2013考研数学强化阶段重要题型攻略之高等数学(十六)

钻石卡辅导：2012考研数学强化阶段重要题型攻略之高等数学（十六）

万学海文

在历届考研试题中，含有变限积分与原函数的综合题是比较多的，它的基础知识是需要掌握的，万学海文数学钻石卡考研辅导专家们在此给出相关做题方法，便于2012年考研的考生复习。下面，我们接着来看一下“求幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域”。求幂级数的收敛域，一般先求出收敛半径及收敛区间，再考虑区间端点处的敛散性，此时转化为数项级数敛散性的判别．对于求幂级数的收敛半径及收敛区间，通常有以下两种情形．

【方法一】如果幂级数为标准形n n n x a ∑∞

=0

，则可直接利用公式，由||lim 1

n

n n a

a

+∞→=ρ，得收敛半径为ρ

1

=

R ，收敛区间为),(R R -．

【方法二】如果幂级数为缺项幂级数，如12120

220

,++∞

=∞

=∑∑n n n n

n n x a x a ，则不能直接利用公式．这时可将幂级数看做一般的函数项级数

)(1

x u n n ∑∞

=，由比值判别法，先求|)

()(|

lim )(1x u x u x n n n +∞

→=ρ，再令1)(

径．

求得收敛区间),(b a 后，再考察数项级数)(1

a u n n ∑∞=与)(1

b u n n ∑∞

=的敛散性，即可得到收敛域，需注意的是：

（1）一般不能用比值法或根值法判定级数)(1

a u n n ∑∞=与)(1

b u n n ∑∞

=的敛散性．

（2）幂级数经过有限次的逐项求导或逐项积分，不改变其收敛半径与收敛区间，但在收敛区间端点的敛散性可能会改变． 【例1】下面有四个命题：

①若n

n n x a ∑∞

=0

的收敛域为],[R R -，则幂级数10

-∞

=∑n n n x na 的收敛域为],[R R -．

②设幂级数n n n x a ∑∞

=0

在2-=x 处条件收敛，则它的收敛半径2=R ．

③设幂级数n

n

n n

n n x

b

x

a ∑∑∞=∞=0

,

的收敛半径分别为21,R R ，则n n n n x b a )(0

+∑∞

=的收敛半径为},min{

21R R R =．

④设0>n

a ，且满足

),3,2,1(11

=<+n a a n n ，则n n a ∑∞

=0

收敛．

这些命题中正确的个数是（ ）． A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解 关于命题①，取n

n x

x a n

n n

n n ∑

∑∞

=∞

==

1

，其收敛域为[－1，1]，但11

-∞

=∑n n n x na 的收敛域为[－1，1），所以①不正确．

关于命题②，设幂级数n

n n x a ∑∞

=0

的收敛半径为R ．若2>R ，由于对满足R x <||的任意x ，级数n

n n x a ∑∞=0

绝对收敛，从而推出n n n a )2(0

-∑∞

=绝

对收敛，这与已知矛盾；若2||的任意x ，级数n

n n x a ∑∞=0

发散，从而推出n n n a )2(0

-∑∞

=发散，也与已知矛盾．因此2=R ，

②正确．

关于命题③，当21R R ≠时，},min{

21R R R =，于是要考察2

1R R =的情形．设有两个级数n

n n

n

n x

n

x n

)1(,

)2

11(

1

1

-+

∑

∑∞

=∞

=，易求得它们的收敛半

径为12

1==R R ，但

]1)2

1

1[(1

n

n

n

n x n

x n -+

+∑∞

=n

n

n x

2

1

1

∑∞

==

的收敛半径为2=R ，因此③不正确．

关于命题④，这里要注意，对于正项级数n n a ∑

∞

=0

，若极限n

n n a

a 1

lim +∞→存在，且1lim 1<+∞→n n n a a ，则级数n n a ∑∞

=0

收敛．但11<+n n a

a 与1lim 1<+∞→n

n n a a

有

本质区别，由11<+n n a a 可能得1lim 1=+∞→n n n a a ，这时比值判别法失效．例如：取n a n 1=，则111<+=+n n

a a n n ，但n n a ∑∞

=0

发散，因此命题④不正确．

综上所述，可知应选B ．

【例2】设幂级数n

n n x a )1(0

+∑∞

=的收敛域为（－4，2），则幂级数n n n x na )3(0

-∑∞

=的收敛区间为______．

解 设1+=x t ，则由题设知幂级数

n

n

n t

a

∑∞=0

的收敛半径为3．由幂级数的性质，级数1

1

-∞

=∑n n n t

na 的收敛半径也是3，显然，幂级数n

n n t na ∑∞

=0

有相同的收敛半径3．

由|3|3x -<，可得幂级数n n n x na )3(0

-∑∞

=的收敛区间为（0，6）．

【例3】级数2

33

1

)

ln(8)1(-∞

=+-∑

n n

n n x n n n 的收敛域为______． 解 |,

|8)]1()1ln[()1(8)1()ln(8

)

1(lim

)

()(lim

3

2

331

331

1

1x x n n n x

n n n x u x u n n n n n n n n n n =?++++-?+?-=-?+++∞

→+∞

→

故当2

12

1<

<-

x 时，原级数绝对收敛．

又当2

1=

x 时，有

,)

(14

)1()

ln(8

)1(3

1

2

33

1

n n

n n x

n n

n n

n n n n n +?-=

+-∑∑∞

=-∞

=

此级数满足交错级数收敛的条件，故原级数在2

1=

x 处条件收敛．

当2

1-

=x 时，原级数化为∑

∞

=+1

3

)

ln(4n n n n ，此级数是发散的，故该级数的收敛域为]2

1

,21(-

． 【例4】幂级数n

n x n

n +-∑

∞

=21

)

2(的收敛域为______． 解 由于 1|)1()1(|lim ||lim 22

1=++++==∞→+∞→n n n

n a a n n

n n ρ，

所以收敛半径为11

==

ρ

R ，从而幂级数n

n x n

n +-∑

∞

=21

)2(的收敛区间满足1|2|<-x ，即为（1，3）．

当1=x 时级数n

n n n +-∑

∞

=21

)

1(收敛．当3=x 时级数n

n

n +∑

∞

=2

1

1也收敛，故题中幂级数的收敛域为[1，3]．

高等数学考研知识点总结

高等数学考研知识点总结 一、考试要求 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会建立应用问题的函数关系。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 5、理解（了解）极限的概念，理解（了解）函数左、右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。 6、掌握（了解）极限的性质，掌握四则运算法则。 7、掌握（了解）极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握（会）利用两个重要极限求极限的方法。 8、理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。1

1、掌握（会）用洛必达法则求未定式极限的方法。 二、内容提要 1、函数（1）函数的概念: y=f(x)，重点：要求会建立函数关系、（2）复合函数: y=f(u), u=，重点：确定复合关系并会求复合函数的定义域、（3）分段函数: 注意，为分段函数、（4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。（5）函数的特性：单调性、有界性、奇偶性和周期性* 注： 1、可导奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函数。特别：若为偶函数且存在，则 2、若为偶函数，则为奇函数；若为奇函数，则为偶函数； 3、可导周期函数的导函数为周期函数。特别：设以为周期且存在，则。 4、若f(x+T)=f(x), 且，则仍为以T为周期的周期函数、 5、设是以为周期的连续函数，则， 6、若为奇函数，则；若为偶函数，则 7、设在内连续且存在，则在内有界。 2、极限 (1) 数列的极限： (2) 函数在一点的极限的定义： (3)

2020考研数学复习：高数常见题型分析

2020考研数学复习：高数常见题型分析 2020考研数学复习：高数常见题型分析 1、求极限 无论数学一、数学二还是数学三，求极限是高等数学的基本要求，所以也是每年必考的内容。 区别在于有时以4分小题形式出现，题目简单;有时以大题出现，需要使用的方法综合性强。比如大题可能需要用到等价无穷小代换、泰勒展开式、洛比达法则、分离因式、重要极限等几种方法，有时 需要选择多种方法综合完成题目。另外，分段函数在个别点处的导数，函数图形的渐近线，以极限形式定义的函数的连续性、可导性 的研究等也需要使用极限手段达到目的，须引起注意! 2、利用中值定理证明等式或不等式 利用中值定理证明等式或不等式，利用函数单调性证明不等式证明题虽不能说每年一定考，但也基本上十年有九年都会涉及。 等式的证明包括使用4个常见的微分中值定理(即罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理)，1个定积分中 值定理;不等式的证明有时既可使用中值定理，也可使用函数单调性。这里泰勒中值定理的使用时的一个难点，但考查的概率不大。 3、求导 一元函数求导数，多元函数求偏导数求导数问题主要考查基本公式及运算能力，当然也包括对函数关系的处理能力。 一元函数求导可能会以参数方程求导、变限积分求导或应用问题中涉及求导，甚或高阶导数;多元函数(主要为二元函数)的偏导数基 本上每年都会考查，给出的函数可能是较为复杂的显函数，也可能 是隐函数(包括方程组确定的隐函数)。另外，二元函数的极值与条

件极值与实际问题联系极其紧密，是一个考查重点。极值的充分条件、必要条件均涉及二元函数的偏导数。 4、级数 级数问题常数项级数(特别是正项级数、交错级数)敛散性的判别，条件收敛与绝对收敛的本质含义均是考查的重点，但常常以小题形 式出现。 函数项级数(幂级数，对数一的考生来说还有傅里叶级数，但考 查的频率不高)的收敛半径、收敛区间、收敛域、和函数等及函数在 一点的幂级数展开在考试中常占有较高的分值。 4、积分的计算 积分的计算包括不定积分、定积分、反常积分的计算，以及二重积分的计算，对数一考生来说常主要是三重积分、曲线积分、曲面 积分的计算。 这是以考查运算能力与处理问题的技巧能力为主，以对公式的熟悉及空间想象能力的考查为辅的。需要注意在复习中对一些问题的 灵活处理，例如定积分几何意义的使用，重心、形心公式的使用， 对称性的使用等。 6、微分方程解常微分方程 微分方程解常微分方程方法固定，无论是一阶线性方程、可分离变量方程、齐次方程还是高阶常系数齐次与非齐次方程，只要记住 常用形式，注意运算准确性，在考场上正确运算都没有问题。 但这里需要注意：研究生考试对微分方程的考查常有一种反向方式，即平常给出方程求通解或特解，现在给出通解或特解求方程。 这需要大家对方程与其通解、特解之间的关系熟练掌握。

考研数学高等数学强化习题-不定积分

模块五 不定积分 Ⅰ经典习题 一．原函数与不定积分 1、设,0(),0x e x f x x x ?≥=?

（7）() 7 7 11x dx x x -+? （8）226114(1)-+-?x x dx x x （9） ()() 2 2 1 21---?dx x x x （10）()() 322 2 412+++++? x x x dx x x x （11）241x dx x -? （12）() 23 1 1x dx x x +-? （13）33156x dx x x ++-? （14）421 dx x x ++? 三．可化为有理函数的积分 1．三角有理式 （ 6、计算下列不定积分 （1） ()1sin sin 1cos ++?x dx x x （2）3sin cos ?dx x x （3）3sin 2cos +? x dx x （4）211cos +?dx x （5）sin 1sin +?x dx x （6）22221 sin cos +?dx a x b x （7） () ()2 1 0sin cos ≠+?dx ab a x b x （8）()1 2cos sin dx x x +? （9）64tan cos sin ?x x dx x （10）41 sin ?dx x 2．指数有理式的积分 7、计算下列不定积分 . （1）311++?x x e dx e （2）21 1+?x dx e （3）1 x x dx e e --? （4）() 211x dx e +?

考研数学知识点总结

考研数学考点与题型归类分析总结 1高数部分 1.1高数第一章《函数、极限、连续》 求极限题最常用的解题方向： 1.利用等价无穷小； 2.利用洛必达法则 型和 ∞ ∞ 型直接用洛必达法则 ∞ 0、0∞、∞1型先转化为 型或 ∞ ∞ 型，再使用洛比达法则； 3.利用重要极限，包括1 sin lim = → x x x 、e x x x = + → 1 ) 1( lim、e x x x = + ∞ → ) 1(1 lim； 4.夹逼定理。 1.2高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》 第三章《不定积分》提醒：不定积分?+ =C x F dx x f) ( ) (中的积分常数C容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C会失一分。所以可以这样加深印象：定积分?dx x f) (的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是?+ =C x F dx x f) ( ) (中的那个C,漏掉了C也就漏掉了这1分。 第四章《定积分及广义积分》解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章： 对于?-a a dx x f) (型定积分，若f(x)是奇函数则有?-a a dx x f) (=0； 若f(x)为偶函数则有?-a a dx x f) (=2?a dx x f ) (； 对于?20)( π dx x f型积分，f(x)一般含三角函数，此时用x t- = 2 π 的代换是常用方法。 所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u和利用性质0 = ?-a a奇函数、? ?= - a a a0 2偶函数 偶函数。在处理完积分上下限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。 1.3高数第五章《中值定理的证明技巧》 用以下逻辑公式来作模型：假如有逻辑推导公式A?E、(A B)?C、(C D E)?F,由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易程度不等的证明题，其中一个可以是这样的：条件给出A、B、D，求证F。 为了证明F成立可以从条件、结论两个方向入手，我们把从条件入手证明称之为正方向，把从结论入手证明称之为反方向。 正方向入手时可能遇到的问题有以下几类：1.已知的逻辑推导公式太多，难以从中找出有用的一个。如对于证明F成立必备逻辑公式中的A?E就可能有A?H、A?(I K)、(A B) ?M等等公式同时存在，

跨考教育考研数学高数第一章常考题型分析七

考研数学高数第一章常考题型七：函数的连续性 69.【01—3 3分】设函数()()0 x g x f u du =?， 其中()()()211,01211,123x x f x x x ?+≤≤??=??-≤≤??，则()g x 在区间()0,2内（ ） ()A 无界 ()B 递减 ()C 不连续 ()D 连续 70.【06—2 4分】设函数23 01sin 0(),0x t dt x f x x a x ?≠?=??=?? 在0x =处连续，则a = 71.【08—3 4分】设函数21,()2,x x c f x x c x ?+≤?=?>?? 在(,)-∞+∞内连续，则c = . 72. 【03—3 4分】 设,0,0, 0,1cos )(=≠?????=x x x x x f 若若λ 其导函数在0x =处连续，则λ的取值范围是________。 73.【04—2 4分】设2(1)()lim 1 n n x f x nx →∞-=+， 则()f x 的间断点为x = 74.【03—3 10分】设).1,2 1[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ试补充定义(1)f 使得()f x 在]1,21[上连续. 【小结】： 考查函数的连续性本质上也就是考查求极限。函数()f x 在x a =处连续当且仅当li m ()()x a f x f a →=；由于lim ()x a f x →存在当且仅当(0),(0)f a f a -+存在且相等，因此该等式又可以等价地表述为(0)(0)()f a f a f a -=+=。 参考答案 69.【01—3 3分】()D

2018考研数学一：高数5大必考点重点分析

2018考研数学一：高数5大必考点重点 分析 考研数学分为数学一、数学二、数学三，这三者的考察也各有差别，2018考生要根据自己所选专业需考的类别来规划复习，下面凯程考研重点来谈谈考研数学一高数的考察点，涉及极限、导数和微分、中值定理及微分方程几个部分。 ?极限 首先是极限。极限在数一中还是占着很大的比重，考试的只要考查方式就是求极限，还有就是一些单调有界定理的使用。我们要充分掌握求不定式极限的种种方法，比如利用极限的四则运算、利用洛必达法则等等，另外两个重要的极限也是重点内容;其次就是极限的应用，主要表现为连续，导数等等，对函数的连续性和可导性的探讨也是考试的重点，这要求我们直接从定义切入，充分理解函数连续的定义和掌握判定连续性的方法。 ?导数和微分 虽然导数是由极限定义的，然而真正在考试的过程中，我们求一个函数的导数时，我们并不会直接用定义去求，更多的是直接从求导公式中去求一个函数的导数。导数的考查方式主要还是和其它的知识点相结合，很少直接给你一个函数让你求导数。例如不等式的证明，函数单调性，凹凸性的判断，二元函数的偏微分等等。换句话说，导数是一个基础。 ?中值定理 中值定理一般会两年至少考一次，多是以证明题的方式出现，而且常常和闭区间上的连续函数的性子相结合，以与罗尔定理为重点。 ?积分与不定积分 积分与不定积分是考试的重中之重，尤其是多元函数积分学更是每年的必考题型，平均一年会出两道大题，而且定积分、分段函数的积分、带绝对值的函数的积分等种种积分的求法都是重要的题型。而且求积分的过程中，特别要留意积分的对称性，利用分段积分去掉绝对值把积分求出来。二重积分的计算，固然数学一里面还包括了三重积分，这里面每年都要考一个题目。另外曲线和曲面积分，这也是必考的重点内容。对于曲线积分和曲面积分，考查方式以格林公式和高斯公式的应用为主，大家一定要注意格林公式和高斯公式的使用条件，考试的过程中往往会在这里设置陷阱。这两部分内容相对比较零散，也是难点，需要记忆的公式、定理比较多。 ?微分方程 微分方程中需要熟练掌握变量可分散的方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解

研究考研数学典型例题

研究考研数学典型例题 数学科目重视做题和理论应用，尤其是典型的题型，大家要研究好，且要灵活的运用，下面查字典数学网小编分享关于研究和用好典型例题的事儿，请小伙伴们注意啦。 一、面对一道典型例题，在做这道题以前你必须考虑，它该从哪个角度切入，为什么要从这个角度切入。 做题的过程中，必须考虑为什么要用这几个原理，而不用那几个原理，为什么要这样对这个式子进行化简，而不那样化简。做完之后，必须要回过头看一下，这个解题方法适合这个题的关键是什么，为什么偏偏这个方法在这道题上出现了最好的效果，有没有更好的解法……就这样从开始到最后，每一步都进行全方位的思考，那么这道题的价值就会得到充分的发掘。 二、学习数学，重在做题，熟能生巧。 对于数学的基本概念、公式、结论等也只有在反复练习中才能真正理解与巩固。数学试题虽然千变万化，其知识结构却基本相同，题型也相对固定，往往存在一定的解题套路，熟练掌握后既能提高正确率，又能提高解题速度。此外，还要初步进行解答综合题的训练。数学考研题的重要特征之一就是综合性强、知识覆盖面广，近几年来较为新颖的综合题愈来愈多。这类试题一般比较灵活，难度也要大一些，应逐步进行训练，积累解题经验。这也有利于进一步理解并彻底

弄清楚知识点的纵向与横向联系，转化为自己真正掌握了的东西，能够在理解的基础上灵活运用、触类旁通。 三、同时要善于思考，归纳解题思路与方法。 一个题目有条件，有结论，当你看见条件和结论想起了什么?这就是思路。思路有些许偏差，解题过程便千差万别。考研数学复习光靠做题也是不够的，更重要的是应该通过做题，归纳总结出一些解题的方法和技巧。考生要在做题时巩固基础，在更高层次上把握和运用知识点。对数学习题最好能形成自己熟悉的解题体系，也就是对各种题型都能找到相应的解题思路，从而在最后的实考中面对陌生的试题时能把握主动。 基础的重要性已不言而喻，但是只注重基础，也是不行的。太注重基础，就会拘泥于书本，难以适应考研试题。打好基础的目的就是为了提高。但太重提高就会基础不牢，导致头重脚轻，力不从心。考生要明白基础与提高的辩证关系，根据自身情况合理安排复习进度，处理好打基础和提高能力两者的关系。一般来说，基础与提高是交插和分段进行的，在一个时期的某一个阶段以基础为主，基础扎实了，再行提高。然后又进入了另一个阶段，同样还要先扎实基础再提高水平，如此反复循环。考生在这个过程中容易遇到这样的问题，就是感觉自已经过基础复习或一段时间的提高后几乎不再 有所进步，甚至感到越学越退步，碰到这种情况，考生千万

考研数学高等数学强化习题-不定积分

考研数学高等数学强化习题-不定积分 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

模块五 不定积分 Ⅰ经典习题 一．原函数与不定积分 1、设,0(),0x e x f x x x ?≥=?

（7）() 7 7 11x dx x x -+? （8）226114(1)-+-?x x dx x x （9）()() 2 2 1 21---? dx x x x （10）()() 322 2 412+++++? x x x dx x x x （11）241x dx x -? （12）() 23 1 1x dx x x +-? （13）33156x dx x x ++-? （14）421 dx x x ++? 三．可化为有理函数的积分 1．三角有理式 6、计算下列不定积分 （1）()1sin sin 1cos ++? x dx x x （2）3 sin cos ?dx x x （3）3sin 2cos +? x dx x （4）21 1cos +?dx x （5）sin 1sin +?x dx x （6）2222 1 sin cos +?dx a x b x （7）() ()2 1 0sin cos ≠+? dx ab a x b x （8）()1 2cos sin dx x x +? （9）64tan cos sin ?x x dx x （10）41 sin ?dx x 2．指数有理式的积分 7、计算下列不定积分 （1）311++?x x e dx e （2）21 1+?x dx e （3）1 x x dx e e --? （4）() 211x dx e +? 四．根式的处理

考研数学做题心得

考研数学做题心得 考研数学经验心得1 一、基础阶段 这个阶段主要是夯实基础,时间从大三下学期开学至暑假,每天3到4个小时,以为大三上学期学校课程本身比较繁重,所以建议用一个下午或者晚上的整块的时间来专门复习数学。复习根据历年考研数学大纲要求结合教材对应章节系统进行,打好基础,特别是对大纲中要求的基本概念、基本理论、基本方法要系统理解和掌握。在这个阶段把基础打扎实,是考验数学取得好成绩的前提。这个阶段,建议大家分为两轮来复习。 第一轮精读材料:10月到次年6月中旬,9个月时间。这一阶段主要是复习教材,按大纲要求结合教材对应章节全面复习,按章节顺序完成教材的课后习题,通过练习掌握教材知识和内容。教材的编写是循序渐进的,所以我们也要按照规律来复习,重复复习会起到事半功倍的效果。 第二轮练习测试、巩固基础知识:6月中旬到7月中旬,约1个月时间。这一阶段主要是练习测试、巩固所学知识。建议大家使用教材配套的复习指导书或习题集,通过做题来巩固知识,在练习过程中遇上不懂或似懂非懂的题目要认真对待,多思考,不要一看不会就直接看答案,应当先查看教材相关章节,把相关知识点彻底

搞懂。建议按要求完成练习测试后,还要对教材的内容进行梳理,对重点、难点做好笔记,以便于后面复习把它消化掉。 第一阶段的复习主要靠自己,遇到难点和不会做的测试,这样能够帮助基础阶段复习有效的节约时间,更好的掌握知识点,为之后的强化阶段夯实基础。 二、强化巩固阶段 这一阶段主要是巩固第一阶段的学习成果。时间从7月中旬到11月初,约4个月时间,每天保证3小时以上。通过对辅导材料和真题的学习,了解考试难度和明确考试方向,进行专项复习提高自己的解题效率和质量。本阶段是考研复习的重点,对考研成绩起决定性作用。 第一轮:学习时间是7月中旬到8月底两个月,主要任务是完整的、认真研读一遍考研辅导书和分析2 套考研真题,全面了解考查内容,熟悉考研数学的重点题型以及其解题方法。如果有条件的情况下,尽量参加一下考研培训行业中比较好的辅导班。 第二轮:大概用一个月的时间也就是9月10月初一个多月,主要考研辅导书与专项模拟题、真题或习题的复习,对考试重点题型和自己薄弱的内容进行攻坚复习。 第三轮:本阶段的最后时间段,时间是10月初到11月初。主要是学习笔记的梳理和套题的训练,检测你的解题速度和准确率,查漏补缺、薄弱加强,目的是巩固基础提高能力。

2019考研数学强化阶段重要题型攻略之高等数学(十六)-7页精选文档

第 1 页 钻石卡辅导：2012考研数学强化阶段重要题型攻略之高等数学（十六） 万学海文 在历届考研试题中，含有变限积分与原函数的综合题是比较多的，它的基础知识是需要掌握的，万学海文数学钻石卡考研辅导专家们在此给出相关做题方法，便于2012年考研的考生复习。下面，我们接着来看一下“求幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域”。求幂级数的收敛域，一般先求出收敛半径及收敛区间，再考虑区间端点处的敛散性，此时转化为数项级数敛散性的判别．对于求幂级数的收敛半径及收敛区间，通常有以下两种情形． 【方法一】如果幂级数为标准形n n n x a ∑∞=0，则可直接利用公式，由||lim 1n n n a a +∞→=ρ，得收敛半径为ρ1 =R ，收敛区间为),(R R -． 【方法二】如果幂级数为缺项幂级数，如12120220,++∞ =∞=∑∑n n n n n n x a x a ，则不能直接利用公式．这时可将幂级数看做一般的函数项级数)(1x u n n ∑∞=，由比值判别法，先求|) ()(| lim )(1x u x u x n n n +∞→=ρ，再令1)(

第 2 页 求得收敛区间),(b a 后，再考察数项级数)(1a u n n ∑∞=与)(1b u n n ∑∞ =的敛散性，即可得到收敛域，需注意的是： （1）一般不能用比值法或根值法判定级数)(1a u n n ∑∞=与)(1b u n n ∑∞ =的敛散性． （2）幂级数经过有限次的逐项求导或逐项积分，不改变其收敛半径与收敛区间，但在收敛区间端点的敛散性可能会改变． 【例1】下面有四个命题： ①若n n n x a ∑∞=0的收敛域为],[R R -，则幂级数10 -∞=∑n n n x na 的收敛域为],[R R -． ②设幂级数n n n x a ∑∞ =0在2-=x 处条件收敛，则它的收敛半径2=R ． ③设幂级数n n n n n n x b x a ∑∑∞=∞=00,的收敛半径分别为21,R R ，则n n n n x b a )(0+∑∞ =的收敛半径为},min{21R R R =．

考研数学高数23个易考点汇总

考研数学高数23个易考点汇总

考研数学高数23个易考点汇总 ?高数的两种考察：有难有易 第一种考察比较常规，很容易了解所考察对象与采用的计算方式方法，但计算量很大，需要考生有耐心，认真仔细，一旦中间马虎错一步很容易失分。建议通过平时解题过程中书写清晰明了，养成良好做题习惯 第二种考察方式比较灵活，思维比较开放，按照常规公式解题方式不仅费时间还容易出错，因此需要考生深一些层次来思考所学数学知识，学会分析题目考察侧重点与不同的解题方式，注重知识点之间联系，灵活运用，通过一定刷题量来总结技巧，最后一种题目属于简单易会，每年都有少量分值俗称“白送分”，一定要全部得到，平时做题注意不要眼高手低，规规矩矩做好每一道题，保证会的都做对。 ?高数易考点分析 考点1：用经典工具计算函数，数列极限，七种未定式，单调有界定理，夹逼准则，海涅定理 考点2：深刻理解，并会使用无穷小比阶，无穷大比阶，应用场景为，极限本身，积分判断，级数判敛 考点3：深刻理解导数定义及其几何意义，从导数定义，求切线法线，高阶导数入手。 考点4：三大逻辑题 ①最值、介值、费马、罗尔、拉格朗日、泰勒、柯西、积分中值

定理(可以开区间也可以闭区间)②不等式③方程根(等式) 考点5：导数的几何应用 三点(极值点、拐点、最值点)两性(单调性、凹凸性)一线(渐近线)(数一数二曲率) 考点6：不定积分与定积分存在定理 考点7：换元法、分部积分法、凑微分法、有理函数的积分(思路) 考点8：积分的几何应用 考点9：多元函数概念 (5个：极限、连续、可微、导函数连续、偏导数存在)、计算、多元函数极值与最值 考点10：二重积分性质与计算 考点11：按类求解微分方程(凑到基本形式) 考点12：数一数三：级数判敛、收敛域、求和、展开 考点13：数一：投影、旋转、切平面法线、切线法平面;三重积分(形心公式)、一类曲面积分、二类曲线曲面积分，傅里叶级数考点14：N阶行列式计算(消零，加边，递推，数学归纳法，差分) 考点15：伴随矩阵、初等矩阵、分块矩阵(理解、计算、使用) 考点16：相关与无关的证明与方程组的求解(同解，公共解，反问题) 考点17：特征值(λ)特征向量(ξ)及相似对角化(A~Λ)(两矩阵相似

考研高等数学知识点总结

高等数学知识点总结 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π

考研数学常规题型和陌生题型解答方法

考研数学常规题型和陌生题型解答方法 考研数学不仅要熟练掌握常规题型，面对陌生题型也要沉着应对，使用一些小技巧和方法化解。小编为大家精心准备了考研数学常规题型及陌生题型解答秘诀，欢迎大家前来阅读。 考研数学常规题型及陌生题型解答技巧 一、考研数学常规题型 ?1.选择题 对于选择题来说，大家还是有很多方法可选的，常用的方法有：代入法、排除法、图示法、逆推法、反例法等。如果考试的时候大家发现哪种方法都不奏效的话，大家还可以选择猜测法，至少有25%的正确性。选择题属于客观题，答案是 唯一的，并且考研数学考试中的多选题也是以单选的形式出现的，最终的答案只有一个，评分是不偏不倚的。 选择题的难度一般都是适中的，均为中等难度，没有特别难的，也没有一眼就能看出选项的题目。选择题主要考查的是考生对基本的数学概念、性质的理解，要求考生能进行简单的推理、判断、计算和比较即可。所以选择题对于考生来说，要么依靠扎实的知识得分，要么靠自身的运气得分，这32分

要想稳拿需要考生在复习的时候深入思考，不能主观臆想，要思考与动手相结合才行。 ?2.填空题 填空题的答案也是唯一的，做题的时候给出最后的结果就行，不需要推导过程，同样也是答对得满分，答错或者不答得0分，不倒扣分。这一部分的题目一般是需要一定技巧的计算，但不会有太复杂的计算题。题目的难度与选择题不相上下，也是适中。填空题总共有6个，一般高数4个，线代和概率各1个，主要考查的是考研数学中的三基本：基本概念、基本原理、基本方法以及一些基本的性质。做这24分的题目时 需要认真审题，快速计算，并且需要有融会贯通的知识作为保障。 ?3.解答题 解答题的分值较多，占总分的60%多，类型也较复杂，有计算题、证明题、实际应用题等，并且一般情况下每道大题都会有多种解题方法或者证明思路，有的甚至有初等解法，得分率不容易控制，所以考试在做解答题是尽量用与《考试大纲》中规定的考试内容和考试目标相一致的解题方法和证明方法，每一步的表述要清楚，每题的分值与完成该题所花费的时间以及考核目标是有关系的。综合性较强、推理过程较多、或者应用性的题目，分值较高;基本的计算题、常规性试题和简单的 应用题分值较低。

考研数学解题技巧高数总结

函数 极限：数列的极限（特殊）——函数的极限（一般） 极限的本质是通过已知某一个量（自变量）的变化趋势，去研究和探索另外一个量（因变量）的变化趋势 由极限可以推得的一些性质：局部有界性、局部保号性……应当注意到，由极限所得到的性质通常都是只在局部范围内成立 在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况，所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系 连续：函数在某点的极限等于函数在该点的取值 连续的本质：自变量无限接近，因变量无限接近 导数的概念 本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限，更简单的说法是变化率 微分的概念：函数增量的线性主要部分，这个说法有两层意思，一、微分是一个线性近似，二、这个线性近似带来的误差是足够小的，实际上任何函数的增量我们都可以线性关系去近似它，但是当误差不够小时，近似的程度就不够好，这时就不能说该函数可微分了 不定积分：导数的逆运算 什么样的函数有不定积分 定积分：由具体例子引出，本质是先分割、再综合，其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分，然后再综合，最后求极限，当极限存在时，近似成为精确 什么样的函数有定积分 求不定积分（定积分）的若干典型方法：换元、分部，分部积分中考虑放到积分号后面的部分，不同类型的函数有不同的优先级别，按反对幂三指的顺序来记忆 定积分的几何应用和物理应用 高等数学里最重要的数学思想方法：微元法 微分和导数的应用：判断函数的单调性和凹凸性 微分中值定理，可从几何意义去加深理解 泰勒定理：本质是用多项式来逼近连续函数。要学好这部分内容，需要考虑两个问题：一、这些多项式的系数如何求？二、即使求出了这些多项式的系数，如何去评估这个多项式逼近连续函数的精确程度，即还需要求出误差（余项），当余项随着项数的增多趋向于零时，这种近似的精确度就是足够好的

考研高数知识总结

考研数学讲座（1） 考好数学的基点“木桶原理”已经广为人所知晓。但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地采取措施，以求得满意的结果。实在是一件不容易的事。 非数学专业的本科学生与数学专业的学生的最基本差别，在于概念意识。数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。形成一棵参天大树。 在《高等数学》中，出发点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。 在《线性代数》的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。 在《概率统计》中，第一重要的概念是分布函数。不过，《概率》不是第一层次基础课程。学习《概率》需要学生有较好的《高等数学》基础。 非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。更不会从概念出发分析解决问题。基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。 大学数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的需要。教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。 考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。这正好击中考生的软肋。在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧，“大一那会儿学的不一样。”原因就在于学过的概念早忘完了。 做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。 按考试时间与分值来匹配，一个4分的选择题平均只有5分钟时间。而这些选择题却分别来自三门数学课程，每个题又至少有两个概念。你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。 从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。文献浩如烟海，知识千锤百炼。非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。方法十分经典，概念非常重要。学生们要做的是接受，理解，记忆，学会简单推理。当你面对一个题目时，你的自然反应是，“这个题目涉及的概念是 - - -”，而非“在哪儿做过这道题”，才能算是有点入门了。 你要考得满意吗？基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。 阳春三月风光好，抓好基础正当时。 考研数学讲座（2）笔下生花花自红 在爱搞运动的那些年代里，数学工作者们经常受到这样的指责，“一支笔，一张纸，一杯茶，鬼画桃符，脱离实际。” 发难者不懂基础研究的特点，不懂得考虑数学问题时“写”与“思”同步的重要性。 也许是计算机广泛应用的影响，今天的学生们学习数学时，也不太懂得“写”的重要性。 考研的学生们，往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料，看题看解看答案或看题想解翻答案。 动笔的时间很少。数学书不比小说。看数学书和照镜子差不多，镜子一拿走，印象就模糊。 科学的思维是分层次的思维。求解一个数学问题时，你不能企图一眼看清全路程。你只能踏踏实实地考虑 如何迈出第一步。 或“依据已知条件，我首先能得到什么？”（分析法）； 或“要证明这个结论，就是要证明什么？”（综合法）。 在很多情形下，写出第一步与不写的感觉是完全不同的。下面是一个简单的例。 “连续函数与不连续函数的和会怎样？” 写成“连续A + 不连续B = ？”后就可能想到，只有两个答案，分别填出来再说。（穷尽法）。

考研题型经典总结高数部分

2011考研必备：超经典的考研数学考点与题型归类分析总结 1高数部分 1.1 高数第一章《函数、极限、连续》 1.2 求极限题最常用的解题方向：1.利用等价无穷小； 2.利用洛必达法则，对于 00型和∞∞型的题目直接用洛必达法则，对于∞0、0∞、∞ 1型的题目则是先转化为 00型或∞ ∞型，再使用洛比达法则；3.利用重要极限，包括1sin lim 0=→x x x 、e x x x =+→1 )1(lim 、 e x x x =+∞ →)1(1lim ；4.夹逼定理。 1.3 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》 第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积 分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。 对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。在此只提醒一点：不定积分 ?+=C x F dx x f )()(中的积分常数C 容易 被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C 会失一分。所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分?dx x f )(的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就 是 ?+=C x F dx x f )()(中的那个C,漏掉了C 也就漏掉了这1分。 第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于 ? -a a dx x f )(型定积分，若 f(x)是奇函数则有 ? -a a dx x f )(=0；若f(x)为偶函数则有?-a a dx x f )(=2?a dx x f 0)(；对于?2 )(πdx x f 型 积分，f(x)一般含三角函数，此时用x t -= 2 π 的代换是常用方法。所以解这一部分题的 思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量

考研高等数学复习重点与典型题型

研究生入学考试数学试题难度较大，平均分不到40分，而高等数学又是考研数学的重中之重。根据笔者多年的辅导经验，在重点复习阶段，备考高等数学要特别注意以下3个方面。第一，按照大纲准确把握数学的基本概念、基本方法、基本定理。 数学是一门演绎的科学，靠侥幸押题是行不通的。只有深入理解基本概念，牢牢记住基本定理和公式，才能找到解题的突破口和切入点。分析近几年考生的数学答卷可以发现，考生失分的一个重要原因就是对基本概念、定理理解不准确，数学中最基本的方法掌握不好，给解题带来思维上的困难。2001年数学（一）的填空题与选择题满分共30分，考生平均得分较低，客观地讲，这些题不是难题。数学的概念和定理是组成数学试题的基本元件，数学思维过程离不开数学概念和定理，因此，正确理解和掌握好数学概念、定理和方法是取得好成绩的基础和前提。 第二，要加强解综合性试题和应用题能力的训练，力求在解题思路上有所突破。 综合题的考查内容可以是同一学科的不同章节，也可以是不同学科的内容。近几年试卷中常见的综合题有：级数与积分的综合题；微积分与微分方程的综合题；求极限的综合题；空间解析几何与多元函数微分的综合题；线性代数与空间解析几何的综合题；以及微积分与微分方程在几何上、物理上、经济上的应用题等等。 在解综合题时，迅速地找到解题的切入点是关键一步，为此需要熟悉规范的解题思路，考生应能够看出面前的题目与曾经见到过的题目的内在联系。为此必须在复习备考时对所学知识进行重组，搞清有关知识的纵向与横向联系，转化为自己真正掌握的东西。解应用题的一般步骤都是认真理解题意，建立相关的数学模型，如微分方程、函数关系、条件极值等，将其化为某数学问题求解。建立数学模型时，一般要用到几何知识、物理力学知识和经济学术语等。 第三，重视历年试题的强化训练。 统计表明，每年的研究生入学考试高等数学内容较之前几年都有较大的重复率，近年试题与往年考题雷同的占50％左右，这些考题或者改变某一数字，或改变一种说法，但解题的思路和所用到的知识点几乎一样。所以希望考生一是要注意年年考到的内容，对往年考题要全部消化巩固；二是注意那些多年没考到而大纲要求的内容。这样，通过对考研的试题类型、特点、思路进行系统的归纳总结，并做一定数量习题，有意识地重点解决解题思路问题。对于那些具有很强的典型性、灵活性、启发性和综合性的题，要特别注重解题思路和技巧的培养。尽管试题千变万化，其知识结构基本相同，题型相对固定。提炼题型的目的，是为了提高解题的针对性，形成思维定势，进而提高考生解题的速度和准确性。 数学（一）为主总结高等数学各部分常见的题型。 一、函数、极限与连续1．求分段函数的复合函数；2．求极限或已知极限确定原式中的常数；3．讨论函数的连续性，判断间断点的类型；4．无穷小阶的比较；5．讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。 二、一元函数微分学 1．求给定函数的导数与微分（包括高阶导数），隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论； 2．利用洛比达法则求不定式极限； 3．讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式； 4．利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如“证明在开区间内至少存在一点满足……”，此类问题证明经常需要构造辅助函数； 5．几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函

2020考研数学：高数错题复习经验.doc

2020考研数学：高数错题复习经验 数学题老是做错，正确率低的堪忧怎么办？有的题还一错再错，只要见面就会继续错，这可怎么办？做错题一定有相应的原因，下面由小编为你精心准备了“高数错题复习经验”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！ 2020考研数学：高数错题复习经验 数学题老是做错，正确率低的堪忧怎么办？有的题还一错再错，只要见面就会继续错，这可怎么办？做错题一定有相应的原因，大家跟着小编一起看看为什么易做错，怎么减少错题吧！ 一、为什么易错？ 1、易错，是因为对知识点的熟练度不够 所谓熟练度，就是做的题不够多，对知识点掌握不够透彻，做题时眼高手低，看答案自己可以看得懂，换成实际操作就出现许许多多的问题。 解决方法：把考研数学的基础知识认真复习一遍，力求掌握每个知识点。每一道考研题目，反复练习至少3次，并且每次都思考总结，才会熟悉并产生记忆。 2、易错，因为对知识的基本概念不清楚 有些考研题目，考生认为自己会做的，因为平常做对过，只是考试错了，但很可能是你们只看过1-2次，有一个模糊的概

念，很多概念的细节到底是什么，并没有深究。 在考试有时间限制和压力的情况下，人通常本能的选择自己大脑中最先搜索到的记忆存储，而这个记忆和认知很可能是错误和疏漏的。 解决方法：试着去讲解题目，如果做到能讲解题目，说明确实理解了。通常在讲解的过程中，也会不断发现自己知识上的漏洞。 3、易错，因为平时习惯有问题 很多考生做考研题目不认真，不检查，不打草稿，不写步骤等等，这些都是让考生易错的不好习惯，有的考生的书写习惯，可能会导致一些粗心问题。 有的考生做题喜欢跳步骤，不但容易错，还有可能计算最终结果错误，导致失掉应有的步骤分。 解决方法：做考研数学题目时，先在草稿纸上计算一下，再把答案写在试卷上，其实，在书写步骤的过程中，其实是对你的计算又检查了一遍，增加了正确率。 4、易错，因为正确率不高 我们大家都有在WORD文档中打字的经历，回想一下，每个词每个字都是一次输入正确还是不断删除修改？这就是正确率问题。 如果平时做考研数学题目力求“一遍做对”，“每遍都提