，OG ＝OF·tan30°＝53×3

＝5

∴G 点的坐标为（0，－5） ∴直线FG 的解析式为y ＝x 3

－5 （3）解法一：

存在常数k ＝12，满足AH·AP ＝12。连结CP ，由垂径定理可知?

=AC AD ，

∴∠P ＝∠ACH （或利用∠P ＝∠ABC ＝∠ACO ）又∵∠CAH ＝∠PAC ， ∴△ACH ∽△APC ∴

AH AC =

即AC 2＝AH·AP 在Rt △AOC 中， AC 2＝AO 2＋OC 2＝（3）2＋32＝12 （或利用AC 2＝AO·AB ＝3×43＝12∴AH·AP ＝12 解法二：

存在常数k ＝12，满足AH·AP ＝12 设AH ＝x ，AP ＝y

由相交弦定理得HD·HC ＝AH·HP

即)()33)(33(2x y x x x -=-+--

化简得：xy ＝12 即 AH·AP ＝12