高三理科数学周测试题.doc
高三理科数学周测试题
(1) 函数/(x)=-^ + ln(2x-x 2)的定义域为
y X —\
(A) (2,+oo) (B) (1,2) (C) (0,2) (D) [1,2]
(2) 己知复数z =
仃为虚数单位)，z 的共轨复数为〒，则z + z =
(A) 2i
(B) -2i
(C) -2
(D) 2
(3) 已知向量G =(舲,1)" = (0,—1),。=伙,巧)，若与c 共线,则R 的值 为 (A)?3 (B)?1 (C) 1 (D) 3 (4) 已矢Cl 命题 /?:3XG R,x- \ >lgx ,命题 q: Vxw (0,^),sin^ + —!—> 2 ,贝I 」下
sinx
列判断正确的是
(A)命题py q 是假命题 (B)命题p/\q 是真命题 (C)命题pv(—iq)是假命题
(D)命题p A (—iq)是真命题
(5) 某班级要从4名男生、2名女生屮选派4人参加某次社区服务，则所选 的
4人中至少有1名女生的概率为
14 8 2 4
(A) — (B) — (C) - (D)— 15 15 5 15 (6) 已知函数/(兀)』吧兀(兀>0),则不等式/(无)>1的解
l2-\(x<0)
集为
(A) (2,+oo)
(B) (-oo,0) (C) (-oo,0) (2,+oo) (D) (0,2) 7
7 如图1,圆柱形容器内盛有高度为6cm 的水，若放入3
个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后， 水恰好淹没最上而的球，则球的半径为
(A) 4cm (B) 3cm (C) 2cm (D) 1 cm
(8) 已知函数f(x) = x 2-ax 的图象在点A(1,/(I))处的切线/与直线
x+3y-l=0垂直，记数列｛亠｝的前n 项和为S”，则的值为
X X
1 1
(A) 2015
2016
(D) 2017 2018 图1
(9)函数/(x) = (l + cosx)sinx在[-如”]的图彖的大致形状是
(13) 某水稻品种的单株稻穗颗粒数X 服从正态分布N(200J02),则 P(X > 190)= _________ (附：若 Z ?N(“Q 2),则 P(/i-a cr)=0?6826, P(ju - 2b v Z v “ + 2cr) =0.9544.) 2 2 (14) 已知双曲线二—占= 1(G >0"〉0)两条渐近线的 cr lr 夹角为60，则该双曲线的离心率为 ____________ . (15) 执行如图3所示的程序框图，则输出的k 值为 (16) 已知等差数列｛色｝满足q>0,5$=8匕3,则前料项和S 〃取 臺 最大值时，〃的值为 _ _______ 2x-y >0, r (10) 实数满足条件x+j-4>0,则?的取值范围为 x< 3. (A) [4,+8)(B) [|,2] (C) [0,4] (D) [|,4] (11) 某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的 表面积为 (A)20+2TF (B) 20 + 6” (C)14 + 2龙 (D)16 1 2 (12) 已知抛物线y = -x 2与双曲线- x 2 = l(a > 0) 8 a~ 有共同的焦点F, 0为坐标原点，P 在兀轴上方且在双曲线上，则OP ?FP 的最小值 为( )? (A) 3-2V3 (B) 2V3-3 (C) (D)- (17) (本小题满分12分)已知如图4, AABC 中，AD 是BC 边的中线, ZBAC = 120 ,且=-号. (I )求厶人3(2的面积； (II)若AB = 5,求AD 的长. 18?(本小题满分12分) 某市在以对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不 合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”， 其它为“合格” ? (1)某校高一年级有男生500人，女生400人，为了解性别对该综合素质 评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高一学生中抽取了 45名学生的综合 素质评 根据表屮统计的数据填写下面2x2列联表，并判断是否有90%的把握认 为“综合 (2)以(1 )中抽取的45名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各 个评价等级发生的概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一 学生屮随机 抽取3人. (i) 求所选3人中恰有2人综合素质评价为“优秀”的概率； (ii) 记X 表示这3人中综合素质评价等级为“优秀”的个数，求X 的数 学 期望. 临界值表: 参考公式：K 2 -be)2 (a 4- b)(c + d\a + c)(b + d) 其中 n = a + b + c + d . C （19）（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD 的底而ABCD 为菱 形,ZABC = 60 , AB=PC=2, PA=PB= ^2 ? （I ）求证：平面PA3丄平面ABCD ； （II ）设H 是PB 上的动点， （20）（本小题满分12分） 已知椭圆C ： 4 +匚=1（0＞〃＞0）的离心率为若动点A 在椭圆C a 2 b~ 3 上，动点B 在直线y=虬並上（C 为椭圆的半焦距） c 2 （I ）求椭圆C 的方程； （II ）若OA 丄OB （O 为坐标原点），试探究点0到直线AB 的距离是否为 定值；若是定值，求岀该定值；若不是，请说明理由. （21）（本小题满分12分） 已知GW R,函数f^x ） = e x +ax 2, g （兀）是于（兀） 的导函数, （1 、 使得g （A ）） = 0； （I ）当。〉0时，求证：存在唯一的兀0丘--—,0 ,（II ）若存在实数使得/（%）＞/?恒成立，求d-b 的最小值. （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 2 2 已知椭圆C 的普通方程为：—+ ^- = 1? （I ） 设J = 2r,求椭圆C 以/为参数的参数方程； （II ） 设C 与兀轴的正半轴和y 轴的正半轴的交点分别为A 、B,点P 是C 上 位于第一象限的动点，求四边形AOBP 面积的最大值.（其中0为坐标原 点） 求CH 与平面PAB 所成最大角的正切值. I 2a 高三理科数学周测参考答案及评分说明1——6 BCC DAC 7—-12 BBA DAA 解析：(6)如右图，易得所求不等式的解集为(-oo,0) (2,砂)， 4 r (7)设球的半径为厂，依题意得3x —jir" = 7tr~(6/^-6) => r = 3. (8)依题意知/(^) = F 的图象在点A (1,/⑴)处的切线斜率 ￡ =广⑴=2_a = 3na = _],故一-—= --------- - = ---- ,— f(n) ?2(/? +1) n 7? + 1 「111 1 1 t 1 2016 -(),6 2 2 3 2016 2017 2017 2017 (9)由f(―-) = 1可排除(C)、(D),由/(—)=彳羽> 1可排除(B)，故选(A). (10)设Y = k,则k为可行域内的点与原点连线的斜率，易得- - 9 （11）该几何体为一底面边长为2,高为3的长方体挖去两个丄圆柱（圆柱的 4 底面半径为1）得到的组合体，故其表面积为： （4一丄龙x 『）x2 + （4x 1+丄x2/rx 1）x3 = 20 + 2龙. 2 2 【答案】A 【解析】 试题分析：抛物线》=冷0宀匕，焦点F 为但2）,贝ij 双曲线斗一宀1的*2,则宀3,即双 8 a 2 1 曲线方程为专-2=1，设尸（陆町，则沪一3沪=3 3汩=§泾 因为心? 故当n = y/3时取得最小值，最小值为3-厶疗，故选A ? 考点：1?抛物线、双曲线的几何性质；2?向量的坐标运算；3?二次函数求最值. 13. 0.8413 14.迹或 2 15. 6 16. 21 3 解析：(13) P(X>190)二P(X>“ —b)二*?P(“ —b = 8如得 5(q + 7d) = 8(q + 12J) => J =tz,, 61 3 i 由 ci n = q + (/? — V )d = a 】+ (TI —1)(—— e) n 0 => 5 21 —, 61 3 所以，数列｛%｝前21项都是正数，以后各项为负数，故S”取最大值时，〃的 值为21. (17)解：(I)] AB ?AC =-导,??? AB ?AC ?cosZBAC =-丄 ABAC = -—f 2 2 2 即 ABAC = 15, --------------------------------------------- 3 分 「? S^BC = * AB ，AC sin ABAC = *x \ 5x^^~ = '5f . ---- 5 分 (II)解法 1：由 A3 = 5 得 AC = 3, 在AABC 中，由余弦定理得： BC 2 =AB 2 + AC 2-2AB ACcos ABAC = 25 + 9 + 15 = 49, 则 0尸? FP = (m.n —2) 得BC = 7, .............................................................................................. 7分 由正弦定理得: BC AB sin ABAC sin ZACD 解得AD V19 12分】 【解法2：由AB = 5得4C = 3, 在AABC 中，由余弦定理得: BC 2 = AB 2 + AC 2 -2AB ACcos ABAC = 25 + 9 + 15 = 49, 得BC = 7, ..................................................................... ?7在AABC 中，cos ZACB AC 2+ BC 2-AB 2 9 + 49-25 11 ~~2ACBC 在AADC 中，由 AD 2 = AC 2 + CD 2 - 2 AC ? CD cos ZACD = 解得卡 (18) (1)设从高一年级男生屮抽出加 2x3x7 一 「14’ 49 小7 11 19 9 + — —2x3x —x 1 — -- , 4 2 14 4 —12分】 u m 45 十、45x(15x5- 10x15)2 9 「北 c 而￡ 二 --- ----------- =-=1.125<2.706 30x15x25x20 8 ???没有90%的把握认为“测评结果为优秀与性别有关”? (2) (1)由(1)知等级为“优秀”的学生的频率为= ?? ?从 45 3 2 该市高一学生中随机抽取1名学生，该生为“优秀”的概率为彳 ? VO 14 SAADC 中， 49 7 ii ig AD 2 = AC 2 + CD 2-2ACCDcosZACD = 9 + —-2x3x-x —, 4 2 14 4 得 sin ZACD = ABsin ZBA C 'XT BC 7 5 73 "iT ......... .............................. 9分 — ,ITI — 25 ■ ??? x = 25-20 = 5,y = 20-18 = 2 记“所选3名学和g中恰有2人综合素质评价，优秀'学生”为事件 9 7 4 A ,则事件A发生的概率为：P(A) = C； x(—)2 x(l-—)=—； 亠2 (ii)由题意知，随机变量X?B(3,—), 2 ???随机变量X的数学期望E(X) = 3x- = 2? (19) ----------------------------------------------------------------------- 解：(I)证明：取AB 中点0,连结PO 、C0, -------------------------------------------------- 1分 |±] PA=PB=V2 , AB=2,知APAB 为等腰直角三角形， APO=1, P01AB, ---------------------------------------- 2 分 由AB 二BO2, ZABC = 60 ,知△ ABC 为等边三角形， ???C0", ............................................. 3分 由 PC = 2 得 PO 2 + CO 2 = PC\ ??.PO 丄CO, ......................... 又 AB CO = O, ???PO 丄平面ABC, ................... 5分 D 又POu 平面PAB,???平面PAB 丄平面ABCD (II)由(I )知PO 丄平面ABC, CO 丄AB , 如图所示，以O 为原点，OC 、OB 、OP 所在的肓线为x 、y 、z 轴，建立 空间直角坐标系， 则 C(A /3,0,0), 3(0,1,0), P(0,0,l), 设点H 的坐标为(0,m,/?), 则(0,Z?7-1,77)= 2(0,-1,1), 贝iJ//C = (V3,2-l,-A), OC = (>/3,(),())为平面 PAB 的法向量， 设CH 与平面PAB 所成的角为0, 则 sin F 弓 cos v OC, HC >\= D ____________________________ 邑 希 X j3 + (久-1尸 +(-2)2 /2(A--)2 + - 当2 = ￡时，sin0取最大值，(sin6>)max = , -------- A m = l-/l,/2 = A,即 H(O,1-A,A), \OCHC\ \OC\-\HC\ P 4分 6分 8分 10分 又&w(0,乡］,此时0最大,tan^ = V6, 即CH 与平面PAB 所成最大角的正切值为&?------------ 12分】 (20) 解：(I)依题意得：~ = ^-——① — ② ------------------- 1分 a 3 c 2 ①X②得b = -------------------------------------------------------- 2分 又宁￥弓解得心 9 ???所求椭圆C 的方程为—+/ = 1. 3 (II)依题意知肓线04的斜率存在，设为则肓线04的方程为y = kx, (1) 若心0,则直线0〃的方程为 k 儿=乩 ° 3 1 九=二~ ??? IOA1=屁 + 比=TiTF I ￡ = ? ? I OB |= Jx ； + y ： = 1 +(-*)2 I X B 1= J"" J 设点O 到肓线AB 的距离为d,则 (2) 若k=0,则A 点的坐标为(-73,0)或(巧,0), B 点的坐标为(0,当), 这时，d- 2 3 + 扌 综上得点O 到直线AB 的距离为定值，其值为1. d_2S? _ \OAV\OB\ _V3/ + 1 \ 2 i^i Ji OA $ +10 砰 3伙? + 1) /3(/+1) _3(疋+1)_] 3伙 2+1) | 3伙 2+1) 3伙？ + 1) ? 3/+1 * 2 10分 设△(￡,%),3(%九)，则由 < 11分 12分 【解法二：设A、B的坐标人（兀，几）、B红丹, ........... 由点A在椭圆C上和OA丄0B分别可得：申+ X T和% +￡ —6分设点0到直线AB的距离为d ,则有| 041 ? | OB h| AB | —— .?心却初甘亠鼻朋2 3、」。筍+|购 d2 |OA|2.|OB|2 |OA|2.|OB|2 1111 1 1 1 ''d4 5 6~\OA\7 \OB\2~ x^yl尸+(乎)2 -丘+ y：(誓)哦+(誓尸丘+ y： ' 3 对+ ￡ h\x)> 0得-l ? ?力(X)min -力(一1)， e 综上得的最小值为-丄，此时如=-1? --------------------------------------------- 12分 12分】 e (22)解：(I)将y = 2t代入椭圆的普通方程得尢2 =9(1-笙) = 9(1-八)…1分4 于是得--------------------------------------- ------ ?2分 ???椭圆C的参数方程为=(r为参数)和［“一37匚7‘((为参 数)???4分 3+ 2兀3 + 2兀 | 3（对 + y（）） 3（卅+1 -爭 所以点0到直线AB的距离为定值，其值为1? (21)( I )证明：T g(x) = /'(x) = w'+2ov, g'(x) = "+2a, ---------------------------- 1 分 当Q〉0时，g，(兀)>0,???函数g(兀)在(-8, +00)上的单调递增, ---- 2分 又g［一+卜￡ 2“ _i 存在唯一的,0 ,使得g(A；)) = 0； (4) 、2a丿 （II ）解：（1）当QV0 时,则当X G （-00,0）时，g（x）〉0,即函数/（X）在（-00,0）上单调递增，且当XTYO时，/（x）T-oo,这与/（x） > b矛盾；??5分 3 当0 = 0,由夕hb,得bso,?\a-b>0； .................................... 6分 4 当d〉0,由（I ）知当XG（^X>,X0）时，g（x） <0；当兀丘（兀0，+00）时，g（x）>0；即/（兀）在（Y0,x。）上单调递减，在（耳，收）上单调递增，..... 7分 ???/（无）斷=/（兀0），.............................................................. 8分 2无 V f{x)>b^恒成立，:.b (II)依题意知点A(3,0), B(0,2), ................................................ 5 分设点P 的坐标为(3cos&,2sin &), (0 v & < —) .......................................... 6 分 2 则S四边JT = S/o + S、OPA = *x2x3cosF + *x3x2sin& ................. 8 分 =3 sin & + 3 cos F = 3血sin(0 + 兰)，(0<^<-) ........................................ 9 分 4 2 当sin(0 + -) = l,即0 =-时，四边形AOBP面积取得最大值，其值为3血.? 4 4 ------ 10分 即-h>-e^-ax^于是八此=_詞］+ 仓， (9) I 2x0 2 丿 1 Y1 记h{x) = -e x(\ + ----- —) , x< 0 ,贝lj h\x) = — e x (x-1) (x+1), ----------------- 10 分2x 2 2x2 v 7 v 7 由h\x) v 0得x v -1,即函数处r)在(-oo,-l)上单调时递减，