2.2几种常见变换——旋转变换

2.2几种常见的平面变换

旋转变换

三维目标

1.知识与技能

掌握旋转变换的矩阵表示与几何意义 2.过程与方法

通过具体的实例让学生认识到，图形的旋转可以用矩阵来表示. 3.情感、态度与价值观

将三角函数与矩阵结合起来，体现知识的螺旋上升。 教学重点 旋转变换 教学难点

旋转矩阵的导出 教学过程

一、情境设置

假设电风扇的叶片在同一平面内转动，以旋转中心为坐标原点建立直角坐标系，如图所示.已知电风扇叶片上一点P(x,y)，它绕中心O 旋转角到另外一点P(x,y)，因此旋转前后叶片上的点的位置变化可以看做一个几何变换，怎样用矩阵来刻画这一变换？

二、学生活动

不妨设OP 与x 轴正方向的夹角为α，|OP|=r ，

则有

??

?==αα

sin cos r y r x ??

???+=+=)sin()cos(

'

'θαθαr y r x 从而有?????+=-=θ

θθθcos sin sin cos ''y x y y x x

即

T ：??

?

???????

??-=????????→??????y x y x y x θθ

θθcos sin sin cos '

'

三、建构数学

矩阵??????-θθθθ

cos sin sin cos 通常叫做旋转矩阵，对应的变换称做旋转变换，其中的角θ叫做旋转角，点O 叫做旋转中心.

说明：旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状.

x

y D 'C 'B 'A 'x y B D 2A C 11C A 2

D B -1●恒等变换、伸压变换、反射变换这三个变换中还有哪些变换，只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状？

反射变换

●恒等变换与旋转变换的关系是什么？ θ＝0°

●反射变换与旋转变换的关系是什么？

绕定点作旋转180°的变换相当于关于定点作中心反射变换. ●我们学过那部分知识与旋转有联系？ 复数

四、数学运用

例1 已知点A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),求矩形ABCD 绕原点逆时针旋转90°后所得到的图形，并求出其顶点坐标，画出示意图.

解：由题意，得旋转矩阵??

?

???-=????????-01

10

90cos 90

sin 90sin 90cos 00

00

,00000110

??

?

???=???????????

?-,20020110

???

???=???????????

?-,21120110

??

?

???-=???????????

?-,01100110

??

?

???-=???????????

?- 因此，矩形ABCD 在矩阵M 的作用下变成了矩形A ′B ′C ′D ′，其中点A ′(0,0),B ′

(0,2),C ′(－1,2),D ′(－1,0)，如图所示.

变：已知点A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),求矩形ABCD 绕原点逆时针旋转30°后所得到的图形，并求出其顶点坐标，画出示意图.

解：由题意，得旋转矩阵?????

?????

??

-=????????-232

12123

30cos 30sin 30sin 30cos 00

00

,0000232

12123??????=?????????

??

?

??????

- ,1302232

12123????

????=?????????

??

?

??????

-

,23121312232

12123??

???????

??

?+-=?????????????????

?- ,232110232

12123??

???

???????-=?????????

???

?????

?

- 因此，矩形ABCD 在矩阵M 的作用下变成了矩形A ′B ′C ′D ′，其中点A ′(0,0), ).2

3

,21(),231,213(),1,3('''-+-D C B 如图所示.

x

y

1C A

2

D B

例2 已知曲线y 2

＝4x 绕原点逆时针旋转90°后所得到的曲线C ，求曲线的方程. 解：由题意，得旋转矩阵??

?

?

??-=????????-01

10

90cos 90

sin 90sin 90cos 00

00

设P(x 0,y 0)为曲线y 2

＝4x 上的任一点，它在矩阵??

?

?

??-01

10

作用下变换变为点 P ′(x 0′,y 0′)，则有??????-=??????????

??-=????????0000'0'00110

x y y x y x ，故?????=-='0

0'0

0y x x y '

2'00204)(,4y x x y =-∴= 从而曲线y 2

＝4x 在矩阵??

?

?

??0110

作用下变成曲线y x 42= 五、回顾反思

1.知识点：旋转变换

2.思想方法：数形结合

六、作业 见数学教学案 教学后记