线性代数模拟题
线性代数模拟题A
?单选题. 1?下列( A )是4级偶排列.
(A) 4321;
(B) 4123;
(C) 1324;
(D) 2341 .
2. 如果
an a 12
a 13
4an 2an 3a 〔2 a 13
D
a
21 a
22 a
23
1, D 1
4a
21 2a 21
3a ?2 a
23
a
31
a
32
a
33
4a
31
2a
31
3a 32
a
33
那么D 1
( B ) ?
(A)
8;
(B) 12 ;
(C) 24; (D)
24
.
3.设A 与B 均为n
n 矩阵，满足
AB O ，则必有(
C ) .
(A) A
O 或 B O ;
(B) A B
O ;
4.设A 为n 阶方阵(n 3)，而A *是A 的伴随矩阵，又k 为常数，且k 0, 1，则必有kA 等于(B )?
(A) kA * ;
( B) k n 1
A * ;
( C) k n
A * ;
(D) k 1
A* .
5.向量组1, 2,?…，s 线性相关的充要条件是(
C )
(A )
1
, 2,?…，s 中有一零向量
(B) 1
, 2 ,...., s 中任意两个向量的分量成比例 (C) 1
, 2 ,...., s 中有一个向量是其余向量的线性组合 (D) 1
, 2 ,...., s 中任意一个向量都是其余向量的线性组合
(a)4/3 (b)3/4 (c)1/2 (d)1/4
8.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1/2,1/3,14,1/5
(C ) A 0 或 B 0 ；
(D ) A B 0.
6.已知
2是非齐次方程组
Ax b 的两个不同解,
2是
AX 0的基础解系，匕，k ?
为任意常数, 则Ax b 的通解为(
(A) k 1 1
k
2
( 1
2)
(B) k
1 1 k 2(
1
(C) k 1 1
k
2 (
1
(D) k
1 1
k
2(
1
2)
7.入=2是A 的特征值，则 (A 2
/3) 的一个特征值是( -1
,贝U 行列式|B
-
(a)0 (b)24 (c)60 (d)120
9.若A是(A )，则A必有A A .
(A)对角矩阵；(B) 三角矩阵；(C)可逆矩阵；(D)正交矩阵
10.若A为可逆矩阵，下列( A ) 恒正确.
(A) 2A 2A ；(B)
1 1
2A 2A 1；
(C) (A 1) 1(A) 1 ; (D)
1 1 1
(A) (A1)1.
二?计算题或证明题
1.设矩阵
3 2 2
A k 1 k
4 2 3
(1)当k为何值时，存在可逆矩阵P,使得1AP为对角矩阵?
(2)求出P及相应的对角矩阵。
参考答案：
2.设n阶可逆矩阵A的一个特征值为入，A* 是 A的伴随矩阵，设|A|=d，证明：d/入是 A*的一
个特征值。
参考答案：
3. 当a 取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解.
2时，无解。
4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示.
1
0 3
2 1
1
3
1
1
1
2
“ ,
3
J
4
,
5
2
1 7
5 2
4
2
14
6
参考答案：
极大无关组为： a-i , a 2, a 4，且a 3 3a 1 a 2 , a 5 5. 若A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，试证：
AB BA 是对称矩阵.
参考答案:
ax i X 2 X 3 X i ax 2 X 3
X i X 2 ax 3
1, 2时有唯一解:
X i
a 1
F_2，X2 1 F_2，X3
(a 1)2
a 2
X i 1时，有无穷多解:
X 2 X 3
1 k 1
k 1
k
2
k
2
参考答案：
线性代数模拟题B
?单选题.
1.若( 1) N(1k4l5) a11a k2a43aga55是五阶行列式a ij 的一项，则k、l的值及该项符号为
(A )?
(A) k 2 , l 3，符号为负；(B) k 2 l 3符号为正；
(C) k 3, l 2，符号为负；(D) k 1 , l 2，符号为正.
2.下列行列式( A )的值必为零.
2
(A)n阶行列式中，零元素个数多于n n个;
(B)n阶行列式中，零元素个数小于n2 n个；
(C)n阶行列式中，零元素个数多于n个；
(D)n阶行列式中，零元素的个数小于n个.
3.设A，B均为n阶方阵，若A B A B A2 B2，则必有( D )?
(A) A I ；(B) B O ；(C) A B ；(D) AB BA.
4.设A与B均为n n矩阵，则必有( C ).
(A) A B A B;( B) AB BA;(C) AB BA ; (D) A B A 1 B
5.如果向量可由向量组1, 2,?…，S线性表出，则( D )
(A)存在一组不全为零的数k i,k2,....,k s，使等式k i 1 k2 2
(B)存在一组全为零的数k i,k2,....,k s，使等式k i i k2 2
(C)对的线性表示式不唯一
(D)向量组，1, 2,...., s线性相关
6.齐次线性方程组Ax 0有非零解的充要条件是( C )
(A)系数矩阵A的任意两个列向量线性相关
(B)系数矩阵A的任意两个列向量线性无关
(C )必有一列向量是其余向量的线性组合
(D)任一列向量都是其余向量的线性组合
7.设n阶矩阵A的一个特征值为入，则(入Ar)2+ I必有特征值(C )
(a)入2+1 (b)入2-1 (c)2 (d)-2
k s s成立k s s成立
8.已知
A 0 0 a 与对角矩阵相似，则a =( A )
⑻0 ; (b) — 1 ; (c) 1 ; (d) 2
(A) AB C (C B) A ; (B) (A B)C AC BC ；
(C) (AB)C A(BC); (D) (AB)C (AC)B.
10.下列矩阵（ B ）不是初等矩阵.
0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0
(A) 0 1 0 ；（B）0 0 0 ；
（ C）0 2 0 ; (D) 0 1 2
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1
计算题或证明题（
1 0
1.已知矩阵A, 求A10。其中A
1 2
参考答案：
1 0
2〔0 210
2.设A为可逆矩阵，入是它的一个特征值，证明：入工0且入-1是A1的一个特征值。参考答案：
A101
3.当a取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解.
4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表
示.
1
1 1 1
2
1
1 0
1
,,
2
“ 7 3
_ 7 4
0 3 1 2
4
1
1
2
参考答案：
极大无关组为： a 2,a 3,a 4，且a i a ? a 3 a 4
5. 若A 是对称矩阵，T 是正交矩阵，证明 T 1
AT 是对称矩阵.
a^ X 2 X 3 a 3
X i ax 2 x 3 2 X i 、 x 2 ax 3
2
参考答案：
当a
1, 2时有唯一解： x
X 1 当a 1时，有无穷多解： X 2
X 3 当a 2时， 无解。
a 1 3 3
X
,X 3
a 2 a 2 a 2
2 K k 2
k i
k
2
参考答案：
线性代数模拟题C
m ，依下列次序对 a j 进行变换后，其结果是( C ) ?
交换第一行与第五行，再转置，用 2乘所有的元素，再用-3乘以第二列加于第三列,
最后用4除第二行各元素.
3x ky z 0
kx 5y z 0
(A) k 0 或 k 1 ； (B) k 1 或 k 2 ； (C) k 1 或 k 1 ； (D) k 1 或 k 3 ?
3.
设A , B ,
C , I 为同阶矩阵，若ABC I ，则下列各式中总是成立的有
(A )?
(A) BCA I ； (B) ACB I ; (C) f BAC I ; (D) CBA
4.设 A , B , C 为同阶矩阵， 且 A 可逆， 下式( A )必成立. (A )若 AB AC ，贝U B C ； (B) 若AB CB ，则 A C ； (C)若 AC BC ,则 A B ； (D 若BC O ，则B O ?
5.若向量组仁 ,2,?…，s 的秩为r ，则( D )
(A )必定r (B)向量组中任意小于r 个向量的部分组线性无关 (C )向量组中任意r 个向量线性无关 (D)向量组中任意个r 1向量必定线性相关 6.设向量组 1 , 2, 3线性无关，则下列向量组线性相关的是( C ) (A) 1 2 , 2 3 , 3 1 ; (B) 1 , 1 2 , 3 2 1 (C) 1 2 , 2 3 , 3 1 ; (D) 1 2 ,2 2 3 ,3 3 7.设A 、B 为n 阶矩阵, 且A 与B 相似， I 为n 阶单位矩阵，则( B ) (a) 入I-A =入I-B (b)A 与B 有相同的特征值和特征向量 (c)A 与B 都相似于一个对角矩阵 (d)kI-A 与kI-B 相似(k 是常数) 8. 当(C )时，A 为正交矩阵，其中 (a)a=1,b=2,c=3; (b) a=b=c=1; (c) a=1,b=0,c=-1; (d)a=b=1,c=0 . 9. 已知向量组 1, 2, 3, 4线性无关，则向量组( C ) (A) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 线性无关； ?单选题. 1.设五阶行列式a j (A) 8m ； (B) 3m ； (C) 8m ； (D)丄 m ? 4 2.如果方程组 4y z 0有非零解，则( D )? 2 2. 如n 阶矩阵A 满足A=A,证明：A 的特征值只能为 0或-1。 参考答案： 3?当a 、b 取何值时， 下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解 X 1 2x 2 2x 3 2x 4 1 X 2 X 3 X 4 1 x X 2 X 3 3X 4 a x 1 X 2 X 3 5X 4 b 参考答案: (C) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 (D) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 10.当 A ( B ) 时，有 a a 2 a 3 A a b 2 b 3 c C 2 C 3 1 0 0 1 0 （A ） 0 1 0 ; (B) 0 1 3 0 1 0 0 二?计算题或证明题 1. 设A ? B,试证明 (1)A r m ?B H （m 为正整数 )(2) 如 A 可 参考答案： a 1 3c 1 a ? 3c ? a 3 3c 3 b 1 b 2 b>3 C 1 C 2 C 3 3 0 0 3 1 0 0 0 ；(C) 0 1 0 ；(D) 0 1 0 1 1 0 1 0 3 1 1线性无关； 1线性无关. ，贝U B 也可逆，且A 一1 ?B ^1 参考答案 不能被1, 2, 3线性表示。 5.若方阵A 可逆，则A 的伴随矩阵 A *也可逆，并求出 A *的逆矩阵. 参考答案： 证明， 1 I A| 当 a=0, b = —2时有解 4.判断向量 能否被 10 X i X 2 X 3 X 4 1 k 2 1 k 1 k 2 k 1 k 2 3线性表出，若能写出它的一种表示法. (A*) 离散数学试卷 （参考答案） 一、 选择题 1、设 A {{ 1,2,3}, {4,5}, {6,7,8}}，下列选项正确的是：（3） （1）1 A （2）{1,2,3} A （3）{{ 4,5}} A （4） A 2、对任意集合 A,B,C ，下述论断正确的是: :（1） （1）若 A B,B C ,则 A C （2）若 A B, B C ,则A C （3）若 A B, B C ,则 A C （4）若 A B,B C ,则A C 3、假设A {a,b,c}上的关系如下，具有传递性的关系是： （4） （1） { a,c c,a a, a a, b b, a } （2 ） { a,c c, a a,a } （3） { a,c c,a } （4） { a,c } 4、非空 集 合 A 上的空关系 R 不具备下列哪个性质：（1） （1） 自反性 （2）反自反性 （3） 对称性 （4）传递性 5、假设 A {a,b,c}， B {1,2} ， 令：f : A B ，则不同的函数个数为：（2） （1） 2+3个 （2： ）23 个 （3） 2 3个 （4） 32 个 6、假设 A {a,b,c} ， B {1,2} ， 下列哪个关系是 A 到 B 的函数: （3） （1） f { a,1 a,2 b,1 b,2 c,1 c,2 } （2） f { a, a a,b b,a b,b c,a c, c } （3） f { a,1 b,2 c,1 } （4 ） f { 1,a 2,b 1,c } 7、一个无向简单图 G 有m 条边，n 个顶点，则图中顶点的总度数为： （3） 2 2 （1）m （ 2）n （ 3）2m （ 4）2n 8、一个图是欧拉图 是指：（1） （1） 图中包含一条回路经过图中每条边一次且仅一次； （2）图中包含一条路经过图中每条边一次且仅一次； （3）图中包含一条回路经过图中每个顶点一次且仅一次； （4）图中包含一条路经过图中每个顶点一次且仅一次。 9、下面哪一种图不一定是树：（3） （1）无回路的连通图（2）有n个顶点n 1条边的连通图 （3）每一对顶点之间都有通路（4）连通但删去一条边则不连通的图. 10、完全m叉树中有I片叶，i个分支点，则有它们之间的关系表达式是：（2） （1）i I 1 （2）（m 1）i 1 I （3）（m 1）i I （4）（m 1）l i 1 、填空题 30,x 整数}，B {x| x是素数，x 20}，C {1,3,5} (1)(A B) C {1^ 2，3，5}: (2)(B A) C {1，3，5，7，11,13，17，19}: (3)(C A) (B A) {7 ，11， 13,19}: (4) (B C) A 2、假设A {123,4}上的关系R { 1,2 }，则: (1)r(R) {<1,1>,<1,2>,<2,2>,<3,3>,<4,4>} (2)s(R) {<1,2>,<2,1>}； (3)t(R) {<1,2>}； 3、设无向图G有12条边，有3个3度的顶点，其余顶点度数均小于3，则G中至少有」1 个顶点。 4、一棵树有2个2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点，则有 9片叶。 5、假设P :我有时间，Q :我去图书馆。 1、假设A {x|x2 三、假设A、B是任意两个集合，证明：(A) (B) (A B)。 证明：对X p(A) p(B) 则X p(A)或者X p(B) 由幕集定义可知：X A或者X B 所以X A B 因此X p(A B) 故(A) (B) (A B) 四、假设N是自然数集合，定义N {0}上的二元关系R R { x, y | x, y N {0}, x y是偶数}。 证明：R是一个等价关系，并求出关系 R所确定的等价类。 证明：(1)对x N {0}，则x x是偶数，所以R是自反的； 对x, y N {0}，假设x, y R，则x y是偶数，而y x也是 偶数 所以y,x R，故R是对称的； 对x, y,z N {0}，假设x, y R，y, z R 则有x y，y z是偶数； 若x是偶数，由于y z是偶数，所以z也是偶数，则x z是偶数 若x是奇数，由于x y是偶数，所以y是奇数， 又因为y z是偶数，所以z是奇数，因此x z是偶数 所以R是传递的。 综上R是等价关系。 (2)当x是偶数时，[X]R { y| y N {0}并且y是偶数} 最小元，极大元，极小元。 (1) A {2,3,6,12,24,36 } (2) A{1,3,5,9,15,45} (3) A3 {2,4,8,16} 解：(1)没有最大元和最小元；极大元是 24,36。 六、令 V = {a, b, c, d, e}, E = {aa, ab, ab, ba, cd, ca, dd, de}， A = { G = 解: 五、对下列集合在整除关系下构成的偏序集，画出Hasse图，并写出最大元, ? c (2)最大元和极大元是45，最小元和极小元是 (3)最大元和极大元时16，最小元和极小元是 (1) 离散数学模拟卷2参考答案 一、选择题 1请指出下列选项中哪一个是错误的：（2） （1）（ 2）（3）{ } （4 ） { } 2、对任意集合A,B,C，下述论断正确的是：（1） （1 ）若A B,B C，则A C （2）若A B, B C，则A C （3）若A B, B C，则A C （4）若A B,B C，则A C 3、假设A {a,b,c}上的关系R {a,a a,b a,c c,a } ，那么，R是：（4） （1 ）反自反的（2 ）反对称的（3）可传递的（4）不可传递的 4、非空集合A上的空关系R不具备下列哪个性质：（1） （1）自反性（2 ）反自反 性 （3）对称性（4）传递性 5、若f : A B,g ： B C是满射函数，则复合函数g f必是：（3） （1 ）双射函数（2 ）单射函数（3）满射函数（4）不单射也不满射 6、假设A{a,b,c}，B {1,2}，下列哪个关系是A到B的函数：（3） （1）f { a,1 a, 2 b,1 b,2 c,1 c,2 } （2） f {a,a a,b b, a b,b c, a c, c } （3） f {a,1 b,2 c,1 } （4）f { 1,a 2,b 1,c } 7、一个无向简单图G有m 条边，n个顶点，则图中顶点的总度数为： （3） 2 （1）m（2） 2 n （3）2m （4 ） 2n 8、一个图是哈密顿图是指：（3） （1 ）图中包含一条回路经过图中每条边一次且仅一次；（2）图中包含一条路经过图中每条边一次且仅一次；（3）图中包含一条回路经过图中每个顶点一次且仅一次; （4 ）图中包含一条路经过图中每个顶点一次且仅一次。 9、一棵树有2个2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点，则其1度的顶点数为：(2) (1) 5 (2) 7 ( 3) 8 (4) 9 10、完全m叉树中有I片叶，i个分支点，则有关系式是：(2) (1)i I 1 (2)(m 1)i 1 I (3)(m 1)i I (4)(m 1)l i 1 二、填空题 1、假设A {{a,b}, {c}}, B {{ a}, {b}, {c}}试求出： A 的幕集(A) { .{{a.b}}.{{c}}.{{a.b}.{c}}} ； 2、假设A {x|x230,x 正整数}，B {x|x是正奇数，x 20}，C {1,3,5} (1)(C A) (B A) {7,9,11,13,15,17,19}； (2)(B C) A 3、假设A {1,2,3,4}上的关系R { 2,3 }，则： (1)r(R) {<1,1>,<2,2>,<2,3>,<3,3>,<4,4>}； (2)s(R) {<2,3>,<3,2>}； (3)t(R) {<2,3>}； 4、假设A {1,2,3}，f,g,h 是A 到A 的函数，其中：(a) f(1) f (2) f (3) 1；( b) g(1) 1，g(2) 3，g(3) 2 ；(c) h(1) 3，h(2) h(3) 1 ；则： (1) g_是满射；(2) g_是双射； 5、设无向图G有36条边，有6个3度的顶点，其余顶点度数均小于 3，则G中至少有33 个顶点。 6、假设P :今天天气好，Q :我就去锻炼身体。 (1)命题“如果今天天气好，我就去锻炼身体”符号化为巳4 ；