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老梁试卷高一数学必修一综合

一.选择题(共10小题,满分50分,每小题5分)

1.(5.00分)已知集合A={x|x2<16},B={x|4﹣2x>0},则A∩B=()

A.(﹣4,2) B.(﹣4,4) C.(﹣2,2) D.(﹣2,4)

2.(5.00分)函数f(x)=ln||的大致图象是()

A.B.C.D.

3.(5.00分)已知函数是奇函数,则f(a)的值等于()

A.B.3 C.或3 D.或3

4.(5.00分)已知奇函数f(x),当x>0时单调递增,且f(1)=0,若f(x﹣1)>0,则x的取值范围为()

A.{x|0<x<1或x>2}B.{x|x<0或x>2}

C.{x|x<0或x>3}D.{x|x<﹣1或x>1}

5.(5.00分)已知函数f(x)=log a x(0<a<1)的导函数为f'(x),记A=f'(a),B=f(a+1)﹣f (a),C=f'(a+1),则()

A.A>B>C B.A>C>B C.B>A>C D.C>B>A

6.(5.00分)已知函数,若x,y满足,则的取值范围是()

A.B.C.(﹣1,1) D.[﹣1,1]

7.(5.00分)已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m﹣1)x n的图象上,设

,则a,b,c的大小关系为()

A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.b<a<c

8.(5.00分)已知函数f(x)=,g(x)=e x(e是自然对数的底数),若关于x的方程g(f(x))﹣m=0恰有两个不等实根x1、x2,且x1<x2,则x2﹣x1的最小值为()

A.(1﹣ln2)B.+ln2 C.1﹣ln2 D.(1+ln2)

9.(5.00分)某公司拟投资开发新产品,估计能获得10万元至100万元的投资收益,为激发开发者的潜能,公司制定产品研制的奖励方案:奖金y(万元)随投资收益x(万元)的增加而增加,同时奖金不超过投资收益的20%,奖金封顶9万元,若采用以下函数模型拟合公司奖励方案,则较适合的函数是()

A.y=+2 B.y= C.y=+D.y=4lgx﹣3

10.(5.00分)在下列图象中,二次函数y=ax2+bx+c与函数y=()x的图象可能是()

A.B.C.D.

二.填空题(共4小题)

11.已知log2x=log3y=log5z<0,则、、由小到大排序为.

12.已知函数(a>0,且a≠1),若f(﹣3)<f(4),则不等式f(x2﹣3x)<f(4)的解集为.

13.函数f(x)=,关于x的方程f(x)=kx﹣k至少有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围为.

14.已知λ∈R,函数f(x)=,当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是.

三.解答题(共6小题)

15.已知定义域为R的函数f(x)=﹣+是奇函数

(1)求a的值;

(2)判断函数f(x)的单调性并证明;

(3)若对于任意的t∈(1,2),不等式f(﹣2t2+t+1)+f(t2﹣2mt)≤0有解,求m的取值范围.

16.(1)计算:;

(2)已知x+x=2,求的值.

17.已知函数f(x)=lg(x+1)﹣lg(1﹣x).

(Ⅰ)求函数f(x)的定义域;

(Ⅱ)判断函数f(x)的奇偶性.

18.已知幂函数f(x)=在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x﹣k,(Ⅰ)求实数m的值;

(Ⅱ)当x∈(1,2]时,记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B,若A∪B=A,求实数k的取值范围.

19.已知函数

(1)求函数f(x)的反函数f﹣1(x);

(2)试问:函数f(x)的图象上是否存在关于坐标原点对称的点,若存在,求出这些点的坐标;若不存在,说明理由;

(3)若方程的三个实数根x1、x2、x3满足:x1<x2<x3,且x3﹣x2=2(x2﹣x1),求实数a的值.

20.如图所示,在一半径等于1千米的圆弧及直线段道路AB围成的区域内计划建一条商业街,其起点和终点均在道路AB上,街道由两条平行于对称轴l且关于l对称的两线段EF、CD,及夹在两线段EF、CD间的弧组成.若商业街在两线段EF、CD上收益为每千米2a元,在两线段EF、CD间的弧上收益为每千米a元.已知,设∠EOD=2θ,

(1)将商业街的总收益f(θ)表示为θ的函数;

(2)求商业街的总收益的最大值.

老梁试卷高一数学必修一综合

参考答案与试题解析

一.选择题(共10小题,满分50分,每小题5分)

1.(5.00分)已知集合A={x|x2<16},B={x|4﹣2x>0},则A∩B=()A.(﹣4,2) B.(﹣4,4) C.(﹣2,2) D.(﹣2,4)

【分析】可解出集合A,B,然后进行交集的运算即可.

【解答】解:A={x|﹣4<x<4},B={x|x<2};

∴A∩B=(﹣4,2).

故选:A.

【点评】考查描述法、区间表示集合的概念,以及交集的运算.

2.(5.00分)函数f(x)=ln||的大致图象是()

A.B.C.

D.

【分析】根据函数的奇偶性和函数值的特点即可判断

【解答】解∵,

∴f(﹣x)=ln||=﹣ln||=﹣f(x),

∴f(x)为奇函数,排除A,C

当0<x=e+1,则f(e+1)=ln||=ln|e+2|﹣lne>0,故排除B,

故选:D.

【点评】本题考查了函数图象的识别和判断,关键是掌握函数的奇偶性,以函数值的特点,属于基础题

3.(5.00分)已知函数是奇函数,则f(a)的值等于()

A.B.3 C.或3 D.或3

【分析】根据f(x)为奇函数即可得出,从而可解出a=±1,从而可求出f(a)的值.

【解答】解:f(x)是奇函数;

∴;

整理得:(2a2﹣2)2x=0;

∴2a2﹣2=0;

∴a=±1;

a=1时,;

a=﹣1时,.

故选:C.

【点评】考查奇函数的定义,指数式的运算,以及已知函数求值的方法.

4.(5.00分)已知奇函数f(x),当x>0时单调递增,且f(1)=0,若f(x﹣1)>0,则x的取值范围为()

A.{x|0<x<1或x>2}B.{x|x<0或x>2}C.{x|x<0或x>3}D.{x|x<﹣1或x>1}【分析】先确定函数f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,且f(﹣1)=0,再将不等式等价变形,即可得到结论.

【解答】解:∵定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,

∴函数f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,且f(﹣1)=0,

且﹣1<x<0或x>1,f(x)>0;

x<﹣1或0<x<1,f(x)<0;

∴不等式f(x﹣1)>0,

∴﹣1<x﹣1<0或x﹣1>1,

解得0<x<1或x>2,

故选:A.

【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合,关键利用函数上奇函数得到对称区间得单调性,属于基础题.

5.(5.00分)已知函数f(x)=log a x(0<a<1)的导函数为f'(x),记A=f'(a),B=f(a+1)﹣f (a),C=f'(a+1),则()

A.A>B>C B.A>C>B C.B>A>C D.C>B>A

【分析】设M坐标为(a,f(a)),N坐标为(a+1,f(a+1)),利用导数及直线斜率的求法得到A、B、C分别为对数函数在M处的斜率,直线MN的斜率及对数函数在N处的斜率,根据对数函数的图象可知大小,得到正确答案.

【解答】解:记M(a,f(a)),N(a+1,f(a+1)),

则由于B=f(a+1)﹣f(a)=,表示直线MN的斜率,

A=f′(a)表示函数f(x)=log a x在点M处的切线斜率,

C=f′(a+1)表示函数f(x)=log a x在点N处的切线斜率.

所以,C>B>A.

故选:D.

【点评】本题考查三个数的大小的比较,考查会利用导数求过曲线上某点切线的斜率,掌握直线斜率的求法,是一道中档题.

6.(5.00分)已知函数,若x,y满足,则的取值范围是()

A.B.C.(﹣1,1) D.[﹣1,1]

【分析】先求出函数y=f(x)的定义域(﹣1,1),并利用定义判断出函数y=f(x)为奇函数,

利用复合函数的单调性判断出函数y=f(x)为减函数,由,得,可得到关于x、y的二元一次方程组,然后利用线性规划的知识可求出的取值范围.

【解答】解:由,得,解得﹣1<x<1,

所以,函数的定义域为(﹣1,1),关于原点对称,

任取x∈(﹣1,1),则﹣x∈(﹣1,1),,所以,函数为奇函数,

令,

则内层函数在x∈(﹣1,1)上单调递减,

而外层函数y=lnu单调递增,由复合函数的单调性可知,函数为减函数,

由,得,

则有,化简得,

做出不等式组所表示的可行域如下图阴影部分区域所示,

而代数式表示连接可行域上的点(x,y)与定点P(﹣3,0)两点连线的斜率,

由斜率公式可得直线PC的斜率为,

直线PB的斜率为,

结合图形可知,的取值范围是(﹣1,1),

故选:C.

【点评】本题考察函数的奇偶性与单调性、以及线性规划,关键在于利用函数的单调性与奇偶性得到二元一次不等式组,然后利用线性规划求代数式的取值范围,属于中等题.

7.(5.00分)已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m﹣1)x n的图象上,设

,则a,b,c的大小关系为()

A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.b<a<c

【分析】由幂函数的定义可得m=2,n=3,f(x)=x3,且f(x)在R上递增,结合对数函数和幂函数的性质,即可得到a,b,c的大小关系.

【解答】解:点(m,8)在幂函数f (x)=(m﹣1)x n的图象上,

可得m﹣1=1,即m=2,

2n=8,可得n=3,

则f(x)=x3,且f(x)在R上递增,

由a=f(),b=f (ln π),c=f(),

0<<<1,ln π>1,

可得a<c<b,

故选:A.

【点评】本题考查幂函数的解析式和性质以及运用:比较大小,考查运算能力,属于中档题.8.(5.00分)已知函数f(x)=,g(x)=e x(e是自然对数的底数),若关于x的

方程g(f(x))﹣m=0恰有两个不等实根x1、x2,且x1<x2,则x2﹣x1的最小值为()A.(1﹣ln2)B.+ln2 C.1﹣ln2 D.(1+ln2)

【分析】化简方程为f(x)=lnm,作函数f(x),y=lnm的图象,结合图象可知,存在实数m(0

<m≤1),使x2=e=m,可得x1﹣x2=m﹣lnm,令g(m)=m﹣lnm,利用导数可得g(m)≥g()=,

【解答】解:∵f(x)=,∴f(x)>0恒成立;

∴g[f(x)]=e f(x)=m,∴f(x)=lnm;

作函数f(x),y=lnm的图象如下,

结合图象可知,存在实数m(0<m≤1),使x2=e=m

故x1﹣x2=m﹣lnm,令g(m)=m﹣lnm,则g′(m)=1﹣,

故g(m)在(0,]递减,在(,1)递增,∴g(m)≥g()=,

故选:D.

【点评】本题考查了复合函数与分段函数的应用,同时考查了导数的综合应用及最值问题,应用了数形结合的思想及转化构造的方法.

9.(5.00分)某公司拟投资开发新产品,估计能获得10万元至100万元的投资收益,为激发开发者的潜能,公司制定产品研制的奖励方案:奖金y(万元)随投资收益x(万元)的增加而增加,同时奖金不超过投资收益的20%,奖金封顶9万元,若采用以下函数模型拟合公司奖励方案,则较适合的函数是()

A.y=+2 B.y= C.y=+D.y=4lgx﹣3

【分析】由设奖励函数模型为y=f(x),则公司对函数模型的基本要求是:当x∈[10,100]时,①f(x)是增函数;②f(x)≤9恒成立;③恒成立.然后对两个函数模型逐一分析,对三个条件全部满足的选取,三个条件有一个不满足则舍弃.

【解答】解:设奖励函数模型为y=f(x),则公司对函数模型的基本要求是:

当x∈[10,100]时,①f(x)是增函数;②f(x)≤9恒成立;③恒成立.

①对于函数模型y=+2:

当x∈[10,100]时,f(x)是增函数,则f(x)max=f(100)=+2=5+2=7.

所以f(x)≤9恒成立.

因为函数=+在[10,100]上是减函数,所以[]max==>.

即不恒成立.故该函数模型不符合公司要求.

②对于函数模型y=:

当x∈[10,100]时,f(x)是增函数,则f(x)max=f(100)==10>9.

所以f(x)≤9不成立.故该函数模型不符合公司要求.

③于函数模型y=+=(x+):

当x∈[10,100]时,f(x)是增函数,则f(x)max=f(100)=+=4+.

所以f(x)≤9恒成立.

因为函数=+在[10,100]上是减函数,所以[]max=+=<.即恒成立.故该函数模型符合公司要求.

④对于函数模型f(x)=4lgx﹣3:

当x∈[10,100]时,f(x)是增函数,则f(x)max=f(100)=4lg100﹣3=8﹣3=5.

所以f(x)≤9恒成立.

设g(x)=4lgx﹣3﹣,则.

当x≥10时,,

所以g(x)在[10,100]上是减函数,从而g(x)≤g(10)=﹣1<0.

所以4lgx﹣3﹣<0,即4lgx﹣3<,所以恒成立.

故该函数模型符合公司要求.

在③和④中,③的f(x)max=4+.④的最大值为(x)max=5.

则为了达到激励的目的,应该是收益越高,奖励的比例越高,故④比③更合适,

故选:D.

【点评】本题考查了函数模型的选择及应用,训练了函数最值的求法,综合性较强,有一定的难度.

10.(5.00分)在下列图象中,二次函数y=ax2+bx+c与函数y=()x的图象可能是()

A.B.C.D.

【分析】二次函数y=ax2+bx+c与函数y=()x的图象,分别判断a,b,c的符号及关系,由此寻找正确答案.

【解答】解:A中,由二次函数y=ax2+bx+c的图象知,a>0,b>0,c=0,.此时,y=()x即y=()x为减函数,故A成立;

B中,由二次函数y=ax2+bx+c的图象知,a>0,b<0,c=0.此时,<0,函数y=()x无意义,故B不成立;

C中,由二次函数y=ax2+bx+c的图象知,a<0,b<0,c=0,.此时,y=()x即y=()x为增函数,故C不成立;

D中,由二次函数y=ax2+bx+c的图象知,a>0,b<0,c=0.此时,<0,函数y=()x无意义,故D不成立;

故选:A.

【点评】本题考查指数函数和二次函数的图象和性质,解题时结合图象要能准确地判断系数的取值.

二.填空题(共4小题)

11.已知log2x=log3y=log5z<0,则、、由小到大排序为<<.

【分析】设k=log2x=log3y=log5z<0,可得x=2k,y=3k,z=5k.可得==21﹣k,=31﹣k,=51﹣k,利用指数函数的即可得出.

【解答】解:设k=log2x=log3y=log5z<0,∴x=2k,y=3k,z=5k.

则==21﹣k,=31﹣k,=51﹣k,

∴21﹣k<31﹣k<51﹣k,

∴<<,

故答案为:<<.

【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

12.已知函数(a>0,且a≠1),若f(﹣3)<f(4),则不等式f(x2﹣3x)<f(4)的解集为(﹣1,0)∪(0,3)∪(3,4).

【分析】直接利用函数的性质和定义域求出结果.

【解答】解:函数(a>0,且a≠1),若f(﹣3)<f(4),

则:函数单调递增,

故:不等式f(x2﹣3x)<f(4)满足:x2﹣3x<4,

解得:﹣1<x<4,

由于:x2﹣3x≠0,

解得:x≠0且x≠3,

故:不等式f(x2﹣3x)<f(4)的解集为:(﹣1,0)∪(0,3)∪(3,4).

故答案为:(﹣1,0)∪(0,3)∪(3,4).

【点评】本题考查的知识要点:函数的性质的应用,单调性的应用.

13.函数f(x)=,关于x的方程f(x)=kx﹣k至少有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围为k≥﹣且k≠1.

【分析】根据函数与方程的关系,转化为函数f(x)与g(x)=k(x﹣1),至少有两个不同的交点,作出对应的图象,利用数形结合进行求解即可.

【解答】解:由f(x)=kx﹣k至少有两个不相等的实数根,得f(x)=k(x﹣1)至少有两个不相等的实数根,

设g(x)=k(x﹣1),则等价为f(x)与g(x)至少有两个不同的交点,

作出函数f(x)的图象如图:

g(x)=k(x﹣1),过定点C(1,0),

当x>0时,f(x)=x2﹣x的导数f′(x)=2x﹣1,

在x=1处,f′(1)=2﹣1=1,

当k=1时,g(x)=x﹣1与f(x)=+x=x+1平行,

此时两个图象只有一个交点,不满足条件.

当k>1时,两个函数有两个不相等的实数根,

当0≤k<1时,两个函数有3个不相等的实数根,

当k<0时,当直线经过点A(﹣,)时,两个图象有两个交点,

此时k(﹣﹣1)=,即k=﹣,

当﹣<k<0时,两个图象有3个交点,

综上要使方程f(x)=kx﹣k至少有两个不相等的实数根,则k>﹣且k≠1,

故答案为:k≥﹣且k≠1.

【点评】本题主要考查函数与方程的应用,利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题,结合数形结合是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.

14.已知λ∈R,函数f(x)=,当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是{x|1<x<4} .若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是(1,3]∪(4,+∞).

【分析】利用分段函数转化求解不等式的解集即可;利用函数的图象,通过函数的零点得到不等式求解即可.

【解答】解:当λ=2时函数f(x)=,显然x≥2时,不等式x﹣4<0的解集:{x|2≤x<4};x<2时,不等式f(x)<0化为:x2﹣4x+3<0,解得1<x<2,综上,不等式的解集为:{x|1<x<4}.

函数f(x)恰有2个零点,

函数f(x)=的草图如图:

函数f(x)恰有2个零点,则1<λ≤3或λ>4.

故答案为:{x|1<x<4};(1,3]∪(4,+∞).

【点评】本题考查函数与方程的应用,考查数形结合以及函数的零点个数的判断,考查发现问题解决问题的能力.

三.解答题(共6小题)

15.已知定义域为R的函数f(x)=﹣+是奇函数

(1)求a的值;

(2)判断函数f(x)的单调性并证明;

(3)若对于任意的t∈(1,2),不等式f(﹣2t2+t+1)+f(t2﹣2mt)≤0有解,求m的取值范围.

【分析】(1)根据f(0)=0求出a的值;

(2)根据函数单调性的定义证明;

(3)根据奇偶性和单调性列出不等式,从而得出m的范围.

【解答】解:(1)∵f(x)是R上的奇函数,

∴f(0)=﹣+=0,

∴a=1.

(2)f(x)=﹣+,故f(x)是R上的减函数.

证明:设x1,x2是R上的任意两个数,且x1<x2,

则f(x1)﹣f(x2)=﹣=,

∵x1<x2,

∴0<3<3,

∴>0,即f(x1)﹣f(x2)>0,

∴f(x1)>f(x2),

∴f(x)在R上是减函数.

(3)∵f(x)是奇函数,f(﹣2t2+t+1)+f(t2﹣2mt)≤0有解,

∴f(t2﹣2mt)≤﹣f(﹣2t2+t+1)=f(2t2﹣t﹣1),

又f(x)是减函数,

∴t2﹣2mt≥2t2﹣t﹣1在(1,2)上有解,

∴m≤=﹣++.

设g(t)=﹣++,则g′(t)=﹣﹣<0,

∴g(t)在(1,2)上单调递减,

∴g(t)<g(1)=.

∴m的取值范围是(﹣∞,].

【点评】本题考查了函数奇偶性、单调性的应用,函数最值的计算,属于中档题.16.(1)计算:;

(2)已知x+x=2,求的值.

【分析】(1)利用根式的运算性质即可得出.

(2)由,两边平方:,可得x+x﹣1=2,两边平方得:x2+x﹣2=2,两边平方得:x4+x﹣4=2,代入即可得出.

【解答】解:(1)原式=;

(2)∵,∴两边平方:,

∴x+x﹣1=2,两边平方得:x2+x﹣2=2,两边平方得:x4+x﹣4=2,

∴原式=.

【点评】本题考查了乘法公式、根式的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

17.已知函数f(x)=lg(x+1)﹣lg(1﹣x).

(Ⅰ)求函数f(x)的定义域;

(Ⅱ)判断函数f(x)的奇偶性.

【分析】(1)欲使f(x)有意义,须有,解出即可;

(2)利用函数奇偶性的定义即可作出判断;

【解答】解:(1)依题意有

解得﹣1<x<1

故函数的定义域为(﹣1,1)

(2)

∵f(﹣x)=lg(1﹣x)﹣lg(1+x)=﹣f(x)

∴f(x)为奇函数.

【点评】本题考查函数定义域的求解及函数奇偶性的判断,属基础题,定义是解决函数奇偶性的基本方法.

18.已知幂函数f(x)=在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x﹣k,

(Ⅰ)求实数m的值;

(Ⅱ)当x∈(1,2]时,记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B,若A∪B=A,求实数k的取值范围.

【分析】(Ⅰ)根据幂函数的定义和性质即可求出m的值,

(Ⅱ)先求出f(x),g(x)的值域,再根据若A∪B?A,得到关于k的不等式组,解的即可.【解答】解:(Ⅰ)依题意幂函数f(x)=得:(m﹣1)2=1,

解得m=0或m=2,

当m=2时,f(x)=x﹣2在(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去

∴m=0.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=x2,当x∈[1,2]时,f(x),g(x)单调递增,

∴A=[1,4],B=(2﹣k,4﹣k],

∵A∪B?A,

∴解得,0≤k≤1,

故实数K的取值范围为[0,1].

【点评】本题主要考查了幂函数的性质定义,以及集合的运算,属于基础题.

19.已知函数

(1)求函数f(x)的反函数f﹣1(x);

(2)试问:函数f(x)的图象上是否存在关于坐标原点对称的点,若存在,求出这些点的坐标;若不存在,说明理由;

(3)若方程的三个实数根x1、x2、x3满足:x1<x2<x3,且x3﹣x2=2(x2﹣x1),求实数a的值.

【分析】(1)用y表示出x,即可得出反函数;

(2)设出对称的两点横坐标坐标,令函数值的和为0求出点的横坐标,从而得出两点坐标;(3)判断f(x)与2的大小,求出x1、x2、x3的值,根据得x3﹣x2=2(x2﹣x1)得出a的值.

【解答】解:(1)∵∴当﹣1≤x<0时,f(x)=﹣2x,且0<f(x)≤2.

由y=﹣2x,得,互换x与y,可得.

当0≤x≤1时,f(x)=x2﹣1,且﹣1≤f(x)≤0.

由y=x2﹣1,得,互换x与y,可得.

(2)函数图象上存在两点关于原点对称.

设点A(x0,y0)(0<x0≤1)、B(﹣x0,﹣y0)是函数图象上关于原点对称的点,

则f(x0)+f(﹣x0)=0,即,

解得,且满足0<x≤1.

因此,函数图象上存在点关于原点对称.

(3)令f(x)=2,解得x=﹣,

①当时,有,原方程可化为﹣4x﹣2ax﹣4=0,

解得,令,

解得:.

②当时,,原方程可化为,化简得(a2+4)x2+4ax=0,

解得,

又,∴.

∴.

由x3﹣x2=2(x2﹣x1),得,解得a=﹣(舍)或a=.因此,所求实数.

【点评】本题考查了反函数的求解,考查函数的对称性,函数零点的计算,属于中档题.

20.如图所示,在一半径等于1千米的圆弧及直线段道路AB围成的区域内计划建一条商业街,其起点和终点均在道路AB上,街道由两条平行于对称轴l且关于l对称的两线段EF、CD,及夹在两线段EF、CD间的弧组成.若商业街在两线段EF、CD上收益为每千米2a元,在两线段EF、CD间的弧上收益为每千米a元.已知,设∠EOD=2θ,

(1)将商业街的总收益f(θ)表示为θ的函数;

(2)求商业街的总收益的最大值.

【分析】(1)①求出θ∈(0,]时f(θ)的解析式;

②求出θ∈(,)时f(θ)的解析式,

利用分段函数写出f(θ)在(0,)上的解析式;

(2)利用导数研究函数f(θ)在(0,)上的单调性并求出最大值.

【解答】解:(1)①当θ∈(0,]时,ED=2θ,EF=+cosθ;

∴f(θ)=2aθ+2a(+2cosθ);

②当θ∈(,)时,ED+FA+BC=4θ﹣,EF=2cosθ;

∴f(θ)=(4θ﹣)a+2a(4cosθ);

由①②可得,f(θ)=;

人教版高一数学必修一基本初等函数解析

基本初等函数 一.【要点精讲】 1.指数与对数运算 (1)根式的概念: ①定义:若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且,则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =,则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且, 1)当n 为奇数时,n a 的次方根记作n a ; 2)当n 为偶数时,负数a 没有n 次方根,而正数a 有两个n 次方根且互为相反数,记作 )0(>±a a n ②性质:1)a a n n =)(;2)当n 为奇数时,a a n n =; 3)当n 为偶数时,???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 。 (2).幂的有关概念 ①规定:1)∈???=n a a a a n ( N * ;2))0(10≠=a a ; n 个 3)∈=-p a a p p (1 Q ,4)m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质:1)r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ) ; 2)r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ); 3)∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q )。 (注)上述性质对r 、∈s R 均适用。 (3).对数的概念 ①定义:如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ,就是N a b =,那么数b 称以a 为底N 的 对数,记作,log b N a =其中a 称对数的底,N 称真数 1)以10为底的对数称常用对数,N 10log 记作N lg ; 2)以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数,N e log ,记作N ln ; ②基本性质: 1)真数N 为正数(负数和零无对数);2)01log =a ;

最新高中数学必修1到必修5综合试题资料

数学综合试卷 一、 选择题(共10题,每题3分,总计30分) 1、执行如图1所示的程序框图,如果输入的[2,2]t ∈-,则输出的S 属于( D ) A. [6,2]-- B. [5,1]-- C. [4,5]- D. [3,6]- 2、一台机床有 的时间加工零件A ,其余时间加工零件B ,加工A 时,停机的概率是,加工零件B 时,停机的概率为 ,则这台机床 停机的概率为( A ) A. B. C. D. 3、设集合{|32}M m m =∈-<

高一数学必修一综合测试题(含答案)

满分:120分 考试时间:90分钟 一、选择题(每题5分,共50分) 1、已知集合{}{}0,1,2,2,M N x x a a M ===∈,则集合 M N =( ) A 、{}0 B 、{}0,1 C 、{}1,2 D 、{}0,2 2、若()lg f x x =,则()3f = ( ) A 、lg 3 B 、3 C 、3 10 D 、103 3、函数2 1 )(--= x x x f 的定义域为( ) A 、[1,2)∪(2,+∞) B 、(1,+∞) C 、[1,2) D 、[1,+∞) 4.设 12 log 3a =,0.2 13b =?? ???,1 32c =,则( ). A a b c << B c b a << C c a b << D b a c << 5、若210 25x =,则10x -等于 ( ) A 、15- B 、15 C 、150 D 、 1 625 6.要使1 ()3 x g x t +=+的图象不经过第二象限,则t 的取值范围为 ( ) A. 1t ≤- B. 1t <- C.3t ≤- D. 3t ≥- 6、已知函数()2 13f x x x +=-+,那么()1f x -的表达式是 ( ) A 、259x x -+ B 、23x x -- C 、259x x +- D 、 21x x -+ 7、函数2,0 2,0 x x x y x -?????≥=< 的图像为( )

8.函数y =f (x )在R 上为增函数,且f (2m )>f (-m +9),则实数m 的取值范围是( ). A .(-∞,-3) B .(0,+∞) C .(3,+∞) D .(-∞,-3)∪(3,+∞) 9、若() 2 log 1log 20a a a a +<<,则a 的取值范围是 ( ) A 、01a << B 、1 12 a << C 、 102a << D 、1a > 10.定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)()f x f x +=-,且当x ∈[1,0]-时()12x f x ?? = ??? , 则2(log 8)f 等于 ( ) A . 3 B . 18 C . 2- D . 2 二、填空题(每题4分,共20分) 11.当a >0且a ≠1时,函数f (x )=a x -2-3必过定点 . 12.函数y =-(x -3)|x |的递减区间为________. 13 、在2 2 1,2,,y y x y x x y x ===+=四个函数中,幂函数有 个. 14、已知 ()()2 212f x x a x =+-+在(],4-∞上单调递减,则a 的取值的集合是 . 15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时, 2 ()2f x x x =-,则()y f x =在x<0时的解析式为 .

高一数学必修一集合 函数知识点归纳

高一数学必修一(集合、函数)知识点归纳 1、集合三要素(三大特性) 确定性 无异性 无序性 2、元素与集合之间的关系 属于∈与不属于? 例如:N ∈0 , *0N ?。 3、集合与集合之间的关系 包含? 真包含?≠ 例如:{}{}10范围A ,A 为B 的真子集。 4、集合的运算 交集 由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合 例如:B A 并集 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合 例如:B A 补集 设S 是一个集合,A 是 S 的一个子集,由S 中所有不属于A 的元素组成的集合 例如:S= {}1k ,y 随x 的增大而增大,y 随x 的减小而减小,也就是说函数)(x f 在定义域R 上单调递增,当0b ,图像在1,3象限,函数)(x f 在定义域()0,∞-?()+∞,0上单调递增,当0

人教版高一数学必修1测试题(含答案)

人教版数学必修I 测试题(含答案) 一、选择题 1、设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===,则()U A C B =( ) A 、{}2 B 、{}2,3 C 、{}3 D 、{}1,3 2、已知集合{}{}0,1,2,2,M N x x a a M ===∈,则集合 M N ( ) A 、{}0 B 、{}0,1 C 、{}1,2 D 、{}0,2 3、函数()21log ,4y x x =+≥的值域是 ( ) A 、[)2,+∞ B 、()3,+∞ C 、[)3,+∞ D 、(),-∞+∞ 4、关于A 到B 的一一映射,下列叙述正确的是 ( ) ① 一一映射又叫一一对应 ② A 中不同元素的像不同 ③ B 中每个元素都有原像 ④ 像的集合就是集合B A 、①② B 、①②③ C 、②③④ D 、①②③④ 5、在221 ,2,,y y x y x x y x ===+=,幂函数有 ( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 6、已知函数()213f x x x +=-+,那么()1f x -的表达式是 ( ) A 、259x x -+ B 、23x x -- C 、259x x +- D 、21x x -+ 7、若方程0x a x a --=有两个解,则a 的取值范围是 ( ) A 、()0,+∞ B 、()1,+∞ C 、()0,1 D 、? 8、若21025x =,则10x -等于 ( ) A 、15- B 、15 C 、150 D 、 1 625 9、若()2log 1log 20a a a a +<<,则a 的取值范围是 ( )

苏教版高一数学必修1综合复习试题

高一数学必修1综合复习试题 一、填空题 1.集合A ={x |-1≤x ≤2},B ={x |x <1},则A ∩(?R B )= . 2.已知函数20()10x x f x x x ?=?->?,≤,,,若1()2f a =,则实数a = . 3.方程)2(log )12(log 255-=+x x 的解集为 . 4.函数23 )(-=x x f 的定义域为 . 5.已知函数()f x 是R 上的奇函数,且当0x >时,32()2f x x x =-,则0x <时,函数()f x 的表达式为()f x = . 6.定义集合A 、B 的一种运算:1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中,若{1,2,3}A =,{1,2}B =,则A B *中的所有元素数字之和为 . 7.已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足),()2(x f x f -=+则)6(f =_________. 8.若2()2(1)2f x ax a x =+-+在(3,3)-为单调函数,则a 的取值范围是 . 9 .函数y 的单调递减区间为 . 10.函数)86lg()(2++-=a ax ax x f 的定义域为R ,则实数a 的取值范围是 . 11.若关于x 的方程a a x -+= 523)43(有负实数解,则实数a 的取值范围为 . 12.如果函数()223f x x x =-+在[]0,m 上有最大值3,最小值2,则m 的范围是 .

13.已知定义域为()(),00,-∞+∞U 的偶函数()f x 在(0)+∞,上为增函数,且(1)0f =,则 不等式()0x f x ?>的解集为 . 14.不等式012 ≥+-ax x 对所有]2,1[∈x 都成立,则实数a 的取值范围 . 二、解答题 15.设集合{}2|lg(2)A x y x x ==--,集合{}|3||B y y x ==-. ⑴ 求B A ?和A B U ; ⑵ 若{}|40C x x p =+<,C A ?,求实数p 的取值范围. 16.计算下列各式的值: (1)3212833)21() 32(??? ??--+-- ; (2) 2lg 2lg3111lg 0.36lg823 +++.

高一数学必修一综合试卷

高一数学周测卷 一、选择题 1.设全集{}1,2,3,4,5U =,集合{}1,2A =, {}2,4B =,则()U C A B ?=( ) A. {}1,3,4,5 B. {}1,4 C. {} 3,5 D .{}1,2,4 2.设函数f (x )=21,1,2,1,x x x x ?+≤? ?>??则f (f (3))=( ) A .15 B .3 C .23 D .139 3. 函数()ln(1)f x x = -的定义域为( ) A .[)2,1- B .(]2,1- C .[2,1]- D .(1,)+∞ 4.下列函数中在区间()∞+, 0上是增函数的是( ) A. 2 x y -= B.x y 1= C.x y ?? ? ??=21 D. x y 2log = 5.已知幂函数()y f x = 的图象过点1,22?? ? ??? ,则()4f 的值为( ) A . 1 4 B .2 C .4 D . 116 6. 已知()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x >时,()22x x f x -=+,则(1)f -=( ) A. 52 B. 32 C. 32- D. 52 - 7. 定义在R 上的偶函数 )(x f 满足0)()2(=--+x f x f ,若,1)1(,3)0(==f f 则=)10(f ( ) 3 .A 3 .-B 1 .C 1 .-D 8. 函数y=2x 4x 51()3 -+-的单调增区间是( ) A. []1,2 B. (),1∞-- C. (],2∞- D. [ )2,∞+ 9. 已知函数2()log 26f x x x =+-,则函数()y f x =零点所在的区间为( ) A. ()0,1 B. ()1,2 C. ()2,3 D. ()3,4 10. 已知2 1 log 3 a =,ln 2 b =,0.12 c =,则a ,b ,c 的大小关系正确的是( ) A. a c b << B. a b c << C. b a c << D. c b a << 11. 已知函数()() f x g x x = 为定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数,()20f =,且()g x 在()0,∞+上单调递增,则()0f x >的解集为( ) A. () (),22,-∞-+∞ B. ()()0,22,-?+∞ C. ()()2,00,2- D. ()(),20,2-∞- 12.若()f x 是偶函数,且对任意12,x x ∈(0,)+∞且12x x ≠,都有 ()() 2121 0-f x f x x x -<,则下列关系式中成立的是( ) A .123 ()()()234f f f >-> B .132 ()()()2 43 f f f >-> C .312()()()423 f f f >-> D .321 ()()()432 f f f ->> 二、填空题:每题5分,共25分,请将答案填写在答题卡相应位置. 13. 若指数函数())1>=a a x f x (在区间[]2,0上的最大值和最小值之和为10,则a 的值为____________. 14. 已知函数 ()log (1)2 a f x x =-+(0a >且1a ≠)恒过定点____________. 15. 已知23)12(-=+x x f 且函数)(x f y =的图象过点()4,a ,则a 的值为____________. 16. 已知函数22,(1) ()(21)36,(1) x ax x f x a x a x ?-+≤=?--+>?,若()f x 在(),-∞+∞上是增函数,则实数a 的取值范围是 ____________. 三、解答题:每题10分,共5题,要求写出必要的解题过程. 17.计算: (1 )(10 31 2 4 1281233--???? ++-- ? ????? (2 )()2 ln4 lg25lg2lg50lg2e +++?+ .

高一数学必修1第一章集合测试题及答案

高中数学必修一——集合 一、填空题 1.集合{1,2,3}的真子集共有______________。 (A )5个 (B )6个 (C )7个 (D )8个 2.已知集合A={022≥-x x } B={0342≤+-x x x }则A B ?=______________。 3.已知A={1,2,a 2-3a-1},B={1,3},A =?B {3,1}则a =______________。 (A )-4或1 (B )-1或4 (C )-1 (D )4 4.设U={0,1,2,3,4},A ={0,1,2,3},B={2,3,4},则(C U A )?(C U B )=_____________。 5.设S 、T 是两个非空集合,且S ?T ,T ?S ,令X=S ,T ?那么S ?X=____________。 6.设A={x 0152=+-∈px x Z },B={x 052=+-∈q x x Z },若A ?B={2,3,5},A 、B 分别为____________。 7.设一元二次方程ax 2+bx+c=0(a<0)的根的判别式042 =-=?ac b ,则不等式ax 2+bx+c ≥0的解集为____________。 8.若M={Z n x n x ∈=,2 },N={∈+=n x n x ,21Z},则M ?N=________________。 9.已知U=N ,A={0302>--x x x },则C U A 等于_______________。 10.二次函数132 +++-=m mx x y 的图像与x 轴没有交点,则m 的取值范围是_______________。 11.不等式652+-x x 0对一切x ∈R

2020年人教版高中数学必修一全套精品教案(完整版)

2020年人教版高中数学必修一全套精品教 案(完整版) 第一章集合与函数 §1.1.1集合的含义与表示 一. 教学目标: l.知识与技能 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系; (2)知道常用数集及其专用记号; (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性; (4)会用集合语言表示有关数学对象; (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程,感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性,增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点

重点:集合的含义与表示方法. 难点:表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具 1. 学法:学生通过阅读教材,自主学习.思考.交流.讨论和概括,从而更好地完成本节课的教学目标. 2. 教学用具:投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景,揭示课题 1.教师首先提出问题:在初中,我们已经接触过一些集合,你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时,教师对学生的活动给予评价. 2.接着教师指出:那么,集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. (二)研探新知 1.教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例: (1)1—20以内的所有质数; (2)我国古代的四大发明; (3)所有的安理会常任理事国; (4)所有的正方形;

(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥; (6)到一个角的两边距离相等的所有的点; (7)方程2560 -+=的所有实数根; x x (8)不等式30 x->的所有解; (9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体. 2.教师组织学生分组讨论:这9个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果,在此基础上,师生共同概括出9个实例的特征,并给出集合的含义. 一般地,指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的 每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出:集合常用大写字母A,B,C,D,…表示,元素常 用小写字母,,, a b c d…表示. (三)质疑答辩,排难解惑,发展思维 1.教师引导学生阅读教材中的相关内容,思考:集合中元素有 什么特点?并注意个别辅导,解答学生疑难.使学生明确集合元素的 三大特性,即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是 一样的,我们就称这两个集合相等. 2.教师组织引导学生思考以下问题: 判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: (1)大于3小于11的偶数;

高一数学必修1综合测试题

高一数学必修1综合测试题 1.集合{|1,}A y y x x R ==+∈,{|2,},x B y y x R ==∈则A B 为( ) A .{(0,1),(1,2)} B .{0,1} C .{1,2} D .(0,)+∞ 2.已知集合{ } 1| 1242 x N x x +=∈<???是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是 ( ) A (0,1) B 1(0,)3 C 11 [,)73 D 1 [,1)7 8.设1a >,函数 ()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为 12 ,则a =( ) A . B .2 C . D .4 9. 函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是( ) 10.定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)()f x f x +=-,且当x ∈[1,0]-时()12x f x ?? = ??? ,

人教版高一数学必修一-第一章练习题与答案

集合与函数基础测试 一、选择题(共12小题,每题5分,四个选项中只有一个符合要求) 1.函数y ==x 2-6x +10在区间(2,4)上是( ) A .递减函数 B .递增函数 C .先递减再递增 D .选递增再递减. 2.方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是 ( ) A .)}1,1{( B .}1,1{ C .(1,1) D .}1{ 3.已知集合A ={a ,b ,c },下列可以作为集合A 的子集的是 ( ) A. a B. {a ,c } C. {a ,e } D.{a ,b ,c ,d } 4.下列图形中,表示N M ?的是 ( ) 5.下列表述正确的是 ( ) A.}0{=? B. }0{?? C. }0{?? D. }0{∈? 6、设集合A ={x|x 参加自由泳的运动员},B ={x|x 参加蛙泳的运动员},对于“既参 加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( ) A.A∩B B.A ?B C.A ∪B D.A ?B 7.集合A={x Z k k x ∈=,2} ,B={Z k k x x ∈+=,12} ,C={Z k k x x ∈+=,14}又,,B b A a ∈∈则有( ) A.(a+b )∈ A B. (a+b) ∈B C.(a+b) ∈ C D. (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个 8.函数f (x )=-x 2+2(a -1)x +2在(-∞,4)上是增函数,则a 的范围是( ) A .a ≥5 B .a ≥3 C .a ≤3 D .a ≤-5 9.满足条件{1,2,3}?≠M ?≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是 ( ) A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 10.全集U = {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 }, A= {3 ,4 ,5 }, B= {1 ,3 ,6 },那么集合 { 2 ,7 ,8}是 ( ) A. A B B. B A C. B C A C U U D. B C A C U U 11.下列函数中为偶函数的是( ) A .x y = B .x y = C .2x y = D .13+=x y 12. 如果集合A={x |ax 2+2x +1=0}中只有一个元素,则a 的值是 ( ) A .0 B .0 或1 C .1 D .不能确定 二、填空题(共4小题,每题4分,把答案填在题中横线上) 13.函数f (x )=2×2-3|x |的单调减区间是___________. 14.函数y =1 1+x 的单调区间为___________. 15.含有三个实数的集合既可表示成}1,,{a b a ,又可表示成}0,,{2b a a +,则=+20042003b a . 16.已知集合}33|{≤≤-=x x U ,}11|{<<-=x x M ,}20|{<<=x x N C U 那么集合 M N A M N B N M C M N D

高一数学必修一综合

老梁试卷高一数学必修一综合 一.选择题(共10小题,满分50分,每小题5分) 1.(5.00分)已知集合A={x|x2<16},B={x|4﹣2x>0},则A∩B=() A.(﹣4,2) B.(﹣4,4) C.(﹣2,2) D.(﹣2,4) 2.(5.00分)函数f(x)=ln||的大致图象是() A.B.C.D. 3.(5.00分)已知函数是奇函数,则f(a)的值等于() A.B.3 C.或3 D.或3 4.(5.00分)已知奇函数f(x),当x>0时单调递增,且f(1)=0,若f(x﹣1)>0,则x的取值范围为() A.{x|0<x<1或x>2}B.{x|x<0或x>2} C.{x|x<0或x>3}D.{x|x<﹣1或x>1} 5.(5.00分)已知函数f(x)=log a x(0<a<1)的导函数为f'(x),记A=f'(a),B=f(a+1)﹣f (a),C=f'(a+1),则() A.A>B>C B.A>C>B C.B>A>C D.C>B>A 6.(5.00分)已知函数,若x,y满足,则的取值范围是() A.B.C.(﹣1,1) D.[﹣1,1] 7.(5.00分)已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m﹣1)x n的图象上,设 ,则a,b,c的大小关系为() A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.b<a<c 8.(5.00分)已知函数f(x)=,g(x)=e x(e是自然对数的底数),若关于x的方程g(f(x))﹣m=0恰有两个不等实根x1、x2,且x1<x2,则x2﹣x1的最小值为()

A.(1﹣ln2)B.+ln2 C.1﹣ln2 D.(1+ln2) 9.(5.00分)某公司拟投资开发新产品,估计能获得10万元至100万元的投资收益,为激发开发者的潜能,公司制定产品研制的奖励方案:奖金y(万元)随投资收益x(万元)的增加而增加,同时奖金不超过投资收益的20%,奖金封顶9万元,若采用以下函数模型拟合公司奖励方案,则较适合的函数是() A.y=+2 B.y= C.y=+D.y=4lgx﹣3 10.(5.00分)在下列图象中,二次函数y=ax2+bx+c与函数y=()x的图象可能是() A.B.C.D. 二.填空题(共4小题) 11.已知log2x=log3y=log5z<0,则、、由小到大排序为. 12.已知函数(a>0,且a≠1),若f(﹣3)<f(4),则不等式f(x2﹣3x)<f(4)的解集为. 13.函数f(x)=,关于x的方程f(x)=kx﹣k至少有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围为. 14.已知λ∈R,函数f(x)=,当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是. 三.解答题(共6小题) 15.已知定义域为R的函数f(x)=﹣+是奇函数 (1)求a的值; (2)判断函数f(x)的单调性并证明; (3)若对于任意的t∈(1,2),不等式f(﹣2t2+t+1)+f(t2﹣2mt)≤0有解,求m的取值范围.

高一数学必修1(人教版)基本知识点回顾

高一数学必修1(人教版A)基本知识点回顾 一、集合 1.集合的概念描述:集合的元素具有______性、______性和______性.如果a是集合A的元素,记作________. 2.常用数集的符号:自然数集______;正整数集______;整数集______;有理数集______;实数集______. 3.表示集合有两种方法:______法和______法.______法就是把集合的所有元素一一列举出来,并用_____号“_____”起来;______法是用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,具体的方法是:在______号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条______,在此后面写出这个集合中元素所具有的_____性质.4.集合间的关系:A?B?对任意的x∈A有______,此时我们称A是B的______;如果_______,且_______,则称A是B的真子集,记作______;如果______ ,且______,则称集合A与集合B相等,记作_______;空集是指____________的集合,记作_____.5.集合的基本运算:集合{ x | x∈A且x∈B }叫做A与B的______ ,记作_______;集合{ x | x∈A或x∈B }叫做A与B的______,记作_______;集合{ x | x?A且x∈U }叫做A 的_____ ,记作____;其中集合U称为_____.6.性质:①A ?A,??A; ②若A ?B,B ?C,则A ?C; ③A∩A=A∪A=A; ④ A∩B=B∩A,A∪B=B∪A; ⑤A∩?=?;A∪?=A; ⑥A∩B=A?A∪B=B ?A ?B; ⑦A∩C U A=?;A∪C U A=U; ⑧C U (C U A)=A;⑨C U (A∪B)=C U A∩C U B. 7.集合的图示法:用韦恩图分析集合的关系、运算比较直观,对区间的交并、补、可用于画数轴分析的方法. 8.补充常用结论:①若集合A中有n (n∈N)个元素,则集合A的所有不同的子集个数为2n(包括A与?);②对于任意两个有限集合,其并集中的元素个数可用“容斥原理”计算: card(A∪B)=card A + card B - card(A∩B) 9.易错点提醒:①注意不要用错符号“∈”与“?”;②当A ?B时,不要忘了A =?的情况讨论; 二、函数及其表示法 1.函数的定义:设A,B是非空数集,如果按照某种确定的_________ f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有____________的数f ( x ) 和它对应,则称f为从集合A到集合B的函数,记作_________.函数的三要素是指函数的_____________、_____________和______________. 2.函数的表示法:_____________法、____________法和____________法. 3.解有关函数定义域、值域的问题,关键是把握自变量与函数值之间的对应关系,函数图象是把握这种对应关系的重要工具.当只给出函数的解析式时,我们约定函数的定义域是使函数解析式_____________的全体实数. 4.求函数解析式的常用方法:①待定系数法,②换元法,③赋值法(特殊值法),等(试各举一例). 5.函数图象的变换:根据函数图象的变换规律,可以由基本初等函数的图象为基础画出更多更复杂的函数图象,以便利用函

2019级高一数学必修一综合1(试卷)

2019级高一数学必修一综合1 一、选择题(本大题共12小题,共60.0分) 1.已知幂函数的图象与轴无公共点,则的值的取值范围是 A. B. C. D. 2.函数是指数函数,则a的值为( ) A. B. 1 C. D. 1或 3.已知集合A={x|y=},B=,则A∩B=() A. [-2,-1] B. [-1,2) C. [-1,1] D. [1,2) 4.已知a=log2,b=5-3,c=2,则a,b,c的大小关系为() A. a<b<c B. a<c<b C. c<b<a D. c<a<b 5.已知函数g(x)=f(x)+x,若g(x)有且仅有一个零点,则a 的取值范围是() A. (-∞,-1) B. [-1,+∞) C. (-∞,0) D. [0,+∞) 6.已知函数f(x)=,方程f(x)=k恰有两个解,则实数k的取值范 围是() A. (,1) B. [,1) C. [,1] D. (0,1) 7.已知f(x)=,则方程f(f(x))=1的实数根的个数是() A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8.在下列区间中,函数的零点所在的区间为() A. B. C. D.

9.已知f(x)=满足对任意x1≠x2,都有<0成立,那么 a的取值范围是() A. (0,] B. [,1) C. [,] D. [,1) 10.已知函数若均不相等,且,则的 取值范围是 A. (0,9) B. (2,9) C. (2,11) D. (9,11) 11.已知函数,若,则的取值范围是() A. B. C. D. 12.已知函数是定义在上的偶函数,当时, ,则函数的零点个数() A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题,共20.0分) 13.计算= ______ . 14.函数的单调递减区间为______________. 15.已知函数的定义域为,对任意,有,且, 则不等式的解集为__________. 16.函数的值域为________________. 三、解答题(本大题共5小题,共60.0分) 17.设集合,. (Ⅰ)若,求实数的值; (Ⅱ)若,求实数组成的集合.

人教版高一数学必修一知识点总结

高一数学知识总结 必修一 一、集合 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性如:世界上最高的山 (2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合 {H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一 个集合 3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太 平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球 队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1)列举法:{a,b,c……} 2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4)Venn图: 4、集合的分类: (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}

二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意:B A?有两种可能(1)A是B的一部分,;(2) A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A?B那就说集合A是集合B的 真子集,记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集 二、函数 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数y=a^x a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b属于Q) (a^a)^b=a^ab(a>0,a、b属于Q) (ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b属于Q)

人教版高一数学必修一教案

高一数学必修一教案(北师大版) 第一章集合 §1集合的含义与表示 学习目标: 1、了解集合的含义,体会元素与集合的关系。能选择恰当的方法表示一些简单的集合。 2、了解集合元素的性质,掌握常用数集及其专用符号。 教学过程: 一、板书课题,揭示目标 师:同学们,今天我们来学习集合的含义与表示。 请看本节的学习目标:(投影) 二、自学指导: 师:同学们,如何完成本节的学习目标呢?主要依靠大家的自学,请认真看自学指导。(投影) 自学指导: 请认真看课本P3-P5的内容,弄清以下几个问题: 1、集合的概念. 2、集合元素的性质. 3、元素与集合的关系. 4、常用数集的专用符号. 5、集合的表示方法. 6、集合的分类. 8分钟后检测,比谁能做对与例题类似的习题。 三、学生自学 教师督促,使每一位学生紧张自学,注意学生看书速度。 四、检测 1、检测题 ○1请举出两个集合的例子 ○2所有的高个子能否表示为集合? ○3A={2,2,4}表示是否准确? ○4做练习题P5,1、2、3 2、指名学生板演,其他学生认真做在练习本上。

五、更正讨论 1、更正 请同学们认真看板演的内容,能够发现问题并能更正的同学请举手。(指名更正) 2、讨论 先看第①题,举的例子正确吗?为什么?引导学生总结集合的定义 ②题,回答的正确吗?为什么?引导学生归纳集合的特征:确定性 ③题,回答的正确吗?为什么?引导学生归纳集合的特征:互异性 【集合的元素的基本性质】 (1)确定性:集合的元素必须是确定的.不能确定的对象不能构成集合. (2)互异性:集合的元素一定是互异的.相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素. (3) 无序性:集合中的元素没有顺序。 ④题第一题,这道题都是运用了课本中的哪个知识点?引导学生回答:运用的是常用数集的相关知识。 再看第二题,运用的方法恰当、正确吗?为什么?并规范集合的表示。 第三题,结果正确吗?为什么?纠正学生对空集的认识。 3、学生归纳总结,识记概念。 六、当堂训练 师:请同学们运用本节所学内容独立完成作业。 作业:P6 T2、3 §2集合的基本关系 学习目标: 1、理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 2 、掌握并能使用Venn图表达集合关系,加强学生从具体到抽象的思维能力。 教学过程: 一、板书课题,揭示目标 师:同学们,今天我们来学习集合的基本关系。 请看本节的学习目标:(投影)

高一数学必修1综合测试题(4)

高一数学必修1综合测试题(四) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.若{{} |0,|12A x x B x x =<<=≤<,则A B ?=( ) A {}|0x x ≤ B {}|2x x ≥ C {0x ≤≤ D {}|02x x << 2、下面各组函数中为相同函数的是( ) A .x x g x x f ==)(,)(2 B .x x g x x f ==)(,)(33 C .2 2 )(,)()(x x g x x f == D .x x g x x x f ==)(,)(2 3.若a<1 2 ,则化简4(2a -1)2的结果是 ( ) A.2a -1 B .-2a -1 C.1-2a D .-1-2a 4 设()833-+=x x f x ,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在内近似解的过程中得 ()()(),025.1,05.1,01<> B 、328.08.0< C 、2 2π π< D 、3.03 .09.07 .1> 7、若集合A={y|y=log 2x ,x>2},B={y|y=( 2 1)x ,x>1},则A ∩B=( )

A 、{y|0θθ则θ在 ( ) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第一、四象限 D.第二、四象限 10. 已知f(x)=|lgx|,则11()()(2)43 f f f 、、的大小关系是 ( ) A . )41()31()2(f f f >> B . )2()31 ()41(f f f >> C . )3 1 ()41()2(f f f >> D . )2()4 1 ()31(f f f >> 第Ⅱ卷(非选择题 共100分) 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 11. 幂函数()f x 的图象过点,则()f x 的解析式是 __ . 12、24,2 (),(2)2,2x x f x f x x ?-≤==?>? 已知函数则 ;若00()8,f x x ==则 。 13. 函数3log (31)x y =+的值域为________________________. 14 = .其中)2 3,(π πθ∈ 三、解答题(共80分) 15、计算(每小题4分,共12分):(1)2lg 225lg 5.01.12 ++-- (2) log 2(46×25)+lg 1001+2log 510+log 50.25(3)sin π625+cos π323+tan(-π4 21 ) 16、(共12分) 某商品进货单价为40元,若销售价为50元,可卖出50个,如果销售单价每涨1元,销售量就减少1个,为了获得最大利润,则此商品的最佳售价应为多少? 17、计算(共14分):(1) 求值2 2 sin 120cos180tan 45cos (330)sin(210)?+?+?--?+-? (6分) (2) 已知3tan = α,α在第三象限,求sin cos αα-的值. (8分) 18、 (共14分) 函数2 ()21f x x ax a =-++-在区间[]0,1上有最大值2,求实数a 的值 19、(共14分)设函数2 211)(x x x f -+=. ○1 求它的定义域(3分);○2 求证:)()1 (x f x f -=

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