高中数学总复习......集合

集合总复习

一、本章复习建议：

解不等式是高中数学的主要工具之一，建议将 “不等式”拆开，把不等式的解法安排在第一章.

二、考试内容：

(1) 集合、子集、补集、交集、并集． (2)不等式的解法．含绝对值的不等式．

(3)逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．

三、考试要求：

（1）理解集合、子集、补集、交集、交集的概念．了解空集和全集的意义．了解属于、包含、相等关系的意义．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．

（2）掌握简单不等式的解法．

（3）理解逻辑联结词"或"、"且"、"非"的含义．理解四种命题及其相互关系．掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．

四、知识回顾：

基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合间的交、并、补运算. 集合运算的性质； 集合的分类、特性、表示法、常用数集专用符号； 元素与集合、集合与集合的关系； 集合的文氏图、数轴法表示的应用. {|,}{|}{,}

A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈? U 交：且并：或补：且C 主要性质和运算律 包含关系：

,,,,

,;,;,.

U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ?Φ??????????? C

等价关系：U A B A B A A B B A B U ??=?=?= C 集合的运算律：(注意结合“文氏图”)

交换律：.;A B B A A B B A ==

结合律:

()();()(B A C B A C B A C B A ==

分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ=== 等幂律：.,A A A A A A ==

求补律：A ∩ U A=φ A ∪ U A=U U U=φ U φ=U U ( U A)=A 反演律： U (A ∩B)= ( U A)∪( U B) U (A ∪B)= ( U A)∩( U B) 有限集的元素个数

定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0. 基本公式：（1、2、3、5了解；4要记住）

(1)()()()()(2)()()()()

()()()()

card A B card A card B card A B card A B C card A card B card C card A B card B C card C A card A B C =+-=++---+

(3) card( U A)= card(U)- card(A) （4）设有限集合A, card(A)=n,则

(ⅰ)A 的子集个数为n 2； (ⅱ)A 的真子集个数为12-n ；

(ⅲ)A 的非空子集个数为12-n ；(ⅳ)A 的非空真子集个数为22-n . （5）设有限集合A 、B 、C ， card(A)=n ，card(B)=m,m

五、考点典型分析

【1】集合是元素的总体，所以认识集合的关键是先认清元素，特别是用描述法表示的集合，这一点尤为重要. 遇到集合问题，首先要弄清：集合里的元素是什么及集合中元素满足的条件。 集合的辨别:注意数集与点集的区别 例1：

已知{

}

|1A x y ==

，{}2|1B y y x ==+，则=B A .

解析：集合A 中的元素为x ，由x 易知0≥x ，∴}0|{≥=x x A ；

集合B 的元素是y ，由2

0x ≥得1≥y ，∴}1|{≥=y y B . ∴}1|{}1|{}0|{≥=≥≥=x x y y x x B A .

评注：虽然集合A 、B 元素的一般符号不同，但它们的本质是相同的，即都是数集，所以它们

之间可进行运算，集合B A 元素的一般符号用x 或y 都可以.

例2：已知{}2(,)|1A x y y x ==+，{}2|1B y y x ==+，则=B A .

解析：集合A 中的元素为点（x,y ）,而集合B 中的元素为y ，表示一个数. 它们之间可进行不能运算，所以=B A φ 例3：（1）已知A={(x ，y)|x+y=1，x ∈R}，B={(x ，y)|2x-y=2，x ∈R}， 则A ∩B=______； （2）已知A={y|y=x 2

-1，x ∈R}，B={y|y=7-x 2

，x ∈R}， 则A ∩B=________． 分析：第（1）题中A 、B 为点集，所以

1(,)|22x y A B x y x y ?+=???=???-=???=1(,)|{10}0x x y y ?=?

?=???

=???

（描述法）（，）（列举法）:， 第（2）题，因为A 、B 都表示数集，它们分别表示函数y=x 2-1，x ∈R 和y=7-x 2

，x ∈R 的

值域，从整体上把握，应该有A={y|y ≥-1}，B={y|y ≤7}，因此A ∩B={y|-1≤y ≤7}．

【2】判断元素与集合、集合与集合关系题

注意符号“∈”、“?”与“?”、“T”各自的用法．

“∈”与“?”只能用于元素与集合之间；符号“∈”用在元素和集合间表示从属关系；而“?”与“T”是用在两个集合之间．符号“?”用在两集合间表示包含关系如

1∈{1，2}；3?{1，2}；{1}?{1，2}；{a}T{a ，b}等等．

例4：M={x ∈R|x ≤10}，a=3，则下列关系正确的是：A a ∈M B a ?M C {a}∈M D {a}?M

解：a 是元素，{a}与M 是集合，由于310≤，故选（D ）． 判断策略：

1、具体化：对于离散的数集或点集等具有明显特征的集合，可以将集合中的元素一一列举出来，使之具体化，然后从中寻长解题方法． 例5设集合1

|24k M x x k ?

?

==

+∈????

Z ，，1

|4

2k N x x k ??

==

+

∈???

?

Z ，，则（ ）

Ａ．M N = Ｂ．M N ü Ｃ．M N Y Ｄ．M N ≠?

解析一：（列举法）分别取1012k =- ，

，，，，， 得11357

44444

M ?

?

=-???

?

，

，，，，，，113

537

1424

424

N ?

?

=???

?

，，，，，，，，． 易看出，M 中的元素在N 中都有，而N 中的元素如1

2

M ?．M N ∴ü，故选（Ｂ）．

解析二：比较集合中元素的特征：分式通分

121||244k k M x x k x x k +????

==+∈==∈????????Z Z ，，

12||424k k N x x k x x k +????

==+∈==∈????

????

Z Z ，，

因为k ∈z 即k 为整数，所以2k+1为奇数，k+2为整数M N ∴ü

2、图示法：数形结合思想可帮助我们理解集合的本质含义，如在进行有些集合的运算时，

借助数轴示意图表示集合与集合的关系，既易于理解，又能提高解题效率；又如对于集合的交、并、补等运算，用V enn 图描述，比单纯用数学语言要形象直观．

例6已知M={x|x >1}，N={x|x >a}且M ?N ，则（ ）

（A ）a ≤1 （B ）a <1 （C ）a ≥1 （D ）a >1

【3】有关集合运算题:设全集为U ，已知集合A 、B 则

,|{A x x B A ∈= 且}B x ∈,即求公共元素构成的集合

,|{A x x B A ∈= 或}B x ∈，即两集合中的元素并在一起，相同元素只写一次 ,|{U x x A C U ∈=且}A x ∈.即全集中的元素去掉A 中的元素。

注意：有的集合问题比较抽象，解题时若借助韦恩图进行数形分析或利用数轴、图象，采用数形结合思想方法，往往可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.

例7：集,{|U R A x x ==≤2}，{|1}B x x =>-. (1)求A B 及A B ；(2)求

()A B 及

()A B .

解：(1)如图，利用数轴可直观地得到结果：

{|1A B x x =-< ≤2}；A B R = .

(2)

(){|A B x x = ≤1，或2}x >；()A B =? .

例8：{}{}2U=2,3,23,|21|,2,a a A a +-=-{}5,U A =e求实数a 的值.

分析；根据补集的定义，{}5U A =e表示了55A U ∈?且，抓住了这两层，就能准确作答. 解；由{}5U A =e可得，55A U ∈?且 所以2235,24a a a a +-===-解得或 当a ＝2时，｜2a －1｜＝35≠符合题意.

当a =-4时, ｜2a －1｜＝95≠,但是9U ? 值为2.

例9 已知全集U = {x | x 取不大于20的质数}，A 、B 是U 的两个子集，且A (C U B)={3，5}，(C U A) B ={7，19}，(C U A) (C U B) ={2，17}，求集合A 、B ．

解：由于U = {2，3，5，7，11，13，17，19}，

作出如右图所示的Venn 图．集合A 、B 将全集U 划分成了四部分．

① A (C U B)；②(C U A) B ；③A B ；④(C U A) (C U B)(也就是C U (A B))， 它们的并集为全集U ．

已知A (C U B)、(C U A) B 、(C U A) (C U B) 的元素让他们对号入座，剩下的元素组成了A B ．

故A B ={11，13}， 可得A ={3，5，11，13}，

B = {7，11，13，19}．

评析：元素与集合的隶属关系以及集合之间的

包含关系，一般都能通过Venn 图形象表达，再加上由于题设条件比较抽象，也应借助于Venn 图寻找解题思路，这样做有助于直观地分析问题、解决问题．

例10全集U ＝{x |0＜x ≤10，x ∈N*}，若A ∩B ＝{3}，A ∩eU B ＝{1，5，7}，eU A ∩eU B ＝{9}，求A ，B ．分析：本题关系较为复杂，由推理的方法较难，而用韦恩图，则显得简捷． 解：由U ＝{1，2，3，…，9}，据题意，画韦恩图，如右图，

易得A ＝{1，3，5，7}，B ＝{2，4，6，8}． 【4】已知集合关系，求字母参数的范围

x

A

B U

2 46 8

1 57

3

9

例

11、知集合{}22342

M a a =++，，，{}2

07422N a a a =+--，，，，且{}37M N = ，，求实数a 的值．

剖析：{}37M N = ，，2427a a ∴++=．解得 1a =，或5a =-．

当5a =-时，N 中的元素为0，7，3，7，这与集合中元素的互异性矛盾，应舍去5a =-． 当1a =时，{}0731N =，，，，故正确结果是1a =

例12：{}{}|22,|23x a x a B x x A =-<<+=-<<,若A B A = ,求实数a 的取值范围. 分析；化简集合B A 与集合,利用数轴作图，可形象直观地表达出a 所满足的条件. 解：由已知得{}|22,A x a x a =-<<+{}|23B x x =-<<

由A B A = 可得A B ?，注意：A 集合确定，直接数轴作图求解。

所以22

23

a a -≥-??+≤? 解得01a ≤≤

评注：1. 注意端点值的舍取,一个难点和易错点，我们看到取等号时，集合B A 与集合是相等的，此时满足A B ?.若把条件A B A = 改为B A 呢？显然就取不到等号了. 2.将A B A = 转化为A B ?，以数轴直观地表达出了两集合的包含关系．

例13：已知集合A ＝{x ∣x ≥４，或x ＜－５}，Ｂ＝｛x ∣a ＋１≤x ≤a ＋３｝， 若Ａ∪Ｂ＝Ａ，求a 得取值范围．

解：由Ａ∪Ｂ＝Ａ得 Ｂ?Ａ．注意：A 集合确定，直接数轴作图求解 ∴a ＋３<－５，或a ＋１≥４，解得a <－８，或a ≥３．

分析：当a ＝－８时，不符合题意；当a ＝３时，符合题意，

评注：在求集合中字母取值范围时，要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号，否则会导致解题结果错误．

例14、设集合A={x|-2≤x ≤5}，B={x|m+1≤x ≤2m-1}，若B ?A ，求实数m 的取值范围． 注意：Ｂ?Ａ． B 集合不确定，即当m+1>2m-1时，B=Φ，所以需讨论 解析：（1）当m+1>2m-1，即m<2时，B=Φ也符合B ?A ．

（2）B ≠Φ时B ?A ，∴12112215

m m m m +≤-??

+≥-??-≤?

∴233m m m ≥??≥-??≤?即33≤≤-m

因此所求实数m 的范围应为m<2或2≤m ≤3，即m ≤3．

例15：已知A={x|x 2-3x+2=0}，B={x|ax-2=0}，并且A ∪B=A ，求实数a 组成的集合C ．

分析：因为A ∪B=A A B ??，可据此求a 的值，但要注意B=Φ的情形． 解：（1）当a=0时，B=Φ符合题意；

（2）当a ≠0时，B={a 2}，而A={1，2}，

∵A ∪B=A A B ?? ∴a 2=1或a 2=2 ，∴a=2或a=1． 综上，C={0，1，2} ．

注意“?”的特殊性．“?”是不含任何元素的集合．但它在集合大家庭中的地位却不可

-2 3

x

小视， ?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

1、 ?只有唯一的一个子集（即它本身），而无真子集；

2、 任何一个集合与?作交集运算都等于?；任何一个集合A 与?作并集运算都等于A

.遇到A B =? 时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?；同样当A B ?时，你是否忘记?=A 的情形？ 例16：知集合 A = { m ，

m

n ，1}，集合 B = {m 2，m + n ，0}，若A = B ，求实数m 、n 的值．

解法一：20

1n

m

m ?=???=?

所以01n m =??=±?由集合的互异性可知m ≠1．所以m =－1，n = 0

解法二：由 A = B ，得集合中三个数相加对应相等，三个数相乘对应相等，所以 ???

???

??+?=??+++=++.

0)(1,0122

n m m m n m n m m m

n m ? ???±==.1,0m n 由集合的互异性可知m ≠1．所以m =－1，n = 0．

六、基础训练

一、选择题：

1．集合{}5,4,3,2,1=M 的子集个数是 （ ）

A ．32

B ．31

C ．16

D ．15

2．如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是

（ ） A ．0 B ．0 或1 C ．1 D ．不能确定 3．设集合{}

32|≤=x x M ，b a +=11,其中()1,0∈b ，则下列关系中正确的是（ ）

A ．a ≠

?M

B ．M a ?

C ．{}M a ∈

D ．{}a ≠

?M

4．设集合A={x |1＜x ＜2}，B={x |x ＜a }满足A ≠

?B ，则实数a 的取值范围是

（ ）

A ．[)+∞,2

B ．(]1,∞-

C ．[)+∞,1

D ．(]2,∞-

5．满足{1，2，3} ≠?M ≠

?{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是

（ ）

A ．8

B ．7

C ．6

D ．5

6．设全集I={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A C I ∪B C I = （ ）

A ．{0}

B ．{0，1}

C ．{0，1，4}

D ．{0，1，2，3，4}

7．集合A={a 2，a ＋1，-1}，B={2a －1，| a －2 |， 3a 2＋4}，A ∩B={-1}，则a 的值是（ ） A ．－1 B ．0 或1 C ．2 D ．0

8．已知集合M={(x ，y )|4x ＋y =6}，P={(x ，y )|3x ＋2y =7}，则M ∩P 等于 （ ）

A ．(1，2)

B ．{1}∪{2}

C ．{1，2}

D ．{(1，2)}

9．设集合A={x |x ∈Z 且－10≤x ≤－1}，B={x |x ∈Z 且|x |≤5 }，则A ∪B 中元素的个数为 （ ） A ．11

B ．10

C ．16

D ．15

10．已知全集I ＝N ，集合A ＝{x |x ＝2n ，n ∈N}，B ＝{x |x ＝4n ，n ∈N}，则 （ ）

A ．I ＝A ∪B

B ．I ＝A

C I ∪B

C ．I ＝A ∪B C I

D ．I ＝A C I ∪B C I

11．设集合M=},2

14|{},,4

12

|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=，则

（ ）

A ．M =N

B ．N M ?

C ．N M ?

D ．M ∩=N Φ

12．集合A={x |x =2n ＋1，n ∈Z}， B={y |y =4k ±1，k ∈Z}，则A 与B 的关系为

（ ）

A ．A ≠

?B B ．A ≠?B C ．A=B D ．A ≠B 13.（04年全国Ⅰ理）设A 、B 、I 均为非空集合，且满足I B A ??，则下列各式中错误的是 （ B ）

（A ）I B A C I =?)( (B) I B C A C I I =?)()( (C) Φ=?)(B C A I (D) B C B C A C I I I =?)()(

14.（05全国卷Ⅰ）设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =??321，则下面论断正确的是(C)

（A ）Φ=??

）（321S S S C I （B ）123I I S C S C S ??（） （C ）Φ=??）321S C S C S C I I I

（D ）123I I S C S C S ??（）

15.（05湖北卷）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合

P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是 （ B ）

A ．9

B ．8

C ．7

D ．6

16.设集合A 和B 都是坐标平面上点集{（x,y ）︳x ∈R,y ∈R},映射f: A →B 把集合A 中的元素(x,y)映射成集合B 中的元素(x+y,x-y)，则在映射f 下，象(2,1)的原象是 ( ) (A)(3,1) (B) (

21,23) (C)(2

1

,23-) (D)(1,3) 17.（04年北京理）函数??

?∈-∈=M

x x

P x x x f )(，其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定

f(P)={y ︱y=f(x),x ∈P}, f(M)={y ︱y=f(x),x ∈M}.给出下列四个判断，其中正确判断有

（ B ）

①若P ∩M=Φ则f(P)∩f(M)=Φ ②若P ∩M ≠Φ则f(P)∩f(M)≠Φ

③若P ∪M=R 则f(P)∪f(M)=R ④若P ∪M ≠R 则f(P)∪f(M)≠R

A 1个

B 2个

C 3个

D 4个

18.（06安徽卷）设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()

R C A B 等于（ ）

A ．R

B ．{},0x x R x ∈≠

C ．{}0

D ．? 解：[0,2]A =，[4,0]B =-，所以(){0}R R C A B C = ，故选B 。 19（06卷）若A 、B 、C 为三个集合，C B B A ?=?，则一定有

（A ）C A ? （B ）A C ? （C ）C A ≠ （D ）φ=A 【思路点拨】本题主要考查.集合的并集与交集运算，集合之间关系的理解。 【正确解答】因为A A B C B C ?? 且A B C B = 由题意得A C ?所以选A

【解后反思】对集合的子、交、并、补运算，以及集合之间的关系要牢固掌握。本题考查三个抽象集合之间的关系，可以考虑借助与文氏图。

20.（06卷I ）设集合{}

2

0M x x x =-<，{}2N x x =<，则

A ．M N =?

B ．M N M =

C ．M N M =

D ．M N R = 解：{}

2

0M x x x =-<={|01}x x <<，{}2N x x =<={|22}x x -<<，

∴ M N M = ，选B.

21.（06重庆卷)已知集合U ={1,2,3,4,5,6,7}, A ={2,4,5,7},B ={3,4,5},则(u A )∪(u B )= (A){1,6} (B){4,5} (C){1,2,3,4,5,7} (D){1,2,3,6,7} 解析：已知集合{}{}{}5,4,3,7,5,4,2,7,6,5,4,3,2,1===B A U ，(u A ) ={1，3，6}，(u B ) ={1，2，6，7}，则(u A )∪(u B )＝{1，2，3，6，7}，选D. 22．（06辽宁卷）设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ?=的集合B 的个数是

(A)1 (B)3 (C)4 (D)8

【解析】{1,2}A =，{1,2,3}A B ?=，则集合B 中必含有元素3，即此题可转化为求集合{1,2}A =的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有224=个。故选择答案C 。 二、填空题：

23．设集合U ={(x ，y )|y =3x －1}，A ={(x ，y )|1

2--x y =3}，则C U A = .

24．集合M={a |

a

-56∈N ，且a ∈Z}，用列举法表示集合M=_____ ___．

25．设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，则T/S 的值

为 .

26．设A={x |x 2

＋x －6=0}，B={x |mx ＋1=0}，且A ∪B=A ，则m 的取值范围是 .

三、解答题：

27．已知集合A ＝｛x ｜－1＜x ＜3}，A ∩B ＝?，A ∪B ＝R ，求集合B ． 28．已知集合A ={x |1≤x ＜4}，B ={x |x ＜a };若A B ，求实数a 的取值集合．

29．已知集合A={－3，4}，B={x |x 2－2px ＋q =0}，B ≠φ，且B ?A ，求实数p ，q 的值． 30．设集合A={x |x 2

＋4x =0}，B={x |x 2

＋2(a ＋1)x ＋a 2

－1=0} ，A ∩B=B ， 求实数a 的值． 31．已知集合A={}52≤≤-x x ，{}121-≤≤+=m x m x B ，且A B A = ，求实数m 的取值范

围。

32．集合A ＝｛x ｜x 2

－ax ＋a 2

－19＝0｝，B ＝｛x ｜x 2

－5x ＋6＝0｝，C ＝｛x ｜x 2

＋2x －8＝0｝．

（1）若A ∩B ＝A ∪B ，求a 的值； （2）若?

A ∩

B ，A ∩

C ＝?，求a 的值．

33．已知集合A={}xy y x y x ,,+-，B={}0,,2222y x y x -+，A=B ，求x ，y 的值。 34．已知集使A={}

0)1()1(222>++++-a a y a a y y ，B=?

??

?

??≤≤+

-=

30,25

2

12

x x x y y ， A ∩B=φ，求实数a 的取值范围.

35．已知函数y=3x+1的定义域为A={}d c b ,,,3，值域为B={}2324,7,3,5220a a a a a ++++求a+b+c+d.

七、实战训练A

一、选择题

1．（07全国1理）设,a b R ∈，集合{1,,}{0,

,}b a b a b a

+=，则b a -=

A ．1

B ．1-

C ．2

D ．2- 2、（07山东文理2）已知集合1

1{11}|

2

42x M N x x +?

?

=-=<<∈????

Z ，，，，则M N = （ ）

A ．{11}-，

B ．{0}

C ．{1}-

D ．{10}-，

3、（07广东理1）已知函数()

f x =的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M ∩N=

（A ）{|1}x x >- （B ）{|1}x x < （C ）{|11}x x -<< （D ）?

4、（07广东理8）设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b ∈S,对于有序元素对(a,b)，在S 中有唯一确定的元素a*b 与之对应）。若对于任意的a,b ∈S,有a*( b

* a)=b ，则对任意的a,b ∈S,下列等式中不．

恒成立的是A （A ）( a * b) * a =a (B) [ a*( b * a)] * ( a*b)=a （C ）b*( b * b)=b （D ）( a*b) * [ b*( a * b)] =b 5、（07安徽理5）若}{

2228x A x -=∈Z ≤<，{2R

|log |1}B x x =∈>，则)(C R B A ?的元素

个数为 （A ）0

（B ）1

（C ）2

（D ）3

6、（07江苏2）已知全集U Z =，2{1,0,1,2},{|}A B x x x =-==，则U A C B 为（A ）

A ．{1,2}-

B ．{1,0}-

C ．{0,1}

D ．{1,2} 7、（07福建理3）已知集合A ＝{x|x

=R ，则实数a 的取值范围是

A

a

B a<1

C a 2

D a>2

8、（07湖南理3）设M N ，是两个集合，则“M N ≠? ”是“M N ≠? ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分又不必要条件

9、（07湖南文理10）设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，

，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈ 、，，，，）

，都有 m in m in

j j i i i i j j a b a b b a b a ????

??

≠????

????

??

，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值是（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13

10、（07江西理6）若集合{}012M =，

，， {}()210210N x y x y x y x y M =-+--∈，≥且≤，，，则N 中元素的个数为（ ）

Ａ．9 Ｂ．6 Ｃ．4 Ｄ．2

11、（07湖北理3）设P 和Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈?，且，如果

{}2|l o g 1P x x =<

，{}|21Q x x =-<，那么P Q

-等于（ ） Ａ．{}|01x x <<

Ｂ．{}|01x x <≤

Ｃ．{}|12x x <≤

Ｄ．{}|23x x <≤

12、（07辽宁理1）设集合{12345}U =，，，，，{13}A =，，{234}B =，，，则()()U U

A B = 痧（ ）

A ．{1}

B ．{2}

C ．{24}，

D ．{1234}，，，

13、（07陕西理2）已知全信U ＝{1，2，3， 4，5}，集合A ＝{}2

3Z <-∈x x ,则集合C u

A 等于

（A ）{}4,3,2,1 （B ）{}4,3,2 (C) {}5,1 (D) {}5Z

14、（07陕西理12）设集合S={A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算为：A i ⊕A j =A k ,其中k 为I+j 被4除的余数，i 、j=0,1,2,3.满足关系式=（x ⊕x ）⊕A 2=A 0的x(x ∈S)的个数为 A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题

15、（07北京理12）已知集合{}|1A x x a =-≤，{}

2

540B x x x =-+≥．若A B =? ，则

实数a 的取值范围是 ．

八、实战训练B

一．

选择题：

1.（08四川卷１）设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则=)(B A C U ( ) A {}2,3 B {}1,4,5 C {}4,5 D {}1,5

2.（08天津卷1）设集合|0{8}x x N U =∈<≤，{1,2,4,5}S =，{3,5,7}T =，则=)(T C S U A {1,2,4} B {1,2,3,4,5,7} C {1,2} D {1,2,4,5,6,8}

3.（08安徽卷2）．集合{}|lg ,1A y R y x x =∈=>，}{2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D

．

}{()2,1R C A B =--

4.（08山东卷1）满足M ?｛a 1, a 2, a 3, a 4｝,且M ∩｛a 1 ,a 2, a 3｝={ a 1·a 2}的集合M 的个数是

A 1

B 2

C 3

D 4

5.（08江西卷2）定义集合运算:{},,.A B z z xy x A y B *==∈∈设{}1,2A =,{}0,2B =,则集

合A B *的所有元素之和为

A ．0

B ．2

C ．3

D ．6

6.（08陕西卷2）已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合)(B A C U 中元素的个数为（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

7.（08全国二1）设集合{|32}M m m =∈-<

B ．{}101-，，

C ．{}012，

，

D ．{}1012-，，，

8.（08北京卷1）已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合)(B C A U 等于（ ） A ．{}|24x x -<≤ B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤

D ．{}|13x x -≤≤

9.（08浙江卷2）已知U=R ，A={}0|>x x ,B={}1|-≤x x ,则（A ()()=A C B B C A u u D A ? B {}0|≤χχ C {}1|->χχ D {}10|-≤>χχχ或

10.（08辽宁卷1）已知集合{}3

|0|31x M x x N x x x +??

==<=-??-?

?

，≤，则集合{}|1x x ≥＝（ ） A ．M N B ．M N

C ．)(N M C U

D ．)(N M C U

二．

填空题：

11.（08上海卷2）若集合{}|2A x x =≤，{}|B x x a =≥满足{2}A B = ，则实数a = ． 12.（08江苏卷4）A={()}2

137x x x -<-，则A Z 的元素的个数 ． 13.(08

重庆卷

11）设集合

U ={1,2,3,4,5},A ={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则

)()(C C B A U = .

14.（08福建卷16）设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈R ，都有a +b 、a -b ， ab 、

a

b

∈P （除数b ≠0），则称P 是一个数域.例如有理数集Q 是数域；数集{}

,F a b Q =+∈也

是数域.有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q M ?，则数集M 必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号填填上）.

九、知识扩充：

（1）、已知集合A={}

有意义使2x ax a y x -=，集合B={}

有意义使2x ax a y y -=，A=B 是否可能成立？如可能成立，求出使A=B 的a 的取值范围，如不可能成立，说明理由.

（2）、定义域为{}0,≠∈x R x x 且的奇函数f(x)在（0，+∞）上单调递增，而f(1)=0，设函数g(x)=sin 2x+kcosx －2k （x ∈[0，

2

π

]）集合M={}()0k g x <使 N={}[()]0k f g x <使，求M ∩N.

高中数学专题-集合的概念及其基本运算

高中数学专题-集合的概念及其基本运算 【考纲考点剖析】 考 点 考纲内容 5年统计 分析预测 1.集合间的 基本关系 1．了解集合、元素的含义及其关系。 2．理解全集、空集、子集的含义， 及集合之间的包含、相等关系。 3．掌握集合的表示法 (列举法、描述法、Venn 图)。 1.集合交、并、补的运算是考查的热点； 2.集合间的基本关系 很少涉及； 3.题型：选择题 4.备考重点： (1) 集合的交并补的混合运算； (2) 以其他知识为载体考查集合之间的关系； (3) 简单不等式的解法. 2.集合的基 本运算 1．会求简单集合的并集、交集。 2．理解补集的含义，且会求补集。 【知识清单】 1．元素与集合 (1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性． (2)集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a A ∈；若b 不属于集合A ，记作b A ?． (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集及其符号表示 数集 自然数 集 正整数 集 整数集 有理数 集 实数集 符号 N N *或 N ＋ Z Q R 2．集合间的基本关系 （1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合

A 包含于集合 B ，或集合B 包含集合A ，也说集合A 是集合B 的子集。记为A B ?或B A ?． （2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果A B ?，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集。记为A B ?≠． （3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集． （4）若一个集合含有n 个元素，则子集个数为2n 个，真子集个数为21n -． 3．集合的运算 (1)三种基本运算的概念及表示 名称 交集 并集 补集 数学 语言 A∩B={x|x ∈A,且x ∈B} A ∪B={x|x ∈A,或x ∈B} C U A={x|x ∈ U,且x ?A} 图形 语言 （2）三种运算的常见性质 A A A =I ， A ?=?I ， A B B A =I I ， A A A =U ， A A ?=U ， A B B A =U U ． (C A)A U U C =，U C U =?，U C U ?=． A B A A B =??I , A B A B A =??U , ()U U U C A B C A C B =U I , ()U U U C A B C A C B =I U ． 【重点难点突破】 考点1 集合的概念 【1-1】【全国卷II 理】已知集合，则中元素的 个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A

2016届高考数学经典例题集锦：数列(含答案)

数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②

(完整版)高一数学集合练习题及答案(人教版)

一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=} { 12x x <<，B=} { x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤

9、 满足条件M U }{1=}{ 1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题（每题3分，共18分） 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|2 0x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人. 三、解答题（每题10分，共40分） 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式

新高中数学《集合》专项测试 (1145)

高中数学《集合》测试题 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、选择题 1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对）） 2．设集合{|1A x =-≤x ≤2},B={x |0≤x ≤4},则A ∩B=A (A)［0,2］ (B)［1,2］ (C)［0,4］ (D)［1,4］(2006年高考浙江理) 3．设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ?=的集合B 的个数是（ ） (A)1 (B)3 (C)4 (D)8(2006辽宁理) 4．已知集合M ={x |x 2＜4}，N ={x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N 等于( ) A.{x |x ＜－2} B.{x |x ＞3} C.{x |－1＜x ＜2} D.{x |2＜x ＜3}（2004全国Ⅱ1） 5．若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z ︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2（2012江西理） C 6．设集合A={x|1＜x ＜4}，集合B ={x|2x -2x-3≤0}, 则A ∩（C R B ）= A .(1,4) B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2)∪（3,4） 7．若关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为实数集R ，则a 、b 、c 应满足的条件为-----------------------------------------------------------------------（ ） （A ） a ＞0，b 2―4ac ＞0 （B ） a ＞0，b 2 ―4ac ＜0 （C ） a ＜0，b 2―4ac ＞0 （D ） a ＜0，b 2―4ac ＜0 二、填空题 8．已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合{}321,,a a a A =，则满足

高一数学平面向量知识点及典型例题解析

高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任 取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解 析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段

高中数学集合知识点(明细)

集合 1.集合的含义与表示 （1 的元素，则记作x∈A。 （2）集合中的元素有三个特征： a.确定性（集合中的元素必须是确定的） b.互异性（集合中的元素互不相同。例如：集合A={1，a}，则a 不能等于1） c.无序性（集合中的元素没有先后之分。） （3）常见的集合符号表示： N：非负整数集合或自然数集合{0,1,2,3,…} N*或N+：正整数集合{1,2,3,…} Z：整数集合{…,-1,0,1,…} Q：有理数集合 Q+：正有理数集合 Q-：负有理数集合 R：实数集合(包括有理数和无理数） R+：正实数集合 R-：负实数集合 C：复数集合 ?：空集合（不含有任何元素的集合称为空集合，又叫空集） （4）表示集合的方法： a.列举法：{红，绿，蓝}，A={a,b,c,d}··· b.描述法：B={x|x2=2}，{代表元素|满足的性质}··· c.Venn 图：用一条封闭的曲线内部表示一个集合的方法。

（1）子集：对于两个集合A，B. 若任意a∈A，都有a∈B，则称集合A 被集合B 所 包含(或集合B 包含集合A)，记做A?B，此时称集合A 是集合B的子 集。 （2）真子集：若A?B，且存在a∈B但a?A 则称集合A是集合B的真子集，记做 A?B. （3）由子集的定义可知子集有这样三条主要的性质： a.规定: 空集(不含任何元素的集合叫做空集,记为f)是任何集合的子集 b. 任何一个集合是它本身的子集. c. 子集具有传递性. 如果A?B, B?C ,那么A?C. *假设非空集合A中含有n个元素，则有： 1.A的子集个数为2n。 2.A的真子集的个数为2n-1。 3.A的非空子集的个数为2n-1。 4.A的非空真子集的个数为2n-2。

高中数学圆的方程典型例题及详细解答

新课标高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？

人教版高中数学集合教案

1.1.1 集合 教学目标: 1、理解集合的概念和性质. 2、了解元素与集合的表示方法. 3、熟记有关数集. 4、培养学生认识事物的能力. 教学重点:集合概念、性质 教学难点:集合概念的理解 教学过程: 1、定义： 集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）. 元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 由此上述例中集合的元素是什么？ 例（1）的元素为1、3、5、7， 例（2）的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点， 例（3）的元素为满足不等式3x-2> x+3的实数x， 例（4）的元素为所有直角三角形， 例（5）为高一·六班全体男同学. 一般用大括号表示集合，{ …}如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}。则上几例可表示为…… 为方便，常用大写的拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5} 2

（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性. 3、元素与集合的关系：隶属关系 元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?（? 也可表示为 ）两种。 如A={2，4，8，16}，则4∈A ，8∈A ，32 A. 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集A 记作 a ∈A ，相反，a 不属于集A 记作 a ?A （或a A ） 注：1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q …… 元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q …… 2、“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写。 4 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。 （2）非负整数集内排除0的集。记作N *或N + 。Q 、Z 、R 等其它数集内排除0 的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 请回答：已知a+b+c=m ，A={x|ax 2+bx+c=m}，判断1与A 的关系。 1.1.2 集合间的基本关系 教学目标：1.理解子集、真子集概念； 2.会判断和证明两个集合包含关系； 3 . 理解 ”、“?”的含义； 4.会判断简单集合的相等关系； 5.渗透问题相对的观点。 教学重点：子集的概念、真子集的概念 教学难点：元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算 教学过程： 观察下面几组集合，集合A 与集合B 具有什么关系？ (1) A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}. (2) A={x|x>3},B={x|3x-6>0}. (3) A={正方形}，B={四边形}. (4) A=?，B={0}. ∈?∈

高一数学集合知识点总结归纳

高一数学集合知识点总结归纳 1.集合的有关概念。 1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 ②集合中的元素具有确定性(a?a和a?a，二者必居其一)、互异性(若a?a，b?a，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。 ③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件 2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类：有限集，无限集，空集。 4)常用数集：n，z，q，r，n* 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集：若对x∈a都有x∈b，则a b(或a b); 2)真子集：a b且存在x0∈b但x0 a;记为a b(或，且 ) 3)交集：a∩b={x| x∈a且x∈b} 4)并集：a∪b={x| x∈a或x∈b} 5)补集：cua={x| x a但x∈u}

注意：①? a，若a≠?，则? a ; ②若，，则 ; ③若且，则a=b(等集) 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与、?的区别;(2) 与的区别;(3) 与的区别。 4.有关子集的几个等价关系 ①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub; ④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。 5.交、并集运算的性质 ①a∩a=a，a∩? = ?，a∩b=b∩a;②a∪a=a，a∪? =a，a∪b=b∪a; ③cu (a∪b)= cua∩cub，cu (a∩b)= cua∪cub; 6.有限子集的个数：设集合a的元素个数是n，则a有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。 【例1】已知集合m={x|x=m+ ,m∈z},n={x|x= ,n∈z},p={x|x= ,p∈z}，则m,n,p满足关系 a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m 分析一：从判断元素的共性与区别入手。 解答一：对于集合m：{x|x= ,m∈z};对于集合n：{x|x= ,n ∈z} 对于集合p：{x|x= ,p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都

高一数学必修一《集合》专题复习

高一数学必修一《集合》专题复习 一．集合基本概念及运算 1．集合{}1,2,3的真子集的个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 2．已知{}{}1,2,3,2,4A B ==，定义{}|A B x x A x B -=∈?且，则A B -= A. {}1,2,3 B. {}2,4 C. {}1,3 D. {}2 3.已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=, 那么集合N M ?为 （ ） A. 3,1x y ==- B. {}(,)|31x y x y ==-或 C. (3,1)- D. {(3,1)}- 4．已知集合2{|2,}M y y x x ==-+∈R ，集合}{|2,02x N y y x ==≤≤,则 ()M N =R e（ ） A ．[]1,2 B ．(]2,4 C ．[)1,2 D ．[)2,4 5.已知{}{}222,21x A y y x x B y y ==-++==-，则A B = _________。 6、已知R x ∈ ，集合{}{}11231322+--=+-=x ,x ,x B ,x ,x ,A 如果{}3A ?B =-，求x 的值和集合A?B ． 7. 已知{}23,(5,)A x a x a B =≤≤+=+∞，若,A B =? 则实数a 的取值范围为 ▲ . 8．已知集合，，且，求实数 的取值范围。 9．设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{} 2|(1)0B x x m x m =+++=； 若A B ?，求m 的值。 10.已知集合{}{}{}|28,|16,|A x x B x x C x x a =≤≤=<<=>，U R =. (I)求A B ， U C A B ；(II)若A C ≠? ,求实数a 的取值范围．

高一数学集合练习题专题训练(含答案)

高一数学集合练习题专题训练 姓名班级学号得分 说明： １、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分100分。考试时间90分钟。 ２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。考试结束后，只收第Ⅱ卷 第Ⅰ卷（选择题） 一．单选题（共__小题） 1．下列写法： （1）{0}∈{1，2，3}；（2）??{0}；（3）{0，1，2}?{1，2，0}；（4）0∈? 其中错误写法的个数为（） A．1B．2C．3D．4 2．已知集合M={a|a=+，k∈Z}，N={a|a=+，k∈Z}，则（） A．M=N B．M?N C．N?M D．M∩N=? 3．下列各式正确的是（） A．2?{x|x≤10}B．{2}?{x|x≤10}

C．?∈{x|x≤10}D．??{x|x≤10} 4．下列各式：①1∈{0，1，2}；②??{0，1，2}；③{1}∈{0，1，2004}；④{0，1，2}?{0，1，2}；⑤{0，1，2}={2，0，1}，其中错误的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 5．设A、B是两个集合，对于A?B，下列说法正确的是（） A．存在x0∈A，使x0∈B B．B?A一定不成立 C．B不可能为空集D．x0∈A是x0∈B的充分条件 6．设U为全集，集合M、N?U，若M∪N=N，则（） A．?U M?（?U N）B．M?（?U N）C．（?U M）?（?U N）D．M?（?U N） 7．设集合A={（x，y）|-=1}，B={（x，y）|y=}，则A∩B的子集的个数是（）A．8B．4C．2D．1 8．已知集合A={0，1，2}，则集合B={x-y|x∈A，y∈A}的子集个数是（） A．5B．8C．16D．32 9．下列四个集合中，是空集的是（） A．{0}B．{x|x＞8，且x＜5} C．{x∈N|x2-1=0}D．{x|x＞4} 10．已知集合A={x|＜-1}，B={x|-1＜x＜0}，则（） A．A B B．B A C．A=B D．A∩B=? 11．已知集合A={1，2，3}，则B={x-y|x∈A，y∈A}中的元素个数为（）

人教版高中数学必修1集合教案

一集合（§1.1.1 集合） 教学时间 :第一课时 课题:§1.1.1 集合 教学目标: 1、理解集合的概念和性质. 2、了解元素与集合的表示方法. 3、熟记有关数集. 4、培养学生认识事物的能力. 教学重点:集合概念、性质 教学难点:集合概念的理解 教学方法:尝试指导 教具准备:投影片（3张） 教学过程: （I）引入新课 同学们好！首先，我祝贺大家能升入苍梧第一高级中学进行高中学习。下面我想初步了解一下同学们的情况。请来自××中学的同学站起来。依次询问他们的名字，并板书。同样询问来自另一学校学生情况。××同学你为什么不站起来？来自××中学的三位虽然性别不同，年龄有差异，但他们有一个共同的性质——来自××中学。所以，在数学上可以把他们看作为有3个元素的集合（板书课题：集合，并将其姓名用{ }括起来），同样，××中学的二位同学也可看作有2个元素的集合。显然，刚才抽到的××同学如果作为一个元素就不属于上面这两个集合了。同学们！这节课我们将系统地研究集合的一些概念。讲四个问题：（1）集合和元素；（2）集合的分类；（3）集合的表示方法；（4）为什么要学习集合的表示方法？ （II）复习回顾 师生共同回顾初中代数中涉及“集合”提法. （Ⅲ）讲授新课

通过以上实例，教师指出： 1、定义： 集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）. 师：进一步指出： 元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 由此上述例中集合的元素是什么？ 生：例（1）的元素为1、3、5、7， 例（2）的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点， 例（3）的元素为满足不等式3x-2> x+3的实数x， 例（4）的元素为所有直角三角形， 例（5）为高一·六班全体男同学. 师：请同学们另外举出三个例子，并指出其元素. 生：略.（教师给予评议）。 师：一般用大括号表示集合，{ …}如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}。则上几例可表示为…… 为方便，常用大写的拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5} 2 生：在师指导下一一回答上述问题. 师：由以上四个问题可知， 集合元素具有三个特征： （1）确定性；（2）互异性；（3）无序性. 3、元素与集合的关系：隶属关系 ∈师：元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?（?也可表示为）两种。

高中数学专题-集合间的关系与基本运算

1.1集合间的关系与基本运算 命题角度1集合的表示、集合之间的关系 高考真题体验·对方向 1.(全国Ⅰ·1)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为 () A.5 B.4 C.3 D.2 答案 D 解析由条件知,当n=2时,3n+2=8,当n=4时,3n+2=14.所以A∩B={8,14}.故选D. 2.(全国Ⅰ·1)已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-10},N=,则() A.M?N B.N?M C.M=N D.M∪N=R 答案 C 解析集合M={x|x2-x>0}={x|x>1或x<0},N=,两个集合相等.故选C. 3.(山东济宁一模)已知集合A={x∈Z|x2+3x<0},则满足条件B?A的集合B的个数为() A.2 B.3 C.4 D.8 答案 C 解析由集合A={x∈Z|x2+3x<0}={-1,-2},由B?A,所以集合B的个数为22=4,故选C. 4.(2018河北衡水中学七调)设集合A={x||x|<2},B={x|x>a},全集U=R,若A?(?U B),则有() A.a=0 B.a≤2 C.a≥2 D.a<2

高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案

高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0?

高一数学集合知识点归纳

高一数学集合知识点归纳 高一数学的集合学习以及总结需要把集合相关知识点进行归纳，只有把知识点归纳好才可以学好高一数学集合，以下是我总结了高一数学的知识点，希望帮到大家更好地归纳好集合的知识点同时复习好集合。 一、知识点总结 1.集合的有关概念。 1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 ②集合中的元素具有确定性、互异性和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。 ③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件 2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类：有限集，无限集，空集。 4)常用数集：N，Z，Q，R，N* 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集：若对x∈A都有x∈B，则AB(或AB); 2)真子集：AB且存在x0∈B但x0A;记为AB(或，且) 3)交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}

4)并集：A∪B={x|x∈A或x∈B} 5)补集：CUA={x|xA但x∈U} 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号。 4.有关子集的几个等价关系 ①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB; ④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。 5.交、并集运算的性质 ①A∩A=A，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪B=B∪A; ③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB; 6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。 二、集合知识点整合 集合具有某种特定性质的事物的总体。这里的“事物”可以是人，物品，也可以是数学元素。例如:1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集:紧急~。2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素:有理数的~。3、口号等等。集合在数学概念中有好多概念，如集合论:集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。康托(Cantor，G.F.P.，1845年—1918年，德国数学家先驱，是集合论的创始者，目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学的所有领域。 集合，在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念?基础概念是不能用其他概念加以定义的概念。集合的概念，可通过直观、公理的方法来下“定义”。 集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，使之成为一个整体(或称为单体)，这一整体就是集合。组成一集合的那些对象称

高中数学专项训练(集合真题版本)

2019年专项训练 （集合真题版本）（含答案） 一、选择题（本大题共17小题，共85分） 1.设集合A={x|x2-4x+3＜0}，B={x|2x-3＞0}，则A∩B=（） A. B. C. D. 2.已知集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（） A. 0，1，2， B. 0，1， C. 2， D. 3.已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x-2）＜0，x∈Z}，则A∪B等于（） A. B. C. 1，2， D. 0，1，2， 4.已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（） A. B. C. D. 5.设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则?A B=（） A. B. C. 6， D. 4，6，8， 6.设集合A={1，2，4}，B={x|x2-4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（） A. B. C. D. 7.设集合S={x|（x-2）（x-3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（） A. B. C. D. 8.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（?U P） ∪Q=（） A. B. C. 2，4， D. 2，3，4， 9.设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（） A. B. C. D. 10.设函数的定义域为A，函数的定义域为B，则 A. B. C. D. 11.设集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}，则?U（A∪B）= （） A. B. C. 3，4， D. 2，4， 12.已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（） A. B. 或 C. D. 或 13.已知集合P={x∈R|1≤x≤3}，Q={x∈R|x2≥4}，则P∪（?R Q）=（）

高中数学排列组合经典题型全面总结版

高中数学排列与组合 （一）典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题： 1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种

高中数学-集合与简易逻辑知识点

集合与简易逻辑知识点 知识点内容典型题 元素与集合、集合与集合的关系 ①、∈只能表示元素与集合的关 系，而、、 ?、?、＝只能表示集 合与集合的关系. ②0、{0}、的关系是常见题型， 如:数集{0}与空集的关系是（） A.{0}＝ B.{0}∈ C.∈{0} D.?{0} ③常用数集:R、R*、R＋、R ＋ 、Q、 Z、N.（注意*、＋、＋的不同含义） ④是任何集合的子集，是任何非． 空．集合的真．子集. ⑤n个元素的集合的真子 ．．集．个数 为:2n－1. 1.下列关系中正确的是（） A.0 B.0∈ C.0＝ D.0≠ 2.已知a＝－3，A＝{x│x2＝9}，则下 列关系正确的是（） A.a A B.{a}A C.{a}∈A D.a A 3.下列命题为真命题的是（） A.3{3} B. 3∈{3} C.3{1，2，3} D. 3∈ 4.若a＝1，集合A＝{x│x＜2}，则下 列关系中正确的是（） A.a A B.{a}A C.{a}∈A D.{a}A 集合的运算 ①掌握好求交、并、补集的基本含 义和方法，特别是C U A的含义. ②有限元素集之间的运算，常根据 定义解答，如: ⑴{0，1，2}∩{0，3，5}＝. ⑵{x∈N│x＜3}∩{x∈Z│0＜x＜10} ＝. ③无限元素集之间的运算，可用数 轴法，如: 设集合A＝{x│－1＜x≤2}，B＝ {x│－2＜x≤1}则A∩B＝. ④点集运算，常联立解方程组，如: A＝{(x，y)│x＋y＝2}，B＝{(x , y)│x－ y＝1}，则A∩B＝. 5.设集合A＝{x∈Z│0＜x＜4}，B＝ {2,3,4,5,6}，则A∩B＝. 6.已知集合A＝{x│x＞0}，B＝{x│x＝ 0}，则A∩B是（） A.{x│x≥0} B.{x│x＞0} C.{0} D. 7.设M＝{x│2≤x≤5}，N＝{x│－1≤ x≤3}，则M∪N等于 . 8.设集合U＝R，A＝{x│－2＜x＜3}， 则集合C U A＝. 9.若全集U＝{x∈Z│x≥0}，则C U N＋ ＝. 10.已知全集U＝N，集合A＝{x∈N│ x＞10}，B＝{x∈N│x≥3}，则 C U(A∪B)＝.

高中数学集合专题突破

数学集合专题突破一集合与函数知识

集合 定义 特征 一组对象的全体形成一个集合 确定性、互异性、无序性 表示法 分类 列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P} 有限集、无限集 数集 关系 自然数集N、正整数集、整数集Z、有理数集Q、实数集R、空集φ 元素和集合的关系是如 集合与集合之间的关系是 运算 性质 交集 A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；并集 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}； 补集＝{x|xA且x∈U}，U为全集 AA； φA；若AB，BC，则AC； A∩A＝A∪A＝A； A∩φ＝φ；A∪φ＝A；A∩B＝AA∪B＝BAB； A∩CA＝φ； A∪CA＝I；C( CA)＝A 方法 韦恩示意图数轴分析 注意：① 区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}； ② AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ4. ③ 对于任意集合，则 ；； ④ 若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是，所有非 空子集的个数是，所有非空真子集的个数是。 若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是，所有非空子集的个数是，所有非空真子集的个数是。

二集合解题方法 1 取特殊值应用列举法已知则（）。 2 取特例应用特殊化法例：设均为非空集合，且满足则下列各式中错误的是（）。 3 应用有限集合子集个数公式对于有限集合中共有个元素，常有下面四个结论：的子集个数有个；的非空子集个数有个；的真子集个数有个；的非空真子集个数有个。适当应用上述四个结论，可以很容易的解有关问题。 例：已知为常实数，那么集合的子集的个数是 4 分类逐一验证法例：集合若则实数的值为 5 分类讨论例：已知。（1）若A 中只有一个元素，求的值，并求出这个元素。（2）若A 中至少有一个元素，求的取值范围。 6 应用方程的思想利用集合关系，建立一些方程关系式，通过解方程或应用方程有关性质结合集合中元素的互异性等解决某些问题，是一种重要的思想方法。 例：已知其中若，求之值。