14.求复数的辐角、辐角主值

求复数的辐角、辐角主值

知识要点：

一、基础知识

1）复数的三角形式

①定义：复数z=（a,b ∈R ）表示成r （cos θ+ i sin θ）的形式叫复数z 的三角形式。即z=r （cos θ+ i sin θ）

其中z r = θ为复数z 的辐角。

②非零复数z 辐角θ的多值性。

以ox 轴正半轴为始边，向量oz →

所在的射线为终边

的角θ叫复数z=a+bi 的辐角

因此复数z 的辐角是θ+2k π（k ∈z ）

③辐角主值

表示法；用arg z 表示复数z 的辐角主值。 定义：适合[0，2π）的角θ叫辐角主值

02≤

④不等于零的复数的模z r =是唯一的。

⑤z =0时，其辐角是任意的。

⑥复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。（求法）

这是复数计算中必定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容（也是解题术）复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。辐角的求法，辐角主值的确定是难点，也是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。

2）复数的向量表示

在复平面内与复数z 1、z 2对应的点分别为z 1、z 2（如图）

何量oz z 11→对应于

何量oz z 22→对应于

何量z z z z z 1221→-=对应于

与复数z 2－z 1对应的向量为oz →

显然oz ∥z 1z 2

则arg z 1=∠xoz 1=θ1

arg z 2=∠xoz 2=θ 2

arg z （z 2－z 1）=arg z=∠xoz=θ

3）复数运算的几何意义

主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化

如z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2）

①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]

如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→

显然积对应的辐角是θ1+θ2

< 1 > 若θ 2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z

的向量oz →。 < 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针旋转θ2角模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →

。

为此，若已知复数z 1的辐角为α，z 2的辐角为β求α+β时便可求出z 1·z 2=z a z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。

②除法 '=÷==-+-z z z z z r r i 121212

1212[cos()sin()]θθθθ （其中 z 2≠0） 除法对于辐角主要是“相减”（被除数的辐角一除数的辐角）依向量旋转同乘法简述如下：

< 1 >θθ210>→时顺时针旋转角２oz 。 < 2 >θθ２２时逆时针旋转角<→01oz 。 二、基本方法

求复数的辐角、辐角主值主要介绍以下方法：

1）化复数为三角形式

如 求复数１２（）的辐角，辐角主值cos sin ππ44

-i １２（）＝１２［（－４）＋（－４

）］cos sin cos sin ππππ44-i i 这样化成三角式 ∴复数的辐角是２k ππ-4

（k z ∈） 辐角主值为74

π ∵这个复数对应的点在复平面内第四象限，也可以化三角式为127474

（）cos sin ππ+i 2）直接求辐角及主值

主要是使用复数代数式 、三角式的互化：

若z=a+bi （a,b ∈R ）

则r a b =+22辐角为θ则t b a

g θ=，θ依点z （a,b ）所在象限确定。 如上例z i i =-=-12442424

（）cos sin ππ 设辐角为θ则tg θ=－1 ∵ 点z （

2424,-）在第四象限 ∴ tg θ=tg 74π θππ=+∈74

2k k z （） 而arg z =74

π 3）数形结合

主要是复数运算的几何意义得到的解法

14.求复数的辐角、辐角主值

求复数的辐角、辐角主值 知识要点： 一、基础知识 1）复数的三角形式 ①定义：复数z=a+bi （a,b∈R）表示成r （cosθ+ i sinθ）的形式叫复数z的三角形式。即z=r（cosθ+ i sinθ） 其中z r =θ为复数z的辐角。 ②非零复数z辐角θ的多值性。 为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐角 因此复数z的辐角是θ+2kπ（k∈z） ③辐角主值 表示法；用arg z 表示复数z的辐角主值。

定义：适合[0，2π）的角θ叫辐角主值 02≤

何量z z z z z 1221→ -=对应于 与复数z 2－z 1对应的向量为oz → 显然oz ∥z 1z 2 则arg z 1=∠xoz 1=θ1 arg z 2=∠xoz 2=θ2 arg z （z 2－z 1）=arg z=∠xoz=θ 3）复数运算的几何意义 主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化 如z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2） ①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)] 如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→

高考数学第一轮复习求复数的辐角、辐角主值专项练习

求复数的辐角、辐角主值 知识要点： 一、基础知识 1）复数的三角形式 ①定义：复数z=a+bi （a,b ∈R ）表示成r （cos θ+ i sin θ）的形式叫复数z 的三角形式。即z=r （cos θ+ i sin θ） 其中z r = θ为复数z 的辐角。 ②非零复数z 辐角θ的多值性。 以ox 轴正半轴为始边，向量oz →所在的射线为终边的角θ 叫复数z=a+bi 的辐角 因此复数z 的辐角是θ+2k π（k ∈z ） ③辐角主值 表示法；用arg z 表示复数z 的辐角主值。 定义：适合[0，2π）的角θ叫辐角主值 02≤

arg z 2=∠xoz 2=θ 2 arg z （z 2－z 1）=arg z=∠xoz=θ 3）复数运算的几何意义 主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化 如z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2） ①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)] 如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→ 显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ 2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。 < 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针旋转θ2角 模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。 为此，若已知复数z 1的辐角为α，z 2的辐角为β求α+β时便可求出z 1·z 2=z a z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。 ②除法 '=÷==-+-z z z z z r r i 121212 1212[cos()sin()]θθθθ （其中 z 2≠0） 除法对于辐角主要是“相减”（被除数的辐角一除数的辐角）依向量旋转同乘法简述如下： < 1 >θθ210>→ 时顺时针旋转角２oz 。 < 2 >θθ２２时逆时针旋转角<→01oz 。 二、基本方法 求复数的辐角、辐角主值主要介绍以下方法： 1）化复数为三角形式 如 求复数１２（）的辐角，辐角主值cos sin ππ44 -i １２（）＝１２［（－４）＋（－４ ）］cos sin cos sin ππππ44-i i 这样化成三角式 ∴复数的辐角是２k ππ -4（k z ∈） 辐角主值为74 π ∵这个复数对应的点在复平面内第四象限，也可以化三角式为

复数的三角形式及乘除运算

复数得三角形式及乘除运算 一、主要内容: 复数得三角形式,模与辐角得概念及几何意义,用三角形式进行复数乘除运算及几何意义、 二、学习要求： 1、熟练进行复数得代数形式与三角形式得互化,会求复数得模、辐角及辐角主值、 2、深刻理解复数三角形式得结构特征,熟练运用有关三角公式化复数为三角形式、 3、能够利用复数模及辐角主值得几何意义求它们得范围（最值）、 5、注意多 4、利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算,并能根据乘除运算得几何意义解决相关问题、? 种解题方法得灵活运用,体会数形结合、分类讨论等数学思想方法、 三、重点: 复数得代数形式向三角形式得转换，复数模及复数乘除运算几何意义得综合运用、 四、学习建议: １、复数得三角形式就就是彻底解决复数乘、除、乘方与开方问题得桥梁,相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心,因此,做好代数形式向三角形式得转化就就是非常有必要得、 前面已经学习过了复数得另两种表示、一就就是代数表示,即Z=a+bｉ(a,b∈R)、二就就是几何表示,复数Z 既可以用复平面上得点Ｚ(a,b)表示，也可以用复平面上得向量来表示、现在需要学习复数得三角表示、既用复数Z得模与辐角来表示,设其模为r,辐角为θ，则Z=ｒ(cosθ+isinθ)(r≥0)、 既然这三种方式都可以表示同一个复数,它们之间一定有内在得联系并能够进行互化、 代数形式r=三角形式 Ｚ＝a+ｂｉ(a,ｂ∈R) Z=r(cosθ＋iｓinθ)(r≥0） 复数三角形式得结构特征就就是:模非负,角相同,余弦前,加号连、否则不就就是三角形式、三角形式中θ应就就是复数Ｚ得一个辐角,不一定就就是辐角主值、 五、基础知识 ?１)复数得三角形式 ?①定义:复数z＝a+bi (a，b∈Ｒ)表示成ｒ(cosθ+ iｓiｎθ)得形式叫复数z得三角形式。即z=r(cｏsθ+ i sin θ） 其中θ为复数z得辐角。 ?②非零复数z辐角θ得多值性。 以oｘ轴正半轴为始边,向量所在得射线为终边得角θ叫复数ｚ=a＋bi得辐角 因此复数z得辐角就就是θ＋2ｋ(k∈ｚ) ③辐角主值 表示法;用ａｒｇz表示复数z得辐角主值。 定义:适合[０,２)得角θ叫辐角主值 唯一性：复数z得辐角主值就就是确定得,唯一得。 ④不等于零得复数得模就就是唯一得。 ?⑤z=0时,其辐角就就是任意得。 ⑥复数三角形式中辐角、辐角主值得确定。(求法） ?这就就是复数计算中必定要解决得问题,物别就就是复数三角形式得乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其就就是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。因此复数化三角式就就是复数运算中极为重要得内容（也就就是解题术)复数在化三角式得过程中其模得求法就就是比较容易得。辐角得求法,辐角主值得确定就就是难点,也就就是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值得求法。 ?2)复数得向量表示 ?在复平面内与复数ｚ１、z2对应得点分别为ｚ1、z2（如图） 何量

数学物理方法

第一章 复数与复变函数 §1-1 复数和复数运算 一、复数的基本概念 1、复数及其表示：对“数”的基本运算，仅有实数域R 是不够的，如16 世纪Cardaro 指出，二次方程x 2+2x+2=0 根为11?±?，这就产生了虚数的1?概念，记为：1?=i 。 定义：虚数I ，其单位为i ，满足运算关系： 1;;1;1432=?=?=?=i i i i i [1] 实数R 与虚数I 构成复数域C 。其中的元素c ∈C ，记为： c= a + ib [2] 其中a,b ∈R。分别称为c 的实部和虚部，记为： c b c a Im ;Re == [3] 共轭复数：定义c 的共轭复数c *： c *=a-ib [4] 显然，c 和c *互为共轭，它们关于实轴对称。 复数的模：如同实数的绝对值，复数的“大小”由模来表示，定义： 2/1*2/122)()(c c b a c ?=+= [5] 注：22c c ≠ 2、复变数及其表示：复数采用变量z 表示： ⑴ 代数式表示法： z=x+iy (x,y ∈R，z∈C ) [1] 它还有其他表示。 ⑵ 坐标表示法：二维有序实数集R ×R ： z=(x,y) [2] 如i= (0,1)。其共轭复数和模分别表示为： 22*);,(y x z y x z +=?= [3] ⑶ 指数式表示法： φρi e z = [4]

ρ即为复数的模；φ=Arg(z)为辐角。z 具有周期性：T Φ=2π。对应辐角φ具有多值性： φ=Arg(z)=arg(z)+ k2π (k∈Z) [5] 规定主辐角arg(z)范围： πρ2arg 0;0<≤∞≤≤z [6]（[-π，π]对称性更好） 的z 值为主值。不特指，一般只写主值。如2πi e i =。 共轭和模分别表示为： ρρφ==?z e z i ;* [7] 这两种表示法有鲜明的几何意义：复数可以由平 面直角或极坐标坐标系中的一个点来表示，这个平面 通常称为复平面。如图1所示：X 轴称为实轴；Y 轴 为虚轴。由坐标之间的转换，两者的关系： ???==φρφρsin cos y x 或 ?????=+=x y tg y x /22φρ [8] 此外从图中可以看出：⑴ 共轭复数z 和z *关于实 数轴(X-轴)对称；⑵ 模为复数点到原点的距离（线 段）。 规定：|z|=0,∞时，即复数在原点或无穷远点，辐角不定。它们也称支点。这可以由复数球给以解释。（同事物的不同表示方法，在数学上称为“同构”）。 3、复数公式： ⑴ 欧拉公式：由第[8]式和代数式表示： )sin (cos φφρi z += 与指数式比较，即有： φφφsin cos i e i += [9] [9]式是著名的欧拉公式。 ⑵ 隶美弗定理：反映了指数与三角函数之间的关系，同时可以用在一些计算中，如： )(221121)sin )(cos sin (cos φφφφφφ+=++i e i i [10] [10]式为隶美弗定理。

14.求复数的辐角、辐角主值

求复数的辐角、辐角主值 知识要点： 一、基础知识 1）复数的三角形式 ①定义：复数z=a+bi （a,b ∈R ）表示成r （cos θ+ i sin θ）的形式叫复数z 的三角形式。即z=r （cos θ+ i sin θ） 其中z r = θ为复数z 的辐角。 ②非零复数z 辐角θ的多值性。 以ox 轴正半轴为始边，向量oz → 所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi 的辐角 因此复数z 的辐角是θ+2k π（k ∈z ） ③辐角主值 表示法；用arg z 表示复数z 的辐角主值。 定义：适合[0，2π）的角θ叫辐角主值 02≤

复数的三角形式及乘除运算

复数的三角形式及乘除运算 一、主要内容: 复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义. 二、学习要求: 1．熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值. 2．深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式. 3．能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围（最值）. 4．利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题. 5．注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法. 三、重点: 复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用. 四、学习建议: 1．复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的. 前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示，即Z=a+bi(a,b ∈R).二是几何表示，复数Z 既可以用复平面上的点Z(a,b)表示，也可以用复平面上的向量 来表示.现在需要学习复数的三角表示.既用复数Z 的 模和辐角来表示，设其模为r ，辐角为θ，则Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0). 既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化. 代数形式r= 三角形式 Z=a+bi(a,b ∈R) Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0) 复数三角形式的结构特征是:模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数Z 的一个辐角，不一定是辐角主值. 五、基础知识 1）复数的三角形式 ①定义：复数z=a+bi （a,b ∈R ）表示成r （cos θ+ i sin θ）的形式叫复数z 的三角形式。即z=r （cos θ + i sin θ） 其中z r = θ为复数z 的辐角。 ②非零复数z 辐角θ的多值性。 始边，向量oz → 所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi 的辐角 以ox 轴正半轴为因此复数z 的辐角是θ+2k π（k ∈z ） ③辐角主值 表示法；用arg z 表示复数z 的辐角主值。 2π）的角θ叫辐角主值 02≤

2020高考数学第一轮复习求复数的辐角、辐角主值专项练习

求复数的辐角、辐角主值 知识要点： 一、基础知识 1）复数的三角形式 ①定义：复数z=a+bi （a,b ∈R ）表示成r （cos θ+ i sin θ）的形式叫复数z 的三角形式。即z=r （cos θ+ i sin θ） 其中z r = θ为复数z 的辐角。 ②非零复数z 辐角θ的多值性。 以ox 轴正半轴为始边，向量oz →所在的射线为终边的角θ 叫复数z=a+bi 的辐角 因此复数z 的辐角是θ+2k π（k ∈z ） ③辐角主值 表示法；用arg z 表示复数z 的辐角主值。 定义：适合[0，2π）的角θ叫辐角主值 02≤

arg z 2=∠xoz 2=θ2 arg z （z 2－z 1）=arg z=∠xoz=θ 3）复数运算的几何意义 主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化 如z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2） ①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)] 如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→ 显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。 < 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针旋转θ2角 模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。 为此，若已知复数z 1的辐角为α，z 2的辐角为β求α+β时便可求出z 1·z 2=z a z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。 ②除法 '=÷==-+-z z z z z r r i 121212 1212[cos()sin()]θθθθ （其中 z 2≠0） 除法对于辐角主要是“相减”（被除数的辐角一除数的辐角）依向量旋转同乘法简述如下： < 1 >θθ210>→ 时顺时针旋转角２oz 。 < 2 >θθ２２时逆时针旋转角<→01oz 。 二、基本方法 求复数的辐角、辐角主值主要介绍以下方法： 1）化复数为三角形式 如 求复数１２（）的辐角，辐角主值cos sin ππ44 -i １２（）＝１２［（－４）＋（－４ ）］cos sin cos sin ππππ44-i i 这样化成三角式 ∴复数的辐角是２k ππ -4（k z ∈） 辐角主值为74 π ∵这个复数对应的点在复平面内第四象限，也可以化三角式为

不同定义下辅角主值与反三角函数正切的关系

不同定义下辅角主值与反三角函数正切的关系 黄小琳 （安康学院数学系 陕西 安康 725000） 摘 要： 非零复数Z 有三种表示方法：代数形式、三角形式、指数形式。这几种表示方法可以相互转换，以适应讨论不同问题的需要，且用起来各有其便。 在将复数转化成三角形式时，由于任意非零复数有Z 无穷多个辅角，故因规定的取值范围的不同，将会产生不同的主辅角。本文将在不同定义一下，探讨辅角主值与反三角函数正切的关系。 关键字：主辅角；反正切；关系； 预备知识：1.复数Z 的辅角：实轴正向到非零复数iy x Z +=所对应的向量OZ 间的夹角合于x y =θtan 称为复数的Z 辅角，记为ArgZ =θ. 2. 复数Z 的主辅角:复数Z 的辅角在某一特定范围内的一个特定值称为ArgZ 的主值，即Z 的主辅角，记为Z arg 。 对于一个复数iy x Z +=我们可以借助于平面上横坐标为x ,纵坐标为y 的点来表示，于是能够建立平面上全部的点合全体复数的一一对应关系。当然我们也可以用极坐标r 与θ来确定复数Z 在平面中的位置：用向量OZ 来表示复数iy x Z +=，其中y x ,顺次等于OZ 沿x 轴与y 轴的分量。则向量OZ 的长度称为复数的模，用r 表示；实轴正向与非零向量OZ 间的夹角记为θ，对于每一确定的),(θr 都有唯一的复数Z 与之对应。 我们定义θ为复数的辅角，显然对于任意复数Z 有无穷多个辅角。于是有规定在某一特定范围内复数Z 的辅角的一个特定值为Z 的主辅角。然而在不同定义范围内，辅角主值与反三角函数正切又有不同的关系。（注意：当0=Z 时，辅角无意义。） 1. 对于任意非零复数 iy x Z +=，当 ππ≤<-Z arg 时，主辅角Z arg 与反正切x y Arc tan 的关系 当向量OZ 在平面第一，四象限时 ??? ??-∈2,2arctan ππx y ??? ??-∈2,2arg ππ

复数的模和辐角

复数导学案 课题：复数的模和辐角 课型：新授 执笔： 审核: 使用时间： 一、学习目标 1、 模和辐角的概念 2、 模和辐角的计算公式 二、重点难点 1、 复数模和辐角的概念 2、 求复数辐角求法及对辐角的多值性的理解 三、学习内容 1、模和辐角的概念 把z =a +bi 表示为向量OZ =(a ,b )，OZ 的模(即长度)|OZ |叫做 ； 从 复数z 的辐角，因为零向量O ，所以复数0的辐角是 ． 我们把复数z 在 内的辐角叫做 ，记作 ．一个复数对应惟一的辐角主值argz ． 综上所述，复数z 及其几何表示、向量表示与模、辐角之间的关系是： 2、模和辐角的计算公式 若z =a +bi ，OZ =(a ,b )，根据向量长度的计算公式，即得 ． 已知复数z =a +bi ，若a=0或b=0，则z 的辐角主值为界限角，辐角主值argz 可按下面方法求得： 由tan θ1= b a 求得θ1∈(-2π,2 π )；其次根据a ,b 的符号，可以确定Z (a ,b )所在象限，辐角主值就是Z (a ,b )所在象限的象限角；最后经过下列必要的简单换算，即可求出辐角的主值argz ． 四、探究分析 1、求下列复数z 的模、辐角的主值argz 和辐角． (1)z 1=-2i ； (2) z 2=-4； (3) z 3=3+2i ； (4) z 4=-2+3i ； (5) z 5 ； (6) z 5 ． 方法总结：

课堂训练 1．求下列复数的模、辐角和辐角的主值： (2) 4＋2i ；(3)-2+5i ；(4)- 4-3i ；(5)12 i ． 课后作业 1．求下列复数的模和辐角主值 ,2)1(,1)2(i +,)3(i -.3)4(i - 2、若非零复数)34()2(22i m m m m z +-+--=的辐角主值是π2 3 ，求实数m 的值。 3、实数a 取何值时，复数i a a a )1()32(2++--的辐角主值是4 π？ 教学后记