第十六讲 圆锥曲线的定义及其性质

★★★高考在考什么

【考题回放】

1．已知AB 为过抛物线y 2=2px 焦点F 的弦, 则以AB 为直径的圆与抛物线的准线(B)

A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．与p 的取值有关

2．（江苏理）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为x -2y =0，则它的离心率为 （ A ）

A

．

C

． 3．点P(a ,b )是双曲线x 2-y 2

=1右支上一点，且P

，则a+b =(B )

A 、-

B 、

C 、-2

D 、2

4．（湖南）设F 1 、F 2分别是椭圆22

221x y a b

+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在P 使线段PF 1的中垂

线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是（ D ）[来源:学&科&网]

A ．02?

??

，

B

．0? ?? C

．12????? D

．1?????

5．（湖北理）双曲线22

122:1(00)x y C a b a b

-=>>，的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为F 1 、F 2；抛物线C 2的准线

为l ，焦点为F 2；C 1与C 2的一个交点为M ，则121

12

F F MF MF MF -等于 （ A ） A ．1- B ．

C ．12

-

D ．

12

6．（全国一）抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F

x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( C)

A ．4 B

．

．．8

7．（福建理）以双曲线22

1916

x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆方程是 （ A ） A ．x 2+y 2-10x +9=0

B ．x 2+y 2-10x +16=0

C ．x 2+y 2+10x +16=0

D ．x 2+y 2+10x +9=0

8．（辽宁）设椭圆22

12516x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1()2OM OP OF =+ ，则||OM =

2

★★★高考要考什么

【热点透析】

一、圆锥曲线的定义

1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{P| |PF 1|+|PF 2|=2a, (2a>|F 1F 2|)}。

2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P| ||PF 1|-|PF 2||=2a, (2a<|F 1F 2|)}。

3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当01时为双曲线。 二、圆锥曲线的方程。

1.椭圆：22221x y a b +=（a>b>0）或22

221y x a b +=（a>b>0）（其中，a 2=b 2+c 2）

2.双曲线：22221x y a b -=（a>0, b>0）或22

221y x a b

-=（a>0, b>0）（其中，c 2=a 2+b 2）

3.抛物线：y 2=±2px （p>0），x 2=±2py （p>0）

三、圆锥曲线的性质 知识要点：

1.椭圆：22

221x y a b

+=（a>b>0）

（1）范围：|x|≤a ， |y|≤b （2）顶点：(±a,0)，(0,±b) （3）焦点：(±c,0) （4）离心率：e=

∈(0,1) （5）准线：2

a x c

=±

2.双曲线：22

221x y a b

-=（a>0, b>0）

（1）范围：|x|≥a, y ∈R （2）顶点：(±a,0) （3）焦点：(±c,0)

（4）离心率：c e a =∈(1,+∞) （5）准线：2a x c =± （6）渐近线：b

y x a

=±

3.抛物线：y 2

=2px(p>0)

（1）范围：x ≥0, y ∈R （2）顶点：（0,0） （3）焦点：（

2

p

,0） （4）离心率：e=1 （5）准线：x=-2

p 主要题型：

（1）定义及简单几何性质的灵活运用；

（2）求曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）。

★★★突破重难点

【例1】若F 1、F 2为双曲线122

22=-b

y a x 的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线的左支上，点M 在双曲线的

右准线上，且满足：

,1F +

==λ)0(>λ，

则该双曲线的离心率为（ ） A ．2

B ．3

C ．

D ．3

解：由F =1知四边形F 1OMP

是平行四边形，又λ

=+

知OP 平分∠F 1OM ，即F 1OMP 是菱形，设|OF 1|=c ，则|PF 1|=c .

又|PF 2|-|PF 1|=2a ， ∴|PF 2|=2a+c ， 由双曲线的第二定义知12

2+=+=

e

c c a e ,且e >1，∴e=2，故选C . 【例2】学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹

方程为12510022

=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、??

? ??764,0M 为顶

点的抛物线的实线部分，降落点为)0,8(D . 观测点)0,6()0,4(B A 、同时跟踪航天器.

（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；

（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点B A 、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？ 解：（1）设曲线方程为7

642+

=ax y ， 由题意可知，764

640+?=a .

7

1

-=∴a .

曲线方程为7

64712+-

=x y . （2）设变轨点为),(y x C ，根据题意可知

???

???

?+-==+)

2(,76471)

1(,125100222x y y x

得 036742=--y y ，

4=y 或4

9

-=y （不合题意，舍去）.

4=∴y .

得 6=x 或6-=x （不合题意，舍去）. ∴点的坐标为)4,6(，4||,52||==BC AC .

答：当观测点B A 、测得BC AC 、距离分别为452、时，应向航天器发出指令. 【例3】如图1，已知A 、B 、C 是长轴为4的椭圆上三点，点A 是长轴的

一个顶

点，BC 过椭圆中心O ，且0AC BC ?= ，2BC AC =

。

（1）建立适当的坐标系，求椭圆方程；

（2）如果椭圆上两点P 、Q 使直线CP 、CQ 与x 轴围

成底边在x 轴上的等腰三角形，是否总存在实数λ

使PQ AB λ=

？请给出证明。

解：（1）以O 为原点，OA 所在的直线为x 轴建立如 图直角坐标系，则A （2，0），椭圆方程可设为

22

2

1(02)4x y b b +=<<。 而O 为椭圆中心，由对称性知|OC|=|OB|

又0AC BC ?=

，所以AC ⊥BC 又2BC AC =

，所以|OC|＝|AC|，

所以△AOC 为等腰直角三角形，所以点C 坐标为（1，1）。将（1，1）代入椭圆方程得24

3

b =

，则椭圆方程为22

3144

x y +=。 （2）由直线CP 、CQ 与x 轴围成底边在x 轴上的等腰三角形，设直线CP 的斜率为k ，则直线CQ 的斜率为－k ，直线CP 的方程为y -1=k (x -1)，直线CQ 的方程为y -1=-k (x -1)。由椭圆方程与直线CP 的方程联立，消去y 得

(1+3k 2)x 2-6k (k -1)x +3k 2-6k -1=0①

因为C （1，1）在椭圆上，所以x ＝1是方程①的一个根，于是

2236113P k k x k --=+ 同理22

361

13Q k k x k

+-=+ 这样，13P Q PQ P Q y y k x x -=

=-， 又B （－1，－1），所以1

3

AB k =， 即k AB =k PQ 。所以PQ ∥AB ，存在实数λ使PQ AB λ=

。

【例4】如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1 ⊥l 2，点N ∈l 1．以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |=17，|AN |=3，且|BN |=6．建立适当

的坐标系，求曲线C 的方程．

解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．

依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛线段的一段，

其中A 、B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为

y 2=2px (p ＞0)，(x A ≤x ≤x B ，y ＞0)，其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，

P =|MN |．

图

1

所以 M (－

2P ，0)，N (2

P

，0)． 由 |AM |=17，|AN |=3得 (x A ＋

2

P )2

＋2Px A =17， ① (x A －

2

P )2

＋2Px A =9． ② 由①、②两式联立解得x A =

P

4

，再将其代入①式并由p ＞0解得 ???==14A x p 或???==22

A

x p ． 因为△AMN 是锐角三角形，所以2P

＞x A ，故舍去???==2

2A x p ． ∴ P =4，x A =1．

由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－

2

P

=4． 综上得曲线段C 的方程为y 2

=8x (1≤x ≤4，y ＞0)．

解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点．

作AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，BF ⊥l 2，垂足分别为E 、D 、F ． 设 A (x A ，y A )、B (x B ，y B )、N (x N ，0)． 依题意有

x A =|ME|=|DA|=|AN|=3， y A =|DM |=

2

2DA AM -=22，由于△AMN 为锐角三角形，故

有

x N =|AE |+|EN |=4．

=|ME |+

2

2AE AN -=4

X B =|BF |=|BN |=6．

设点P (x ，y )是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合 {(x ，y )|(x －x N )2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y ＞0}． 故曲线段C 的方程

y 2=8(x －2)(3≤x ≤6，y ＞0)．