河南省郑州市2021届高三数学第三次质量检测试题 文(含解析).doc

河南省郑州市2021届高三数学第三次质量检测试题 文（含解析）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合{}

13A x N x =∈-<<，{}

0B x x π=<<，则A B ?=（ ） A. {}

03x x <<

B. {}0,1,2

C. {}1,2

D.

{}0x x π<<

【答案】C 【解析】 【分析】

求出集合A 中的所有元素，然后求解两个集合的交集. 【详解】{}0,1,2A =,所以{}1,2A

B =，故选C.

【点睛】本题主要考查集合的表示和集合的交集运算，求解交集时，明确集合的公共元素是求解的关键.

2.已知i 为虚数单位，复数z 满足()12z i i -=+，则在复平面内z 对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

【答案】D 【解析】 【分析】

先利用复数的除法，求出复数z ，再求共轭复数，然后判定所在象限. 【详解】因为()12z i i -=+，所以2(2)(1)131(1)(1)2i i i i z i i i ++++=

==--+，13

22

z i =-由于13

0,022

>-<，所以复平面内z 对应的点在第四象限，故选D. 【点睛】本题主要考查复数的运算，共轭复数等，侧重考查数学运算的核心素养.

3.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙

子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期，某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ） A.

3

5

B.

710

C.

45

D.

910

【答案】D 【解析】 【分析】

利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果.

【详解】《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．记这5部专著分别为,,,,a b c d e ，其中,,a b c 产生于汉、魏、晋、南北朝时期．从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有,,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce de 共10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce ，共9种情况，所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为9

10

m P n ==．故选D ．

【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再

21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏

写现象的发生.

4.已知双曲线()22

2210,0y x a b a b

-=>>的一条渐近线经过点(，则双曲线的离心率为

（ ）

D. 3

【答案】C 【解析】 【分析】

先求出双曲线的渐近线方程，代入点的坐标可得,a b 的关系式，然后可得离心率.

【详解】因为双曲线的焦点在y 轴上，所以渐近线的方程为a

y x b

=±，因为经过点(，

所以b =

，222b a =；由于222b c a =-，所以223c a =，即离心率e =【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求解，双曲线求解离心率时，关键是寻求,,a b c 之间的关系式.

5.同时具有性质“①最小正周期是π”②图象关于,06π??

???对称；③在0,4π??????

上是增函数的一个函数可以是（ ） A. 4sin 23y x π?

?=-

??

? B. sin 23y x π??

=-

??

?

C. 2cos 23

y x π??=+ ??

?

D. sin 26y x π??

=+

??

?

【答案】B 【解析】 【分析】

利用所给条件逐条验证，最小正周期是π得出2ω=，把②③分别代入选项验证可得. 【详解】把6

x π=

代入A 选项可得sin()0y π=-=，符合；把6

x π=

代入B 选项可得

sin 00y ==，符合；把6

x π=

代入C 选项可得cos 1y π==-，不符合，排除C ；把6

x π=

代

入D 选项可得sin

12

y π

==，不符合，排除D ； 当0,4x π??∈????时，4452[,]336x πππ-∈--，此时为减函数；当0,4x π??

∈????

时，

πππ

2[,]336

x -∈-，此时为增函数；故选B.

【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，侧重考查直观想象的核心素养.

6.在ABC ?中，若点D 满足2CD DB =，点M 为AC 中点，则MD =（ ） A.

21

36AB AC - B.

11

36

AB AC - C.

21

33

AB AC - D.

21

36

AB AC + 【答案】A 【解析】 【分析】

作出图形，结合平面向量的线性运算，用基底,AB AC 表示MD . 【详解】作出图形如下，

1212()2323MD MC CD AC CB AC AB AC =+=

+=+-21

36

AB AC =-,故选A. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，利用基底向量表示目标向量注意向量方向和模长之间的关系.

7.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数，若

()1a f =-，142log b f ??

= ???

，()0.32c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）

A. c b a <<

B. a c b <<

C. b c a <<

D.

a b c <<

【答案】B 【解析】

【分析】

利用函数奇偶性和单调性可得，距离y 轴近的点，对应的函数值较小，可得选项.

【详解】因为函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数，所以可知距离y 轴近的点，对应的函数值较小；2221

log log 224

-==-，0.30221>=且0.31222<=，所以b c a >>，故选B.

【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养.

8.在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为（ ） A. 2 B. 2

C. 12

x x

D. 4

【答案】A 【解析】 【分析】

作出截面图，结合圆柱的表面积等于圆锥的侧面积建立等式，从而可得. 【详解】如图，截面图如下

设圆柱底面半径为r ，高为h ，圆锥的底面半径为R ，则母线为2l R =

,则

R h r

R R

-=,即h R r =-.

圆柱表面积为2

2

2222()2r rh r r R r rR πππππ+=+-=； 圆锥的侧面积为22Rl R ππ=，

因为圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，所以222rR R ππ=，即2R r =

，故选A.

【点睛】本题主要考查旋转体的表面积的计算，熟记公式是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.

9.已知数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，1

13n n n n

b a a b ++-==，n N *∈.则数列{}

n

a b 的前10项

和为（ ） A.

()10

1312

- B.

()10

1918

- C.

()91

27126

- D.

()101

27126

- 【答案】D 【解析】 【分析】

根据题目条件判定{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，分别求出通项公式，然后求和. 【详解】因为1

13n n n n

b a a b ++-=

=，所以{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列且公差，公比均为3，所以13(1)32n a n n =+-=-，11

133n n n b --=?=，所以3313

27n n n a b --==，易知{}

n a b 是以1为首项，27为公比的等比数列，所以前10项和为10101(127)1

(271)12726

-=--，故选D.

【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式及等比数列求和，侧重考查数学运算的核心素养.

10.如图所示，网格纸上小正方形的边长为I ，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A.

6423

π

- B.

6423

π

- C.

6483

π

- D.

6443

π

-

【答案】A 【解析】 【分析】

判断几何体的形状，利用三视图的数据，结合几何体的体积公式，求解几何体的体积即可. 【详解】由三视图可知，该几何体是在一个底面边长为4， 高为4的四棱锥中挖掉

1

8

个半径为22的球， 故该几何体的体积为()

321144422383π??-?? 64823

π

-=，

故选A.

【点睛】该题考查的

是有关几何体的体积的问题，涉及到的知识点有利用三视图还原几何体，求有关几何体的体积，属于中档题目.

11.函数()f x 的定义域为D ，若()f x 满足在D 内是单调函数且存在

使()f x 在

上的值域为,22m n ??

????

，那么就称()y f x =为“半保值函数”，若函数

()()log x a f x a t =+，（0a >且1a ≠）是“半保值函数”，则正实数t 的取值范围是（ ）

A. 10,4

?? ??

?

B.

C. ()0,∞+

D.

1,4??+∞ ???

【答案】B 【解析】 【分析】

根据题意求出函数()()

log x

a f x a t =+的值域，可得t 的范围.

【详解】当1a >时，,log x

a y a y x ==均为增函数，所以()f x 为增函数；当01a <<时，

,log x a y a y x ==均为减函数，所以()f x 为增函数；

所以当[,]x m n ∈时，()[log (),log ()]m n

a a f x a t a t ∈++，

根据题意可得

log (),log ()22

m n a a m n

a t a t =+=+， 所以,m n 是方程222()0x

x

a a t -+=的两个不等的实数根，所以有140t ?=->，结合t 为正实数，即有1

04

t <<

，故选B. 【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，信息提供型题目，注意对题意的准确理解上.侧重考查数学建模的核心素养.

12.已知椭圆()22122:10x y C a b a b

+=>>与双曲线22

2:19y C x -=有公共焦点，2C 的一条渐

近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（ ） A. 2

87

8

a =

B. 212a =

C. 2

98

b =

D. 21b =

【答案】C 【解析】 【分析】

结合椭圆和双曲线有公共的焦点可得2210a b -=，再利用1C 恰好将线段AB 三等分，可求得

22,a b .

【详解】因为椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线22

2:19y C x -=有公共焦点，所以

2210a b -=；双曲线的一条渐近线为3y x =，设渐近线与椭圆的交点为C,D,如图，

设(,3)C m m ，代入椭圆可得22

2291m m a b

+=①

因为1C 恰好将线段AB 三等分，所以3a OC =

，即有222

99a m m +=②

联立①②可得22

119010a b

+=，结合22

10a b -=可得298b =，故选C. 【点睛】本题主要考查圆、椭圆和双曲线的综合，寻求题目中的等量关系是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上.）

13.若实数x ，y 满足条件10,

10,330x y x y x y +-≥??

--≤??-+≥?

则32z x y =-的最大值为__________．

【答案】5. 【解析】 【分析】

作出可行域和目标函数图象，找到最值点，代入目标函数，求出最大值. 【详解】作出可行域及0:320l x y -=如图，

平移直线0l 可知在点A 处目标函数32z x y =-取到最大值，

联立10

330

x y x y --=??

-+=?可得(3,2)A ,代入可得max 5z =.

【点睛】本题主要考查线性规划，求解线性规划问题时，准确作出可行域是求解关键，侧重考查直观想象的核心素养.

14.在三棱锥D ABC -中，2AB AC AD ===

2BC BD CD ===，

则三棱锥D ABC -

外接球的表面积为__________． 【答案】6π. 【解析】 【分析】

根据所给数据可得垂直关系，结合模型可求外接球的表面积. 【详解】因为2AB AC AD ===

，2BC BD CD ===；

所以,,AD AC AD AB AB AC ⊥⊥⊥,所以三棱锥D ABC -的外接球就是以,,AD AC AB 分别为长宽高的长方体的外接球，故其对角线就是外接球的直径， 设外接球的半径为r ，则2

2

2

26r AD AB AC =

++=,即6

2

r =

，故外接球的面积为22

644(

)62

r πππ==. 【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球的表面积，借助长方体这个模型可以简化求解过程，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.

15.在数列{}n a 中，满足11a =，24,2n a na =()()1111n n n a n a -+=-++（2n ≥且n N *∈），则

__________．

【答案】

25

4

. 【解析】 【分析】

根据已知条件可得{}n na 为等差数列，借助等差数列的通项公式可得.

【详解】因为()()11211n n n na n a n a -+=-++，所以{}n na 为等差数列，公差2127d a a =-=，首项为1，所以其通项公式为17(1)76n na n n =+-=-，所以85025

84

a =

=. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，根据递推关系式得出等差数列是求解关键，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.

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16.已知函数()2

1ln 2f x a x x ??=-

+ ??

?

，若在区间()1,+∞上函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的图象的下方，则实数a 的取值范围是__________．

【答案】11[,]22

-.

【解析】 【分析】

先把图象位置关系转化为不等关系，即2

12()ln 02

ax a x x --->，然后利用导数求解最值可得.

【详解】设2

1()2()ln 2

g x ax a x x =---，由题意可知，()0g x >在区间()1,+∞上恒成立；

1(1)[(12)1]

()2(21)x a x g x a a x x x

--+=---'=，

当120a -≥时，()1,x ∈+∞，()0g x '>，所以()g x 为增函数，所以有1

(1)202

g a a =-+≥，即

1122

a ≥≥-； 当120a -<时，总存在()0,x x ∈+∞，使得()0g x '<，即()g x 为减函数，不合题意； 综上可得11

[,]22

a ∈-.

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数图象之间的位置关系，通常是转化为不等关系，求解最值，侧重考查数学建模的核心素养.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.在ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4AC =，1

cos 3

CAB ∠=.点D 的

线段BC 上，且12BD CD =

，AD =. （Ⅰ）求AB 的长； （Ⅱ）求ABD ?面积.

【答案】（Ⅰ）6.

（Ⅱ）

3

.

【解析】 【分析】

（Ⅰ）在ABC ?，,ACD ABD ??中分别使用余弦定理可求AB 的长； （Ⅱ）先求ABC ?的面积，利用ABD ?与ABC ?面积之间的关系可求 【详解】（Ⅰ）在ABC ?中，由余弦定理得2

2

2

1

483

a c c =+-?

① 又在ACD ?

中，2

22264416

cos 2a AD CD AC ADC AD CD +-+-∠==?

在ABD ?

中，2

2222

64cos 2a c AD BD AB ADB BD AD +-+-∠==?

又ADB ADC π∠+∠=

cos cos 0ADB ADC ∴∠+∠= ,即2

22403

a c -+=②

联立①②得，6c = , 即6AB =.

（Ⅱ）

1cos sin 33

CAB CAB ∠=

∴∠=

1

sin 2

ABC

S

b c CAB =???∠=

133

ABD ABC S S ??==

. 【点睛】本题主要考查利用余弦定理求解三角形的边长及三角形面积，侧重考查数学运算的核心素养.

18.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，FO ⊥平面ABCD ，四边形OAEF 为平行四边形.

（Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面BDF ；

（Ⅱ）若2AB FO BD ===，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=，三棱锥B AHC -的体积等于四棱锥D AOFE -体积的一半，求λ的值. 【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）

1

2

. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）先证明AO BD ⊥,AO FO ⊥,利用//EF AO 得到EF ⊥平面BDF ,从而得证结论； （Ⅱ）利用三棱锥B AHC -的体积等于四棱锥D AOFE -体积的一半，建立等量关系，从而求得λ的值.

【详解】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴AO BD ⊥． ∵FO ⊥平面ABCD ，AO ?平面ABCD ， ∴AO FO ⊥．

又四边形OAEF 为平行四边形， ∴//EF AO ，

∴EF BD ⊥，EF FO ⊥，

∵BD FO O ?=，∴EF ⊥平面BDF ． ∵EF ?平面DEF ， ∴平面DEF ⊥平面BDF ．

（Ⅱ）∵2AB FO BD ===，四边形ABCD

菱形，

∴ABD ?为等边三角形，且3AO =1DO BO ==．

∵,,BD AC BD FO AC FO O ⊥⊥?=,∴BD ⊥平面OAEF ， ∴四棱锥D AOFE -的体积为1123

(32)133D AOFE AOFE V S DO -=

??=???=

． ∵FO ⊥平面ABCD ，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=， 所以点H 到平面ABCD 的距离(1)2(1)h FO λλ=-=-．

所以11123(1)322sin1202(1)33233B AHC H ABC ABC V V S h λλ?---??

==??=?????-==

???

，解得1

2

λ=

. 【点睛】本题主要考查空间中面面垂直关系的证明及几何体的体积问题，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养.

19.某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x （单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用i x 与年销售量

()1,2,,10i y i =的数据，得到散点图如图所示：

（Ⅰ）利用散点图判断，y a bx =+和d

y c x =?（其中c ，d 为大于0的常数）哪一个更适合

作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）； （Ⅱ）对数据作出如下处理：令ln i u x =，ln i y υ=，得到相关统计量的值如下表：

根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程；

（Ⅲ）已知企业年利润z （单位：千万元）与x ，

y 的关系为27

z y x e

=-（其中 2.71828e =），

根据（Ⅱ）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据()()()1122,,,,

,,n n u u u υυυ，其回归直线u υαβ=+的斜率和截距的最小二乘

估计分别为()()()

1

12

2

2

1

1

?n

n

i

i

i i i i n

n

i

i

i i u u u nu u u u

nu

υ

υ

υυ

β

====---==

--∑∑∑∑，???u α

υβ=- 【答案】（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型y c x α

=?更适合； （Ⅱ）1

3

y e x =?；

（Ⅲ）要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）根据散点图的特点可知，相关关系更接近于幂函数类型； （Ⅱ）根据所给数据，代入公式求得回归直线的

方程；

（Ⅲ）先求出年利润的表达式，结合不等式特点利用导数可得最值. 【详解】（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型d

y c x =?更适合．

（Ⅱ）对d

y c x =?两边取对数，得ln ln ln y c d x =+，即ln v c du =+ 由表中数据得： 1.5u v ==，

∴()()()

1

122

2

2

1

1

30.510 1.5 1.51

46.510 1.53

?n n

i

i

i i i i n

n

i i

i i u u v v u v nuv

d

u u u

nu ====----??==

=

=-?--∑∑∑∑，

∴1

ln 1.5 1.51,3

?c v du

c e =-=-?=∴=，

∴年研发费用x 与年销售量y 的回归方程为1

3y e x =?. (Ⅲ)由（Ⅱ）知，1

3()27z x x x =-， ∴2

3()91z x x -='-， 令23()910z x x

--'==，得27x =，

且当(0,27)x ∈时，()0z x '>,()z x 单调递增； 当(27,)x ∈+∞时，()0z x '<,()z x 单调递减．

所以当27x =千万元时，年利润z 取得最大值，且最大值为(27)54z =千万元. 答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.

【点睛】本题主要考查非线性回归方程的求解及决策判断，非线性回归方程一般是转化为线性回归方程求解，侧重考查数学建模和数据分析的核心素养.

20.已知抛物线()2

20y px p =->的焦点为F ，x 轴上方的点()2,M m -在抛物线上，且

5

2

MF =

，直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A ，B 与M 不重合），设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k . （Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）当122k k +=-时，求证：直线l 恒过定点并求出该定点的坐标. 【答案】（Ⅰ）2

2y x =-； （Ⅱ）见解析. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据5

2

MF =

及抛物线定义可求p ，从而得到方程； （Ⅱ）设出直线方程，与抛物线方程相联立，写出韦达定理，结合122k k +=-可得,k b 关系，从而得到定点坐标.

【详解】（Ⅰ）由抛物线的定义可以5

(2)22

p MF =

--=，

1p ∴=,抛物线的方程为22y x =-.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点M 的坐标为(2,2)- 当直线l 斜率不存在时，此时,A B 重合，舍去. 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+ 设()()1122,,,A x y B x y ，将直线l 与抛物线联立得：

22

22

(22)02y kx b k x kb x b y x

=+?+++=?=-? 2

12122

222,kb b x x x x k k

--+==① 又12121222

222

y y k k x x --+=

+=-++， 即()()()()()()1221122222222kx b x kx b x x x +-+++-+=-++，

()()()()12121212121222248248kx x k x x b x x x x b x x x x ++++-++-=--+-， ()1212(2+2)(2+2)40k x x k b x x b ++++=，

将①代入得，2

22(1)0b b k b ---+= 即(1)(22)0b b k +--= 得1b =-或22b k =+

当1b =-时，直线l 为1y kx =-，此时直线恒过(0,1)-;

当22b k =+时，直线l 为22(2)2y kx k k x =++=++，此时直线恒过(2,2)-（舍去） 所以直线l 恒过定点(0,1)-.

【点睛】本题主要考查抛物线的定义及直线和抛物线的综合问题，直线过定点一般是寻求,k b 之间的关系式.侧重考查数学运算的核心素养.

21.设函数()x

f x ae x =-，()ln

g x b x =.

（Ⅰ）设()()()h x f x g x =+，函数()h x 在()()

1,1h 处切线方程为21y x =-，求a ，b 的

值；

（Ⅱ）若1a =，k 为整数，当0x >时，()()10x k f x x '-++>成立，求k 的最大值. 【答案】（Ⅰ）2

,1a b e

==； （Ⅱ）2. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）先求()h x 的导数，结合导数的几何意义，可求,a b ；

（Ⅱ）分离参数，构造新函数，利用导数求解新函数的最值，可得k 的最大值. 【详解】（Ⅰ）()()()ln x

h x f x g x ae b x x =+=+-，

()1x b

h x ae x +

'=-，由题意可知(1)112,1(1)12

h ae a b h ae b e =-=?∴===='?

+-?. （Ⅱ）当0x >时，()()10x k f x x ++'->等价于1

1

x x k x e +<

+- 设1

()1

x

x F x x e +=+- ，()

()

2

2

()1

x x x

e e x F x e

--=-' ，

令()2x

R x e x =--,()1x

R x e =-';

当0x >时，()0R x '>恒成立.

∴()R x 在(0,)+∞上单调递增 ， 又(1)0,(2)0R R ,

∴()R x 在(0,)+∞上有唯一零点0x ，且0(1,2)x ∈，0020x

e x --=， ∴()F x 单减区间为0(0,)x ，单增区间为0(,)x +∞， ∴()F x 在(0,)+∞的最小值为()0

00001

1(2,3)1

x x F x x x e +=

+=+∈- ()0max ,2k F x k ∴<∴=.

【点睛】本题主要考查导数的几何意义和利用导数求解函数的最值问题，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.

22.在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为

2,

1

x t

y t

=--

?

?

=+

?

（t为参数）

，曲线1

:

C y=以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴立极坐标系，曲线2C

的极坐标方程为4

π

ρα??

=-

?

??

.

（Ⅰ）若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，点P在1C上，求BA BP

?的取值范围；（Ⅱ）若直线l与2C交于M，N两点，点Q的直角坐标为()

2,1

-，求QM QN

-的值. 【答案】

（Ⅰ）1]；

.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）利用参数方程表示出目标式BA BP

?，结合三角函数知识求解；

（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线2C，结合参数的几何意义可求.

【详解】（Ⅰ）由题意可知：直线l的普通方程为10,(1,0),(0,1)

x y A B

++=∴--.

1

C的方程可化为221(0)

x y y

+=≥，设点P的坐标为(cos,sin),0

θθθπ

≤≤，

cos sin111]

4

BA BP

π

θθθ??

∴?=-++=-+∈

?

??

.

（Ⅱ）曲线

2

C的直角坐标方程为：22

(2)(2)8

x y

++-=.

直线l

的标准参数方程为

2

2

1

2

x m

y m

?

=--

??

?

?=+

??

（m为参数），代入2C

得：270

m-=

设,

M N两点对应的参数分别为

12

,

m m

1212

70

m m m m

+==-< ,故12

,

m m异号

12

QM QN m m

∴-=+=

‖‖

【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标之间的转化及参数方程的应用，利用参数的几何意

义能简化计算过程，达到事半功倍的效果.

23.已知函数()12f x x a x =+++. （Ⅰ）求1a =时，()3f x ≤的解集；

（Ⅱ）若()f x 有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值. 【答案】（Ⅰ）[3,0]-； （Ⅱ）见解析. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）把1a =代入，利用分类讨论的方法去掉绝对值求解；

（Ⅱ）利用零点分段讨论法去掉绝对值，然后根据函数单调性求解最值情况.

【详解】（Ⅰ）当1a =时，232

()12121231x x f x x x x x x --≤-??

=+++=-<<-??+≥-?

∵()3f x ≤

当2x -≤时()233f x x =--≤解得32x -≤≤- 当21x -<<-时()13f x =≤恒成立

当1x -≥时()233f x x =+≤解得10x -≤≤ 综上可得解集[3,0]-.

（Ⅱ）(1)212()12(1)21

21(1)211a x a x f x x a x a x a x a x a x -+--≤-??

=+++=-+--<<-??+++≥-?

当(1)0a -+>，即1a <-时，()f x 无最小值； 当(1)0a -+=，即1a =-时，()f x 有最小值1-；

当(1)0a -+<且10a -≤，即11a -<≤时， min ()(1)f x f a =-= 当(1)0a -+<且10a ->，即1a >时， min ()(2)1f x f =-=