第四章 共轭空间黎永锦

第4章 共轭空间

纯数学使我们能够发现概念和联系这些概念的规律,

这些概念和规律给了我们理解自然现象的钥匙.

A. Einstein (爱因斯坦) (1879-1955,美国物理学家)

Banach S .在1929年引进了Banach 空间的共轭空间这一概念,这个思想Hahn H .在1927年也引进过,但Banach S .的工作更完全些,共轭空间就是已知赋范的空间X 上的全体线性连续泛函所组成的线性空间*X ,它在范数|)(|sup ||||1

||||x f f x ==下是Banach 空间.

对于具体的赋范线性空间,弄清这些赋范空间上的线性连续泛函的一般形式是非常有用的.另外,赋范空间X 的性质与它的共轭空间*

X 的性质有着密切的联系,因此可以通过共轭空间*

X 的性质来研究赋范空间X 的性质.

4.1 共轭空间

由Banach Hahn -定理可知,对赋范线性空间X ,若}{θ≠X ,则}{*

θ≠X ,另外,对于任意赋范空间X ,X 的共轭空间*

X 一定是完备的.

定理 4.1.1 *)(n R f ∈当且仅当有n

n R ∈),,(1αα ,使得i n

i i

x x f ∑==

1

)(α

,对任意

n

n R x x ∈),,(1 成立. 且此时有2

11

2

)||(||||∑==n

i i f α.

证明 若存在n

n R ∈),,(1αα ,使得

i n

i i x x f ∑==1

)(α , 对任意 n i R x x ∈=)(成立.

则f 是n

R 上的线性泛函,且

||

||)||()||()||(|

||||||)(|2

11

2

2

11

2

2

112

11

x x x x x f n

i i n

i i n i i i n

i i i n i i ?=≤≤=∑∑∑∑∑=====αααα

因此f 是n R 上的线性连续泛函,即*

)(n R f ∈.

反之,若f 为n R 上的线性连续泛函,则对n

i R e ∈=)0,,0,1,0,,0( ,有

∑∑∑======n

i i i n i i i i n i i x e f x e x f x f 1

1

1

)()()(α

这里)(i i e f =α,n

i R ∈)(α.

设0≠f ,i n

i i

x x f ∑==

1

)(α

,对任意n i R x ∈)(成立,由

||||)||(|)(|2

11

2

x x f n

i i ?≤∑=α

可知

2

11

2

)

||(||||∑=≤n

i i f α

取211

2)

||(

∑==

n

i i

i

i x α

α,可知n

i R x x ∈=)(,且1||||=x .

因此

211

2211

21

2)

||(

)

||(/)(||||∑∑∑=====

≥n

i i

n

i i

n i i x f f α

α

α

所以

2

11

2)||(||||∑==n

i i f α

由上面定理可以看出*

)(n R 与n

R 是几乎一样,为了刻画这样的“一样”关系,下面引进保

范同构的概念.

定义4.1.1 设X 和Y 都是赋范空间,若T 是X 到Y 的线性算子,T 是双射,并且对于任意

X x ∈,有||||||||x Tx =,则称T 是X 到Y 的保范同构,亦称X 与Y 是保范同构的.

明显地,若X 与Y 是保范同构的,则X 和Y 具有几乎一样的性质,因而可将与看成是一致的.

由上面定理的证明可以看出,若定义*

)(n K 到n K 的线性算子为),(),((21e f e f Tf =

))(,n e f ,则T 是*)(n K 到n K 的保范同构,因此可以把上面定理写成n R R n

=*)(的形式.

定理 4.1.2 *0

c f ∈当且仅当存在1)(l i ∈α,使得i i i

x x f ∑∞

==

1

)(α

对所有0)(c x x i ∈=成

立,且此时,有∑∞==

1

||||||i i

f α

.

证明 若*

0c f ∈,则对0),0,1,,0(c e i ∈= ,有

∑∑∞

=∞===1

1

)()()(i i i i i i e f x e x f x f 对任意 0)(c x x i ∈=成立.

令))(()(i i e f ==αα,则i i i

x x f ∑∞

==

1

)(α

,对任意0)(c x x i ∈=成立.

由|||||||||)(|x f x f ?≤可知,对于

=N x ????

?????

?????????>=≤≠≤.0;0, N 0； 0N, ,||i 时当，时时当时当N i i ，i i i i αααα

有1||||≤N x ,且

∑==

N

i i

N x f 1

||)(α

因此,|||||||||||||)(|f x f x f N N ≤?≤,故

∞<≤∑=||||||1

f N

i i

α

,即1)(l i ∈α.

反之,若存在1)(l i ∈α,使得

i i i x x f ∑∞

==1

)(α

对任意0)(c x x i ∈=成立,则f 是0c 的线性泛函,且

||||)||(

)||(

||sup ||

|)(|1

1

1

x x x x f i i

i i

i i i i

∑∑∑∞

=∞

=∞

==≤=α

α

α

因此*0

c f ∈,且∑∞

=≤

1

||||||i i

f α

,所以∑∞

==1

||||||i i f α.

由上面定理可知 1*

0l c =,类似地,不难证明下面定理成立.

定理 4.1.3 ∞=l l *

1.

定理4.1.4 对于∞<

>>=+q p q

p .

对于X 的共轭空间*

X ,同样可以考虑它的共轭空间*

*)(X ,称为X 的二次共轭空间,记为**X ,由上面讨论可知∞=l c **0.对于∞<

*.

赋范空间X 的性质与它的共轭空间*X 的性质有着密切的联系,如若*

X 是严格凸的,则对于X 的任一子空间M 上线性连续泛函f ,它在X 上只有唯一的保范延拓.

利用共轭空间*

X 的性质,还可以弄清原来的赋范线性空间的性质,如X 的可分性等. 定理4.1.5 设X 是赋范空间,若*

X 是可分的,则X 也是可分的.

证明 由于*X 是可分的,因此存在0,

}{*

≠?n n g X g ,使得*}{X g n =,令||

||n n

n g g f =

, 则}1|||||{)(}{*==?f f X S f n .

由1||||=n f 可知,对3

1=

ε,存在1||||,=∈n n x X x ,使得32

1|)(|=->εn n x f .

令}{n x span M =为}{n x 生成的闭子空间,则M 是可分的,且一定有M X =. 事实上,如果M X ≠,则由Banach Hahn -定理可知存在1||||,*

=∈f X f ,使得

.,0)(成立对任意M x x f ∈=

故

3

2|)(||)()(||)()(|sup ||||1

||||=

=-≥-=-=n n n n n n x n x f x f x f x f x f f f 但这与)(}{*

X S f n ?矛盾,从而M X =,所以X 是可分的.

4.2 自反Banach 空间

对于赋范空间X ,可以讨论X 的共轭空间*X 和二次共轭空间**X ,如1*0l c =, ∞

=l c *

*0等,当然还可以讨论三次共轭空间***X 和四次共轭空间****X 等,赋范空间X 的性质与它的二次共轭空间**X 有着密切的联系.

对于任意X x ∈,可以构造出*X 的线性泛函如下：

***),()(X f x f f x ∈=这里.

则由

|||||||||)(||)(|**x f x f f x ?≤=

可知**x 为*

X 上的线性连续泛函,且||||||||*

*x x

≤. 因而对于任意 X x ∈,****X x ∈,若定义

**x Jx =,则J 为X 到**X 的映射.

映射J 称为X 到*

*X

的自然嵌入,它有下面的性质.

定理4.2.1 设X 是赋范空间,**:

X X J →,则J 是X 到**X 的保范线性算子,即

（1）Jy Jx y x J βαβα+=+)(； （2）||||||||x Jx =. 证明 （1）对任意*X f ∈,有

)()()())((y f x f y x f f y x J βαβαβα+=+=+

))(()()(f Jy Jx f Jy f Jx βαβα+=+=

（2）对任意θ≠∈x X x ,,由Banach Hahn -定理可知,存在1||||,*

=∈f X f ,使得

||||)(x x f =,故

|||||||||||||)(||)(|||||Jx f Jx f Jx x f x =?≤==

因此,由||||||||||||**x x Jx ≤=可知||||||||x Jx =.

记}|{*

*X x x

JX ∈=,则**X JX ?,且J 是X 到JX 的保范同构,因而可以把X 和

JX 看成一样的赋范空间,亦即不区分X 和**X ,在这种意义下,X 可看成**X 的子空间,即**X X ?.

一般来说,JX 与**X 是不相等的,如果*

*X

JX =的话,赋范空间X 就具有很好的性质.

1927年 Hahn H . 在研究赋范空间的线性方程时,认识到了这种空间的重要性,引入了自反这一概念.

定义 4.2.1 设X 是赋范线性空间,若从X 的**X 自然嵌入映射J 是满射,即*

*X JX =,

则称X 是自反的.

∞l l c ,,10和]1,0[C 都不是自反的,但)1(∞<

明显地,若X 是自反的,则X 与**X 保范同构.

问题4.2.1 若X 是Banach 空间,X 与*

*X

保范同构时,是否X 一定自反？

James C R ..在1951年已构造了一个非自反的Banach 空间X ,X 与**X 保范同构,但

X 不是自反的.(参见：R. C. James, A non-reflexive Banach space isometric with its second

conjugate space. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 37, (1951), 174-177.).

由于X 自反时,有X X

=*

*,因此X 一定是完备的赋范空间.

定理4.2.2 若X 是自反的赋范空间,则X 是Banach 空间.

怎么才能知道一个赋范空间是自反的呢？James C R ..花了二十年的时间研究这一问题,得到了一个很简明的判别法.(参见：R. C. James, Reflexivity and the supremum of linear functionals. Ann. of Math. (2) 66 (1957), 159–169.)

定理 4.2.3 Banach 空间X 是自反的当且仅当对任意*

X f ∈,存在1||||,=∈x X x ,使得||||)(f x f =.

利用这一定理,容易证明任意有限维Banach 空间是自反的.

定理4.2.4 若Banach 空间X 是有限维的,则X 是自反的Banach 空间.

证明 对于任意*

X f ∈,由)(sup ||||1

||||x f f x ==,可知存在1||||,=∈n n x X x ,使得

||||)(f x f n →.由于X 是有限维的,因此闭单位球是紧的，故}{n x 有收敛子列x x k n →,从而

1||||||||lim ==∞

→k n k x x ,满足

||||)(lim )(f x f x f k n k ==∞

→,所以X 是自反的Banach 空间.

定理4.2.5 若Banach 空间X 是自反的,则X 可分当且当仅*X 可分.

证明 明显地,只须证明X 可分时,*X 可分. 由于X 是自反的,因此X X =**,故X 可分时,**X 可分,所以*X 是可分的.

由于∞=l l *

1,并且1l 可分,∞l 不可分,因此由上面定理可知,1l 不是自反Banach 空间. Banach 空间的自反性有很多重要的性质,下面就是一些自反的充要条件. 定理4.2.6 若X 是Banach 空间,则下列条件都是等价的. (1) X 是自反Banach 空间;

(2) X 的每个闭线性子空间都是自反Banach 空间;

(3) X 的每个闭凸集A 都有范数最小元,即存在A x ∈0,使得}|||inf{||||||0A x x x ∈=; (4) X 的每个闭凸集A 都是可逼近集,即对任意X x ∈,都一定存在A x ∈0,使得

}|||inf{||||||0A y y x x x ∈-=-.

4.3 弱收敛

在赋范空间X 中序列}{n x 的收敛定义为0||||→-x x n ,即n x 依范数收敛于x ,这种收敛性亦为强收敛,但在X 和*

X 上还可以定义比范数弱的收敛性,这就是弱收敛性和弱*收敛,这些收敛性在研究X 和*

X 的性质以及它们的联系时起着重要的作用.

定义4.3.1 设X 是赋范空间,X x n ∈若X x ∈0,若对任意*

X f ∈,都有

)()(0x f x f n →

则称}{n x 弱收敛于0x ,记为0x x w

n ?→?

例4.3.1 设}{n e 为0c 的Schauder 基,则对于任意*

0c f ∈,有1)(l i ∈=αα,使得α=f ,故 n n e f α=)(,因此0)()(→-θf e f n 对任意*0c f ∈成立,即→

θw

n e .

定理4.3.2 设X 是赋范空间,X x n ?}{,若→x x n ,则→

x x w

n . 证明 由于→x x n ,因此0||||→-x x n ,故对于任意*

X f ∈,有

0|||||||||)(||)()(|→-?≤-=-x x f x x f x f x f n n n ,

所以→

x x w

n . 一般来说,→

x x w n 时,不一定有→x x n ,例如在0c 中,→θw

n e ,但0||||→-θn e 不成立.

由Banach Hahn -定理容易知道,若X x n ?}{是弱收敛序列,则}{n x 的弱收敛点唯一.

即x x w n ?→?

,且'x x w

n ?→?时,有x x ='. 虽然x x w

n ?→?

时,一般x x n ?→?不成立,但有一些赋范空间,弱收敛与强收敛是一致的.

定理4.3.3 若X 是有限维Banach 空间,则→

0x x w

n 当且仅当0x x n →. 证明 明显地,只须证明对于有限维Banach 空间,→

0x x w

n 时,一定有→0x x n . 设m e e ,,1 为X 的Schauder 基,则对X x X x n ∈∈0,,有∑∑

===

=

m

i i

i i m

i n i n e x

x e x x 1

)

0(01

)(,

由于m e e ,,1 是Schauder 基,因此}|{i j e span e j i ≠?,故由Banach Hahn -定理可知存

在*

X f i ∈,使得1)(=i i e f ,且i j e f j i ≠=,0)(.

由→0x x w

n 可知→)()(0x f x f i n i ,因此)

0()(i

n i x x →.

因而

)0(0||||||||||

||||1

)

0()(1

)0(1

)(0→→?-≤

-

=-∑∑

∑

===n e x x

e x e x x x i m

i i

n i

m

i i

i i

m

i n i n

所以,序列}{n x 强收敛于0x .

问题 4.3.1 若X 是Banach 空间,且有→x x w

n 时,→x x n ,则X 是否一定是有限维Banach

空间？

有趣的是Schur I .在1921年证明了在1l 中,→

x x w

n 与→x x n 是等价的. 定理4.3.4 在1l 中,→

x x w

n 当且仅当→x x n . 弱收敛还可以用下面的定理来刻画.

定理4.3.5 设X 是赋范空间X x X x n ∈?,}{,则→

x x w

n 当且仅当 （1）||}{||n x 是有界；

（2） 存在*X M ?,使得*

X M =,且对所有M f ∈,有)()(x f x f n →.

证明 令1||}||sup ||,m ax {||+=n x x β,则由(1)可知,+∞<<β0,且

ββ≤≤||||,||||n x x , 对任意n 成立.

对于任意

0>ε,由于*X M =,因此对于任意*X g ∈,有M f ∈,使得

β

ε

3||||<

-f g ,由M f ∈可知)()(x f x f n →,故存在N ,使得N n >时,有 3

|)()(|ε

<

-x f x f n

因而对于N n >,有

εββ

εεββεε

=++≤

?-++?-<-+-+-≤-333||

||||||3|||||||||

)()(||)()(||)()(||)()(|x g f x f g x g x f x f x f x f x g x g x g n n n n n

所以,)()(x g x g n →对*

X g ∈成立,即→x x w

n .

反过来,若→x x w

n ,则对任意*

X f ∈,有)()(x f x f n →,

故

)()(f Jx f Jx n →

因而

+∞<||)(||sup f Jx n

由于*

X 是Banach 空间,因此由一致有界原理可知+∞<||||sup n Jx ,即

+∞<||||sup n x ,所以||}{||n x 是有界的.

类似于列紧性的定义,可以定义弱列紧性.

定义 4.3.2 设X 是赋范空间,F 是X 的子集,若F 的任意序列都含有弱收敛子序列,且弱收敛点属于F ,则称F 是弱列紧的.

例如在2l 中,}1)

||(

|){(211

222≤∈=∑∞

=i i

i l x

l x B 是弱列紧的.

与列紧性刻画了有限维Banach 空间的特征类似,弱列紧性刻画了自反Banach 空间的特征.

定理4.3.6 Banach 空间X 是自反的当且仅当X 的任意有界集都是弱相对列紧的.

对于赋范空间X 的共轭空间*

X

,由序列弱收敛的定义,对

**,X f X f n ∈∈,f f w

n ?→?当且仅当对于任意**X F ∈,有)()(f F f F n →.除了范数收

敛和弱收敛,在*

X 上还可以定义弱*收敛.

定义 4.3.3 设X 是赋范空间,*

,X f f n ∈,若对任意X x ∈,有)()(x f x f n →,则称n f 弱

*收敛于f ,记为 f f w n ?→?*

.

明显地,弱收敛比弱*收敛强.

定理4.3.7 设X 是赋范空间,*,X f f n ∈,若f f w

n ?→?,则f f w

n ?→?*

.

类似于弱收敛,对于弱*收敛,有下面的定理成立.

定理4.3.8 设X 是Banach 空间,*,X f f n ∈,则f f w

n ?→?*

的充要条件是

（1）||}{||n f 是有界；

（2） 存在X M ?,使得X M =,且对任意M x ∈,有)()(x f x f n →.

定理 4.3.9 设X 是Banach 自反空间,*,X f f n ∈,则f f w n ?→?*

当且仅当

f f w n ?→?.

例 4.3.10 对于0c 的共轭空间1l ,取1l e f n n ∈=,则对任意0c x ∈,有0||lim =∞

→i i x , 因此

0)(→=n n x x f ,故0*

?→?w n f . 但对于∞∈=l F ),1,1,1,1( ,有1)(=n f F , 因而n f 不

弱收敛于0.

由上例可知,序列的弱*收敛要比弱收敛还要弱.

类似于X 中弱列紧集的定义,可以考虑*X 中子集的弱列紧性.

定义 4.3.4 设X 是赋范空间,*X F ?,若F 中任意序列都含有弱*收敛子序列,则称F 为*X 的相对弱*列紧集.

若F 中任意序列都含有弱*收敛子序列,且其弱*收敛点都属于F ,则称F 是*X 的弱*紧列集.

明显地,对于*

X 的子集F ,F 的列紧集性要比弱*紧性强. 定理4.3.11 若F 是*

X 的列紧集,则F 一定是弱*列紧集.

可分Banach 空间的Banach –Alaoglu 定理是S. Banach 在1932给出的.

定理4.3.12 （Banach –Alaoglu 定理）若X 是可分Banach 空间,则*

X 的每个有界集都是相对弱*列紧的.

证明 设F 是*

X 的有界集,F f n ?}{,则存在0>C ,使得C f n ≤||||对任意n 成立.

由于X 是可分的,因此存在可数集X x x x M n ?=},,,,{21 ,使得X M =. 对于任意M x i ∈和n f ,有+∞<≤?≤|||||||||||||)(|i i n i n x C x f x f ,因此)}({i n x f 是K 中的有界数列,因而可以取到满足下列条件的n f 子序列.

}{}{)1(n n f f ?且 ,,,,,)1()1(2)1(1n f f f 在1x 点收敛；

}{}{)1()2(n n f f ?且 ,,,,,)2()2(2)2(1n f f f 在21,x x 点收敛；

...............................................................................................

}{}{)1()(-?k n k n f f 且 ,,,,,)()(2)(1k n k k f f f 在k x x x ,,,21 点收敛.

这里}{}{}{)()

1(n k n k n

f f f ??+.

利用对角线法,取子序列}{)(n n f ,则}{}{)

(n n n f f ?,且对任意M x i ∈,有

)()(lim )(i i n n n x f x f =∞

→存在,因而由上面定理可知}{)(n n f 弱*收敛于f . 所以,F 是*X 的相对

弱*列紧集.

L. Alaoglu 在1940第一次给出了一般Banach 空间的Banach –Alaoglu 定理的证明.

定理4.3.13 （Banach –Alaoglu 定理）若X 是Banach 空间,则*X 的每个有界集都是相对弱*列紧的.

例 4.3.13 设X 是Banach 空间,M 是X 的闭子空间,若M x n ?}{,且0x x w

n ?→?

,试证明M x ∈0.

证明 假设M x ?0,则由于M 是闭子空间,因此0),(0>M x d ,故由Banach Hahn -定理,存在1||||,*

=∈f X f ,使得 ),()(00M x d x f =,且对于任意M x ∈,有0)(=x f ,因此

0)(=n x f ,但这与)()(0x f x f n →矛盾,所以M x ∈0.

4.4 共轭算子

由赋范空间X 到赋范空间Y 的线性连续算子,可以讨论*Y 到*

X 的共轭算子,这种共轭算子在讨论物理学及其他一些应用中出现的算子方程时是很有用的.

定义 4.4.1 设X 和Y 是赋范空间. ),(Y X L T ∈,若存在*Y 到*X 的算子*

T ,使得对任意*

Y f ∈和X x ∈,有

)())((*Tx f x f T =

则称*

T 为T 的共轭算子.

对于任意),(Y X L T ∈,是否T 的共轭算子*

T 一定存在呢？

定理 4.4.1 设X , Y 是赋范空间,若),(Y X L T ∈,则T 的共轭算子*

T 一定存在,且

||||||||*T T =.

证明 对于任意*

Y f ∈,定义

X x Tx f x g ∈=任意),()(

则g 是线性的,且

|||||||||||||||||||||)(||)(|x T f Tx f Tx f x g ??≤?≤=

从而*

X g ∈,并且||||||||||||T f g ?≤.

定义

g

f T X Y T =→*

*

**:

则*T 是*Y 到*X 的线性算子.

由于||||||||||||||||*T f g f T ?≤=,因此||||||||*T T ≤,故),(*

**X Y L T ∈,且对任意

X x Y f ∈∈,*,有

)())((*Tx f x f T =

因而,*

T 为T 的共轭算子.

对于任意X x ∈,若0≠Tx ,则由Banach Hahn -定理可知存在1||||,*

=∈f Y f ,使得

||||)(Tx Tx f =

故

||||||||||||||||||||||||||||)()(||||****x T x f T x f T x f T Tx f Tx ?=??≤?≤==

对于X x ∈,若0=Tx ,则明显地有||||||||||||*

x T Tx ?≤,因此||||||||||||*

x T Tx ?≤,对任意

X x ∈都成立. 因而||||||||*T T ≤,又因为||||||||*T T ≤,所以||||||||*T T =.

对于共轭算子的运算,有如下的基本性质.

定理4.4.2 设X , Y 是赋范空间,若),(,21Y X L T T ∈,则

*2*1*21)(T T T T βαβα+=+

证明 对任意*

Y f ∈,X x ∈,有

)

)]()(

[()()()

()()))((()]()[(*2*

1*

2*

12121*21x f T T x f T x f T x T f x T f x T T f x f T T βα

β

αβαβαβα+=+=+=+=+

所以,*

2*1*21)(T T T T βαβα+=+.

定理4.4.3 设X , Y , Z 是赋范空间,若),(),,(Z Y L T Y X L S ∈∈,则*

*

*

)(T S TS =. 证明 对于任意X x Z f ∈∈,*

,有

))](([))(())(())(()]()[(****x f T S Sx f T Sx T f x TS f x f TS ====

因此,*

*

*

)(T S TS =.

共轭算子与线性算子方程的可解性有着密切的联系.

定理 4.4.4 设X 是实赋范空间,0,),,(≠∈∈λX y X X L T ,若存在满足方程

0*=-f f T λ的f ,使得0)(≠y f ,则方程y x Tx =-λ无解.

证明 反证法,假设方程y x Tx =-λ有解0x , 则

00x Tx y λ-=

故对满足方程的f ,有

0))(()()()()(0*

00*00=-=-=-=x f f T x f x f T x Tx f y f λλλ

但这与定理的条件矛盾,所以定理得证.

习题四

4.1 试证明1*

0l c =.

4.2 试证明∞=l l *

1. 4.3 试证明2*

2l l =. 4.4 试证明1*l l ≠∞. 4.5 试证明2l 是自反的.

4.6 试证明在2l 中强收敛比按坐标收敛强.

4.7 设X 是无穷维的赋范空间,试证明*X 一定也是无穷维的赋范空间.

4.8设X 是赋范空间,X x x n ∈,,x x w

n ?→?

,若}{n x 是相对紧的,试证明x x n →. 4.9设X 是Banach 空间,Y 是赋范空间,),(,Y X L T T n ∈,若x x X x x n n →∈,,,且n T 弱收敛

于T ,试证明Tx x T w

n n ?→?

.. 4.10设Y X ,为Banach 空间,),(Y X L T ∈,若x x w

n ?→?

,试证明Tx Tx w

n ?→? 4.11设X 为赋范空间,X x x n ∈,,若x x w

n ?→?

,试证明||||inf ||||lim n x x n ∞

→≤. 4.12设X 是赋范空间,*,,,X f f X x x n n ∈∈,n x 弱收敛于x ,且n f 收敛于f ,试证明

)()(x f x f n n →.

4.13 设X 是Banach 空间,*,,,X f f X x x n n ∈∈,f f x x w

n n ?→??→?*

,,试证明

)()(x f x f n n →.

4.14设Y X ,是Banach 空间,),(Y X L T ∈,且1

-T

存在且有界,试证明*

T 的逆存在且

*11*)()(--=T T .

4.15试证明在2l 中弱收敛与强收敛不等价.

4.16设X 是赋范空间,}{,n w

n x span M x x =?→?,试证明M x ∈. 4.17定义算子11:l l T →,),0,,,,(),,,,(2121 n n x x x x x x T =,试求*

T .

黎茨

Frigyes Riesz于1880年1月22日出生于奥匈帝国（现

在的匈牙利）的Gy?r，他1902年在布达佩斯(Budapest)获得

博士学位,他的博士论文是几何方面的. Riesz是一个泛函分

析的创始人, 他的工作在物理中有许多重要的应用. 他用

Fréchet可在他的博士论文的想法,利用Fréchet的度量将勒

贝格的工作与希尔伯特和他的学生施密特在积分方程方面

的工作联接起来.

Frigyes Riesz(1880-1956) 在1907年和1909年,Riesz建立了二次勒贝格可积函数的泛函表示定理，并在第二篇论中,得到斯蒂尔吉斯可积函数的泛函表示定理.次年,他开始了赋范函数空间的研究. Riesz1910年的工作,标志着算子理论的开始. 1918年,他的工作已接近于巴拿赫空间的公理化理论,而这些是Banach两年后建立的.

1922年, Riesz和Haar在塞格德(Szeged)创建了János Bolyai数学研究所.Riesz成为新杂志Acta Scientiarum Mathematicarum的编辑, Riesz在该期刊发表许多论文,1922年关于线性泛函的Egorov定理就发表在该刊物的第一卷的第一部分.

Riesz在泛函分析的很多基本结果与Banach是不谋而合的.他在1907年证明的定理- Riesz-Fischer定理是Hilbert空间傅里叶分析的基础. Riesz对包括遍历理论的其他领域做出了很多贡献,他还研究了正交系列和拓扑.Riesz和他的学生塞克佛尔维写的《泛函分析讲义》（Le?on's d'analyse fonctionnelle）是非常好的泛函分析著作.

Riesz的成就给他带来了很多许多荣誉,他当选为匈牙利科学院院士,在1949年,他被授予Kossuth奖.他被授予塞格德(Szeged)大学,布达佩斯(Budapest)大学和巴黎大学的荣誉博士学位.

共轭变换及其性质的研究

┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊ ┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊ 数学与应用数学本科生毕业论文 共轭变换及其性质的研究 指导老师：谷勤勤 学生姓名：黄越 所在学院：数理学院 专业名称：数学与应用数学班级： 091班 学号： 099084083 日期： 2013年 6 月

┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊ 安徽工业大学 毕业设计(论文)任务书 课题名称共轭变换及其性质的研究 学院数理学院 专业班级数学与应用数学091班 姓名黄越 学号099084083 毕业论文的主要内容及要求： 1.在查阅相关文献的基础上，评述本课题相关背景及其研究意义。 2.本课题要求熟练掌握共轭变换的概念和共轭变换的性质，并且熟练的使用矩阵工具来解决共轭变换相关定理，要求掌握共轭变换同对称变换和正交变换之间的联系。 3.完成在此课题上已有的一些研究的整理，分析。并且做出自己独立思考的成果，解决有关共轭变换的问题。 4. 写作过程要注重数学理论的构成； 5. 论点要突出，论据要充分，要有自己的特色； 6. 论文要注明参考文献不少于8篇，书写要规范，并为论文答辩做好准备。 指导教师签字：

┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊ 共轭变换及其性质的研究 黄越 数理学院数学与应用数学 摘要 共轭变换在高等代数学中占有着重要的地位，共轭变换及其性质的研究把对称变换、反对称变换统一起来.并借助矩阵这个工具，利用对称矩阵，反对称的性质来研究欧氏空间中的共轭变换.本文首先给出变换的定义，并给出共轭变换的重要性质，结合共轭变换定义和性质并借助于矩阵，得到共轭变换相关的定理.最后，利用共轭变换与对称变换、正交变换之间的关系，通过共轭变换的性质来解决对称变换、正交变换的一些性质和定理的证明. 关键词欧氏空间；线性变换；共轭变换

第一章 绪论

第一章绪论 1.地理参照数据：描述地球表面空间要素的位置和特征的数据，即空间数据和属性数据两种组成。（P5） 2.空间数据：描述空间要素几何特性的数据，可以使离散的或连续的；属性数据：描述空间要素特征的数据。 3.矢量数据和栅格数据之间的不同：矢量数据适用于表示离散要素，而栅格数据适用于表示连续要素。它们结构也不同，栅格数据模型使用行、列式单一数据结构和固定像元位置。矢量数据模型可以是地理相关的或是基于对象的，是否拓扑均可，且可包括单一或复合要素。 4.地理相关数据模型和基于对象数据模型之间的不同：存储方式不同。地理相关模型使用不同的数据系统分部存储空间数据和属性数据；基于对象数据模型则将空间数据和属性数据存储在统一的数据系统中。 5.矢量数据分析的工具和技术：缓冲区建立（由选择的要素量测直线距离来创建缓冲区）、地图叠置（将不同图层的几何形态和属性组合而创建输出图层）、距离量算（计算空间要素之间的距离）、空间统计（检测要素之间的空间依赖性和聚集模式）和地图操作（管理和改变数据库中得图层）。 6.栅格数据分析的操作：局部（对单个像元操作）、邻域、分区（对一组相同值的像元或类似要素的操作）和整体操作（对整个栅格进行操作）。经常用数学函数将输入和输出联系起来。 7.习题：①将Raster文件、Shapefile文件导入Geodatebase;②gird文件生成坡度图的方法和流程；③*.mxd是什么文件，具有什么功能。 第二章坐标系统 1.大地基准在GIS中的重要性：大地基准是地球的一个数学模型，可作为计算某个位置地理坐标的参照或基础。大地基准的定义可包括大地原点、用于计算的椭球参数、椭球与地球在原点的分离。大地基准的概念还可用于测量海拔和高度。 2.地图投影（球形的地球表面到平面的转换过程）：经纬线在平面上的系统安排。 3.根据所保留性质描述地图投影的4种类型：正形投影、等积投影、等距投影、等方位投影。 4.通过投影或可展曲面描述地图投影的3中类型：圆柱投影、圆锥投影、方位投影。 5.标准线和中央线的差异：标准线是定义地图投影的一个普通参数，与切割状态直接相关，标准线指明投影变形分布的模式；而中心线定义了地图投影的中心或原点。 6.比例系数与主比例尺如何建立关系：比例系数是局部比例尺与主比例尺的比值。

武汉大学空间数据库复习资料整理

《空间数据库原理》 第一章数据库 1、空间数据库：①提供结构用于存储和分析空间数据②空间数据由多维空间的对象组成③在标准数据库中存储空间数据需要大量的空间，从一个标准数据库中检索查询空间数据需要很多时间并且很累赘，通常导致很多错误。 2、DBMS:（数据的操作系统）一种操纵和管理数据库的大型软件，用于建立、使用和维护数据库。SDBMS：增加了处理空间数据功能的DBMS。①在它的数据模型中提供空间数据类型和查询语言②至少在执行时支持提供空间数据类型：空间索引；空间链接有效的算法。 在地理信息系统中为什么要研究专门的空间数据库系统？ 1.空间数据库能提供结构存储和空间数据分析 2.空间数据库包含多面空间的对象 3.在标准数据库中存储空间数据会需要过多的空间 4.标准数据库的查询反馈和空间数据分析会消耗过多时减并且留下大量错误空间 5.空间数据库能提供更多有效率的存储和空间数据分析 3、哈希（Hash）函数：一种将任意长度的消息压缩到某一固定长度的消息摘要的函数。 质数除余法（直接取余法）：f(x):=x mod maxM ;maxM一般是不太接近2^t的一个质数。 乘法取整法：f(x):=trunc((x/maxX)*maxlongit) mod maxM，主要用于实数。 平方取中法：f(x):=(x*x div 1000 ) mod 1000000);平方后取中间的，每位包含信息比较多。 第二章数据库基本原理 1、数据模型Data Model：关于数据基础或对象以及他们之间的关系的抽象描述被表示在一个数据库中。 3、概念数据模型：也称语义模型，关于实体和实体间联系的抽象概念集，用统一的语言描述、综合、集成的用户视图。 2、数据字典：是指对数据库的内容包括数据项和属性码定义，是元数据的重要组成部分。（是指对数据的数据项、数据结构、数据流、数据存储、处理逻辑、外部实体等进行定义和描述，其目的是对数据流程图中的各个元素做出详细的说明。） Metadata：是描述数据的数据，主要是描述数据属性的信息，用来支持如指示存储位置、历史数据、资源查找、文件记录等功能。 3、数据库设计和实现：①需求分析②概念数据建模③逻辑建模（参考DBMS和基础数据模型）④物理建模或者实现（参考物理存储和电脑环境）。 需求调查：根据数据库设计的主题对用户的需求进行调查，了解用户特点和要求，取得设计者与用户对需求的一致看法。需求分析：指的是在创建一个新的或改变一个现存的系统或产品时，确定新系统的目的、范围、定义和功能时所要做的所有工作。 4、E-R图：描述对象类型之间的关系，是表示概念模型的一种方式。 第三章基本空间概念 1、凸多边形：把一个多边形任意一边向两方无限延长成为一条直线，如果多边形的其他各边均在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形。 2、点集拓扑：一个基于相邻关系定义拓扑学空间的方法。 3、大圆距离：大圆距离指的是从球面的一点A出发到达球面上另一点B，所经过的最短路径（圆弧）的长度。 曼哈顿距离：两个点上在标准坐标系上的绝对轴距之总和。 4、欧式空间（欧几里德空间）：空间的坐标模型。作用：能将空间属性转化为以实数为元组的属性；坐标系包括一个确定的原点和在原点交叉的一对正交轴线。

空间数据库概论答案

空间数据库概论答案 【篇一：数据库系统概论试题及答案整理版】 >第一章绪论 一、选择题 1. 在数据管理技术的发展过程中，经历了人工管理阶段、文件系统阶段和数据库系统阶段。在这几个 阶段中，数据独立性最高的是a阶段。 a．数据库系 2. 数据库的概念模型独立于a。 a．具体的机器和dbms 3. 数据库的基本特点是b。 a.(1)数据结构化 (2)数据独立性 (3)数据共享性高，冗余大，易移植 b.(1)数据结构化 (2)数据独立性 (3)数据共享性高，冗余小，易扩充 c.(1)数据结构化 (2)数据互换性 (3)数据共享性高，冗余小，易扩充 (4)统一管理和控制(4)统一管理和控制(4)统一管理和控制 b．e-r图 c．信息世界 d．现实世界 b．文件系统 c．人工管理 d．数据项管理 d.(1)数据非结构化 (2)数据独立性 (3)数据共享性高，冗余小，易扩充(4)统一管理和控制 4. b是存储在计算机内有结构的数据的集合。 a．数据库系统 5. 数据库中存储的是c。 a. 数据 6. 数据库中，数据的物理独立性是指c。 a．数据库与数据库管理系统的相互独立 b．用户程序与dbms的相互独立 c．用户的应用程序与存储在磁盘上数据库中的数据是相互独立的d．应用程序与数据库中数据的逻辑结构相互独立 7. 数据库的特点之一是数据的共享，严格地讲，这里的数据共享是指d。

a．同一个应用中的多个程序共享一个数据集合 b．多个用户、同一种语言共享数据 c．多个用户共享一个数据文件 d．多种应用、多种语言、多个用户相互覆盖地使用数据集合 b. 数据模型 c. 数据及数据间的联系 d. 信息 b．数据库 c．数据库管理系统 d．数据结构 8. 数据库系统的核心是b。 a．数据库 9. 下述关于数据库系统的正确叙述是 a 。 a．数据库系统减少了数据冗余b．数据库系统避免了一切冗余 c．数据库系统中数据的一致性是指数据类型一致 d．数据库系统比文件系统能管理更多的数据 10. 数将数据库的结构划分成多个层次，是为了提高数据库的 b ①和 b ②。①a．数据独立性 ②a. 数据独立性 11. 数据库(db)、数据库系统(dbs)和数据库管理系统(dbms)三者之间的关系是 a 。 a．dbs包括db和dbmsc．db包括dbs和dbms 12. 在数据库中，产生数据不一致的根本原因是d。 a．数据存储量太大 b．没有严格保护数据 d．数据冗余 b．ddms包括db和dbs d．dbs就是db，也就是dbms b．逻辑独立性 b．物理独立性 c．管理规范性 c．逻辑独立性 d．数据的共享 b．数据库管理系统 c．数据模型 d．软件工具 d．管理规范性 c．未对数据进行完整性控制 13. 数据库管理系统(dbms)是d。 a．数学软件

第4章 地理信息系统空间数据库-1

第四章地理信息系统空间数据库（1）

第四章地理信息系统空间数据库 第1节空间数据库概述 第2节传统的数据模型 第3节语义和面向对象数据模型 第4节空间数据库逻辑模型设计和物理设计第5节GIS空间时态数据库

第一节空间数据库概述?空间数据库的概念 ?空间数据库的设计 ?空间数据库的实施和维护

一、空间数据库的概念 1. 数据库的相关概念 ①数据库：是指长期储存在计算机内有结构的、大量的、可共享的数据集合。 ②数据库管理系统：是位于用户与操作系统之间的一层数据管理软件；他的功能包括：数据定义，数据操作，数据库的运行管理，数据库的建立和维护。 ③数据库系统：指在计算机系统中引入数据库后的系统，它由数据库、数据库管理系统及其开发工具、应用系统、数据库管理员和用户构成。 ④数据库系统管理员：负责数据库的建立、使用和维护的专门人员。

2. 空间数据库的相关概念 空间数据库：是地理信息系统在计算机物理存储介质存储的与应用相关的地理空间数据的总合，以一系列特定结构的文件形式组织后存储在介质上。 空间数据库（系统）组成：包括3部分 ?空间数据库：是地理信息系统在计算机物理存储介质存储的与应用相关的地理空间数据的总合，一般是以一系列特定结构的文件形式组织后存储在介质上。 ?空间数据库管理系统：是指能够对物理介质上存储的地理空间数据进行语义和逻辑上的定义，提供必需的空间数据查询检索和存取功能，以及能够对空间数据进行有效的维护和更新的一套软件。?空间数据库应用系统：应用模块。

空间数据库是GIS中存储的与应用相关的地理空间数据的总和。（是GIS基本且重要的组成部分） 数据库＝数据库系统

31 线性算子与共轭空间

第三章 线性算子 Linear Operators 本章将研究从一个线性赋范空间X 到另一个线性赋范空间Y 中的映射，亦称算子．如果Y 是数域，则称这种算子为泛函．事实上，我们对算子和泛函的概念并不陌生，例如微分算子d D dx =就是从连续可微函数空间到连续函数空间上的算子；积分算子(黎曼积分)()b a f x dx ?就是连续函数空间上的泛函．本章主要研究保持两个线性赋范空间代数运算的简单算子：线性算子和线性泛函． 3.1 线性算子与共轭空间 3.1.1 线性算子的定义及举例 定义3.1.1 算子 设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，若T 是X 的某个子集D 到Y 中的一个映射，则称T 为子集D 到Y 中的算子．称D 为算子T 的定义域，或记为()D T ；并称Y 的子集{(),}TD y y T x x D ==∈为算子T 的值域．对于x D ∈，通常记x 的像()T x 为Tx ． 注1：当X Y ==R 时，算子T 为函数；若Y =R ，算子T 为实泛函． 定义3.1.2 连续算子 设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，0x D X ∈?，T 为D 到Y 中的算子，如果 0ε?>，0δ?>，当0x x δ-<，有0T x T x ε-<，则称算子T 在点0x 处连续．若算子T 在D 中 每一点都连续，则称T 为D 上的连续算子． 注2：()f x 在0x 点连续?{}n x D ??，若0n x x →，则有0()()n f x f x →． 定义3.1.3 线性算子 设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，D X ?，T 为D 到Y 中的算子， 如果,x y D ?∈，,αβ?∈K ，有()()()T x y T x T y αβαβ+=+，则称T 为D 上的线性算子． 定义3.1.4 线性有界算子 设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，D X ?，:T D Y →为线性算子，如果存在0M >，x D ?∈，有Tx M x ≤，则称T 为D 上的线性有界算子，或称T 有界． 注3：上述的有界与数学分析中的函数有界不同：例如函数()f x x =是实数域R 上的无界函数，即不存在0M >，使得()f x M ≤，但是 ()f x x M x =≤ (1M =) 可见，无界函数可能是线性有界泛函．

地理信息系统第一章知识点

第一章绪论 1、GIS问题的共性是什么？ 答：①与地理环境及其地理过程密切相关；②与空间位置相关；③需要地理空间数据和信息的支持。 2、GIS解决问题的流程（方法、步骤）是什么？这个过程和本课程的内容安排有什么关系？ 答：①提出地理问题；②获取地理数据；③研究地理数据（数据预处理）；④分析地理信息；⑤可视化地理结果；⑥基于地理知识解决问题。这个过程和本课程的内容安排的先后顺序一致，便于从逻辑上逐步地学习地理信息系统，明白地理信息系统解决问题的流程。第一章和第二章阐述GIS的基本概念，第三章讲解地理数据的获取，第四章、第五章和第六章讲解地理数据的研究，第七章讲解地理信息的分析，第八章讲解地理结果的可视化。 3、GIS的定义是什么，应如何去理解这个定义？ 答：①定义：地理信息系统是以采集、处理、管理、分析和描述整个或部分地球表面（包括大气层在内）与空间和地理分布有关的数据的计算机空间信息系统。②地理信息系统的类别主体是计算机空间信息系统。所谓空间信息系统是一种十分特别而重要的信息系统，它要采集、管理、处理和更新空间信息，并且地理信息系统以计算机为基础。③地理信息系统解决问题的流程是采集、处理、管理、分析和描述空间数据。能在计算机软件和硬件的支持下，运用系统工程和信息科学的理论，科学管理和综合分析具有空间内涵的地理数据，以提供对规划、管理、决策和研究所需信息。④地理信息系统的研究范围是整个或部分地球表面（包括大气层在内）与空间和地理分布有关的数据。（与自然地理相比，GIS研究范围更大，自然地理研究范围是对流层顶到沉积岩石圈的底部。卫星在电离层） 4、GIS为什么会出现？ 答：①以应用需求为驱动：正所谓哪里有需求哪里就会有发展，在现实世界中，人们感兴趣的很多问题，如：某类型的土壤特征、臭氧洞的变化、城乡人口分布的变化，最优路径的规划等，都与地表地理环境及其地理过程密切联系，都需要地理空间数据和信息、需要地图、需要GIS。 ②以技术发展为导引：传统的方法存在很多的问题，随着计算机技术的发展，人们开始 利用计算机来存储、管理、分析地理信息，因而产生了地理信息系统。摄影测量和遥感成像技术的发展，使摄影测量工作者能以很高的精度快速地进行大面积测图，并为地球资源科学家（土质、土壤、生态等）提供制图服务。 5、GIS的发展经历了几个过程？每个过程的特点是什么？ 答：①二十世纪50~60年代的GIS开拓期。特点：计算机水平不高，GIS机助制图能力较强，能够实现地图的手扶跟踪数字化以及地图数据的拓扑逻辑和分幅数据拼接功能； 早期的GIS大多数是基于格网系统，发展了许多基于栅格的操作方法；专家兴趣以及政府需求的推动起着积极的引导作用，多数工作仅限于政府和大学范畴，国际交往甚少。 ②二十世纪70年代的GIS巩固发展期。特点：技术发展没有新的突破；系统应用与技 术开发多限于某几个机构；专家影响减弱，政府影响增强；一些发达国家建立了专业的地理信息系统；商业公司开始开发商业GIS软件；许多大学和研究机构开始重视GIS软件设计和研究；许多大学开始提供GIS培训，商业性咨询服务公司开始从事GIS工作。 ③二十世纪80年代的GIS普及和推广应用阶段。特点：GIS开始注重于空间决策支持

空间数据库建库复习资料

第一章 1.GIS的名词分析与推论 GIS概念：具有地理数据的采集、管理、分析、表达能力，能为决策者提供有用地理信息的系统。 推论1：地理信息系统采集的数据为空间数据，即具有空间位置，又具有属性特征。地理信息系统的数据库因此又称为空间数据库。 推论二：地理信息系统具有采集、管理、分析地理数据和表达地理信息的能力。包括空间数据库建设和空间数据库的应用两个层次。 推论三：地理信息系统包括计算机硬件、软件、数据、系统开发人员和用户，但由于处理和分析的是地理数据，因此，在通用的硬件、软件基础上，还有体现专业特点的硬、软件。 2.GIS空间数据体系 空间数据库：空间数据和属性数据的组织 矢量有混合式、扩展式和开放式

矢量数据的空间数据组织：空间坐标数据的非结构化和属性数据的结构化 栅格数据：像元阵列 3.GIS数据模型 矢量数据模型：简单数据结构（面条结构）：如Shapefile、拓扑数据结构：如Coverge、面向对象的数据模型：如Geodatabase 栅格数据模型：栅格文件常用格式：*.tif,*.jpg,*.bmp等。GIS中的栅格格式：ESRI 的Grid、Geodatabase的栅格数据集等。遥感图像的格式：PCI的* .pix，Erdas 的*.img等。 4.空间数据库设计核心 将现实世界抽象为GIS数据模型，这是数据库设计的核心。 5.名词解释： 面条结构：数据按点、线、面为单元进行组织，点、线、面都有自己的坐标数据。最典型的是面条结构。 拓扑数据结构：不仅存储空间位置，同时存储空间关系。 拓扑关联：指存在于空间图形的不同类型元素之间的拓扑关系。如结点与弧段、弧段与多边形。 第二章 1.名词解释： 数据词典：以词典的方式描述和定义E-R模型设计中出现和形成的实体、关系。数据模型匹配：实现将实体类型和特征类型（Coverage、Shapefile、Grid等）的匹配。 区：基于现有的面特征来描述复杂的区域如多个独立的多边形组成的区域、相互

第四章 空间数据的处理及投影变换

练习 4 1.空间数据处理（融合、合并、剪切、交叉、合并） 2.设置地图投影及投影变换 空间数据处理 (1) 第1步裁剪要素 (2) 第2步拼接图层 (3) 第3步要素融合 (4) 第4步图层合并 (6) 第5步图层相交 (7) 定义地图投影 (9) 第6步定义投影 (9) 第7步投影变换――地理坐标系－>北京1954坐标系转换－>西安80坐标系 (10) 补充：图层相减，计算面积 (11) 空间数据处理 ●数据：云南县界.shp; Clip.shp西双版纳森林覆盖.shp 西双版纳县界.shp ●步骤： 将所需要的数据下载后，解压到到 e:\gisdata, 设定工作区:在ArcMap中 执行菜单命令：<工具>－><选项>，在“空间处理”选项页里，点 击“环境变量”按钮，在环境变量对话框 中的常规设置选项中，设定“临时工作空 间”为 e:\gisdata

第1步 裁剪要素 ◆在ArcMap中，添数据GISDATA\云南县界.shp，添加数据GISDATA\Clip.shp （Clip 中有四 个要素） ◆激活Clip图层。选中Clip图层中的一个要素，注意确保不要选中“云南县界”中的要素！ 点击打开ArcToolbox， 指定输出要素类路径及名称，这里请命名 为“云南县界_Clip1” 指定输入类：云南县界 指定剪切要素：Clip（必须是多边形要素）

依次选中Clip主题中其它三个要素，重复以上的操作步骤， 完成操作后将得到共四个图层（“云南县界_Clip1” , “云南县界_Clip2”，“云南县界_Clip3”，“云南县界_Clip4” ）。 第2步 拼接图层 ◆在ArcMap中新建地图文档，加载你在剪切要素操作中得到的 四个图层 ◆点击打开ArcToolbox

数据库系统概论第一章课后答案

第01章绪论 1 ．试述数据、数据库、数据库系统、数据库管理系统的概念。 答： ( l ）数据（Data ) ：描述事物的符号记录称为数据。数据的种类有数字、文字、图形、图像、声音、正文等。数据与其语义是不可分的。解析在现代计算机系统中数据的概念是广义的。早期的计算机系统主要用于科学计算，处理的数据是整数、实数、浮点数等传统数学中的数据。现代计算机能存储和处理的对象十分广泛，表示这些对象的数据也越来越复杂。数据与其语义是不可分的。500 这个数字可以表示一件物品的价格是500 元，也可以表示一个学术会议参加的人数有500 人，还可以表示一袋奶粉重500 克。 ( 2 ）数据库（DataBase ，简称DB ) ：数据库是长期储存在计算机内的、有组织的、可共享的数据集合。数据库中的数据按一定的数据模型组织、描述和储存，具有较小的冗余度、较高的数据独立性和易扩展性，并可为各种用户共享。 ( 3 ）数据库系统（DataBas 。Sytem ，简称DBS ) ：数据库系统是指在计算机系统中引入数据库后的系统构成，一般由数据库、数据库管理系统（及其开发工具）、应用系统、数据库管理员构成。解析数据库系统和数据库是两个概念。数据库系统是一个人一机系统，数据库是数据库系统的一个组成部分。但是在日常工作中人们常常把数据库系统简称为数据库。希望读者能够从人们讲话或文章的上下文中区分“数据库系统”和“数据库”，不要引起混淆。 ( 4 ）数据库管理系统（DataBase Management sytem ，简称DBMs ) ：数据库管理系统是位于用户与操作系统之间的一层数据管理软件，用于科学地组织和存储数据、高效地获取和维护数据。DBMS 的主要功能包括数据定义功能、数据操纵功能、数据库的运行管理功能、数据库的建立和维护功能。解析DBMS 是一个大型的复杂的软件系统，是计算机中的基础软件。目前，专门研制DBMS 的厂商及其研制的DBMS 产品很多。著名的有美国IBM 公司的DBZ 关系数据库管理系统和IMS 层次数据库管理系统、美国Oracle 公司的orade 关系数据库管理系统、s 油ase 公司的s 油ase 关系数据库管理系统、美国微软公司的SQL Serve ，关系数据库管理系统等。

4.2 连续线性泛函与共轭空间

4.2 连续线性泛函与共轭空间 为了引用泛函分析的一般理论于具体场合，若能知道具体空间上连续线性泛函的一般形式，即：具体了解一个线性空间X 的共轭空间*X 中每个元素的形式将是重要的。下面我们将介绍一些常用的空间的共轭空间。 4.2.1 基本概念 定义4.2.1 设X 是赋范线性空间，X 上的连续线性范函全体记做* X , 即 {}*X f f X =是上的连续线性泛函， 它按通常的线性运算：当 *,f g X ∈，α是数时，对x X ?∈，规定 ()()()(), ()()()f g x f x g x f x f x αα+=+=; (4.2.1) 及泛函的范数 1 1 ()sup sup ()sup () ()x x x f x f f x f x x X x ≠≤====∈, (4.2.2) 成为一个赋范线性空间，称为X 的共轭空间。 定义4.2.2 设X 和Y 是两个赋范线性空间，T 是X 到Y 的映射，且对一切x X ∈，有 Tx x =, (4.2.3) 则称T 是X 到Y 的一个保范算子。 若T 不但是保范的，又是线性的，而且是X 到Y 上的一一对应，则称T 是X 到Y 上的（保范）同构映射。 若空间X 和Y 之间存在一个从X 到Y 上的（保范）同构映射，则称X 和Y 同构。 注 若:T x Tx 是一个从X 到Y 上的（保范）同构映射，即：X 和Y 同构，则将x 和Tx 同一化（即：把x 和Tx 视为同一的），这样就可以将X 和Y 同一化而不加区别。 在泛函分析中，常把两个同构的空间同一化，这是泛函分析中一个基本的观念。 一般说来，若一个抽象的赋范线性空间能与一个具体的赋范线性空间同构，我们就把这个具体空间的形式称为抽象空间的一个表示。 4.2.2 一些赋范线性空间上连续线性泛函的表示 所谓赋范线性空间X 上连续线性泛函的表示，就是研究* X 这个赋范线性空间能和怎样的具体空间实现同构。 1. l 1的共轭空间(l 1)* = l ∞

空间数据库

《空间数据库》习题第一章： 1、什么是空间数据库？ KA0394******* 2、空间数据库有哪些特点? 4001-520-520 3、空间数据库与传统数据库的差异何在？ 4、空间数据库有哪些主要作用？ 5、目前空间数据库存在哪些主要问题？ 6、简述空间数据库发展的历史和现状。 7、何谓空间数据？ 8、地理空间类型的表现形式主要有哪些？ 9、何谓地理空间？ 10、当前常用的数据库软件有哪些？ 11、空间数据的类型主要有哪几种？ 第二章： 1、空间实体包括哪些？ 2、空间实体类型主要有哪几种？

3、什么是空间认知的三层模型？ 4、什么是空间认知的九层模型？ 5、地理空间场操作可分为哪几种？ 6、何谓空间认知？ 7、什么是E-R模型？ 第三章： 1、OGC定义的基本几何空间对象有哪些？ 2、GIS逻辑数据模型主要有哪些？ 3、什么是面向对象数据模型？ 4、面向对象数据模型所涉及的主要概念及主要技术有哪些？ 5、三维空间数据模型主要有哪几种？ 6、构成E-R模型的三要素指什么？ 7、Spaghetti数据结构与拓扑矢量数据结构的差异何在？ 8、简述三维矢量模型的数据结构特征。 9、简述三维体元模型的数据结构特征。

10、空间关系主要有哪几种？ 11、GIS逻辑数据模型主要有哪几种？ 第四章： 1、ArcGIS的Geodatabase是如何定义空间对象模型的？ 2、空间数据的管理方式有哪些？ 3、什么是空间数据引擎？ 4、空间数据库引擎管理空间数据的实现方法有哪些？ 5、何谓栅格金字塔结构？ 6、空间数据库引擎的作用是什么？ 7、栅格数据的存储方式主要有哪些？ 8、栅格数据有几种取值方法？ 9、空间数据的组织方式有哪些？ 10、主要空间数据库管理方法各有何优缺点？ 第五章： 1、四叉树索引有几种方法？ 2、简述网格空间索引的基本原理。

局部共轭原理和线接触共轭原理

线接触共轭齿面啮合理论： 利用空间交错轴斜齿轮传动的可变性，在很大范围内调整传动的中心距和轴交角，使两交错轴斜齿轮能够实现线接触， 实现线接触的条件： （1）交错轴斜齿轮副的位置关系满足两齿轮的基圆柱相切的条件； 即图中两齿轮基圆柱具有内公切面Q ，两齿轮轴线OO 与 11o o 的距离为1b b A r r =+，其中b r 和1b r 分别为两齿轮的基圆半径。 （2）两斜齿轮的交错角满足交错角为两齿轮的基圆螺旋角之和。 （3）两齿轮齿面的公共包络面是具有0?法向齿形角的齿条表面。 任意两空间曲面能够实现线接触共轭传动的数学条件： （1）在每一时刻，曲面都沿一条接触线相切，切接触线无奇异点；

（2）曲面都是由曲线簇产生的，即两曲面应满足： ①重合条件，共轭点在接触位置重合。 ②相切条件，两齿面在共轭点处存在公法线，且齿面实体应脱开。 ③啮合条件，共轭点应连续接触。 局部共轭原理： 是先根据成形法或者展成法加工好设计的大轮齿面，然后用齿轮啮合原理求出与前面加工的大轮完全共轭的小轮齿面。但是，这种通过啮合原理求解出的小轮齿面仅在理论上存在，是不能在铣齿机上加工出来的。这时，如果在小轮齿面选择一点M，然后将M点周围的齿面轻轻铲去一层，在距离M点远的地方就铲去得越多一些，这样就把理论计算出的小轮齿面修正为与理论齿面在M点相切而可以利用铣齿机加工的实际齿面，如图2所示，这种修正使得齿轮转角出现一定的失配量，这也是运动误差产生的原因。将修正后能够加工出的齿面与大论的齿面相啮合，齿轮副间的接触区不在遍布整个齿面而是以M点为中心，形成一个局部接触区。 图2 局部接触区的形成 齿轮副完全共轭在理论上存在很多优点，比如，这样的齿轮副运

数据库原理及应用第1章课后习题答案

习题1 1、试述数据、数据库、数据库管理系统、数据库系统的概念。 1）数据是描述客观事物的一组符号集合，是计算机可以识别和处理的符号集。 2）数据库（Database，DB）是长期存储在计算机内、有组织的、可共享的大量数据的集合。数据库中的数据能反映出数据之间的联系。 3）数据库管理系统（Database Management System, DBMS），是一种操纵和管理数据库的大型软件，用于建立、使用和维护数据库。它对数据库进行统一的管理和控制，以保证数据库的安全性和完整性。 4）数据库系统（Database system, DBS）是指在计算机系统中引入数据库后的系统，一般由数据库、数据库管理系统DBMS及其开发工具、应用系统和用户构成。核心是DBMS。2、使用数据库系统有什么好处？ 1）将大量的数据有组织的存储在数据库中，实现数据的共享、减少了数据的冗余性和提高了数据的独立性。 2)数据库系统的核心是数据库管理系统，它主要负责对数据库的管理和维护工作。通过DBMS，用户可以逻辑、抽象地处理数据，不用关心数据在计算机中的具体存储方式，以及计算机处理数据的过程细节。一切具体而繁琐的工作由DBMS完成。 3）数据库应用程序一般具有友好的用户界面，便于用户实现自己的需求。 4）数据库管理员是数据库系统中的重要人员，专门负责数据库的建立、配置、管理和维护工作。 3、试述文件系统和数据库系统之间的区别和联系。 在文件系统阶段，利用“按文件名访问，按记录进行存取”的管理技术，对文件中的数据进行修改、插入和删除操作。应用程序和数据之间有了一定的独立性，但是文件系统中，文件仍然是面向应用的。因此数据的冗余度大，浪费存储空间，而且容易造成数据的不一致性，给数据的修改和维护带来困难。另外，数据独立性差，文件之间是孤立的，系统不容易扩充。 在数据库系统中，所有相关的数据都存储在一个称为数据库的集合中，它们作为一个整体定义。由于数据是统一管理的，因此可以从全局出发，合理组织数据，避免了数据冗余。另外，在数据库中，程序与数据相互独立，数据通过DBMS而不是应用程序来操作和管理，应用程序不再处理文件和记录的格式。 4、试述数据库系统的特点。 1）数据实现集中管理 数据库中的数据是按照一定的结构存储在一起的，数据之间存在一定的联系。 2）实现数据共享 数据库中的数据可被多个不同的用户共享，可以并发地存取数据。多个用户可以用各种方式通过接口使用数据库，实现数据共享。 3）减少数据的冗余度 数据库中的数据面向多个应用，可以被多个用户、多个应用程序共享和使用，大大降低了数据的重复存储，减小了数据的冗余。 4）数据独立性高 数据独立性是指应用程序不会因数据的物理表示方式和访问技术的变化而改变，即应用程序不依赖于任何特定的物理表示方式和访问技术。

共轭梯度法及其基本性质

共轭梯度法及其基本性质 预备知识 定义1 设是对称正定矩阵。称是A-共轭的，是指 性质1 设有是彼此共轭的维向量，即 则一定是线性无关的。 ［证明］若有一组数满足 则对一切一定有 注意到，由此得出：即所有的＝０．因此， 是线性无关的． 性质２设向量是线性无关的向量组，则可通过它们的线性组合得出一组向量，而是两两共轭的． ［证明］我们用构造法来证实上面的结论．

Ｓ０：取； Ｓ１：令，取． …… Ｓm：令 取 容易验证：符合性质２的要求． 性质３设是两两Ａ－共轭的，是任意指定的向量，那么从出发，逐次沿方向搜索求的极小值，所得序列，满足： ． ［证明］由下山算法可知，从出发，沿方向搜索，获得 从而

性质４设是两两Ａ共轭的，则从任意指定的出发，依次沿搜索，所得序列满足： （１） （２），其中是方程组(5.1.1)的解． ［证明］（１）是性质３的直接推论，显然成立． （２）由于是两两Ａ共轭的，故是线性无关的．所以对于向量可用线性表出，即存在一组数使 由于及，得出 ， 于是，再由得出 于是，与得出一样地，我们可以陆续得出：

对比和的表达式可知， 证明完毕 性质４是性质３的直接推论．但它给出了一种求（５.１.１）的算法，这种算法称之为共轭方向法．结合性质２，我们可以得到如下的性质５． 性质５设是上的一组线性无关的向量，则从任意指定的出发，按以下迭代产生的序列： Ｓ１：取，，； Ｓ２：计算，取； 计算，得出； 如此进行下去，直到第n步： Ｓn：计算取 计算，得出． 显然： 根据性质４可知，不论采用什么方法，只要能够构造个两两Ａ共轭的向量作为搜索方向，从任一初始向量出发，依次沿两两Ａ共轭的方向进行搜索，经 步迭代后，便可得到正定方程组的解．

空间数据库原理复习题

空间数据库原理复习题（2018） 同济大学-测绘工程-地理信息系统方向必修课 整理者：Quan 一、★ 第一章 1.地图数据的获取手段有哪些？ 地图的数字化、传感器技术、航空和航天平台技术、现代遥感技术、全球定位系统和惯性导航系统。 2.地图数据使用的坐标系有哪几种？ 地理坐标系、投影坐标系。 3.根据地理实体数字描述方式，空间数据可分为哪两种形式？ 矢量数据、栅格数据。 （另：从概念上分，空间对象数据、场对象数据） 4.什么是空间数据非结构化特征？ 空间数据不像一般事务数据一样每一个记录都有相同的结构与长度，因为空间数据包含了拓扑信息，在方便空间数据分析与查询的同时增大了信息管理的难度。 5.空间数据管理演变有哪些过程？说明各过程的特点。 （1）人工管理阶段（20世纪50年代中期）：数据不保存；没有数据管理软件；数据冗余；（2）文件系统阶段（20世纪60年代中期）：数据文件是大量数据集合形式；面向用户； 数据文件与对应程序有一定独立性；数据文件由顺序文件发展为索引文件、链接文

件、直接文件等； （3）文件与数据库系统混合管理阶段（20世纪70年代中期）：对用户观点的数据进行更严格描述；允许用户以记录或数据项作单位进行访问；数据的物理存储可以很复杂。（4）全关系型空间数据库管理系统（20世纪70年代后期）：不仅可以读写定长的属性数据，而且可以读写非结构化的图形数据，但由于二进制文件的读写效率低，速度慢，效率低。 （5）对象关系数据库管理系统：能直接管理和存储非结构化的空间数据，效率有所提升，但仍有很大限制。可能成为空间数据管理的主流。 （6）面向对象的数据库系统：支持变长记录及对象的嵌套、信息的继承和聚集；但价格昂贵且不太成熟，不太通用。 6.什么是空间数据库的内容？ 矢量地形图数据库、数字高程模型数据库、影像数据库、数字栅格地形图、专题数据、数字地图、元数据。 第二章 1.请叙述空间实体的地图表示方法。 （1）地图对空间实体的定位表示：空间信息在图形上表示为一组地图元素。 （2）地图对空间实体的属性表示：地图用符号和标记来表示属性信息。 （3）地图对空间实体的空间关系表示：地图要素之间的空间关系以图形表示于地图上，依靠读者去解释他们。 2.请分别叙述点线面三类实体对象的基本概念（并说明二维欧氏空间上的连续空间对象类 的继承等级关系） （1）点对象：具有特定位置、维数为零的实体。

空间数据库复习资料

第一章 1数据库的定义：数据库：就是为了一定的目的，在计算机系统中以特定的结构组织、存储、管理和应用的相关联的数据集合。空间数据库是存取、管理空间信息的数据库。 2 空间数据库的内容 （1）矢量地形要素数据库矢量核心地形要素数据库是利用计算机存储的各种数字地形数据及其数据管理软件的集合。 （2）数字高程模型数据库数字高程模型是计算机存储的数字高程模型数据及其管理软件的集合。 （3）数字正射影像数据库数字正射影像数据库是具有正射投影的数字影像的集合。 （4）数字栅格地图数据库数字栅格地图数据库是数据栅格地图及其管理软件的集合。数字栅格地图是现有纸质地形图经计算机处理后的栅格数字文件。 （5）元数据库元数据库是描述数据库/子库和库中各数字产品的元数据构成的数据库。（6）专题数据库专题数据库是各种专题数据的集合 3 空间数据管理演变过程（发展） 空间数据库的研究始于20世纪70年代的地图制图与遥感图像处理领域，其目的是为了有效利用卫星遥感资源迅速绘制出各种经济专题地图。 （1）人工管理阶段(50年代中期以前) （2）文件系统阶段(50年代后期—60年代中期） （3）文件与数据库管理阶段（20世纪70年代初） （4）全关系型空间数据库管理系统（20世纪70年代后期） （5）对象关系数据库管理系统 （6）面向对象的数据库管理系统 4 地理空间数据库主要研究内容 （1）空间数据模型 （2）地理空间数据的获取与处理1）空间数据库的准确性研究2）空间数据质量研究（3）地理空间数据组织1）空间数据的多种表达方式研究2）时空关系的研究 3）海量空间数据库的结构体系研究 （4）空间数据库管理系统1）空间关系语言研究2）分布式处理和Client/Server模式（5）地理空间数据共享研究1）空间数据共享的理论；2）空间数据共享的处理方法，包括数据规范、标准、元数据研究，空间数据融合、集成与互操作的理论与方法等。 第二章 1 空间实体——指具有确定的位置和形态特征并具有地理意义的地理空间物体。(河流、道 路、城市、航线等） 空间实体：地理信息系统中不可再分的最小单元现象称为空间实体.属性是空间实体已定义 的特征（如人口数量、林地上林木名称等） 空间实体：是指现实世界中地理实体的最小抽象单位,主要包括点、线和面三种类型.空间检索的目的是对给定的空间坐标,能够以尽快的速度搜索到坐标范围内的空间对象,进 而对空间对象进行拓扑关系的分析处理 2 空间对象模型特征 （1）点对象点是有特定的位置、维数为零的实体 1)点实体(point entity)：用来代表一个实体。 2)注记点:用于定位注记。 3)内点(label point)：用于记录多边形的属性，存在于多边形内。 4)结点(node)：表示线的终点和起点。

共轭

&3共轭方向法 引言 本节之后的方法大多属于共轭方向法。 3.6.1 共轭方向的概念 若两个向量n R X ∈，n R Y ∈，满足如下关系： =AY X T (3-6-1) 其中，A 为n n ?的对称正定阵，则称X 和Y 是关于A 共轭的，X 和Y 称之为共轭方向。注意：若0 =Y X T ，则称X 与Y 正交。实际上，共轭是正交的推广。 例1： 有两个二维向量?? ????=111 S ，? ? ????-=112 S ，?? ????=2112 A ，判断1S 与2S 是否 关于A 共轭，是否正交？ 解： []011211211 2 1=?? ? ???-????? ???=AS S T ，因此，1S 与2S 关于A 共轭。 []0 1111 21=?? ? ???-?=S S T ，因此，1S 与2S 正交。 3.6.2 共轭向量的概念 如果有m 个n 维向量m S S S S ,..., ,,321，满足 正定 且A j i AS S j i AS S j T i j T i ,) (0 )(0?????=≠≠= (3-6-2) 则称这m 个向量是A 的共轭向量。如果A 为n 维单位阵，则称这m 个为正 交向量。 3.6.3 共轭向量的几何意义 设目标函数为 1()2 T T F X X A X B X C = ++ (3-6-3) 其中，A 为n n ?阶的对称正定阵。()F X 的梯度为： B AX X F +=?)( (3-6-4)

设从某点0X 出发，沿0P 方向进行搜索得到()F X 的极小点1X ，则有 )()(01 01=+=?P B AX P X F T T (3-6-5) 设从某点'0X 出发，仍沿0P 方向进行搜索得到()F X 的极小点2X ，则有 )()(02 02=+=?P B AX P X F T T (3-6-6) 式(3-6-6)减(3-6-5)，可得： )(012 =-AP X X T (3-6-7) 这说明) (12 X X -与0P 是关于A 共轭的。 3.6.4 共轭方向法的原理 考虑m 个n 维向量m S S S ,..., ,21，满足正定 且A j i AS S j i AS S j T i j T i ,) (0 )(0?????=≠≠=，则这 m 个向量一定是线性无关的。用反证法。 假设m S S S ,...,,21线性相关，则一定存在一组不全为0的一组数m ααα,..., ,21， 满足 ...2211=+++m m S S S ααα (3-6-8) 则有 ...)...(2 2112211=+++= +++m T i m T i T i m m T i AS S AS S AS S S S S A S αα αααα (3-6-8) 其中，m i ,...,2,1=。因此有：0 =i T i AS S ，但这与原假设不符。因此，一定可 以得出m S S S ,..., ,21线性无关的结论。 注意：在n 维空间中的任意向量，均可以用n 个线性无关的n 维向量表示，也可以说，n 维是由n 个线性无关的n 维向量张成的（此处还差一步：正交化）。那么，设目标函数 ) (X f 的极小点为*X ，初始点为0X ，120,...,,-n S S S 为关于A 的 n 个共轭向量，则有： 1111000 * ...--+++=-n n S S S X X ααα (3-6-9) 将式(3-6-9)写成差分格式：

空间数据库1

空间数据库 第一章绪论 1、数据库是长期存储在计算机内的、有组织的、可共享的数据集合；空间数据库是描述与特定空间位置有关的真实世界对象的数据集合。 2、空间数据是对空间事物的描述，用来描述空间实体的位置、形状、大小及其分布特征等多方面的信息；空间数据包括文字、数字、图形、影像、声音等主要类型。 3、GIS中数据的来源：地图数据、影像数据、地形数据、属性数据；空间数据特征：时空特征、多维特征、多尺度性、海量数据特征。 4、空间数据库的作用:空间数据处理与更新、海量数据存储与管理、空间分析与决策、空间信息交换与共享。 5、空间数据库系统是一个存储空间和非空间数据的数据库系统，在它的数据模型和查询语言中能提供空间数据类型，可以进行空间动态索引，并提供空间查询和空间分析的功能。 6、空间数据库特征：综合抽象特征、非结构化特征、分类编码特征、复杂性与多样性。 7、空间数据库与传统数据库的差异：（1）信息描述差异（在空间数据库中，数据比较复杂。不仅有一般地理要素的属性数据，还有大量的空间数据；空间数据库是一个复杂的系统，要用数据来描述各种地理要素，尤其是要素的空间分布，其数据量大，空间数据库中的数据具有丰富的隐含信息）；（2）数据管理差异（传统数据库的管理是不连续的、相关性较小的数字和字符，而空间数据是连续的，具有很强的相关性；传统数据库管理的实体较少，并且实体类型之间只有简单的空间关系，而空间数据库实体类型繁多，实体类型之间存在着复杂的空间关系，并且能够产生新的关系；传统数据库只针对简单对象，无法有效地支持复杂对象，而空间数据库由于不同空间目标的坐标串长度不定，具有变长记录，并且数据项有可能很大、很复杂；传统数据库无法支持以复杂对象为主体的GIS领域，地理空间数据必须具有对地理对象进行模拟和推导的功能）；（3）数据操作差异（从数据操作的角度，地理空间数据管理中需要进行大量的空间数据操作和查询，而传统数据库系统只操纵和查询文字和数字信息，难以适应空间操作）；（4）数据更新差异（数据更新周期不同；数据更新的角色不同；访问的数据量不同；数据更新的策略不同）；（5）服务应用差异（空间数据库的服务和应用范围相当广泛；空间数据库是一个共享或分享式的数据库；传统的关系数据库中存储和处理的大都是关系数据）。 第二章空间现象抽象表达 1、空间认知是对现实世界的空间属性包括位置、大小、距离、方向、形状、模式、运动和物体内部关系的认识，是通过获取、处理、存储、传递和翻译空间信息，来获取空间知识的过程。 2、空间类型具有五种形式：物理空间、感觉运动空间、感知空间、认知空间、符号空间。 3、空间认知模式：空间特征感知、空间对象认知、空间格局认知。 4、模型是对现实世界中的实体和现象的抽象或简化，是对实体或现象中最重要的构成及其相互关系的表达，能反映事物的固有特征及其相互关系或运动变化规律。GIS概念数据模型是考虑用户需求的共性，用统一的语言描述、综合、集成的用户视图。 5、GIS空间数据模型由概念数据模型、逻辑数据模型、物理数据模型三个不同层次组成。 6、空间实体是存在于自然世界中地理实体，与地理空间位置或特征相关联，在空间数据中不可再分的最小单元现象层称为空间实体。基本的空间实体有点、线、面、体四种类型。 7、矢量数据结构是利用欧几里得学的中心点、线、面及其组合体来表示地空间分布的一种数据组织方式。矢量数据结构主要有Spaghetti（面条）结构和拓扑矢量数据结构。Spaghetti（面条）结构的特点：（1）数据按点、线或多边形为单元进行组织，易于实现以多边形为单元的运作，数据编排直观，数字化后无需进行大量的编辑整理，即可方便地显示；（2）每个多边形都以闭合线段存储，多边形的公共边界被数字化两次和存储两次，线性数据库中被多次记录，造成数据冗余；（3）点、线和多边形有各自的坐标数据，每个多边形自成体系，但缺少有关拓扑关系的信息；（4）多边形公共边界线的两次输入，记录常不一致，容易造成数据结构的破坏，引起严重的匹配误差；（5）不能解决“洞”和“岛”之类的多边形镶嵌问题，岛只作为一个单个图形，没有与外界多边形的联系，难以表达多边形包含关系。 8、拓扑矢量数据结构是指根据拓扑几何学原理进行空间数据组织的方式。最基本的拓扑关系是：关联、邻接、包含。