导数的综合应用(1)
导数的综合应用(1)
切线
1.已知函数32
()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极小值－4，使其导数'()0f x >的x 的取值范围为(1,3)，求：
（1）()f x 的解析式；
（2）若过点(1,)P m -可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围． 2.已知函数）（）（02
3≠++=a cx bx ax x f 是定义在R 上的奇函数，且1-=x 时，函数取极值1． (1)求c b a ，，的值；
(2)若[]1121，，-∈x x ，求证：221≤-）（）（x f x f ；
(3)求证：曲线)(x f y =上不存在两个不同的点B A ，，使过B A ，两点的切线都垂直于直线AB ．
3. 已知()00,P x y 是函数()ln f x x =图象上一点，在点
P 处的切线与x 轴交于点B ，过点P 作x 轴的垂线，
垂足为A .
（1）求切线的方程及点B 的坐标；
（2）若()00, 1x ∈，求PAB ?的面积S 的最大值，并求
此时0x 的值.
4.已知函数)(,3,sin )(x f x x b ax x f 时当π=
+=取得极小值33-π
.
（Ⅰ）求a ，b 的值；
（Ⅱ）设直线)(:),(:x F y S x g y l ==曲线. 若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件：
（1）直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点；
（2）对任意x ∈R 都有)()(x F x g ≥. 则称直线l 为曲线S 的“上夹线”.
试证明：直线2:+=x y l 是曲线x b ax y S sin :+=的“上夹线”.
5.（本小题满分14分）已知函数32
1()1(,3
R f x x ax bx x a =+-+∈，b 为实数）有极值，且在1=x 处的切线与直线01=+-y x 平行.
（1）求实数a 的取值范围；
（2）是否存在实数a ，使得函数)(x f 的极小值为1，若存在，求出实数a 的值；若不
存在，请说明理由；
（3）设),,0(,3)1()(),()(,21+∞∈-+'='=x x
x f x g x f x f a 令的导数为 求证：1()22()N n n n n g x x n x
*---∈≥. 恒成立问题 （函数最值问题）
1.已知函数1)(23+++=cx bx x x f 在区间]2,(--∞上单调递增，在区间[－2，2]上单调递减，且.0≥b
（Ⅰ）求)(x f 的解析式；
（Ⅱ）设20≤ 立，求实数m 的最小值。 2（2009恩平县）设函数8)(,42)(2 23-+=-++=x ax x g x x x x f （1）求函数)(x f 极值； （2）当)()(,),0[x g x f x ≥+∞∈不等式时恒成立，求实数a 的取值范围 3．设函数432()2()f x x ax x b x =+++∈R ，其中a b ∈R ，． （Ⅰ）当103 a =- 时，讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）若函数()f x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围； （Ⅲ）若对于任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，求b 的取值范围． 4.设R a ∈，函数e a ax e x f x )(1(2 )(2++=-为自然对数的底数）. （Ⅰ）判断)(x f 的单调性； （Ⅱ）若]2,1[1)(2∈> x e x f 在上恒成立，求a 的取值范围. . 函数与方程 14、（2009福州三中）已知函数()x k f x e x -=-，其中x ∈R 。 (1)k=0时，求函数f(x)的值域； (2)当k>1时，函数f(x)在[k, 2k]内是否存在零点，并说明理由。 2.已知32 ()(,0]f x x bx cx d =+++-∞在上是增函数,在[0,2]上是减函数，且()0,2,(2)f x αβαβ=≤≤有三个根 （1）求c 的值，并求出b 和d 的取值范围； （2）求证(1)2f ≥； （3）求||βα-的取值范围，并写出当||βα-取最小值时的()f x 的解析式. 3. 设函数23 ()123 n x x f x x =-+-+…21,*21n x n N n --∈- （1）研究函数2()f x 的单调性； （2）判断()0n f x =的实数解的个数，并加以证明 4 .已知3x =是函数()()2 ln 110f x a x x x =++-的一个极值点。 （Ⅰ）求实数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围. 5 已知函数.2 3)32ln()(2x x x f -+= （I ）求f (x )在[0，1]上的极值； （II ）若对任意0]3)(ln[|ln |],3 1,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的取 值范围； （III ）若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取 值范围.