高中数学必修1 第二章 方程与不等式微专题1
微专题1 基本不等式的应用技巧 在解答基本不等式的问题时,常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧,而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用. 一、加项变换 例1 已知关于x 的不等式x +1x -a ≥7在x >a 上恒成立,则实数a 的最小值为________. 答案 5 解析 ∵x >a , ∴x -a >0, ∴x +1x -a =(x -a )+1x -a +a ≥2+a , 当且仅当x =a +1时,等号成立, ∴2+a ≥7,即a ≥5. 反思感悟 加上一个数或减去一个数使和(积)为定值,然后利用基本不等式求解. 二、平方后使用基本不等式 例2 若x >0,y >0,且 2x 2+y 23=8,则x 6+2y 2的最大值为________. 答案 92 3 解析 (x 6+2y 2)2=x 2(6+2y 2)=3·2x 2 ????1+y 23 ≤3·? ?? ??2x 2+1+y 2322=3×????922. 当且仅当 2x 2=1+y 23,即x =32,y =422时,等号成立. 故x 6+2y 2的最大值为92 3. 三、展开后求最值 例3 若a ,b 是正数,则????1+b a ? ???1+4a b 的最小值为( ) A .7 B .8 C .9 D .10 答案 C
解析 ∵a ,b 是正数, ∴????1+b a ????1+4a b =1+4a b +b a +4=5+4a b +b a ≥5+24a b ·b a =5+4=9, 当且仅当b =2a 时取“=”. 四、常数代换法求最值 例4 已知x ,y 是正数且x +y =1,则4x +2+1y +1的最小值为( ) A.1315 B.94 C .2 D .3 答案 B 解析 由x +y =1得(x +2)+(y +1)=4, 即14 [(x +2)+(y +1)]=1, ∴4x +2+1y +1=? ????4x +2+1y +1·14 [(x +2)+(y +1)] =14???? ??4+1+4(y +1)x +2+x +2y +1 ≥14(5+4)=94 , 当且仅当x =23,y =13 时“=”成立,故选B. 反思感悟 通过常数“1”的代换,把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子,达到解题的目的. 五、代换减元求最值 例5 若实数x ,y 满足xy +3x =3????03. 则3x +1y -3=y +3+1y -3=y -3+1y -3+6≥2(y -3)·1y -3 +6=8,当且仅当y =4,x =37时
讲义-第二章《方程与不等式》
第二章 方程与不等式 ★2.1一元二次方程 1. 定义:只含有1 个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程。 2. 整式 单项式:数或字母的乘积,如4,a , 4a , 23 aa 2 多项式 :若干个单项式的和或差 如4a+2c ,a-5b 分式:形如a a 的式子,且A ,B 为整式,B 中有字母。 √且√下含有字母的式子 3. 解一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的常用方法: (1)配方法:二次项系数化为1?移向(把常数项移到方程右边)?配方(方程的两边各加上一次项系数 一半的平方),把方程化成(x+m )2=n 的形式?用直接开平方的方法求解。 (2)求根公式法:a =?a ±√a 2?4aa 2a 注意条件△=b 2-4ac >0时,方程有2个不相等的实数根,△=b 2-4ac=0时,方程有2个相等的实数根,△=b 2-4ac <0时,方程无实数根。 (3)因式分解法或直接开平方法:适用于缺少一次项或常数项的一元二次方程。如:x 2=9x , 4 x 2=5等 4. 注意:一元二次方程的实数根或者有2个,或者没有。例如x 2=2x ,不能把x 约去,否则 会丢根。 ★2.2不等式 1. (复习)任意两个实数a,b 具有的基本性质:a-b >0?a >b a-b <0?a <b a-b=0?a=b 2. 比较两个实数或代数式的大小的方法:通常用做差比较法。 方法是:把要比较的两个实数(或代数式)做差,然后进行化简,或配方,或因式分解,直到能判断实数或代数式的符号为止,最后根据结果的符号来判断大小。 3.不等式的基本性质: (1)a >b ?a+c >b+c (或a-c >b-c ) 不等式的两边同时加上或减去同一个整式,不等号的方向不变。 (2)a >b ,c >0?ac >bc (或a a >a a ) 不等式的两边同时乘以或除以同一个正数,不等号的方向不变。 (3)a >b ,c <0?ac <bc (或a a <a a ) 不等式的两边同时乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变。4.5. 6.解题时要理解“且”和“或”的关系,且是取交集,表示都得满足,或是取并集,表示都可以满足。例如:x-3<0或x+4≤0的解集是? 7.在解8.一元二次不等式(一般形式ax 2+bx+c >0或ax 2+bx+c >0,a ≠0)的解法:一元二次不等 式经过配方再开方,变成含有绝对值的不等式,最后转化成一元一次不等式(组),从而求出解集。 当m >0时,X 2≤m 2?|x|≤m ,即-m ≤x ≤m X 2≥m 2?|x|≥m ,即x ≥m 或x ≤-m
不等式概念及性质知识点详解与练习
、不等式的概念及列不等式 概念 不等号 表示出不等关系 1不等式的概念及其分类 (1 )定义:用“〉”、“<”、“工”、及“w”等不等号把代数式连接起来,表示不等 关系的式子。 a-b>Oa>b, a-b=Oa=b, a-b3, x 2 < 0 ② 绝对不等式:它表示的关系可能在任何条件下都成立,这样的不等式叫绝对不等式; ③ 条件不等式:在一定条件下才能成立的不等式叫条件不等式。 (3 )不等号的类型: ① “工”读作“不等于”,它说明两个量之间关系是不等的,但不能明确两个量谁大谁小; ② “〉”读作“大于”,它表示左边的数比右边的数大; ③ “<”读作“小于”,它表示左边的数比右边的数小; ④ 读作“大于或等于”,它表示左边的数不小于右边的数; ⑤ “w”读作“小于或等于”,它表示左边的数不大于右边的数; 注意:要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。 (4 )常见不等式基本语言的含义: ① 若x > 0,则x 是正数;②若x < 0,则x 是负数;③若x > 0,则x 是非负数;④若x w 0, 则x 是非正数;⑤若 x-y >0,则x 大于y ;⑥若x-y < 0,则x 小于y ;⑦若x-y >0,贝U x x 不小于y ;⑧若x-y w 0,则x 不大于y ;⑨若xy >0 (或一〉0),则x , y 同号;⑩若xy < 0 y (或-< 0),则x , y 异号; y (5 )等式与不等式的关系: 等式与不等式都用来表示现实中的数量关系, 等式表示相等关系,不等式表示不等关系, 但 不论是等式还是不等式,都是同类量比较所得的关系,不是同类量不能比较。 2、列不等式: (1 )根据已知条件列不等式,实际上就是用不等式表示代数式间的不等关系,重点是抓住 关键词,弄清不等关系。 (2)步骤:①正确列出代数式;②正确使用不等号 不等式 列不等式 步骤 设未知数 列出代数式
2.1.1 不等式的基本性质(含答案)
【课堂例题】 例1.利用性质1和性质2证明: (1)如果a b c +>,那么a c b >-; (2)如果,a b c d >>,那么a c b d +>+ 例2.利用性质3证明: 如果0,0a b c d >>>>,那么ac bd >. (选用)例3.利用不等式的性质证明: 如果0a b >>,那么110a b < <.
【知识再现】 1.不等式性质的基础: a b >? ;a b =? ;a b . 2.三条基本性质: 性质1.(传递性) 若,a b b c >>,则 ; 性质2.(加法性质) 若a b >,则 ; 性质3.(乘法性质) 若,0a b c >>,则 ; 若,0a b c ><,则 . 3.几条比较有用的推论: 性质4.(同向可加性) 若,a b c d >>,则 ; 性质5.(正数同向可乘性) 若0,0a b c d >>>>,则 ; 性质6.(正数的倒数性质) 若0a b >>,则 ; 性质7.(正数的乘方性质) 若0a b >>,则 *()n N ∈; 性质8.(正数的开方性质) 若0a b >>,则 *(,1)n N n ∈>. 【基础训练】 1.请用不等号表示下列关系: (1)a 是非负实数, ; (2)实数a 小于3,但不小于2-, ; (3)a 和b 的差的绝对值大于2,且小于等于9, . 2.判断下列语句是否正确,并在相应的括号内填入“√”或“×”. (1)若a b >,则a b c c >;( ) (2)若ac bc <,则a b <;( ) (3)若a b <,则1 1 a b <; ( ) (4)若22ac bc >,则a b >;( ) (5)若a b >,则n n a b >;( ) (6)若0,0a b c d >>>>,则a b c d >;( ) 3.用“>”或“<”号填空: (1)若a b >,则a - b -; (2)若0,0a b >>,则b a 1b a +; (3)若,0a b c >>,则d ac + d bc +; (4)若,0a b c ><,则()c d a - ()c d b -; (5)若,,0a b d e c >><,则d ac - e b c -. 4.(1)如果a b >,那么下列不等式中必定成立的是( ) (A) 1 1 a b <; (B) 22a b >; (C)22ac bc >; (D)2211 a b c c >++. (2)如果0a b >>,那么下列不等式不一定成立的是( ) (A) 1 1 a b <; (B) 2ab b >; (C)22ac bc >; (D) 22a b >. 5.已知,x y R ∈,使1 1 ,x y x y >>同时成立的一组,x y 的值可以是 .
数学中考专题二——《方程与不等式》复习讲义
热点专题二 方程与不等式 【考点聚焦】 “方程与不等式”包括方程与方程组、不等式与不等式组两方面内容.“方程与不等式”均存在标准形式,其解法具有程序式化的特点,是一种重要的数学基本技能.此外,“方程与不等式”也是刻画现实世界的一个有效的数学模型,在现实生活中存在大量的“方程与不等式”问题. “方程与不等式”是初中数学的核心内容之一.就解法与自身的应用来说,“方程与不等式”是初中数学最重要的基础知识之一,同时也是学习函数等知识的基础;就所蕴含的“方程思想和转化思想”而言,它更是培养同学们分析问题和解决问题思想方面的重要源泉和场所. 同时对“方程与不等式”的考查,一方面注重对其解法和与其它知识点联系的考查,另一方面更注重对其与现实生活的联系,加强对解决简单实际问题的数学考查. 在学业考试中所有题型均可出现,题量不小,而且难度将随着题型变化而变化. 【热点透视】 热点1:设计重结果的问题考查方程与不等式的有关概念 例1(1)二元一次方程组320x y x y -=-??+=? 的解是( ) (A )12x y =-??=? (B)12 x y =??=-? (C )12x y =-??=-? (D )21 x y =-??=? (2)不等式组24010x x -?+? ≥的解集在数轴上表示正确的是( ) 分析:(1)小题对二元一次方程组的解法多样,供同学们选择的解题途径较多,即使同学们只从方程组的解的概念出发通过验算也能够解决问题,因而题目的效度较高.(2)小题通过对不等式组解集的选择,考查了同学们解不等式组的基本功. 解答:(1)(A );(2)(B ). 点评:这样的问题由于只关心对同学们解答问题结果正确性的考查,具有较强的针对性,比较适合对理解方程(组)的解和不等式(组)解集的概念水平的考查. 热点2:设置具体的情景考查同学们构建方程(不等式)模型的能力. 例2 在一幅长为80cm ,宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同的金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图1所示,如果要使整个挂图的面积是54002 cm ,设金色纸边的宽为x cm ,那么x 满足的方程是( ) (A)213014000x x +-= (B)2653500x x +-= (C)213014000x x --= (D)2653500x x --= 分析:观察图形可知,金色纸边的面积与矩形风景画的面积之和为
《不等式及其基本性质》教案1
《不等式及其基本性质》教案 学习目标: 1.通过实际问题中的数量关系的分析,体会到现实世界中有各种各样的数量关系的存在,不等关系是其中的一种. 2.了解不等式及其概念;会用不等式表示数量之间的不等关系. 3.掌握不等式的基本性质,并能利用不等式的基本性质对不等式进行变形. 学习重点: 不等式的概念和不等式的性质. 学习难点: 不等式的性质3以及正确分析实际问题中的不等关系并用不等式表示. 教学过程: (一)探究性质 1.明确定义 2.不等式的意义:表示生活中量与量之间不等关系的式子. 例题:1.“神七”速度v超过11200米/秒,才能脱离地球引力,飞入太空,怎样表示v和11200之间的关系? 3.想一想: (1)如果a<b,用不等号连接下列各式的两边. ①a + 2 b + 2 ②a– 5 b– 5 (2)如果2x-8≥3 ,那么2x11. 4.小结: 不等式性质1: 即 (二)探究性质 1.用不等号填空: ①已知5<8,则5×3 8×3;5×(-3)8×(-3) ②已知-5>-8,则-5×3 -8×3;-5×(-3)-8×(-3) 归纳:不等式两边同时乘以一个正数,不等号方向;不等式两边同时乘以一个负数,不等号方向. 2.用不等号填空: ①已知6<8,那么6÷2 8÷2;6÷(-2)8÷(-2) ②已知-6>-8,那么-6÷2 -8÷2;6÷(-2)-8÷(-2)
归纳:不等式两边同时除以一个正数,不等号方向 ;不等式两边同时除以一个负数,不等号方向 . (三)例题分析 例1.(1)若x +1>3,则x _____________.根据___________ __. (2)2x >-6,则x _____________.根据_______ _____. (3)-3y ≤5,则y .根据 . 例2.如果m > n .判断下列不等式是否正确. (1)m +7 < n +7 ( ) (2)m -2 < n -2 ( ) (3)3m < 3n ( ) (4)9 9n m >( ) 例3.利用不等式的基本性质,将下列各不等式化为“x a >”或“x a <”的形式. (1)546x x <- (2)5621x x -+<+ (四)课堂练习 1.用代数式表示:比x 的5倍大1的数不小于x 的 21与4的差_____________. 2.若a >b .下列各不等式中正确的是( ) A .a -1b ,则a +1>b +1 ②若a >b ,则a -1>b -1 ③若a >b ,则-2a <-2b ④若a >b ,则2a <2b
9.1.2 不等式的性质(2)(含答案)
9.1.2 不等式的性质(二) ◆回顾归纳 1.如果a>b ,并且c<0,那么ac____bc ,或a c ____b c ,即不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向______. 2.符号“≤”和“≥”分别比“<”和“>”各多了一层相等的含义,?它们是_____号比_____号的合写形式,?通常把用符号“≤”和“≥”表示大小关系的式子,也称为______式. ◆课堂测控 知识点一 不等式的性质3 1.若- 32 m n >-,则2m______3n . 2.若a>b ,则b_____0时,abab . 3.若-23x+5>-2 3 y+5,则x______y . 4.不等式mx-2<3x+4的解集是x>6 3 m -,则m 的取值范围是_______. 5.下列说法中,错误的是( ) A .如果ab ,c>0,那么ac>bc C .如果a D .如果a>b ,c<0,那么-a c <-b c 6.若a<0,则下列不等式中不成立的是( ) A .3a<2a B .a-3-2a D .2a >-2 a 7.(教材变式题)已知-3x-4≥6x+2 先阅读:-3x-6x ≥2+4 ① -9x ≥6 ② x ≥- 2 3 ③ 再填空:步骤①是根据不等式的性质______将不等式的两边同时______;步骤②是根
据不等式的性质_______,将不等式的两边同时_______.其中有错误的一步是步骤_______.本题正确的结论是_____. 知识点二含“≥”或“≤”的不等式 8.若x为非负整数,则-1≤32 5 x 的解集是______. 9.下列说法不正确的是() A.不等式-x≤1的解集是x≥1 B.不等式-1 2 x>-2的解集是x<4 C.不等式2(x-1)≤3的解集是x≤2.5 D.不等式1≤x的解集是x≥1 10.(经典题)某商场在促销期间规定:商场内所有商品按标价的80%出售,同时顾客在该商场内消费满一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券.(?奖券购物不再享受优惠) 根据上述促销方法,顾客在该商场的购物可获得双重优惠,如果李老师在该商场购标价为450元的商品,他获得的优惠额为多少元? ◆课后测控 1.满足x-9<3x-3的最大负整数解是_______. 2.若│2a+3│>2a+3,则有理数a的取值范围是______. 3.关于x的不等式3x-2a≤-2的解集是x≤-1,则a的值是_____. 4.不等式21-5x>4的正整数解的个数是() A.2 B.3 C.4 D.5 5.若点P(3a-2,2b-3)在第二象限,则() A.a>2 3 ,b> 3 2 B.a> 2 3 ,b< 3 2 C.a< 2 3 ,b> 3 2 D.a< 2 3 ,b< 3 2 6.利用不等式的性质解下列不等式,并把其解集在数轴上表示出来. (1)3 4 x-1<5 (2)-3x+2≤10
必修一第二章-一元二次函数、方程和不等式全章讲解训练-(含答案)
~ 第二章 一元二次函数、方程和不等式全章复习讲解 (含答案) 【要点梳理】(不等式性质、解一元二次不等式、基本不等式) 一、不等式 1.定义 不等式:用不等号(>,<,≥,≤,≠)表示不等关系的式子. 2..不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有: 性质1 对称性:a b b a >?<; 】 性质2 传递性:,a b b c a c >>?>; 性质3 加法法则(同向不等式可加性):()a b a c b c c R >?+>+∈; 性质4 乘法法则:若a b >,则000c ac bc c ac bc c ac bc , ,.>?>?? =?=?? 补充:除法法则:若a b >且0c =,则00a b c c c a b c c c ? >?>?? ? ?? ., 性质5 可加法则:,a b c d a c b d >>?+>+; 性质6 可乘法则:0,00a b c d a c b d >>>>??>?>; 性质7 可乘方性:()*00n n a b n a b N >>∈?>>; 可开方性:( )01a b n n N 且+>>∈>? ! 要点诠释:不等式的性质是不等式同解变形的依据. 二、比较两代数式大小的方法 作差法: 1. 任意两个代数式a 、b ,可以作差a b -后比较a b -与0的关系,进一步比较a 与b 的大小. ①0a b a b ->?>; ②0a b a b -<; ③0a b a b -=?=. 作商法: 任意两个值为正的代数式a 、b ,可以作商a b ÷后比较a b 与1的关系,进一步比较a 与b 的大小. ① 1a a b b >?>; ②1a a b b <; ③1a a b b =?=. &
2019版中考数学同步复习练习 方程和不等式 第2课时《二元一次方程组》
2019版中考数学同步复习练习 方程和不等式 第2课时《 二元一次方程组》 【考纲要求】 1. 会解简单的二元一次方程组; 2. 列方程组解应用题. 【复习过程】 一、基础练习 知识点1:二元一次方程(组)的定义 1.下列方程是二元一次方程的是( ) A . y x + B .32-=+y x C .222=+x x D .82 =-y x 2. 下列各方程组是二元一次方程组的是( ) A .???=-=+14z x y x B .???=-=+14y x y x C .41a b x y +=??-=? D .???=-=+1 422y x y x 知识点归纳: 1.含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1,这样的方程叫做二元一次方程。 2.由两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组. 反馈练习1: 3.如果53428a b a b x y +----=是二元一次方程,那么a b -= 4.已知方程组2425x y x y +=??+=? ,,则x y +的值为( ) (A )1- (B )0 (C )2 (D )3 知识点2: 二元一次方程的解法 5.已知方程组2425x y x y +=??+=?,, 求,x y . 知识点归纳:(1)二元一次方程的解法:代入消元法,加减消元法.(2)步骤、格式 反馈练习2: 6.已知方程41,,x y y x x -==用含的代数式表示则 7.用代入消元法解方程组?? ?=+=+14 3282y x y x 8. 解方程组2122x y x y y -=??-=-?
知识点3: 二元一次方程组的应用 9.夏季来临,天气逐渐炎热起来.某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10%,将某种果汁饮料每瓶的价格下调了5%.已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费7元,调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元,问这两种饮料在调价前每瓶各多少元? 反馈练习3: 10.甲、乙两种商品原来的单价和为100元,因市场变化,甲商品降价10%,乙商品提价40%,调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%.若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x 元、y 元,则下列方程组正确的是( ) A .???+?=-++=+)201(100)401()101(100000000y x y x B .? ???=++-=+00000020100)401()101(100y x y x C .???+?=++-=+)201(100)401()101(100000000y x y x D .????=-++=+0 0000020100)401()101(100y x y x 二、巩固练习 11.由方程组213x m y m +=??-=? 可得出x 与y 关系是( ) (A )24x y += (B )24x y -= (C )24x y +=- (D )24x y -=- 12.若m 、n 为实数,且|21|28=0m n m n +-+--,则2014(+)m n 的值为 . 13.已知二元一次方程组64ax by ax by -=??+=?的解是51 x y =??=-?,求a b 、的值. 14.某寄宿制学校有大、小两种类型的学生宿舍共50间,大宿舍每间可住8人,小宿舍每间可住6人.该校360名住宿生恰好.. 住满这50间宿舍.求大、小宿舍各有多少间?(课堂上只列方程) 三、提高练习
不等式及其基本性质
不等式及其基本性质 设u=f(x1,x2,…,x n),v=g(x1,x2,…,x n)是两个取值为实数的函数,若u-v是正数,就说u大于v,记成u>v,也说v小于u,记成v<u. 用记号“>”、“<”、“≥”或“≤”连结两个这样的函数所组成的式子,叫做不等式. 设上面两个函数的定义域分别为D f,D g,则称D f∩D g为下列不等式的允许值集: f(x1,x2,…,x n)>g(x1,x2,…,x n) (或f(x1,x2,…,x n)<g(x1,x2,…,x n), 或f(x1,x2,…,x n)≥g(x1,x2,…,x n), 或f(x1,x2,…,x n)≤g(x1,x2,…,x n). 不等式两边的函数,如果都是代数函数,则称这个不等式为代数不等式;如果至少有一个是超越函数,则称这个不等式为超越不等式.前者可以划分为有理不等式(整式不等式和分式不等式)和无理不等式;后者包括指数不等式、对数不等式、三角不等式和反三角不等式等. 不等式具有如下的基本性质(本文所用字母除特别声明以外,均表示实数). 定理1 若a>b,b>c,则a>c. 定理2 在a>b,a=b,a<b中有且只有一个成立. 定理3 若a>b,则a+c>b+c. 推论1 可以把不等式中任何一项变为相反的符号后,从一边移到另一边. 推论2 若a>b,c>d,则a+c>b+d. 一般地,若a i>b i,i=1,2,…,n,则 a1+a2+…+a n>b1+b2+…+b n. 推论3 若a≥b,c<d,则a-c>b-d.
定理4若a>b,则当c>0时,ac>bc;当c<0时,ac<bc;当c=0时,ac=bc. 推论1 若a>b>0,c>d>0,则ac>bd. 一般地,若a i>b i>0,i=1,2,…,n,则 a1a2…a n>b1b2…b n. 推论2 若a≥b>0,0<c<d,则a/c>b/d. 推论3 若a>b>0,整数n>1,则a n>b n. 含有绝对值符号的不等式还具有如下的常用性质. 定理5 设a>0,则|x|<a的充要条件是-a<x<a;|x|>a的充要条件是x >a或x<-a. 定理6 |a+b|≤|a|+|b|, 其中等号当且仅当ab≥0时成立. 推论1|a+b|≥||a|-|b||. 推论2 |a1±a2±…±a n|≤|a1|+|a2|+…+|a n|.