求变力做功的几种方法
求变力做功的几种方法
功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，本文对变力做功问题进行归纳总结如下：一、等值法
等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以同过计算该恒力的功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。
例1、如图1，定滑轮至滑块的高度
为h，已知细绳的拉力为F牛（恒定），
滑块沿水平面由A点前进s米至B点，滑
块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分
别为α和β。求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。
分析：设绳对物体的拉力为T，显然人对绳的拉力F等于T。T 在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F 的大小和方向
都不变，所以F做的功可以用公式W=FScosa直接计算。由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,拉力F的作用点的位移大小为：
二、微元法
当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。
例2 、如图2所示，某力F=10牛作用于半径R=1米的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为：
A0焦耳B20π焦耳
C 10焦耳D20焦耳
分析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可
认为与力在同一直线上，故ΔW=FΔS，则转一周中各
个小元段做功的代数和为W=F×2πR=10×2π
J=20πJ，故B正确。
三、平均力法
如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，利用功的定义式求功。
例3、一辆汽车质量为105千克，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=103x+f0，f0是车所受的阻力。当车前进100米时，牵引力做的功是多少？
分析：由于车的牵引力和位移的关系为F=103x+f0，是线性关系，故前进100米过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力所做的功。由题意可知f0＝0.05×105×10N＝5×104N,所以前进100米过程中的平均牵引力
＝N＝1×105N,
∴W＝S＝1×105×100J＝1×107J。
四、图象法
如果力F随位移的变化关系明确，始末位置清楚，可在平面直角坐标系内画出F—x图象，图象下方与坐标轴所围的“面积”即表示功。
例如：对于例3除可用平均力法计算外也可
用图象法。由F=103x+f0可知，当x变化时，
F也随着变化，故本题是属于变力做功问题，下
面用图象求解。牵引力表达式为
F=103x+0.5×105，其函数表达图象
如图3。根据F-x图象所围的面积表示牵引力所
做
的功，故牵引力所做的功等于梯形OABD的“面
积”。
所以
。
五、能量转化法求变力做功
功是能量转化的量度，已知外力做功情况可计算能量的转化，同样根据能量的转化也可求外力所做功的多少。因此根据动能定理、机械能守恒定律、功能关系等可从能量改变的角度求功。
1、用动能定理求变力做功
动能定理的内容是：外力对物体所做的功等于物体动能的增量。它的表达=ΔE K，W外可以理解成所有外力做功的代数和，如果我们所研究的多式是W
外
个力中，只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。
例4、如图4所示，AB为1/4圆弧轨道，
半径为0.8m，BC是水平轨道，长3m，BC处
的摩擦系数为1/15，今有质量m=1kg的物体，
自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在
轨道AB段所受的阻力对物体做的功。
分析：物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力、AC段的摩擦力共三个力做功，W G=mgR，f BC=umg，由于物体在AB段受的阻力
=0，
是变力，做的功不能直接求。根据动能定理可知：W
外
所以mgR-umg-W AB=0
即W AB=mgR-umg=1×10×0.8-×1×10×3=6(J)
2、用机械能守恒定律求变力做功
如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律。如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解。
例5、如图5所示，质量m为2千克的
物体，从光滑斜面的顶端A点以v0=5米/秒的
初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到
B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度
h=5米，求弹簧的弹力对物体所做的功。
分析：由于斜面光滑故机械能守恒，但
弹簧
的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。取B所在水平面为零参考面，弹簧原长处D 点为弹性势能的零参考点，
则状态A：E A= mgh+mv02/2
对状态B：E B=－W弹簧+0
由机械能守恒定律得：W
=－（mgh+mv02/2）=－125（J）。
弹簧
3、用功能原理求变力做功
功能原理的内容是：系统所受的外力和内力（不包括重力和弹力）所做的功的代数和等于系统的机械能的增量，如果这些力中只有一个变力做功，且其它力所做的功及系统的机械能的变化量都比较容易求解时，就可用功能原理求解变力所做的功。
例6、质量为2千克的均匀链条长为2米，自然堆放在光滑的水平面上，用力F竖直向上匀速提起此链条，已知提起链条的速度v=6米/秒，求该链条全部被提起时拉力F所做的功。
分析：链条上提过程中提起部分的重力逐渐增大,链条保持匀速上升，故作用在链条上的拉力是变力，不能直接用功的公式求功。根据功能原理，上提过程拉力F做的功等于机械能的增量，故可以用功能原理求。当链条刚被全部提起时，动能没有变化，重心升高了L/2=1米，故机械能动变化量为：ΔE=mg L/2=2×10×1=20（J）
根据功能原理力F所做的功为：W=20J
4、用公式W=Pt求变力做功
例7、质量为4000千克的汽车，由静止开始以恒定的功率前进，它经100/3秒的时间前进425米，这时候它达到最大速度15米/秒。假设汽车在前进中所受阻力不变，求阻力为多大。
分析：汽车在运动过程中功率恒定，速度增加，所以牵引力不断减小，当减小到与阻力相等时速度达到最大值。汽车所受的阻力不变，牵引力是变力，牵引力所做的功不能用功的公式直接计算。由于汽车的功率恒定，汽车功率可用P=Fv求，速度最大时牵引力和阻力相等，故P=Fv m=fv m，所以汽车的牵引力做的功为W
=Pt=fv m t根据动能定理有：
汽车
—fs=mv m2/2，即fv m t－fs= mv m2/2
W
汽车
代入数值解得：f=6000N。
变力做功的问题是一教学难点，在上述实例中，从不同的角度、用不同的方法阐述了求解变力做功的问题．在教学中，通过对变力做功问题的归类讨论，有利于提高学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力，有利于培养学生的创造性思维，开阔学生解题的思路．
课后训练题