浅谈数学美的表现形式

浅谈数学美的表现形式

数学美的表现形式是多种多样的，从数学内容看，有概念之美、公式之美、体系之美等；从数学的方法及思维看，有简约之美、类比之美、抽象之美、无限之美等；从狭义美学意义上看，有对称之美、和谐之美、奇异之美等。

（一）语言美

数学有着自身特有的语言———数学语言，其中包括：

1 数的语言——符号语言

关于“∏” ，《九章算术》 如斯说：“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”；面对“√2”这一差点被无理的行为淹没的无理数，我们一直难以忘怀那位因发现“边长为1的正方形，其对角线长不能表示成整数之比”这一“数学悖论”而被抛进大海的希帕索斯（公元前五世纪毕达哥拉斯学派成员）。还有sin?、∞ 等等，一个又一个数的语言，无不将数的完美与精致表现得淋漓尽致。

2形的语言——视角语言

从形的角度来看——对称性（“中心对称”、“轴对称”演绎了多少遥相呼应的缠绵故事）；比例性（美丽的“黄金分割法”分出的又岂止身材的绝妙配置？）；和谐性（如对数中：对数记号、底数以及真数三者之间的关联与配套实际上是一种怎样的经典的优化组合！）；鲜明性（“最大值”、“最小值” 让我们联想起——“山的伟岸”与“水的温柔”，并深切地感悟到：有山有水的地方，为何总是人杰地灵的内在神韵……）和新颖性（一个接一个数学“悖论”的出现，保持了数学乃至所有自然科学的新鲜与活力）等等。

（二）、简洁美

爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。朴素，简单，是其外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。

欧拉给出的公式：V －Ｅ＋Ｆ＝２，堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数Ｖ、棱数Ｅ、面数Ｆ，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？！

在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。比如：圆的周长公式：C=2πR

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方

a 2+

b 2=

c 2。 正弦定理：ΔＡＢＣ的外接圆半径Ｒ，则R C

c B b A a 2sin sin sin === 数学的这种简洁美，用几个定理是不足以说清的，数学历史中每一次进步都使已有的定理更简洁。正如伟大的希而伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”。

庞加莱指出：“在解中，在证明中，给我们以美感的东西是什么呢？是各部分的和谐，是它们的对称，是它们的巧妙、平衡”。

（四）、和谐美

美是和谐的．和谐性也是数学美的特征之一．和谐即雅致、严谨或形式结构的无矛盾性． 没有那门学科能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性。

—— Carus,Paul

数论大师赛尔伯格曾经说，他喜欢数学的一个动机是以下的公式： -+-=5

13114π

，这个公式实在美极了，奇数1、3、5、…这样的组合可以给出π，对于一个数学家来说，此公式正如一幅美丽图画

或风景。

欧拉公式：1-=πi e ，曾获得“最美的数学定理”称号。欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系，包容得如此协调、有序。与欧拉公式有关的棣美弗－欧拉公式是θθθi e i =+sin cos ――（１）。这个公式把人们以为没有什么共同性的两大类函数――三角函数与指数函数紧密地结合起来了。对他们的结合，人们始则惊诧，继而赞叹――确是“天作之合”。 和谐的美，在数学中多得不可胜数。如著名的黄金分割比2

15-=λ，即０.61803398…。 在正五边形中，边长与对角线长的比是黄金分割比。建筑物的窗口，宽与高度的比一般为λ；人们的膝盖骨是大腿与小腿的黄金分割点，人的肘关节是手臂的黄金分割点，肚脐是人身高的黄金分割点；当气温为23摄氏度时，人感到最舒服，此时23:37（体温）约为0.618；名画的主题，大都画在画面的0.618处，弦乐器的声码放在琴弦的0.618处，会使声音更甜美。建筑设计的精巧、人体科学的奥秘、美术作品的高雅风格，音乐作品的优美节奏，交融于数的对称美与和谐美之中。

黄金分割比在许多艺术作品中、在建筑设计中都有广泛的应用。达·芬奇称黄金分割比215-=

λ为“神圣比例”．他认为“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上”。与2

15-=λ有关的问题还有许多， “黄金分割”、“神圣比例”的美称，她受之无愧。

（四）、奇异美

全世界有很大影响的两份杂志曾联合邀请全世界的数学家们评选“近50年的最佳数学问题”，其中有一道相当简单的问题：有哪些分数bc

ab ，不合理地把b 约去得到c a ，结果却是对的？ 经过一种简单计算，可以找到四个分数：

9849,9519,6526,6416。这个问题涉及到“运算谬误，结果正确”的歪打正着，在给人惊喜之余，不也展现一种奇异美吗。

还有一些“歪打正着等式”，比如

31112931921131

25253125522592

2952=?=?=?

人造卫星、行星、彗星等由于运动的速度的不同，它们的轨道可能是椭圆、双曲线或抛物线，这几种曲线的定义如下：到定点距离与它到定直线的距离之比是常数ｅ的点的轨迹，

当ｅ＜１时，形成的是椭圆．当ｅ＞１时，形成的是双曲线．当ｅ＝１时，形成的是抛物线． 常数ｅ由0.999变为1、变为0.001，相差很小，形成的却是形状、性质完全不同的曲线。而这几种曲线又完全可看作不同的平面截圆锥面所得到的截线。

椭圆与正弦曲线会有什么联系吗？做一个实验，把厚纸卷几次，做成一个圆筒。斜割这一圆筒成两部分。如果不拆开圆筒，那么截面将是椭圆，如果拆开圆筒，切口形成的即是正弦曲线。这其中的玄妙是不是很奇异、很美。

（五）、对称美

在古代“对称”一词的含义是“和谐”、“美观”。毕达哥拉斯学派认为，一切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形中，最美的是圆形。圆是中心对称圆形――圆心是它的对称中心，圆也是轴对称

图形――任何一条直径都是它的对称轴。 梯形的面积公式：Ｓ＝2

)(h b a + ， 等差数列的前ｎ项和公式：2

)1(n n a a n S +=， 其中ａ是上底边长，ｂ是下底边长，其中ａ１是首项，ａｎ是第ｎ项，这两个等式中，ａ与ａ１是对称的，ｂ与ａｎ是对称的。h 与n 是对称的。

对称美的形式很多，对称的这种美也不只是数学家独自欣赏的，人们对于对称美的追求是自然的、朴素的。如我们喜爱的对数螺线、雪花，知道它的一部分，就可以知道它的全部。李政道、杨振宁也正是由对称的研究而发现了宇称不守恒定律。从中我们体会到了对称的美与成功。

（六）、创新美

欧几里得几何曾经是完美的经典几何学，其中的公理5：“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”和结论“三角形内角和等于二直角”，这些似乎是天经地义的绝对真理。但罗马切夫斯基却采用了不同公理5的结论：“过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行”，在这种几何里，“三角形内角和小于二直角”，从而创造了罗氏几何。黎曼几何学没有平行线。这些与传统观念相违背的理论，并不是虚无飘渺的，当我们进行遥远的天文测量时，用罗氏几何学是很方便的，原子物理、狭义相对论中也有应用；而爱因斯坦建立的广义相对论中，较多地利用了黎曼几何这个工具，才克服了所遇到的数学计算上的困难。每一个理论都在需要不断创新，每一个奇思妙想、每一个似乎不合理又不可思议的念头都可能开辟新的天地。这种开阔了我们的视野、开阔了我们心胸、给我们完全不同感受的难到不是切入肌肤的美吗？如果我们再大胆设想一下，是不是还存在一个能包容欧氏几何和非欧几何的更广泛的几何学呢？事实上，通过高斯曲率可以将三种几何统一在曲面的内在几何学中，还可以通过克莱因几何学与变换群的观点将三种几何统一起来。在不断创新的过程中，数学得到了发展。

（七）、统一美

数的概念从自然数、分数、负数、无理数，扩大到复数，经历了无数次坎坷，范围不断扩大了，在数学及其他学科的作用也不断地增大。那么，人们自然想到能否再把复数的概念继续推广。

英国数学家哈密顿苦苦思索了15年，没能获得成功。后来，他“被迫作出妥协”，牺牲了复数集中的一条性质，终于发现了四元数，即形为a 1+a 2i+a 3j+a 4k （a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 为实数）的数，其中ｉ、ｊ、ｋ如同复数中的虚数单位。若a 3 ＝a 4 ＝０，则四元数a 1+a 2i+a 3j+a 4k 是一般的复数。四元数的研究推动了线性代数的研究，并在此基础上形成了线性代数理论。物理学家麦克斯韦利用四元数理论建立了电磁理论。

数学的发展是逐步统一的过程。统一的目的也正如希而伯特所说的：“追求更有力的工具和更简单的方法”。

爱因斯坦一生的梦想就是追求宇宙统一的理论。他用简洁的表达式E=mc 2揭示了自然界中质能关系，这不能不说是一件统一的艺术品。但他还是没有完成统一的梦想。人类在不断探寻着纷繁复杂的世界，又在不断地用统一的观点认识世界，宇宙没有尽头，统一美也需要永远的追求。

（八） 类比美

解析几何中的代数语言具有意想不到的作用，因为它不需要从几何考虑也行。考虑方程

我们知道，它是一个圆。圆的完美形状，对称性，无终点等都存在在哪里呢？在方

程之中！例如，与对称，等等。代数取代了几何，思想取代了眼睛！在这个代数方程的性质中，我们能够找出几何中圆的所有性质。这个事实使得数学家们通过几何图形的代数表示，能够探索出更深层次的概念。那就是四维几何。我们为什么不能考虑下述方程呢？

以及形如

的方程呢？这是一个伟大的进步。仅仅靠类比，就从三维空间进入高维空间，从有形进入无形，从现实世界走向虚拟世界。这是何等奇妙的事情啊！用宋代著名哲学家程颢的诗句可以准确地描述这一过程：道通天地有形外，思入风云变态中。

（九）抽象美、自由美

从初等数学的基本概念到现代数学的各种原理都具有普遍的抽象性与一般性。正如开普勒所说的：“对于外部世界进行研究的主要目的，在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐，而这些是上帝以数学语言透露给我们的”。

数学的第一特征在于她具有抽象思维的能力，在数学中所处理的是抽象的量，是脱离了具体事物内容的用符号表示的量。它可以成为任何一个具体数的代数，但它又不等于任何具体数。比如“N”表示自然数，它不是N个岗位，N只鸡或N张照片……也不是哪一个具体的数，分不清是0 ？是1？或者说100？……“知道”中蕴含着“不知道”，“具体”中充满了“不具体”，它就是这样一个抽象的数！

达·芬奇是15至16世纪的一位艺术大师和科学巨匠。他用一句话概括了他的《艺术专论》的思想：“欣赏我的作品的人，没有一个不是数学家”

历史上不少著名人物都迷恋音乐，大数学家克兰纳克就是一例。一位数学王子何以如此迷恋音乐？原因也许是多方面的，依我看，最重要的一点就是数学和音乐均为一种抽象语言，它们都充满了抽象美、自由美。而且，数学和音乐还是两个人造的金碧辉煌的世界，前者仅用十个阿拉伯数字和若干符号便造出了一个无限的、绝对真的世界，后者仅用五条线和一些蝌蚪状的音符就造出了一个无限的、绝对美的世界。如果说，音乐是人类感情活动最优美的表现，那么数学便是人类理性活动最惊人的产品。

（十）辩证美

熟悉数学的人都体会到在数学中充满着辩证法。如果说各门科学都包含着丰富的辩证思想，那么，数学则有自己特殊的表现方式，即用数学的符号语言以及简明的数学公式能明确地表达出各种辩证的关系和转化。

例如：初等数学中：点与坐标的对应；曲线与方程之间的关系；概率论和数理统计所揭示出的事物的必然性与偶然性的内在联系等。以及高三数学里所涉及的：极限概念，特别是现代的极限语言，很好地体现了有限与无限，近似和精确的辩证关系；牛顿——莱布尼茨公式描述了微分和积分两种运算方式之间的联系和相互转化等等。

这类事例在数学中比比皆是。当然，要真正掌握好“数学美”，仅仅知道一些数学知识还是远远不够的，还必须善于发现各种数学结构、数学运算之间的关系，建立和运用它们之间的联系和转化。唯其如此，才能发挥出蕴藏在数学中的辩证思维的力量。数学中许多计算方法之灵巧，证明方法之美妙，究其思路，往往就是综合利用了各种关系并对他们进行过适宜的转化而成的。

掌握了“两优择其重，两劣择其轻”这一辩证的比较思想，我们就掌握了解这类题目的钥匙。其实，全部数学无处不在贯彻“两优择其重，两劣择其轻”这一原则。数学无处不体现着辩证法，数学家们无时不在用辩证的眼光看问题。陈省身教授80年代在北大讲学时说：“人们常说，三角形内角和等于180°，但是，这是不对的！”……“说三角形内角和为180°不对，不是说这个事实不对，而是说这种看问题的方法不对。应该说三角形外角和是360°！把眼光盯住内角，只能看到：三角形内角和是180°；四边形内角和是360°；五边形内角和是540°……n边形内角和是（n-2）*180°，虽然找到了一个计算内角和的公式，但公式里包含边数n。如果看外角呢？三角形外角和是360°，四边形外角和是360°，五边形外角和是360°，……，n边形外角和是360°。

这就把多种情况用一个十分简单的结论概括起来了，用一个与n无关的常数代替了与n有关的公式，找到了更一般的规律。”其实，数学又何尝不是美学？

数学的力量是无穷的，数学美犹如但丁神曲中的诗句，优美和谐的乐曲，别具一格的绘画，雄伟壮美的建筑，同样会使数学学习者们激情荡漾，兴趣盎然！数学之美，还可以从更多的角度去审视，而每

一侧面的美都不是孤立的，她们是相辅相成、密不可分的。她需要人们用心、用智慧深层次地去挖掘，更好地体会她的美学价值和她丰富、深隧的内涵和思想，及其对人类思维的深刻影响。如果在学习过程中，我们能与数学家，教师们一起探索、发现，从中获得成功的喜悦和美的享受，那么我们就会不断深入其中，欣赏和创造美。相信我们的数学学习一定能够取得更好的学习效果。

个人简介：高中数学教师，从教十年，发表论文“类比三角公式，寻找解题入口”，“一石激起千层浪”。

数学美的表现探析

数学美的表现形式是多种多样的，从数学内容看，有概念之美、公式之美、体系之美等；从数学的方法及思维看，有简约之美、类比之美、抽象之美、无限之美等；从狭义美学意义上看，有对称之美、和谐之美、奇异之美等。 （一）语言美 数学有着自身特有的语言———数学语言，其中包括： 1 数的语言——符号语言 关于“∏”，《九章算术》如斯说：“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”；面对“√2”这一差点被无理的行为淹没的无理数，我们一直难以忘怀那位因发现“边长为1的正方形，其对角线长不能表示成整数之比”这一“数学悖论”而被抛进大海的希帕索斯（公元前五世纪毕达哥拉斯学派成员）。还有sin?、∞等等，一个又一个数的语言，无不将数的完美与精致表现得淋漓尽致。 2形的语言——视角语言 从形的角度来看——对称性（“中心对称”、“轴对称”演绎了多少遥相呼应的缠绵故事）；比例性（美丽的“黄金分割法”分出的又岂止身材的绝妙配置？）；和谐性（如对数中：对数记号、底数以及真数三者之间的关联与配套实际上是一种怎样的经

典的优化组合！）；鲜明性（“最大值”、“最小值”让我们联想起——“山的伟岸”与“水的温柔”，并深切地感悟到：有山有水的地方，为何总是人杰地灵的内在神韵……）和新颖性（一个接一个数学“悖论”的出现，保持了数学乃至所有自然科学的新鲜与活力）等等。 （二）简洁美 爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。朴素，简单，是其外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。 欧拉给出的公式：V－Ｅ＋Ｆ＝２，堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数Ｖ、棱数Ｅ、面数Ｆ，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？！ 在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。比如：圆的周长公式：C=2πR 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方+ =。 正弦定理：ΔＡＢＣ的外接圆半径Ｒ，则

浅谈崇高与优美的审美形态及其审美特征

浅谈崇高与优美的审美形态及其审美特征 内容摘要：美的现象的审美形态是多种多样的，在美学史上,很早就有人注意了崇高与优美的不同。人们对崇高和优美的历史探讨时怎样的呢？崇高和优美又具有哪些审美特征呢？它们之间存在着怎样的区别与联系呢？优美作为美的一般形态，侧重于展示客体与主体在实践中经由矛盾对立达到统一、平衡、和谐的状态。崇高更多地展示着主体和客体在现阶段相冲突和对立的状态；并且在这一对立的冲突中，显示出客体和主体相统一的历史必然性。 关键词：崇高优美内涵历史探讨审美特征区别 一、概述崇高与优美的内涵 崇高是西方美学的基本形态之一。它的基本内涵是：人的本质力量在经过巨大的已己力量的压抑、排斥、震撼之后，最终通过人生实践尤其是审美实践活动而得到全面的高扬和完整的体现。也可以说，崇高是一种通过人生实践和审美活动在真善美与假恶丑的对立冲突中重建起来的具有肯定性价值内涵的审美形态。优美在西方美学中是与崇高既相反又相成的基本的审美形态，同样具有肯定的价值内涵。优美是理性内容与感性形式、理想与现实。个体与社会及自然、自由与自在、主观的合目的性与客观的和规律性的和谐统一。概而言之，优美是理想人生境界与人生实践完满统一的现实呈现和展示。 二、崇高与优美的历史探讨 在西方美学史中，柏拉图在《文艺对话集》中最早明确谈到了“崇高”。一般认为是朗基努斯的《论崇高》第一次较为明确地把崇高和优美作为两种可以并列对举的美加以概述。在西方美学史上第一个把崇高与美严格区别开来的，是英国的经经验主义哲学家--博克。他在《崇高与美》一文中提出，崇高感情的根源是“自我保全的冲动”。康德从博克的提法中引申出崇高与美的最重要的内在区别。康德在《判断力批判》中说：“崇高不存于自然界的任何物内，而是内在于我们的心里”他强调人类本身的伟大，但没有把人类本质力量理解为物质生产实践，而将它归结为心灵的理性。在康德之后，席勒和黑格尔等几位西方美学家分别对崇高作了进一步研究。在我国，李泽厚在《批判哲学的批判》的结尾如此概括过崇高的内涵：“崇高的基础不在自然，也不在心灵，而是在社会斗争的伟大实践中。所以，伟大的艺术作品经常以崇高为美学表征，即以体现复杂激烈的社会斗争为基础和为特色的。先进战士、亿万人民的斗争，勇往直前，前仆后继，不屈不挠，英勇牺牲，正是艺术要表现的崇高。自然美的崇高，则是由于人类社会实践将它们征服之后，对观赏来说成为唤起激情的对象。” 在中外美学史上，最初有关美的本质和特性的探讨，大体上指的都是优美。英国美学家博克认为：“优美这个观念和美没有多大区别” ，主要是从对象的物性特征以及对相对于人的圣经刺激的角度入手，来论述优美。康德则从对象给人的快感、内在情感、想象等角度分析优美。在康德之后，席勒认为：“美可以同时期待产生松弛和紧张的作用。松弛的作用可以使感性冲动和行事冲动各自安分守己，紧张的作用可以使两种冲动都保持其力量”。他认为，优美是一种动态美，它是精神在感性自然中最充分地得到表现，并给人以最适合感官要求的审美享受的那种美。它更多表现在女性身上。 三、崇高与优美的审美特征及其比较研究

慕课数学文化欣赏

华中农业大学 数学文化欣赏 在我们模糊的记忆里，数学是残缺的公式和零乱的图形，是课堂的催眠曲；然而，当您走进“数学文化欣赏”慕课，您会看到诸如2016=168+168+ 168+168+168+168+168+168+168+168+168+168，祝您12个月一路发，等等那些幽默风趣还带有浪漫色彩的数学世界，改变您对数学的认识，让我们一起走进数学的艺术殿堂！ 课程概述 “数学文化欣赏”是面向所有专业大学生（本、专科生及研究生）和社会公众开放的素质教育通识课。“数学素质”是高等院校大学生综合素质的重要组成部分，本课程《数学文化欣赏》旨在为学生学完《大学数学》课程后，进一步提高学生数学素质，目的是让当代大学生懂得数学不仅仅是科学的工具和语言、同时它也是一种十分重要的思维方式和文化精神。而对于一个大学生，这种精神和思维方式不仅是十分基本的，而且是无法从其他途径获得的，选学数学文化欣赏课，对于提高大学生综合素质有非常重要的实际意义。 本课程是数学类课程，但在注重其知识性、科学性的同时，也注重趣味性和应用性；在各种有趣味的情境中，让学生参与其中并在共同探索的氛围下潜移默化地提高学生的数学素养。 本课程组织教学的思路是：第一，以贯彻素质教育为准绳，既着眼于提高学生的数学素养，又着眼于提高学生的文化素养和思想素养。第二，通过大量的数学史料和数学家轶事等，介绍数学的思想、精神和方法；第三，根据需要适当的介绍数学知识，但不以传授数学知识为主要目的，对涉及的数学知识深浅适当，以能讲清数学思想为准，以保证各专业学生都能听清听懂并有所收获；第四，本课程旨在让学生在欣赏数学文化的同时了解数学的历史、现状和未来，最终达到开阔眼界，热爱数学。 本课程先后被评为学校研究性课程、重点课程和优质课程，2013年获得校精品视频公开课；2014年获得国家教学成果二等奖(联合)。 证书要求 总评成绩60分至84分为合格，可获得合格证书；85分至100分为优秀，可获得优秀证书。总评成绩为百分制，按以下比例分配： 1.单元测验：客观题，占40%。 2.课程考试：期末将进行课程考试，以课程论文的形式提交，占60%。 证书的形式包括有免费证书（电子版）和认证证书（包含可查询验证的电子版和纸质版2个版本），同学们可以在课程结束后根据需要进行申请。 预备知识 微积分、线性代数等。 授课大纲 一、课程基本要求 本课程要求学生在掌握“大学数学”基本概念和基本方法的基础上，进一步提高自身的数学技能和数学素质，了解数学思维方式和数学作为文化的价值，巩固大学数学的基本理论和基本知识；提高自身的综合素质。 二、理论教学内容及安排

数学是美的

数学之美 数学是美丽的，哪里有数哪里就有美。数学的美不在于华丽的外表，不在于精致的妆容，而在于它的文化韵味，它丰富的知识、精巧的方法、博大的思想。爱美之心，人皆有之，在培根眼里一切绝妙的美都显示出奇异的均衡关系，海森堡则将各部分之间以及各部分与整体之间固有的和谐视为美的真谛。数学家阐述的语言虽然有所不同，但是归结起来可以这样说：数学的美表现在简单、对称、完备、统一和谐和奇异。 数学的美是无处不在的：数学家们对动植物的生长进行研究，发现总结了斐波那契数列；在美术艺术、建筑艺术中遵循的黄金比例；以及自然界中的分形几何等等，美好的事物中蕴藏着数学的奥妙。 作为数学教师，我们有义务也应该带领学生去领略数学的美，在小学阶段对数学美感的教育可以从以下几方面入手： 在教育教学中渗透数学的简洁概括之美，数学是研究自然科学的工具，它简洁、概括，生活中的许多问题都可以抽象成数学模型来解决。我们在小学阶段学习的公式、运算定律等，用简洁的字母，表示了复杂的数量关系，正是体现了数学的简洁之美。在教学中渗透数学之美，不仅可以培养学生的美感，而且可以帮助学生更好地理解和运用数学公式和定律。 在教育教学中还要渗透数学的和谐对称之美，自然界五颜六色的花朵，精致的蝴蝶，展现出的是对称的美，雄伟的帕特农神庙，埃及的金字塔还有许多的建筑都遵循着黄金比例，对称和黄金比例在服装、绘画、建筑等方面的运用正是数学美的又一体现。在图形的教学中让学生在欣赏美的过程中，提高感受美和创造美的能力。 最后在教学中还应渗透数学的严谨之美和对真理不懈追求的精神。数学是严谨的，但绝不是冰冷的，作为数学教师，我们不仅要向学生展示数学的原理和结论，更重要的是要带领学生经历探求这些原理和结论的过程。从祖冲之研究圆周率，到陈景润研究哥德巴赫猜想……让数学家走进学生的生活，用他们对数学的热爱，以及坚持不懈追求真理的精神来教育学生，培养学生正确的学习观和人生观。 伽里略说：数学是上帝用来描述时间的语言。让我们带领学生一起走进数学的世界，感受数学之美，同时学会运用数学创造更多的美！

数学也是美的

数学也是美的 ——感悟《数学思想与数学文化》 胡桥乡第一初级中学郎青梅 说起来惭愧，教了十几年的数学，但本身的数学知识非常有限，对数学的认识也非常肤浅。 本学期，数学组共读的书是《数学思想与数学文化》。我一看到她，就爱不释手。这本书深入浅出的讲述了数学的魅力、数学与生活、艺术、经济等的关系。整本书通俗易懂，让我受益匪浅！ 书中说:数学教师要把激发学生数学兴趣作为教学的首要任务。我相信每位教师都有这样的理念，我也相信广大教师在课堂上不断的实践着。对于我来说，激发兴趣和教学内容之间，似乎隔着一座大山，有种心有余而力不足的感觉。找不到之间的切入点。说白了，还是知识储备不足呀！尤其是课改以来，有了“预——探——展——清”的课堂模式，更加不知道如何融入“激发兴趣”。很长时间，为了迎合模式，把这件事丢在了一边，数学课上得枯燥无味。书中告诉我们：教师要包装数学知识，采用合适的方式，引导学生欣赏数学之美……也就是说，教师要根据教学内容，巧妙的设计教学情境，不留痕迹的融合在一起。书中列举了很多和数学有关的有趣例子，这些例子完全可以为我所用，比如《西游记》中的数学知识，《刘三姐》中的数学知识等等。

在以前的数学教学中，过分的注重数学是思维的工具，以及数学知识的实用功能。忽视了数学的审美功能。通过学习这本书，我认识到了数学的美。数学的美有这几种：对称美、简洁美、和谐美、突变美、奇异美、完备美、抽象美、类比美、统一美。并且通过举例子介绍，让我们真真切切的感悟美的存在。作为数学老师，首先自己没有感悟到数学的美，又怎能让学生感受到数学的美呢？以前，一直羡慕语文老师，整天和学生一起赏析名篇名著。说美的语言、写优美的文字、提升美的思想……就是老师也越来越美！我只是没有发现数学的美。我们也要提高自己的语言，也要学会用诗一样的语言去分析，把学生带入美的境地…… 书中还介绍了精通数学和文学的大家，震撼了我。我国东汉时期的张衡是文学家也是数学家。唐朝伟大的文学家僧一行，研究天文和数学也很有成就。还有俄国大文豪托尔斯泰，法国著名作家巴尔扎克等等都对数学有兴趣，有的甚至对数学的发展做出了贡献。像法国著名的数学家帕斯卡、英国著名数学家罗素、德国数学家高斯、我国当代数学家华罗庚等等都精通文学。文学和数学原来是相通的。 书中还介绍了数学中的哲学思想，比如唯物辩证法思想、矛盾的转化、运动等观点在数学中的重要作用。 总之，这本书使我对数学的方方面面的认识有很大的提高，也提高了我的从教信心。也希望在学校的引领下，能读更多这样的书。在以后的工作中，要把学到的知识运用到课堂上，打造高

谈谈数学的美学特征

谈谈数学的美学特征 什么是美？美是人们创造生活改造自然的能动活动及其在现实中的实现或对象化。美可分为感性美和理性美，美是一切生物生存和发展的本质特征。人们往往认为数学是枯燥的，与美学无关。事实上，这是一种偏见。德国诗人诺瓦利说：“纯数学是一门科学，同时也是一门艺术。”古希腊数学家普洛克拉斯也说：“哪里有数，哪里就有美。”可见，数学中存在着美。 什么是数学美呢？数学美是一种人的本质力量通过宜人的思维结构的呈现，它没有鲜艳的色彩，没有美妙的声音，没有动感的画面，它却是一种独特的美。我国现代著名数学家徐利治教授说：“作为科学语言的数学，具有一般语言文字与艺术所共有的美的特点，即数学在其内容结构上和方法上也都具有自身的某种美，既所谓数学美。”数学美的含义是丰富的，它的基本特征表现为：简洁美、对称美、统一美、和谐美、奇异美。 数学具有简洁美。 数学的简洁性并不是指数学内容本身简单，而是指数学表达形式和数学理论体系的结构简洁。例如：人们用0到9十个数字加上位置计数法可以表示任意大的数；复杂的地图用简洁的四色表示，只有数学能提出并解决这个问题；莱布尼茨用“”这一简捷的符号表达了积分概念的丰富的思想，刻画出“人类精神的最高胜利”，因此，有些数学家把微积分比作“美女”。 数学具有对称美。 对称是最能给人以美感的一种形式。从古希腊的时代起，对称性就被认为是数学美的一个基本内容。毕达哥拉斯就曾说过：“一切平面图形中最美的是圆，在一切立体图形中最美的是球形。”德国数学家魏尔说：“美和对称紧密相关。”数学中有着各种各样的对称如：数的对称，包括整数、有理数等；形的对称，包括直线、圆、正多边形等；式的对称，包括对称矩阵、求导与积分等。现实生活中，建筑、宫殿、园林就很好的应用了数学的对称美。 数学具有统一美。 统一性是指部分与部分，部分与整体之间的内在联系或共同规律所呈现出来的和谐、协调、一致。数学美中的统一性在数学中有很多体现，例如：数的概念从自然数、分数、负数、无理数，扩大到复数，经历了无数次坎坷，范围不断扩大了，在数学及其他学科的作用也不断地增大；几何中的圆幂定理是相交弦定理、切、割线定理的统一形式。作为反映客观事物的量的方面的属性和规律的数学概念、定理、公式及法则等也必然是相互联系的，在一定的条件下处于一个统一体系中。数学美的统一性正体现了数学知识的部分与部分、部分与整体之间的有机联系。 数学具有和谐美。 所谓和谐即雅致，如果把数学比作一座殿堂，那么和谐性是其主要建筑特色，无论从局部或整体来看，都让人体会到平衡协调、相互呼应、浑然一体的美感。“黄金分割比”是最能体现数学的和谐美，黄金分割比在许多艺术作品中、在建筑设计中都有广泛的应用。维纳斯的美被所有人所公认，她的身材比也恰恰是黄金分割比；达芬奇称黄金分割比为“神圣比例”，他认为“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上”。生活中也常常利用黄金分割如：小康型购物价格公式、合理睡眠时间、饮食饮水问题等等。可见数学的和谐美无处不在。 数学具有奇异美。

论崇高

论崇高 崇高作为一个特定的美的范畴，它具有与优美不同的本质特征。美学中所讲的崇高，是一种庄严的美、刚劲的美、雄浑的美，与伟大、壮美的概念有着密切的联系。 1、崇高的本质及其在社会生活与自然界中的体现。崇高感的特点，它作为一种庄严的美和雄浑的美，与优美的区别是非常明显的。崇高与优美一样都是人的本质力量在对象世界的感性显现，崇高与优美的区别就在于优美体现了人的本质力量与客体在对象世界中的和谐统一；崇高则体现了这种本质力量与客体在对象世界中的矛盾冲突的统一。壮美是以力量气势见胜的，属于阳刚美、动态美；优美则以静态的气韵见长，属于阴柔美、静态美。这主要从形态上看崇高与优美的区别。如自然界中的暴风骤雨，崇山峻岭等，都给人以崇高感；而春光明媚，山清水秀却给人以优美感。前者是以力量、气势见胜，后者以神采、气韵见胜，而且优美的事物都具有较强的形式美。它常表现为光滑、清秀、匀称，如长沙的岳麓山，虽然有高有低，但却郁郁葱葱，柔媚清秀，呈现出大自然的秀美。而崇高的事物往往不拘泥于形式美，它常常表现出凹凸不平，不匀称，甚至在形式上有时还表现出几分怪、几分丑。如湖南张家界，石峰挺拔，怪石淋漓，峭壁高耸，显得险峻而又奇特，这就呈现出大自然的壮美。除了在形态上优美与崇高有着明显的区别以外，在美感方面崇高感与优美感也是有着区别的。 优美感侧重于平静和谐的愉悦，得到的是赏心悦目的快乐，即在感受优美的时候，我们的精神是通体愉快的，我们的心境是单纯一致的，我们的感情是松弛舒畅的。而崇高感却是一种比较复杂的情感反映。如在奇峰突兀的悬崖峭壁之间，我们看到百尺飞瀑散发着雷霆般的声响奔腾而下的时候，我们会感到紧张兴奋，有意无意地会感到自己的渺小，觉得对象不可低挡，不敢贸然地接受它。这就是康德所说的“刹时的抗拒”。但这种惊惧的态度只维持一瞬间，我们立刻会发现它让人敬仰、钦佩。因而当我们惊魂刚定时，欣喜会伴随而来，这时就是崇高事物所带来的崇高感。可见崇高感是一种复杂的审美感受，它并不是一开始就是顺受的愉快，而是有惊奇的恐惧的心理因素的加入，中间又会有转折过程。朱光潜在谈到崇高感时曾指出：对象以巨大的体积或雄伟的气魄突然向我们压来，我们首先感到的是势不可挡，因而惊惧，紧接着自卑感就激起自尊感，要把自己提到雄伟的高度而鼓舞、振奋，感到愉快。所以崇高感由一个不愉快转到极高愉快的过程。一个人多受崇高事物的鼓舞，消除鄙俗气，在人格上有所提高。至于优美感是对娇弱对象的同情和宠爱，自始至终都是愉快的。以上是优美与崇高在形态上和美感上的区别。 在美学史上，很早就有人注意到了优美和崇高的区别，在我国先秦美学思想上，把崇高、壮美称之为“大”，如孔子用“大”来概括尧舜的功业，这“大”就是伟大、崇高的意思，他把美的形态分为美、大、圣、神四个等级。他指出：“充实之为美，充足而又光辉为大，大而化之为圣，圣而不可知之为神。”这四个等级逐一递升，但都属于美，以美为基础。他所说的“大”，一般指比美在程度上和范围上更为鲜明、广泛、强烈，是一种辉煌壮观的美，相当于西方所说的崇高美。后来庄子也对美和大作了区别。他认为对于一个统治者来说，他所追求的不应只是有限的事物，应当是无限的事物。他认为，一般所说的美只局限于狭小的范围内，是有限的。而“大”则体现了天地之道，是无限的。庄子把无限美称之为大或大美，实际上他所指的也是一种壮美或崇高美。从以上可见，中国美学从一开始就对优美、崇高美的不同本质有所认识了。在西方最早提出崇高美这个范畴的，是古罗马时期的郎加纳斯，他认为凡是崇高的事物总是使人惊心动魄，其境来之情的奇特的东西，如自然界中的江河大海，火山爆发等。而最早把崇高和美区别开来并加以比较研究的是英国经验派哲学家杨格，他说：“崇高的对象在他们的体积方面是巨大的，而美的对象则比较小。”美必须是平滑、光亮的，伟大的东西则是凹凸不平，奔放不羁的。美必须避开直线条，然而又必须缓慢的偏离直线；而伟大的东西则在许多情况下，

高中数学新教材中的数学文化

高中数学新教材中的数学文化 摘要：随着新课程改革的推进，对高中数学教学不断提出新的要求。不仅要摒弃传统的教学形式，创新教学容、教学方法，更要重视新教材中数学文化的渗透，关注学生知识的学习积累，注重对学生学习兴趣的培养。本文立足于新教材中数学文化的体现，致力于探究如何使学生更好的在学习过程中感受数学文化，更好的提高数学教学效果。 关键词：高中数学新教材数学文化 引言 数学文化作为一个抽象的概念，主要包含数学的思想、语言、方法、特点及形成与发展的过程等，即从文化的视角分析数学。除此之外，数学文化还涉及数学史、数学教育以及和其他学科的交叉等。本文将对数学文化容展开分析，促进学生对数学文化的理解，更好的学习数学知识。 一、数学文化在教学中发挥的作用 数学是具有独特文化的学科，是人类文明的重要组成部分，同时也是促进人类社会不断进步的重要指引。数学作为一种精神，与我们的社会环境、日常生

活密切相关[1]。其符号语言简单，思维方式独特，理性思维严谨，概括又抽象，不仅应用于教学中、生活中，更能促进人类思维品质的形成。 数学既是一门学科，又是一种文化，数学教育就是要把这种文化传承下去。从高中新教材可以看出，数学文化在数学教学中应发挥作用，使学生在学习过程体会数学文化的精髓所在。因此，老师在对学生进行教学时，既要注重数学知识的讲授，更要对学生进行数学文化的渗透。 二、教材对数学文化的诠释 数学文化对学生影响深远，它不仅能激发学生的学习兴趣和求知欲，培养学生理性思维，使学生形成独立观察、解决问题的能力，增强学生的实践能力，更重要的是，有助于学生价值观的形成和人格品性的提高。[2] 新教材课程标准明确指出，高中数学老师应将教学模块和数学文化结合起来，并给学生提供相关模块进行参考。新课标也要求教师在教学中渗透数学文化价值及美学价值。因此，老师在教学过程中，可将数学知识与数学文化相结合，从文化的角度引导学生，使学生在接受数学知识的同时，又能站在文化的角度感悟数学。

对数学美的感悟

对数学美的感悟 数学中的美不同于美术中的线条、造型、色彩的视觉美，不同于体育中的体形、动作、力量的运动美，也不同于各种的音响、节奏、旋律的听觉美。数学本身的内在美瑰丽多姿，充分挖掘数学中的美，我们应当仔细地进行体验并感悟，激发自身的学习兴趣。从狭义的意义上来说，有对称美、和谐美等。我主要给大家来介绍对称美。 对称美是形式美的法则之一,按古希腊毕达哥拉斯学派的观 点:“美是和谐与比例”,对称美应是“和谐与比例”的具体表现形式之一。达·芬奇也认为:“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上。”在美的分类上,它当属于艺术美——一种人为的美,是艺术家按照一定的审美理想,审美观点,遵循美的规律,对现实生活中的自然美和社会 美进行集中、概括,通过一定的物质手段把它表现出来,也就是说,它具有社会美的内容,又具有自然美的形式。数学知识中的对称美体现在很多方面：如等腰三角形、矩形；中心对称美，如平行四边形、圆等；形式上对称美，如正（+）与负（+）、加法与减法、乘法与除法、正比与反比等。在学习中我们可以联系实际生活，练习生物体结构，如衣服、裤子人体是轴对称的，揭示了对称美。如在数学对称图形时，一幅幅对称美丽的画面，为什么大家对这些图形都说美，是数学中对称的神奇力量。我们因此透过美的现象，感悟到数学的对称美。又如在教学加法结合律时，用语言是这样叙述的：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或先把后两个数相加，再加第一个数，

它们的和不变。用字母来概括就是(ɑ＋b)＋c=ɑ＋(b＋c)，通过进行比较。用数学方法来表示太简洁了，从而感悟到数学中的简洁美。当然数学中还有许多的美（如统一美、奇异美等），我们应充分挖掘这些美的资源，激发自身学习兴趣。 数学正如罗素所说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且有至高的美。”我们应当平时多注意观察生活中的点点滴滴发现数学的美，这样会提高我们对数学的学习兴趣。

浅谈对数学美的认识

浅谈对数学美的认识 1引言 爱美之心，人皆有之，人们执著地追求美。但什么是美？却只能意会，不能言传。然而当我们聆听一首优美的乐曲，观看一幅精美的图画，或置身于幽雅的大自然中，我们便会全身心地感到愉悦，受到一种美的陶冶。 可是除了艺术的美、大自然的美外，人们是否想到科学也有美，数学也有美呢？有不少中小学生认为学习数学很艰苦、枯燥无味，不存在什么美感的问题。只是为了考试，为了升学而不得不学习数学。 数学果真无美感可言吗？否。古今中外有许多知名学者都认为数学是美的，并作过精辟的论述。 古希腊学者毕达哥拉斯说：“美就是和谐，整个天体是一种和谐，宇宙的和谐是由数组成的，因而构成了整个宇宙的美。”提出了数的美的三段论。 英国哲学家、数学家罗素认为：“数学，如果正确地看它，不但拥有至高的美，是一种冷而严肃的美。这种美不是投合我们天性脆弱的方面，这种美没有绘画或者音乐那种华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到只有伟大的艺术才能谱写的那种完美的境地。”这就道出了美的特殊性。 香港旅美数学家、菲尔兹奖获得者丘成桐说：“数学家寻美的境界，讲求简单的定律，解决实际问题，而这些因素都永远不会远离世界。”即数学有取之不尽的源泉。

如果只在单纯知性和机械的层次上理解教育和知识的概念的话，那么美不是知识也是不可教的。因此如何欣赏和体会的问题不能用数学本身的方式――定义、公理、推论、定理的方式来回答，反过来应该问你自己究竟是怎么理解数学美和想怎样去欣赏它。这就激起一种主体的自觉，自动地去要求对数学的理论形式的极大了解，并在这一过程中对数学的本质有了直观的洞见。这样美就成为了主体的自身之物，而在上面这个问题中，美还是一种外在物。单纯作为外在物的美是不存在的。 关于数学美论述，虽然说法不一，但由于各人的角度不同，所以可以相互补充。概括起来，数学美的主要内容包括：和谐美、简洁美、对称美和奇异美。 2数学美的主要特征 2.1和谐美? 统一，和谐，这是数学美的一个侧面。对称可以说是和谐的表现之一，但统一、和谐有更广泛的表现。? 数学的统一性，一般是指部分与部分、部分与整体之间的和谐、平衡和一致。正如庞加莱在谈到数学的雅致感时所指出的，雅致感“是各部分的和谐，是它们的对称、它们的巧妙平衡；一句话，雅致感是所有引入秩序的东西，是所有给出统一、容许我们清楚地观察和一举理解整体和细节的东西。”统一性是数学结构美的重要标志，通常表现为数学概念、规律、方法的统一，数学理论的统一，数学与其它科学的统一。

崇高与优美的比较

优美与崇高的比较 1．优美的概念、特点及本质特征 优美，又称秀美，它是美的最一般的形态。狭义的美，指的就是优美。中国美学史上，将其称为“阴柔之美”，这是一种优雅之美、柔媚之美。从审美属性上看，优美主要具有绮丽、典雅、含蓄、秀丽、纤柔、婉约等特色。 在审美类型中，优美通常是指一种单纯的美、常态的美。从根本上讲，优美的本质就在于审美主体与审美客体之间的和谐统一。优美的核心之所以是和谐，其实质就在于它体现出主体和客体的和谐统一，体现出内容与形式的和谐统一，也体现出理智与情感的和谐统一。优美的本质就在于人的本质力量与客体的和谐统一，并且在对象世界中得到感性的显现。优美引起的审美感受是一种单纯的、平静的愉悦感。 2．崇高的概念、特点及本质特征 崇高，又称为壮美，就是一种雄壮的美、刚性的美。中国美学史上，将其称为“阳刚之美”。从审美属性上看，崇高主要具有宏伟、雄浑、壮阔、豪放、劲见、奇特的特点。 在审美类型中，崇高的基本特征是突出了主体与客体、人与自然、感性与理性的对立冲突。崇高的本质在于人的本质力量与客体之间处于尖锐对立与严峻冲突。客体企图以巨大的气势和力量压倒主体，主体在严峻冲突中更加激发自身的本质力量与之抗争，最终战胜与征服客体，使人的本质力量得到比在优美事物中更加充分的显现。崇高的核心在于“冲突”。崇高体现在主客体矛盾冲突中，经过尖锐激烈的对立，主体战胜客体并且终于从痛感转化为快感。审美主体所受到的挑战越严重，遇到的冲突越激烈，斗争的历程越险恶，就越能激发和显示人类自身的本质力量，也就越能令人感到崇高。 3．在审美实践中可以从哪些方面认识优美与崇高的区别 第一、空间上的小与大。优美的事物一般体积较小、规模较小，风景秀丽的小丘，清澈见底的小溪，啾啾鸣叫的燕雀，风中摇曳的小花等等。而崇高的事物一般体积巨大、气势宏伟，一望无际的大海，耸入云霄的高山，飞流直下三千尺的瀑布，轻舟已过万重山的三峡等等。 第二，时间上的慢与疾。缓慢与疾速，优美的事物是舒缓的、平稳的、趋于静态的，崇高的事物则是疾速的、奔腾的、趋于动态的。如《维纳斯》雕像恬静典雅，宁静安详，体现出一种静态的优美；《拉奥孔》雕像表现了父子三人被巨蟒紧缠，濒临死亡前那一瞬间的竭力挣扎，以静示动，寓动于静，展现出一种动态的崇高美。 第三，形式上的柔与刚。优美的事物一般符合对称与均衡、比例与匀称、节奏与韵律等等形式美法则，多曲线不露棱角，多圆形不显生硬，颜色鲜明而不强烈，声音柔和而不刺耳。优美的艺术作品往往情感细腻、形式精美，如奥地利著名作曲家约翰〃施特劳斯的《蓝色多瑙河圆舞曲》。崇高的事物却常常有意地突破或违背对称、均衡、节奏、比例等形式美法则，各个部分很不协调，显得突兀、怪诞、凶猛，甚至有意包含一些丑的因素，让人首先压抑、不快、畏惧、痛苦，然后才提升转化为一种独特的审美快感。如苏联作曲家肖斯塔科维奇的《列宁格勒交响曲》。 第四，力量上的弱与强。优美的事物不呈现主体和客体激烈的矛盾冲突，主要表现主客体双方的平衡、统一、和谐、安宁，强调力量的平衡和稳定，追求一种阴柔之美。崇高的事物则体现出主体与客体之间的尖锐对立和严重冲突，充满了动荡与斗争，强调力量巨大与气势磅礴，追求一种阳刚之美。元代作家马致远的《天净沙〃秋思》，短小简练、构思巧妙，具有阴柔之美；而北宋苏轼的名作《念奴娇〃大江东去》，则抑扬顿错、气势磅礴，具有崇高之美。

数学文化与欣赏教案

第一章 数学文化概论 教学目的：使学生了解数学文化的定义、数学文化课的开设方法、数学 文化课的学习方法、数学文化课的考核方式等等。 教学重点：数学文化课与一般数学课的区别 教学难点：数学文化课程中如何处理好数学和文化的关系 教学课时：2节 教学方法：课件教学与讲解相配合 教学过程： 2序言 一、“数学文化”一词的使用 二、什么是“数学文化” 三、“数学文化”课的开设 四、“数学文化”课的上法 五、“数学文化”课的考核 2一、“数学文化”一词的使用 ?该词使用已有二、三十年; ?在中国，较早使用的是1990年 邓东皋、孙小礼等人编写的 《数学与文化》及齐民友写的 《数学与文化》; ?近七、八年这个词用得多起来。 ?这个词的使用频率近年大大增加，说明它是有生命力的，说 明许多人为着某种需要更愿意从文化这一角度来关注数学， 更愿意强调数学的文化价值。

第二章数学文化与数学教育 教学目的：使学生了解数学教育的功能、数学素养的内容、数学教育与数学教学的区别、数学文化的发展历程等等。 教学重点：数学素养的内容、数学文化的发展历程 教学难点：数学教育与数学教学的区别 教学课时：2节教学方法：课件教学与讲解相配合 教学过程： 数学文化与数学教育 “数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要的是一门有着丰 富内容的知识体系，其内容对自然科学 家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和 艺术家十分有用，同时影响着政治家和 神学家的学说；满足了人类探索宇宙的 好奇心和对美妙音乐的冥想；有时甚至 可能以难以察觉到的方式但无可置疑地 影响着现代历史的进程。” ——M·克莱因

一、数学教学与数学教育 1、数学教学： 初中数学的学习内容是“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个学习领域。课程内容的学习，强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念，以及应用意识与推理能力。 中学数学教学是“通过知识的教学培养能力，发展和完善学生的素质，使学生的聪明日益长进”。 2、数学教育： （1）以动态的观点认识数学知识的发生和发展； （2）数学研究的对象是客观世界，重在突出数学的应用性； （3）不仅仅是得到数学知识和技术，重要的是得到对事 物进行认识、推理、判断、运用的能力，以及认识客观 世界的情感、态度与价值观。 （4）使学习者的认知心理和非认知心理得到健全发展的 过程。 二、学生眼中的数学教育 老师眼中的数学与学生眼中的数学是 有区别的，学生眼中的数学并不是我们理 解的数学，要想使学生学好数学，必须走 进学生的心中，理解学生的思维，应该站 在学生的角度去进行教学设计，这样才有 可能使我们的教学切合学生的实际。 只有以学定教，才有高的教学效率！

浅谈数学中的美学体现

浅谈数学中的美学体现 【摘要】：自然科学及人文科学中的美，也都能在数学中体现出来，并且显示出它独有的特点。主要包含了统一美，简约美，对称美，奇异美。数学美是自然美的客观反映，是科学美的核心。 【关键词】：数学美，统一美，简约美，对称美，奇异美 【正文】： 一．数学与美学的关系 数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学家们拓展这些概念，为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理。 广义上的美学是这样定义的：美学是从人对现实的审美关系出发，以艺术作为主要对象，研究美、丑、崇高等审美范畴和人的审美意识，美感经验，以及美的创造、发展及其规律的科学。美学是以对美的本质及其意义的研究为主题的学科。美学是哲学的一个分支。研究的主要对象是艺术，但不研究艺术中的具体表现问题，而是研究艺术中的哲学问题，因此被称为“美的艺术的哲学”。美学的基本问题有美的本质、审美意识同审美对象的关系等。 世俗的观念，往往认为数学是枯燥乏味的，与美学无缘。事实上，这是一种偏见。数学是科学的经典学科，而且几乎与科学的所有学科都相关甚至密切相关。自然科学及人文科学中的美，也都能在数学中体现出来，并且显示出它独有的特点。数学家克莱因认为:“数学是人类最高超的智力成就，也就是人类心灵最独特的创作。德国诗人诺瓦利说：“纯数学是一门科学，同时也是一门艺术”。我国数学家徐利治说：“古今中外的杰出数学家和科学

家都莫不高度赞赏并应用了数学科学中的美学方法。” 并且说：“数学园地处处开放着美丽花朵，它是一片灿烂夺目的花果园”。这就是说，数学中存在着美。 数学中的和谐统一美 古希腊哲学家赫拉克利特认为，对立面的统一是万物生长发展的动力，美是和谐，是对立统一的结果。辩证唯物主义认为，世界是物质的，世界的统一性在于它的物质性，物质运动呈现多样性与规律性，作为反映客观事物的量的方面的属性和规律的数学，它反映了这一统一性，其概念、定理、公式及法则等也必然是相互联系的，在一定的条件下处于一个统一体系中。 毕达哥拉斯认为宇宙统一于数。数学的统一美，既表现在宏观上，也表现在微观上。数学的统一美大致可分为各数学分支之间的统一和数学运算的统一。 数学拥有一个庞大的学科体系，由于近代数学的发展，数学的分支愈来愈多，各时代数学家都试图统一各数学分支。笛卡尔用解析几何把几何学、代数学、逻辑学统一了起来；高斯用曲率把欧几里得集合、罗巴齐夫斯基几何和黎曼几何统一起来。微分和积分开始是作为两种数学运算、两类数学问题分别加以研究的。当牛顿和莱布尼茨各自独立地将微分和积分真正沟通，通过微积分基本定理将两种运算统一起来，明确地找到了两者的内在联系：微分和积分是互逆的两种运算，微积分学才真正的建立起来。射影几何的建立是数学统一的典型成果。与欧氏几何相比，射影几何的一个重要特点在于点与直线的对称统一。由于引进了无穷远点，在射影几何中点和直线的地位就是完全对称的，这也促使了射影几何的建立。统一是数学家们永远追求的目标之一。 数学中最基本的就是运算。我们对运算的认识是从“数”的运算开始，后来，知道运算不仅仅局限于“数”，“式”也可以进行运算。进而学习到向量的运算、排列组合的运算、矩阵的运算，这说明运算不仅可以在数之间进行，而且可以在数以外的其他对象之间进行。实质上，运算的对象可以是抽象的集合，从一般意义上说，Ｇ上的一个二元运算是Ｇ×Ｇ到Ｇ的一个映射。由此可见，运算不一定是加法、乘法，它可以是更一般意义上的运算，其实它是一种映射：对Ｇ中任意两个元素ａ、ｂ，由运算可唯一确定Ｇ中的元素ｃ。因此，一般运算的概念是指一个或几个集合到一个集合的映射。数学美的统一性正体现了数学知识的部分与部分、部分与整体之间的有机联系。比如，在数学中，小数、分数的四则运算可以化归为整数的四则运算，而整数的四则运算又可归结为表内加、减法和表内乘法。

3美学第三章审美形态试题答案.

美学第三章节试题 一、单项选择题 (本大题共 30小题,每小题 1分,共 30分 24.霍布斯的喜剧主张是( A A. 突然荣耀说 B.预期失望说 C. 生命的机械化 D.心理能量消耗的节省 25.中国古代的“风骨”范畴,类似于现在美学范畴中的( B A. 优美 B.崇高 C. 悲剧 D.喜剧 27.朱自清的《绿》所描绘的梅雨潭:“她轻轻的摆弄着,像跳动的初恋的处女的心;……” 所表现出的风格是( A A. 优美 B.悲壮 C. 滑稽 D.崇高 28.古曲《春江花月夜》所属的审美范畴是( A A. 优美 B.崇高 C. 悲剧 D.喜剧 9. 在西方美学史上,提出“崇高是伟大心灵的回声”的美学家是( B 。 A. 毕达哥拉斯 B. 朗吉诺斯 C. 博克 D.康德 10. 在西方美学史上,主张丑是“近代精神的一种产物”的美学家是( D 。

A. 休谟 B.莱辛 C. 康德 D.李斯托威尔 11. 在西方的喜剧理论中,倡导“心理能量的节省说”的美学家是( D 。 A. 霍布斯 B.康德 C. 柏格森 D.弗洛伊德 23.优美的形象一般表现为(A A .内容与形式互为表里 B.内容比形式重要 C .形式比内容重要 D.形式具有独立的价值 24.波德莱尔的《恶之花》最能体现的艺术倾向是(A A .以丑为美 B.崇美抑丑 C .美丑不分 D.无美无丑 25.悲剧突出地说明了(A A .有限的人生所具有的无限的意义 B.无限的人生所具有的有限的意义 C .现实的人生所具有的历史的意义 D.理想的人生所具有的现实的意义 26.康德与黑格尔的崇高观之间的关系是(B A .康德受到过黑格尔的影响 B.黑格尔受到过康德的影响 C .康德与黑格尔互相影响 D.黑格尔与康德之间互不相干 12.在西方美学史上,最早谈到喜剧问题的是 ( B A .德谟克利特 B.柏拉图 C .亚里士多德 D.苏格拉底

崇高与优美的比较

一、优美 （一）什么是优美？ 定义：审美主体在观赏具有审美价值的客观对象时，主客体之间所呈现出来的和谐统一的美。 1.优美认识的发展历程： A.西方美学的优美论: （1）古希腊的毕达哥拉斯学派提出“美在于和谐”的美学思想。而数的最美的比例是满足“黄金分割”的比例关系， （2）古希腊的苏格拉底“形式的美”，是形式上的秩序、匀称与明确，并认为这种美“能引起快感，并不和痛感夹杂在一起”， （3）古罗马时期，西塞罗才真正提出了优美与崇高（他在这称为威严）的问题，美有两种，一种在于秀美，一种美在于威严；我们把秀美看做是女性美，把威严看做是男性美。”的问题。 （4）英国十八世纪著名经验主义哲学家博克提出优美的特性，因为只是些通过感官来接受的性质有下列几种： ①比较来说是小的 ．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．；④这些部分不露棱角，而．．．．．．．；②是光滑的 ．．．．；③各部分方向上要有变化 必须溶成一片 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．；⑥颜色鲜明，但不强．．．．．．；⑤结构娇柔纤细，不带任何显著而又强壮有力的外表 烈刺眼 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．；⑦如果一定要有强烈夺目的颜色，那这种颜色就必须陪同其他颜色一起构成多样的 变化 ．．。 （5）康德在《判断力评判》中说，优美是使人直接产生快感的一种“鉴赏力判断”。他说，优美是一种有限的形式，这种有限的形式不会给人造成任何压抑感，因此优美“直接在自身携带着一种促进生命的感觉，并且因此能够结合着一种活跃的游戏的想象力的魅力刺激。”也就是说，能够直接产生积极的愉快。 （6）德国移情论者立普斯认为优美是一种无意识的美，不带刚性、尖锐而又粗犷型的美. B.中国古代美学的优美论: (1) 优美本不是中国美学的概念，中国是“阴柔”的范畴出现的，是关于宇宙哲学的范畴。古代中国人认为宇宙的是由“阴”、“阳”两极构成的，《易传》是最早出现的“阳刚”与“阴柔”的概念。 （2）明确将“阳刚”与“阴柔”作为美学范畴加以阐发的是清朝的姚鼐，虽然只对“阴柔之美”作了形象描述而未作理论概括，但这与西方美学所讲的“优美”在美学上具有内在的一致性。 2.优美的概念： 优美是一种优雅的、柔性的、偏于静止的美，它是审美主体和客体相统一、内容和形式相协调所表现出来的宁静而又和谐的美。 优美的特征 优美在形式上的特征：小巧、轻缓、柔和，是一种偏于静态的美 (1) 小巧，是指优美的对象占有的空间较小。

(完整版)《数学文化赏析》mooc答案

第一章 一、多选题(共100.00 分) 1.以下关于数学的描述，正确的有（A B）。 A.数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。 B.数学是研究模式与秩序的科学 C.数学研究事物的物质属性 D.数学只是研究数的科学 2.以下表述中正确的有（A B C）。 A.数与形是数学科学的两大柱石； B.数与形是万物共性和本质； C.数与形是一个事物的两个侧面，二者有密切联系； D.数与形是不同的事物，也没有关系。 3.下列运动或变换中，属于拓扑变换的有（A C）。 A.橡皮筋拉伸； B.电风扇旋转； C.纸张折叠； D.投影。 4.以下各选项属于数学的特点的有（A C D）。 A.概念的抽象性； B.公式的简洁性； C.推理的严密性； D.结论的确定性。 5.以下选项中，属于数学关注的内容的部分有（A B C D）。 A.一种对象的内在性质； B.不同对象的联系； C.多种对象的共性； D.一组对象的变化规律。 6.数学中概念或定义的形成主要是（A B C）的结果。 A.分类； B.抓本质； C.抓共性； D.推理。 7.按照结构数学的观点，以下对象属于代数结构的有（A C）。 A.加法运算； B.比较大小； C.乘方运算； D.数轴。 8.以下关于公理系统的描述中，正确的有（A B D）。 A.公理之间应该相容； B.公理之间应该独立； C.公理需要证明； D.公理是数学理论正确性的前提。 9.以下推理形式中，属于合情推理的有（A B D）。 A.归纳；

B.类比； C.演绎； D.联想。 10.以下关于归纳推理的叙述中，正确的是（A B D）。 A.归纳推理是从个体认识群体的推理； B.归纳推理是从特殊到一般的推理； C.归纳推理是从一个个体认识另一个个体的推理； D.归纳推理不能保证结论的正确性。 11.以下关于类比推理的叙述中，正确的是（A C D ）。 A.类比推理是发散性思维； B.类比推理是从一般到特殊的推理； C.类比推理是从一个个体认识另一个个体的推理； D.类比推理不能保证结论的正确性。 12.以下关于演绎推理的叙述中，正确的是（A B C D）。 A.演绎推理是收敛性思维； B.演绎推理可以从少数已知事实出发，导出一个内容丰富的知识体系； C.演绎推理能够保证数学命题的正确性，使数学立于不败之地； D.演绎推理可以使人类的认识范围从有限走向无限。 第二章 一、多选题(共100.00分) 1.以下选项中属于数学功能的有（A B C D） A.实用 B.教育 C.语言 D.文化 2.以下哪些现象说明数学具有语言功能？A B A.用方程描述社会现象 B.用符号表示数和运算 C.逻辑推理 D.五线谱 3.数学被广泛地应用于人类社会的各个领域，两条最根本原因包括（A C） A.数学的对象是万物之本 B.数学概念的抽象性 C.数学方法与结论的可靠性 D.数学结论的确定性 4.与自然语言相比，数学语言具有以下优点（A C D） A.不会产生歧义 B.表达生动 C.表达简洁、清晰 D.内涵丰富 5.把数学看做一种文化，原因在于（A B C） A.数学是人类创造并传承下来的智力成就