高考数学《数列》大题训练50题含答案解析
一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k； （3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）． （Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3． （Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，
（1）写出c1，c2，c3，c4； （2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…； （3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式； （II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值； （2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5． （I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2） （1）求数列{a n}的通项公式； （4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．
数列的综合问题题型归纳总结
数列的综合问题题型归纳总结 题型1 数列与不等式的综合 思路提示 数列与不等式的综合是高考的热点问题，内容主要包括两个方面：其一，不等式恒成立条件下，求参数的取值范围；其二，不等式的证明，常见方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法和数学归纳法等. 一、不等式恒成立条件下，求参数的取值范围问题 利用等价转化思想将其转化为最值问题. ()a F n >恒成立max ()a F n ?>； ()a F n <恒成立min ()a F n ?<. 例6.38 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，1110,910n n a a S +==+. （1）求证：{lg }n a 是等差数列； （2）设n T 是数列13{}(lg )(lg )n n a a +的前n 项和，求使21 (5)4 n T m m >-对所有的*n N ∈都成立的最大正整 数m 的值. 解析 （1）由题意，1910(*)n n a S n N +=+∈ ① 故有1910(2,*)n n a S n n N -=+≥∈ ② 由①-②，可得19n n n a a a +-=，即110(2,*)n n a a n n N +=≥∈，所以有1 10(2,*)n n a n n N a +=≥∈， 令1n =，代入式①，可得21910100a a =+=，故 2110a a =，故有110(*)n n a n N a +=∈， 故数列{}n a 是以10为首项，以10为公比的等比数列，故1101010n n n a -==g . 所以lg lg10n n a n ==，即有1lg lg (1)1n n a a n n +-=+-=， 故{lg }n a 是等差数列，且首项为lg101=，公差为1. （2）解法一：由（1）可知lg lg10n n a n ==，所以 13311 3()(lg )(lg )(1)1 n n a a n n n n +==-++， 故1111113 3[(1)()()]3(1)3223111 n T n n n n =-+-++-=-=- +++L . 由1n ≥，可知33 312 n T n =-≥+. 依题意， 2 31(5)24 m m >-，解得16m -<<，则最大正整数m 的值为5. 解法二：先由题意21(5)4n T m m >-对任意的*n N ∈都成立，故需n T 的最小值2min 1 ()(5)4 n T m m >-，而 133 0(lg )(lg )(1) n n a a n n +=>+，
数列的综合应用
第十六节 数列的综合应用 [自我反馈] 1．已知正项等差数列{a n }满足：a n ＋1＋a n －1＝a 2 n (n ≥2)，等比数列{b n }满足：b n ＋1b n －1＝2b n (n ≥2)，则log 2(a 2＋b 2)＝( ) A ．－1或2 B ．0或2 C ．2 D ．1 解析：选C 由题意可知，a n ＋1＋a n －1＝2a n ＝a 2n ， 解得a n ＝2(n ≥2)(由于数列{a n }每项都是正数)， 又b n ＋1b n －1＝b 2 n ＝2b n (n ≥2)， 所以b n ＝2(n ≥2)，log 2(a 2＋b 2)＝log 24＝2. 2．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝????? a n 2 ，当a n 为偶数时， 3a n ＋1，当a n 为奇数时. 若a 6＝ 1，则m 所有可能的取值为( ) A ．{4,5} B ．{4,32} C ．{4,5,32} D ．{5,32} 解析：选C a n ＋1＝????? a n 2 ，当a n 为偶数时， 3a n ＋1，当a n 为奇数时， 注意递推的条件是a n (而不是n )为偶 数或奇数．由a 6＝1一直往前面推导可得a 1＝4或5或32. 3．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＝6，若将a 1，a 4，a 5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________． 解析：由题意知等差数列{a n }的公差d ＝ a 3－a 1 2 ＝2，则a 4＝8，a 5＝10，设所加的数为x ， 依题意有(8＋x )2 ＝(2＋x )(10＋x )，解得x ＝－11. 答案：－11 4．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N * )等于________． 解析：设每天植树的棵数组成的数列为{a n }， 由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2， 所以由题意可得 2 1－2n 1－2 ≥100，即2n ≥51，
第二讲 整数与数列(下)学而思
(★★★) 计算： 20×20－19×19＋18×18－17×17＋…＋2×2－1×1 (★★★) 计算： 12－22＋32－42＋52－62＋72－82＋92－102＋112 (★★★★) (22＋42＋62＋...＋1002)－(12＋32＋52＋ (992) ⑴(★★★) 利用“平方差公式”，我们还可以巧算下列各题，让我们来试试吧。 ⑴98×102 ⑵2×29×3×31
⑵(★★★★)计算： 11×19＋12×18＋13×17＋14×16 (★★★★) 已知：12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)÷6 求：152＋162＋172＋…＋212 (★★★★) 计算：22＋42＋62＋82＋…＋1002
在线测试题 温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。 1．(★★★)计算：100×100－99×99＋98×98－97×97＋…＋2×2－1×1 A ．4950 B ．5050 C ．5051 D ．6050 2．(★★★)计算：22222221234200520062007-+-++-+ A ．2013021 B ．2014024 C ．2015028 D ．2016033 3．(★★★★) 计算：222222(46100)(3599)++???+-++???+ A ．5047 B ．5050 C ．10100 D ．10094 4．(★★★)利用“平方差公式”， 下面计算结果正确的是( ) 6773? A ．4893； B ．4900； C ．4891； D ．4901； 5．(★★★★)计算：1＋4＋9＋16＋…＋1089 A ．12526 B ．12527 C ．12528 D ．12529 6．(★★★★★)计算52＋62＋72＋…＋1002 A ．338280 B ．338320 C ．338350 D ．338380
高考数学数列大题训练答案版
高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析： (1)设该等差数列为{}n c ，则25a c =，33a c =，42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即：223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-，Q 1q ≠， ∴121, 2q q ==，∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ，{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时，0n b ≥，∴(13)2 n n n n T S -== （8分） 当8n ≥时，0n b <，12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 解：（1）由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得：,73=a 同理得.1,312==a a （2）由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a
三年高考(2016-2018)数学(理)真题分类解析：专题14-与数列相关的综合问题
专题14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且 ．若 ， 则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则 ，令 得，所以当时， ，当 时， ，因此 ， 若公比 ，则 ，不合题意；若公比 ，则
但，即 ，不合题意；因此， ，选B. 点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 【答案】27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.
（I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 （II）（i）由（I），有，故 . （ii）因为， 所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
数列的综合问题
10 —数列的综合问题 突破点(一)数列求和 1 .公式法与分组转化法：(1)公式法；(2)分组转化法； 2 .倒序相加法与并项求和法: (2)并项求和法：在一个数列的前 n 项 和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如 型，可采用两项合并求解. 例如， (22- 12)= (100 + 99)+ (98+ 97)+…+ (2 + 1) = 5 050. 3 .裂项相消法：(1)把数列的通项拆成两项之差, 在求和时中间的一些项可以相互抵消, 从而求得其和. 1 11 1 ⑵常见的裂项技巧：①e=n -苗.②后 1 1 — 1 __________ 1 ____ 1 1 — 1 2 n n + 2 .③ 2n — 1 2n + 1 = 2 2n — 1 2n + 1 .④ ： 1 ______________ =p n + 1 -才.4.错位相减法 考点一 [例 1] 已知数列｛a n ｝, ｛b n ｝满足 a 1 = 5, a n = 2a n - 1 + 3n 1(n > 2, n € N ), b n = a n — 3n (n € N ). (1)求数列｛b n ｝的通项公式； ⑵求数列｛a n ｝的前n 项和S n . [解](1) Tan = 2a n -1 + 3n - 1(n € N *, n > 2) ,「.a n — 3n = 2(a n -1-3n -1), b n ?'?b n = 2b n -1 (n € N , n > 2). ^b 1 = a 1 — 3 = 2工 0,「.b n M 0(n > 2), ? = 2, b n - 1 ???｛b n ｝是以2为首项，2为公比的等比数列.??? b n = 2 2n —1= 2n . 3n +1 7 (2)由(1)知 a n = b n + 3n = 2n + 3n ,二3 = (2 + 22+ …+ 2n ) + (3 + 32+ …+ 3n ) = 2n +1 + 〒-二 ［方法技巧］ 分组转化法求和的常见类型 (1)若a n = b n icn ,且｛b n ｝ , ｛C n ｝为等差或等比数列，可采用分组转化法求 ｛a n ｝的前n 项和. b n , n 为奇数， ⑵通项公式为a n = 的数列，其中数列｛b n ｝ , ｛c n ｝是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求 和. C n , n 为偶数 考点二 ［例2］ (2016山东高考)已知数列｛a n ｝的前n 项和S n = 3n 2+ 8n , ｛b n ｝是等差数列，且 a n = b n + b n +1. n + 1 〒，求数列 b n + 2 (1)求数列｛b n ｝的通项公式； ⑵令C n = ｛C n ｝的前n 项和 T n . [解](1)由题意知，当 n > 2 时，a n = S n — S n -1 = 6n + 5, n = 1时，a 1 = S 1 = 11,满足上式， a 1 = b 1 + b 2, 所以a n = 6n + 5?设数列｛b n ｝的公差为d.由 a 2= b 2 + b 3, 11 = 2b 1 + d , 所以 b n = 3n + 1. 17= 2b 1 + 3d , 6n + 6 n + 1 一…一 (1)倒序相加法; a n = (- 1)n f( n)类 S n = 1002- 992+ 982- 972+-+ 22- 12= (1002- 992) + (982- 972) + ??? +
数列综合测试附答案
复习综合测试 一．选择题（60分） 1．在等差数列{}n a 中，有()()35710133224a a a a a ++++=，则此数列的前13项之和为（ ） A ．52 B ．26 C ．13 D ．156 2．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若==--=1815183,18,6S S S S 则 （ ） A ．36 B ．18 C ．72 D ．9 3．已知等差数列}a {n 的公差0d <, 若24a a 64=?, 10a a 82=+, 则该数列的前n 项和 n S 的最大值为( ). A. 50 B. 45 C. 40 D. 35 4.已知等比数列{a n }，a 2＞a 3=1，则使不等式(a 1-11a )+(a 2-21a )+…+(a n -1n a )≥0成立的最大自然数n 是 A ．4 B.5 C.6 D.7 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2:1:,4811311872==+++a a a a a a ，则 n n n S na 2lim ∞→等于 A.41 B.2 1 C.1 D. 2 6．等差数列}{ n a 中，12324a a a ++=-，18192078a a a ++=,则此数列前20项和等于 A .160 B .180 C .200 D .220 7.在等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50=200,a 51+a 52+…+a 100=2700，则a 1等于 A ．-1221 B.-21.5 C.-20.5 D.-20 8．在正项等比数列{a n }中，a 1、a 99是方程x 2－10x + 16 = 0的两个根，则a 40·a 50·a 60的值为（ ） A ．32 B ．64 C ．±64 D ．256 9．等比数列}{n a 的前n 项和为S n ，已知S 4=1，S 8=3，则20191817a a a a +++的值为 A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 10．等差数列{}n a 的前n 项和记为S n ，若a 2+a 4+a 15=p （常数），则数列{}n S 中也是常数的项是（ ） （A ）S 7 （B ）S 8 （C ）S 13 （D ）S 15 11.已知数列{log 3(a n +1)}(n ∈N *)为等差数列，且a 1=2,a 2=8，则
2020年高考文科数学二轮复习：专题三 第二讲 数列的综合应用
2020年高考文科数学二轮复习： 专题三 第二讲 数列的综合应用 一、选择题 1．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3 ＝( ) A ．2 B ．4 C ．5 D.52 解析：因为a n ＋1a n ＋2a n ＋3a n ＋4a n a n ＋1a n ＋2a n ＋3＝a n ＋4a n ＝2n ＋1·2n ＋32n ·2 n ＋2＝22，所以令n ＝3，得a 7a 3＝22＝4，故选B. 答案：B 2．若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，则使a k ·a k ＋1＜0的k 值为( ) A ．22 B ．21 C ．24 D ．23 解析：因为3a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－a n ＝－23，所以数列{a n }是首项为15，公差为－23 的等差数列，所以a n ＝15－23·(n －1)＝－23n ＋473，令a n ＝－23n ＋473 >0，得n <23.5，所以使a k ·a k ＋1<0的k 值为23. 答案：D 3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝????? 2a n (n 为正奇数)，a n ＋1(n 为正偶数)，则其前6项之和为( ) A ．16 B ．20 C ．33 D ．120 解析：a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，所以前6项和S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故选C. 答案：C 4．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．44 D ．44＋1 解析：因为a n ＋1＝3S n ，所以a n ＝3S n －1(n ≥2)， 两式相减得，a n ＋1－a n ＝3a n ， 即a n ＋1a n ＝4(n ≥2)， 所以数列a 2，a 3，a 4，…构成以a 2＝3S 1＝3a 1＝3为首项，公比为4的等比数列，所以a 6＝
高三数列综合专题复习
高三数列综合专题复习 班级 姓名 探究点3 数列与函数、不等式的综合问题 1.[2011·青岛一模] 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝2x ＋1上，n ∈N *. (1)当实数t 为何值时，数列{a n }是等比数列？ (2)在(1)的结论下，设b n ＝log 3a n ＋1，T n 是数列???? ??1b n b n ＋1的前n 项和，求T 2011的值． 2.[2011·广州二模] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝55，S 20＝210. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n a n ＋1 ，是否存在m 、k (k >m ≥2，k ，m ∈N *)，使得b 1、b m 、b k 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m 、k 的值；若不存在，请说明理由．
3. [2011·惠州一模] 已知f (x )＝log m x (m 为常数，m >0且m ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )(n ∈N *)是首项为4，公差为2的等差数列．(1)求证：数列{a n }是等比数列； (2)若b n ＝a n f (a n )，记数列{b n }的前n 项和为S n ，当m ＝2时，求S n ； (3)若c n ＝a n lg a n ，问是否存在实数m ，使得{c n }中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出实数m 的取值范围． [思路] (1)由已知可得数列{f (a n )}的通项公式，利用函数f (x )的解析式，可得{a n }的通项公式，再根据等比数列的定义可证明数列{a n }是等比数列；(2)由数列{b n }的通项公式，知符合错位相减法求和；(3)由条件得不等式c n －1，且()2 3331212n n a a a a a a +++=+++． （1）求1a ，2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式n a ；（3）设数列21n n a a +?????? 的前n 项和为n S ，不等式()1log 13 n a S a >-对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围．
高中数学“数列的综合问题”.doc
专题讲座 高中数学“数列的综合问题” 一、对本专题数学知识的深层次理解 （一）数列综合问题的几个重点内容 数列的综合问题课标中并没有明确的陈述，但往往是高考考查涉及到的问题，如：数 列求和问题；数列与不等式综合问题；关于递推数列的问题等。这些问题往往涉及数列知识 的综合和高考的考查重点，教学中教师要给予关注并较好的把握。 （二）教学内容的重点、难点 重点：在解决数列问题中要关注数列的属性、项数，用函数的观点研究数列；掌握数 列求和的基本方法及基本的递推数列问题。 难点：数列与不等式综合问题中的放缩问题；解决递推数列问题的策略。 二、“数列综合问题”的教与学的策略 （一）解决数列问题的基本思路 判断所要求研究的数列是否为特殊数列：等差数列或等比数列，如果是，用公式和性 质解决 . 如果不是等差、等比数列，要么转化为等差数列或等比数列，要么寻找其它方法 . 因此我们拿到一个数列的问题时，要注意关注数列的属性。 1．关注数列的属性
本题的关键是定性，即关注数列的属性。2．关注数列的项数
此题涉及等差、等比数列的综合问题，考查了等比中项，等差数列的通项公式等基本知识，考查了方程思想，关键是利用已知条件找到 K n与 n的关系。 3．用函数的观点认识数列
本题的关键是用函数的观点去看待数列问题，此题也涉及到不等式的知识 .
以上几个例题从不同角度反映了数列是特殊的函数这一问题，因此解决数列问题，往 往可以利用解决函数问题的思考方式。 （二）关注数列求和问题的教学 数列求和的问题需要根据数列特点选择解决方法，必须掌握常用的数列求和方法，但数列求和往往和其他知识综合在一起，综合性较强 . 若为等差（比）数列，则直接用公式求和；若非等差（比）数列，则需寻找间接求和的方法 . 常见的有：“倒序相加法”“错位相减法”“裂项相消法”等 . 1．用公式求和
天津市高三数学总复习 综合专题 数列 理 (学生版)
数列（理） 考查内容：本小题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、 不等式证明等基础知识，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力、 推理论证能力及综合分析、解决问题的能力。 1、在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+。 （1）设1 2 n n n a b -= 。证明：数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。 2、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n n n ba b S -=- （1）证明：当2b =时，{} 12n n a n --?是等比数列； （2）求{}n a 的通项公式 3、已知数列{}n a 的首项12 3 a = ，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…。 （1）证明：数列? ?? ?? ?-11n a 是等比数列； （2）数列? ?? ?? ?n a n 的前n 项和n S 。 4、已知数列{}n a 满足：1±≠n a ，2 11=a ，()() 2211213n n a a -=-+，记数列21n n a b -=，221n n n c a a +=-， n N *∈。 （1）证明数列 {}n b 是等比数列； （2）求数列{}n c 的通项公式； （3）是否存在数列{}n c 的不同项k j i c c c ,,，k j i <<，使之成为等差数列？若存在请求出这样的不同项 k j i c c c ,,，k j i <<；若不存在，请说明理由。 5、已知数列{}n a 、{}n b 中，对任何正整数n 都有：
11213212122n n n n n n a b a b a b a b a b n +---+++++=--L 。 （1）若数列{}n a 是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）若数列{}n b 是等比数列，数列{}n a 是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由； （3）若数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，求证：1132 n i i i a b =<∑ 。 6、设数列{}n a 满足11a =，22a =，121 (2)3 n n n a a a --= +，(3,4,)n =L 。数列{}n b 满足11,(2,3,)n b b n ==L 是非零整数，且对任意的正整数m 和自然数k ，都有 111m m m k b b b ++-≤+++≤L 。 （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）记(1,2,)n n n c na b n ==L ，求数列{}n c 的前n 项和n S 。 7、有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为mk a ， (,1,2,3,,, 3)m k n n =L ≥，公差为m d ，并且123,,,,n n n nn a a a a L 成等差数列。 （1）证明1122m d p d p d =+，n m ≤≤3，12,p p 是m 的多项式，并求12p p +的值； （2）当121, 3d d ==时，将数列{}m d 分组如下：123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d L （每组数的个数构成等差数列），设前m 组中所有数之和为4()(0)m m c c >，求数列{2}m c m d 的前n 项和n S 。 （3）设N 是不超过20的正整数，当n N >时，对于（2）中的n S ，求使得不等式1 (6)50 n n S d ->成立的所有N 的值。 8、数列}{n a 的通项公式为?? ? ? ?-=3sin 3cos 22 2 ππn n n a n ，其前n 项和为n S 。 （1）求n S ； （2）设n n n n S b 4 3?= ，求数列}{n b 的前n 项和n T 。 9、数列}{n a 满足}221221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22 n n n n n a a a a a n ππ+===++=L 满足。
数列的综合问题
1０—数列的综合问题 突破点(一) 数列求和 1．公式法与分组转化法:（1）公式法;（2)分组转化法；2.倒序相加法与并项求和法:(1）倒序相加法；（２)并项求和法:在一个数列的前ｎ项和中，可两两结合求解,则称之为并项求和。形如a n＝(—1)n ｆ（n)类型，可采用两项合并求解.例如，Sｎ=1002－992+９8２-９7２+…+22－12＝(１0０2－9９２）+(9８2-972）+…+(22-12)=(1０0＋99）+（９8＋９7)＋…＋(2+１)＝5 05０。３．裂项相消法：(1)把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和。(2）常见的裂项技巧：①错误!＝错误! -错误!。②错误!=错误!错误!。③错误!＝错误!错误!。④错误!＝错误!—错误!。 4。错位相减法 分组转化法求和 ［例1］已知数列｛a n}，｛b n｝满足ａ1＝5，a n=２a n-1＋3n－1(n≥２，ｎ∈N＊），b n＝aｎ—3ｎ（n∈N*)． (1)求数列｛b n}的通项公式；(2）求数列{a n}的前ｎ项和S n. [解］ (1）∵ａn＝2aｎ-１＋３n-１(n∈Ｎ*，n≥2)，∴a n－3n=2（aｎ－１-3n－1）， ∴bｎ=２bｎ－1（n∈Ｎ＊，n≥2）。∵b1＝a1-3＝2≠0，∴ｂｎ≠0(n≥2），∴＼f（bｎ,ｂn－1)＝2， ∴{b n｝是以2为首项，２为公比的等比数列。∴b n=2·2n-１=2ｎ． （2)由（１)知a n=b n+3n=2ｎ＋3n,∴S n＝(2＋2２+…+2n）＋(３+32+…+３n）＝2n+1＋＼f（3n＋１,2)—＼ｆ(7，２）． ［方法技巧］ 分组转化法求和的常见类型 (1）若aｎ＝b n±cｎ，且{b n},｛ｃｎ}为等差或等比数列,可采用分组转化法求{a n}的前ｎ项和． (2)通项公式为a n=错误!的数列，其中数列｛b n}，｛c n｝是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和． 错位相减法求和 aｎn S n n2n b nａn b nｂ ｎ+1． （1)求数列｛b n}的通项公式；（2）令cｎ=错误!,求数列｛c n｝的前n项和T n。 ［解] （1）由题意知，当n≥2时，a n＝S n－Ｓn－1＝6n+５,当ｎ＝１时，ａ１=Ｓ1＝１1，满足上式, 所以a n＝6n+5．设数列｛b n}的公差为ｄ.由错误!即错误!所以b n=3n＋1。 (2)由（1）知c n＝错误!=３（n+１)·2n＋1,又Ｔｎ=c１+c２＋…＋ｃn, 得T n＝3×［2×2２＋3×23＋…＋（n+１)×2n+１］，2Ｔｎ=３×［2×23＋3×24+…＋（n＋1)×２n+２］， 两式作差，得－Ｔｎ=3×[2×22＋2３＋24＋…+2n＋1－（n＋1)×２n＋2]＝-3n·2ｎ＋2，所以T n＝3n·2n＋２. [方法技巧] 错位相减法求和的策略 （１)如果数列{aｎ}是等差数列,{b n｝是等比数列,求数列｛aｎ·b n｝的前ｎ项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列｛b n}的公比,然后作差求解.（2)在写“S n”与“qＳn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n-qS n”的表达式。（３)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 裂项相消法求和 n n ｎ+1 ｎ1 且b1，b3，ｂ９成等比数列．
第2讲 数列专题
第2讲 数列专题 【知识梳理】 一、等差数列 1.相关概念 按一定次序排列的一列数称为数列。数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，a （n+1），…简记为｛a n ｝。 数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。最后一个数叫末项。 通项公式：数列的第n 项a n 与项的序数n 之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。 2．等差数列的定义： 如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，我们把这样的数列称之为等差数列。前后两项的差叫做等差数列的公差，常用字母d 表示。 3．计算等差数列的相关公式： 通项公式：1 (1)n n d a a =+-（n 为正整数） 前项和公式: 1()2n n a a +（n 为正整数） 4.等差中项 如果在a 和b 中间插入一个数A ，使a 、A 、b 成等差数列，那么A 叫做a 和b 的等差中项。如a 、b 、c 三项成等差数列，则2b=(a+c),这是等差中项的基本性质。 一、 求首项、末项 1、（1）一个等差数列有13项．每一项都比它的前一项大2，并且首项为33，那么末项是多少？ （2）一个等差数列有13项．每一项都比它的前一项小2，并且首项为33，那么末项是多少？ n
2、（1）一个等差数列有10项．每一项都比它的前一项大7，并且末项为125，那么首项是多少？ （2）一个等差数列有10项．每一项都比它的前一项小7，并且末项为125，那么首项是多少？ 3、如图所示，有一堆按规律摆放的砖．从上往下数，第1层有1块砖，第2层有3块砖，第3层有5块砖，……．按 照这个规律，第101层有多少块砖？ 二、求公差 4、（1）一个等差数列首项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？ （2）一个等差数列第4项项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？
