高考数学总复习：统计概率试题(附答案)

统计、概率练习试题

1、【2012高考山东】 (4)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是

(A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差 【答案】D

2、【2012高考四川】交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为（ ）

A 、101

B 、808

C 、1212

D 、2012 【答案】B

3、某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家。为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市__________家。

4、【2012高考陕西】对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则改样本的中位数、众数、极差分别是 （ ）

A ．46，45，56

B ．46，45，53

C ．47，45，56

D ．45，47，53 【答案】A.

5、【2012高考湖北】容量为20的样本数据，分组后的频数如下表

则样本数据落在区间[10,40]的频率为

A 0.35

B 0.45

C 0.55

D 0.65 2【答案】B

6、【2012高考广东】由正整数组成的一组数据1234,,,x x x x ，其平均数和中位数都是2，且

【答案】9

(n x x ++-10、【2012高考安徽】袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于 （A ）15 （B ）25 （C ）35 （D ）4

5

【答案】B

【解析】1个红球，2个白球和3个黑球记为112123,,,,,a b b c c c ，

从袋中任取两球共有

111211121312111213212223121323

,;,;,;,;,;,;,;,;,,;,;,;,;,;,a b a b a c a c a c b b b c b c b c b c b c b c c c c c c c 15种；

满足两球颜色为一白一黑有6种，概率等于

62155

=。 11、【2102高考北京】设不等式组??

?≤≤≤≤2

0,

20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个

点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （A ）

（B ） （C ） （D ）

【答案】D 【解析】题目中??

?≤≤≤≤2

02

0y x 表示的区域如图正方形所示，而动点D

可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此

4

422241

222

ππ-=

??-?=P ，故选D 。 12、【2012高考辽宁】在长为12cm 的线段AB 上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2

的概率为 :(A)

16 (B) 13 (C) 23 (D) 45

【答案】C

【解析】设线段AC 的长为x cm ，则线段CB 的长为(12x -)cm,那么矩形的面积为(12)x x -cm 2

，

由(12)20x x ->，解得210x <<。又012x <<，所以该矩形面积小于32cm 2

的概率为

2

3

，故选C

13、【2012高考浙江】从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，

的概率是___________。 【答案】

25

【解析】

，则为对角线一半，选择点必含中心，概率为1

42542

105

C C ==.

14、【2012高考江苏】现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，

4π22π-6

π

44π

-

若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ． 【答案】

35

。 【考点】等比数列，概率。

【解析】∵以1为首项，3-为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，

∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是

63=105

。 15、从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于

（A ）

1

10

（B ） 18 （C ） 16

（D ）

1

5

16、甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A ． B ． C ． D ．

17、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 11．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[11.5，15.5) 2 [15.5，19.5)

4 [19.5，23.5)

9 [23.5

，

27.5)

18

[27.5，31.5) 1l [31.5，35.5)

12 [35.5，39.5)

7 [39.5

，

43.5)

3

根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占 （A ）

2

11 （B ） 1

3

（C ）

12

（D ）

23

18、从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率

是

A ．

1

10

B ．

3

10

C ．

3

5

D ．

910

19、【2012高考山东】袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.

(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率； (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜

1235233

4

色不同且标号之和小于4的概率.

【答案】(18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的

颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为

3

10 P=.

(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜

色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为

8

15 P=.

20、【2012高考新课标】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.

（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式.

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

(1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；

(2)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.

【答案】

21、【2012高考四川】某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系

统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为

1

10

和p 。 （Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

49

50

，求p 的值； （Ⅱ）求系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。 命题立意：本题主要考查独立事件的概率公式、随机试验等基础知识，考查实际问题的数学建模能力，数据的分析处理能力和基本运算能力. 【答案】 【解析】

22、【2012高考重庆】甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为1

3

，乙每次投篮投中的概率为

1

2

，且各次投篮互不影响。（Ⅰ）求乙获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2个球的概率。

独立事件同时发生的概率计算公式知112211223()()()p D p A B A B p A B A B A =+

112211223()()()()()()()()()p A p B P A P B p A p B P A P B p A =+2222212114

()()()()3232327

=+=

23、【2012高考天津】某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法

从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。

（I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。

（II）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，

（1）列出所有可能的抽取结果；

（2）求抽取的2所学校均为小学的概率。

【答案】

24、【2012高考陕西】假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：

（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；

（Ⅱ）这两种品牌产品中，，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率。【答案】

25、【2012高考江西】如图，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0,1,0,）B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点。

（1）求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；

（2）求这3点与原点O共面的概率。

1、【2012高考浙江】设l是直线，a，β是两个不同的平面

A. 若l∥a，l∥β，则a∥β

B. 若l∥a，l⊥β，则a⊥β

C. 若a⊥β，l⊥a，则l⊥β

D. 若a⊥β, l∥a，则l⊥β

【答案】B

【解析】利用排除法可得选项B是正确的，∵l∥a，l⊥β，则a⊥β．如选项A：l∥a，l

?；选项D：若若a⊥β, l⊥∥β时，a⊥β或a∥β；选项C：若a⊥β，l⊥a，l∥β或lβ

a，l∥β或l⊥β．

2、【2012高考四川】下列命题正确的是（ ）

A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 【答案】C

3、【2012高考新课标】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视

图，则此几何体的体积为（ ）

()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18

【答案】B

【解析】选B 由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3，所以几何体的体积为93362

1

31=????=

V ,选B. 4、[2011·陕西卷] 某几何体的三视图如图1－2所示，则它的体积是( )

图1－2

A ．8－2π3

B ．8－π

3

C ．8－2π D.2π

3

课标理数5.G2[2011·陕西卷] A 【解析】 分析图中所给的三视图可知，对应空间几何图

形，应该是一个棱长为2的正方体中间挖去一个半径为1，高为2的圆锥，则对应体积为：V ＝2×2×2－13π×12×2＝8－2

3

π.

5、【2012高考新课标】平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为

（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 【答案】B

【解析】球半径3)2(12

=

+=r ，所以球的体积为ππ34)3(3

4

3=?，选B.

6、【2012高考全国】已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中 ，2AB =，1CC =，E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为

（A ）2 （B （C （D ）1 【答案】D

【解析】连结BD AC ,交于点O ，连结OE ，因为E O ,是中点，所以1//AC OE ,且

12

1

AC OE =

，所以BDE AC //1，即直线1AC 与平面BED 的距离等于点C 到平面BED 的距离，过C 做OE CF ⊥于F ,则CF 即为所求距离.因为底面边长为2，高为22，所以

22=AC ,2,2==CE OC ,2=OE ,所以利用等积法得1=CF ，选 D.

【解析】A.两直线可能平行，相交，异面故A 不正确；B.两平面平行或相交；C.正确；D.这两个平面平行或相交.

7、在三棱锥O-ABC 中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且OA ＝OB ＝OC,M 是AB 的中点，则OM 与平面ABC 所成角的正弦值是______________

8、如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧 棱的中点，则异面直线所成的角的大小是

。

9、如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，

那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ C ）

A ．60°

B ． 90°

C ．45°

D ．30

10、[2011·四川卷] 如图1－5，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P ＝A 1C 1，连结AP 交棱CC 1于点D .

(1)求证：PB 1∥平面BDA 1；

(2)求二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值．

图1－5

大纲文数19.G12[2011·四川卷] 【解答】 解法一： (1)连结AB 1与BA 1交于点O ，连结OD . ∵C 1D ∥AA 1，A 1C 1＝C 1P ， ∴AD ＝PD ，

又AO ＝B 1O ，∴OD ∥PB 1.

图1－6

又OD ?平面BDA 1，PB 1?平面BDA 1， ∴PB 1∥平面BDA 1.

111ABC A B C M 1CC 1AB BM 和S

E F

C

A

B

(2)过A 作AE ⊥DA 1于点E ，连结BE . ∵BA ⊥CA ，BA ⊥AA 1，且AA 1∩AC ＝A ， ∴BA ⊥平面AA 1C 1C . 由三垂线定理可知BE ⊥DA 1.

∴∠BEA 为二面角A －A 1D －B 的平面角． 在Rt △A 1C 1D 中，A 1D ＝

????122＋12＝52

， 又S △AA 1D ＝12×1×1＝12×5

2×AE ，

∴AE ＝25

5

.

在Rt △BAE 中，BE ＝12＋??

?

?2552＝35

5，

∴cos ∠BEA ＝AE BE ＝2

3

.

故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为2

3.

解法二：

图1－7

如图1－7，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A 1－xyz ，则A 1(0,0,0)，B 1(1,0,0)，C 1(0,1,0)，B (1,0,1)，P (0,2,0)．

(1)在△P AA 1中有C 1D ＝1

2AA 1，即D ????0，1，12. ∴A 1B →＝(1,0,1)，A 1D →＝????0，1，12，B 1P →

＝(－1,2,0)． 设平面BA 1D 的一个法向量为n 1＝(a ，b ，c )， 则?

????

n 1·

A 1

B →＝a ＋c ＝0，n 1·A 1D →

＝b ＋12c ＝0.

令c ＝－1，则n 1＝???

?1，1

2，－1. ∵n 1·B 1P →

＝1×(－1)＋12×2＋(－1)×0＝0，

∴PB 1∥平面BDA 1，

(2)由(1)知，平面BA 1D 的一个法向量n 1＝????1，1

2，－1. 又n 2＝(1,0,0)为平面AA 1D 的一个法向量， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝11×32＝2

3

.

故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为2

3.

11、[2011·天津卷] 如图1－7，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点．

(1)证明PB ∥平面ACM ； (2)证明AD ⊥平面P AC ；

(3)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．

图1－7

课标文数17.G12[2011·天津卷]

图1－8

【解答】 (1)证明：连接BD ，MO .在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO .因为PB ?平面ACM ，MO ?平面ACM ，所以PB ∥平面ACM .

(2)证明：因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC .又PO ⊥平面ABCD ，AD ?平面ABCD ，所以PO ⊥AD .而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面P AC .

(3)取DO 中点N ，连接MN ，AN .因为M 为PD 的中点，所以MN ∥PO ，且MN ＝1

2PO ＝

1.由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角．在

Rt△DAO中，AD＝1，AO＝1

2，所以DO＝

5

2.从而AN＝

1

2DO＝

5

4.在Rt△ANM中，tan∠MAN

＝MN

AN＝

1

5

4

＝

45

5，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为

45

5.