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圆锥曲线定义及其性质

第十六讲 圆锥曲线的定义及其性质

★★★高考在考什么

【考题回放】

1.已知AB 为过抛物线y 2=2px 焦点F 的弦, 则以AB 为直径的圆与抛物线的准线(B)

A .相交

B .相切

C .相离

D .与p 的取值有关

2.(江苏理)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线中心在原点,焦点在y 轴上,一条渐近线方程为x -2y =0,则它的离心率为 ( A )

A

C

圆锥曲线定义及其性质

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. 3.点P(a ,b )是双曲线x 2-y 2

=1右支上一点,且P

,则a+b =(B )

圆锥曲线定义及其性质

A 、-

B 、

C 、-2

D 、2

4.(湖南)设F 1 、F 2分别是椭圆22

221x y a b

+=(0a b >>)的左、右焦点,若在其右准线上存在P 使线段PF 1的中垂

线过点F 2,则椭圆离心率的取值范围是( D )[来源:学&科&网]

A .02?

圆锥曲线定义及其性质

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圆锥曲线定义及其性质

??

B

.0? ?? C

.12????? D

.1?????

5.(湖北理)双曲线22

122:1(00)x y C a b a b

-=>>,的左准线为l ,左焦点和右焦点分别为F 1 、F 2;抛物线C 2的准线

为l ,焦点为F 2;C 1与C 2的一个交点为M ,则121

12

F F MF MF MF -等于 ( A ) A .1- B .

C .12

-

D .

12

6.(全国一)抛物线y 2=4x 的焦点为F ,准线为l ,经过F

x 轴上方的部分相交于点A ,AK ⊥l ,垂足为K ,则△AKF 的面积是( C)

圆锥曲线定义及其性质

A .4 B

..8

7.(福建理)以双曲线22

圆锥曲线定义及其性质

圆锥曲线定义及其性质

1916

x y -=的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆方程是 ( A ) A .x 2+y 2-10x +9=0

B .x 2+y 2-10x +16=0

C .x 2+y 2+10x +16=0

D .x 2+y 2+10x +9=0

8.(辽宁)设椭圆22

12516x y +=上一点P 到左准线的距离为10,F 是该椭圆的左焦点,若点M 满足1()2OM OP OF =+ ,则||OM =

2

★★★高考要考什么

【热点透析】

一、圆锥曲线的定义

1. 椭圆:到两个定点的距离之和等于定长(定长大于两个定点间的距离)的动点的轨迹叫做椭圆。即:{P| |PF 1|+|PF 2|=2a, (2a>|F 1F 2|)}。

2. 双曲线:到两个定点的距离的差的绝对值为定值(定值小于两个定点的距离)的动点轨迹叫做双曲线。即{P| ||PF 1|-|PF 2||=2a, (2a<|F 1F 2|)}。

3. 圆锥曲线的统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当01时为双曲线。 二、圆锥曲线的方程。

1.椭圆:22221x y a b +=(a>b>0)或22

221y x a b +=(a>b>0)(其中,a 2=b 2+c 2)

2.双曲线:22221x y a b -=(a>0, b>0)或22

221y x a b

-=(a>0, b>0)(其中,c 2=a 2+b 2)

3.抛物线:y 2=±2px (p>0),x 2=±2py (p>0)

三、圆锥曲线的性质 知识要点:

1.椭圆:22

221x y a b

+=(a>b>0)

(1)范围:|x|≤a , |y|≤b (2)顶点:(±a,0),(0,±b) (3)焦点:(±c,0) (4)离心率:e=

∈(0,1) (5)准线:2

a x c

2.双曲线:22

221x y a b

-=(a>0, b>0)

(1)范围:|x|≥a, y ∈R (2)顶点:(±a,0) (3)焦点:(±c,0)

(4)离心率:c e a =∈(1,+∞) (5)准线:2a x c =± (6)渐近线:b

y x a

3.抛物线:y 2

=2px(p>0)

(1)范围:x ≥0, y ∈R (2)顶点:(0,0) (3)焦点:(

2

p

,0) (4)离心率:e=1 (5)准线:x=-2

p 主要题型:

(1)定义及简单几何性质的灵活运用;

(2)求曲线方程(含指定圆锥曲线方程及轨迹方程)。

★★★突破重难点

【例1】若F 1、F 2为双曲线122

22=-b

y a x 的左、右焦点,O 为坐标原点,点P 在双曲线的左支上,点M 在双曲线的

右准线上,且满足:

,1F +

==λ)0(>λ,

圆锥曲线定义及其性质

圆锥曲线定义及其性质

则该双曲线的离心率为( ) A .2

B .3

C .

D .3

解:由F =1知四边形F 1OMP

是平行四边形,又λ

=+

圆锥曲线定义及其性质

圆锥曲线定义及其性质

知OP 平分∠F 1OM ,即F 1OMP 是菱形,设|OF 1|=c ,则|PF 1|=c .

又|PF 2|-|PF 1|=2a , ∴|PF 2|=2a+c , 由双曲线的第二定义知12

2+=+=

e

c c a e ,且e >1,∴e=2,故选C . 【例2】学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图:航天器运行(按顺时针方向)的轨迹

方程为12510022

=+y x ,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以轴为对称轴、??

? ??764,0M 为顶

点的抛物线的实线部分,降落点为)0,8(D . 观测点)0,6()0,4(B A 、同时跟踪航天器.

(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;

(2)试问:当航天器在轴上方时,观测点B A 、测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令? 解:(1)设曲线方程为7

642+

=ax y , 由题意可知,764

640+?=a .

7

1

-=∴a .

曲线方程为7

64712+-

=x y . (2)设变轨点为),(y x C ,根据题意可知

???

???

?+-==+)

2(,76471)

1(,125100222x y y x

得 036742=--y y ,

4=y 或4

9

-=y (不合题意,舍去).

4=∴y .

得 6=x 或6-=x (不合题意,舍去). ∴点的坐标为)4,6(,4||,52||==BC AC .

答:当观测点B A 、测得BC AC 、距离分别为452、时,应向航天器发出指令. 【例3】如图1,已知A 、B 、C 是长轴为4的椭圆上三点,点A 是长轴的

一个顶

点,BC 过椭圆中心O ,且0AC BC ?= ,2BC AC =

圆锥曲线定义及其性质

(1)建立适当的坐标系,求椭圆方程;

(2)如果椭圆上两点P 、Q 使直线CP 、CQ 与x 轴围

成底边在x 轴上的等腰三角形,是否总存在实数λ

使PQ AB λ=

?请给出证明。

解:(1)以O 为原点,OA 所在的直线为x 轴建立如 图直角坐标系,则A (2,0),椭圆方程可设为

22

2

1(02)4x y b b +=<<。 而O 为椭圆中心,由对称性知|OC|=|OB|

又0AC BC ?=

,所以AC ⊥BC 又2BC AC =

,所以|OC|=|AC|,

所以△AOC 为等腰直角三角形,所以点C 坐标为(1,1)。将(1,1)代入椭圆方程得24

3

b =

,则椭圆方程为22

3144

x y +=。 (2)由直线CP 、CQ 与x 轴围成底边在x 轴上的等腰三角形,设直线CP 的斜率为k ,则直线CQ 的斜率为-k ,直线CP 的方程为y -1=k (x -1),直线CQ 的方程为y -1=-k (x -1)。由椭圆方程与直线CP 的方程联立,消去y 得

(1+3k 2)x 2-6k (k -1)x +3k 2-6k -1=0①

因为C (1,1)在椭圆上,所以x =1是方程①的一个根,于是

2236113P k k x k --=+ 同理22

361

13Q k k x k

+-=+ 这样,13P Q PQ P Q y y k x x -=

=-, 又B (-1,-1),所以1

3

AB k =, 即k AB =k PQ 。所以PQ ∥AB ,存在实数λ使PQ AB λ=

【例4】如图,直线l 1和l 2相交于点M ,l 1 ⊥l 2,点N ∈l 1.以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形,|AM |=17,|AN |=3,且|BN |=6.建立适当

圆锥曲线定义及其性质

的坐标系,求曲线C 的方程.

解法一:如图建立坐标系,以l 1为x 轴,MN 的垂直平分线为y 轴,点O 为坐标原点.

依题意知:曲线段C 是以点N 为焦点,以l 2为准线的抛线段的一段,

其中A 、B 分别为C 的端点.设曲线段C 的方程为

圆锥曲线定义及其性质

y 2=2px (p >0),(x A ≤x ≤x B ,y >0),其中x A ,x B 分别为A ,B 的横坐标,

P =|MN |.

1

所以 M (-

2P ,0),N (2

P

,0). 由 |AM |=17,|AN |=3得 (x A +

2

P )2

+2Px A =17, ① (x A -

2

P )2

+2Px A =9. ② 由①、②两式联立解得x A =

P

4

,再将其代入①式并由p >0解得 ???==14A x p 或???==22

A

x p . 因为△AMN 是锐角三角形,所以2P

>x A ,故舍去???==2

2A x p . ∴ P =4,x A =1.

由点B 在曲线段C 上,得x B =|BN |-

2

P

=4. 综上得曲线段C 的方程为y 2

=8x (1≤x ≤4,y >0).

解法二:如图建立坐标系,分别以l 1、l 2为x 、y 轴,M 为坐标原点.

圆锥曲线定义及其性质

作AE ⊥l 1,AD ⊥l 2,BF ⊥l 2,垂足分别为E 、D 、F . 设 A (x A ,y A )、B (x B ,y B )、N (x N ,0). 依题意有

x A =|ME|=|DA|=|AN|=3, y A =|DM |=

2

2DA AM -=22,由于△AMN 为锐角三角形,故

x N =|AE |+|EN |=4.

=|ME |+

2

2AE AN -=4

X B =|BF |=|BN |=6.

设点P (x ,y )是曲线段C 上任一点,则由题意知P 属于集合 {(x ,y )|(x -x N )2+y 2=x 2,x A ≤x ≤x B ,y >0}. 故曲线段C 的方程

y 2=8(x -2)(3≤x ≤6,y >0).