周荫清《随机过程理论》word版

目录

前言 (1)

第一章概率与随机变量 (2)

1、随机事件及其概率 (2)

2、随机变量及分布函数 (3)

3、数字特征 (4)

4、特征函数 (5)

第二章随机过程概述 (6)

1、随机过程的概念 (6)

2、平稳随机过程 (7)

3、平稳随机过程的各态历经性 (8)

4、平稳过程的功率谱密度 (9)

第三章随机过程的线性变换 (10)

1、随机过程变换的基本概念 (10)

2、均方微积分 (10)

3、随机过程线性变换的微分方程法 (13)

4、随机过程的冲激响应法和频谱法 (14)

第四章窄带随机过程 (15)

1、窄带随机过程的基本概念 (15)

2、窄带平稳随机过程的数字特征 (16)

第五章高斯随机过程 (18)

1、高斯随机过程 (18)

2、窄带平稳实高斯随机过程 (18)

第六章泊松随机过程 (20)

1、泊松计数过程 (20)

2、泊松过程的基本概念 (21)

第七章总结 (24)

前言

随机过程(Stochastic Process)是一连串随机事件动态关系的定量描述。数学上的随机过程可以简单的定义为一组随机变量，即指定一参数集，对于其中每一参数点t指定一个随机变量x(t)。如果回忆起随机变量自身就是一个函数，以ω表示随机变量x(t)的定义域中的一点，并以x(t，ω)表示随机变量在ω的值，则随机过程就由刚才定义的点偶(t，ω)的函数以及概率的分配完全确定。如果固定t，这个二元函数就定义一个ω的函数，即以x(t)表示的随机变量。如果固定ω，这个二元函数就定义一个t的函数，这是过程的样本函数。

随机过程论与其他数学分支如位势论、微分方程、力学及复变函数论等有密切的联系，是在自然科学、工程科学及社会科学各领域研究随机现象的重要工具。随机过程论目前已得到广泛的应用，在诸如天气预报、统计物理、天体物理、运筹决策、经济数学、安全科学、人口理论、可靠性及计算机科学等很多领域都要经常用到随机过程的理论来建立数学模型。

随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。这一学科最早源于对物理学的研究，如吉布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。1907年前后，马尔可夫研究了一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。1923年维纳给出布朗运动的数学定义，直到今日这一过程仍是重要的研究课题。随机过程一般理论的研究通常认为开始于20世纪30年代。1931年，柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，1934年A·辛饮发表了《平稳过程的相关理论》，这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。1953年，杜布出版了名著《随机过程论》，系统且严格地叙述了随机过程基本理论。

本论文着重讨论随机过程的基本理论和基本方法，并简单介绍了几种在应用中常见的随机过程。第一章介绍了概率论的相关知识，因为后文用到了太多的概率论知识，所以单独拿出一章来对概率论的知识进行简单回顾。第二章详细讨论了随机过程的基本概念，重点介绍随机过程的两类基本分析方法。第三章研究具有随机输入的线性系统输出过程的统计特征。第四、五、六章分别介绍了窄带随机过程、高斯随机过程和泊松随机过程。最后一章是对该门课程的学习总结与心得。

第一章概率与随机变量

1、随机事件及其概率

1、事件的概率

2、几个公式

2、随机变量及分布函数1、一维分布

3、二维分布

4、边沿分布

5、多维分布

3、数字特征1、数学期望

2、方差

3、协方差

4、相关系数

4、特征函数

1、一维特征函数定义

2、一维特征函数性质

3、二维特征函数

第二章随机过程概述

1、随机过程的概念

1、随机过程的定义

设E={e}是一个样本空间，若对每一时刻t ，都有定义在E上的随机变量X(t,e)与之对应，则称依赖t的一族随机变量{X(t,e),t∈T,e∈E} 是一个随机过程，通常将它简化为{X(t),t∈T}。

2、随机过程的概率分布

3、随机过程的数字特征

4、随机过程的基本分类

按统计特性分类：平稳随机过程和非平稳随机过程

按记忆特性分类：纯粹随机过程、马尔可夫过程、独立增量过程

按概率分布分类：高斯随机过程和非高斯随机过程

按功率谱特性分类：白噪声过程和有色噪声过程

2、平稳随机过程

1、狭义平稳过程

设{X(t),t∈T}为一随机过程，若对任意正整数n,任意的实数t1,t2,···,t n与τ,随机变量X(t1),X(t2),···,X(t n)的n维分布函数与X(t1+τ),X(t2+τ),···,X(t n+τ)的n维分布函数相同，即

则称X(t)为严格平稳随机过程。

2、广义平稳过程

定义设{X(t),t∈T}是一个随机过程，E[X2(t)]<∞,且E[X(t)]=m X=常数，以及R(t1,t2)=E[X(t)X(t-τ)]=R(τ),τ=t1-t2,则{X(t),t∈T}称为广义平稳随机过程。3、二阶矩过程

若一个随机过程{X(t),t∈T},如果对于一切t∈T,总有E[X2(t)]<∞

则称此过程为二阶矩过程。

4、平稳随机过程自相关函数的性质

5、互相关函数及其性质

3、平稳随机过程的各态历经性1、时间平均

2、各态历经性

均值各态历经

自相关函数各态历经

各态历经性-----同时满足以上两条!

平稳随机过程均值各态历经的充要条件：

4、平稳过程的功率谱密度

1、能量型信号

2、功率型信号

3、平稳过程的功率谱密度

4、互谱密度

第三章随机过程的线性变换

1、随机过程变换的基本概念

1、线性系统

2、冲激响应、频率响应和传递函数

2、均方微积分

1、极限及性质

随机过程的极限

均方连续

均方微分

数字特征：

均方积分

3、随机过程线性变换的微分方程法

4、随机过程的冲激响应法和频谱法

第四章窄带随机过程1、窄带随机过程的基本概念

2、窄带平稳随机过程的数字特征

第五章高斯随机过程1、高斯随机过程

2、窄带平稳实高斯随机过程