第4章 导数的应用

(完整word版)第一章导数及其应用测试题(含答案)

第一章导数及其应用测试题 一、 选择题 1．设x x y sin 12-=，则='y （ ）． A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B ．x x x x x 2 2sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．x x x x sin ) 1(sin 22--- 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ） ． A ． 54 B ．52 C ．51 D ．5 3 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3 ) (32lim 3--→x x f x x 的值为（ ）． A ．4- B ．0 C ．8 D ．不存在 4．曲线3 x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）． A ．126-=x y B ．1612-=x y C ．108+=x y D ．322-=x y 5．已知函数d cx bx ax x f +++=2 3)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ， )0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22 131)(2 3， 当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则 1 2 --a b 的取值范围是（ ）． A ．)1,4 1( B ．)1,2 1( C ．)4 1,21(- D ．)2 1,21(- 7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x += 在区间]2 ,0[π 的值域为（ ）． A ．]21,21[2π e B ．)2 1 ,21(2πe C ．],1[2πe D ．),1(2π e 8．积分 =-? -a a dx x a 22（ ）．

高三数学专题复习：导数及其应用

【考情解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查： 一是导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义； 二是导数的应用，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，已成为高考热点问题； 三是应用导数解决实际问题． 【知识梳理】 1．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点处的切线的，其切线方程是． 注意：函数在点P0处的切线与函数过点P0的切线的区别：． 2．导数与函数单调性的关系 (1)() '>0是f(x)为增函数的条件． f x 如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0． (2)() '≥0是f(x)为增函数的条件． f x 当函数在某个区间内恒有() '＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调 f x 性． 注意：导数值为0的点是函数在该点取得极值的条件．

3． 函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题． (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有 个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有． (3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的 ． 4． 几个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1)(sin x )′＝ ； (2)(cos x )′＝ ； (3)(e x )′＝ ； (4)(a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (5)(x a )′＝ ； (6)(log e x )′＝ ； (7)(log a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (8)′＝ ； (9)??????? ? f (x ) g (x )′＝ (g (x )≠0) ．

导数的简单应用

第三讲导数的简单应用 考点一导数的几何意义1．导数公式 (1)(sin x)′＝cos x； (2)(cos x)′＝－sin x； (3)(a x)′＝a x ln a(a>0)； (4)(log a x)′＝1 x ln a(a>0，且a≠1)． 2．导数的几何意义 函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y －f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． [对点训练] 1．(2018·兰州质检)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为() A．(1,3) B．(－1,3) C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3) [解析]f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1， ∴P(1,3)或(－1,3)．经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x －1上，故选C. [答案]C 2．(2018·大同模拟)过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的切线方程为()

A ．x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0 B ．x －y －2＝0 C ．x －y ＋2＝0 D ．x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0 [解析] 设切点坐标为(x 0，y 0)，y 0＝x 30－2x 0，则曲线在(x 0，y 0) 处的切线斜率为y ′＝3x 20－2，当x 0＝1时斜率为1，切线方程为x － y －2＝0，当x 0≠1时，过(1，－1)点的切线的斜率为x 30－2x 0＋1x 0－1 ＝x 20＋x 0－1＝3x 20－2，解得x 0＝－12，其斜率为－54，切线方程为5x ＋4y －1 ＝0，所以A 正确，故选A. [答案] A 3．(2018·西安质检)已知直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的一条切线，则m 的值为( ) A ．0 B ．2 C ．1 D ．3 [解析] 因为直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的切线，所以 令y ′＝2x －3x ＝－1，得x ＝1，x ＝－32(舍)，即切点为(1,1)，又切点 (1,1)在直线y ＝－x ＋m 上，所以m ＝2，故选B. [答案] B 4．若曲线y ＝x 在点(a ，a )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2，则a ＝________. [解析] y ＝x ＝x 12 ，∴y ′＝12x －12 ，于是曲线在点(a ，a )处的 切线方程为y －a ＝1 2a (x －a )，令x ＝0，得y ＝a 2；令y ＝0，得x

导数及其应用本章复习提升

第一章 导数及其应用 本章复习提升 易混易错练 易错点1 对导数的定义理解不够深刻致错 1.(2019安徽屯溪一中高二期中,★★☆)设f'(1)=4,则lim ?→0 f (1+2?)-f (1) ?=( ) A.8 B.4 C.-8 D.-4 2.(2019河南南阳高二月考,★★☆)已知函数f(x)在x=x 0处的导数为f'(x 0),则 lim Δx →0 f (x 0-mΔx )-f (x 0) Δx 等于( ) A.mf'(x 0) B.-mf'(x 0) C.-1m f'(x 0) D.1m f'(x 0) 易错点2 混淆“过某点”与“在某点处”的切线致错 3.(2019福建莆田八中高二期中,★★☆)曲线y=ex-ln x 在点(1,e)处的切线方程为( ) A.(1-e)x-y+1=0 B.(1-e)x-y-1=0 C.(e-1)x-y+1=0 D.(e-1)x-y-1=0 4.(2019湖南邵东一中高二期末,★★☆)曲线y=3x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 . 5.(2019宁夏石嘴山第三中学高二期末,★★☆)曲线f(x)=2x 3-4x+1在点P 处的切线平行于直线y=2x-1,则点P 的坐标为 . 易错点3 对复合函数的求导法则理解不透致错 6.(★★☆)函数y=ln(1-x)的导数为 . 7.(★★☆)函数y=x ·e 1-cos x 的导数为 . 易错点4 忽视取极值的条件致错 8.(2019重庆一中高三下月考,★★☆)设函数f(x)=(x+1)e x +1,则( ) A.x=2为f(x)的极大值点

B.x=2为f(x)的极小值点 C.x=-2为f(x)的极大值点 D.x=-2为f(x)的极小值点 9.(★★☆)已知函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数 f(x)的极大值共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 易错点5 利用导数研究函数的单调性 10.(★★☆)函数f(x)=x-ln x的单调递减区间是( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(0,+∞) D.(1,+∞) x3-x2+bx,且f'(2)=-3. 11.(2019北京西城高二下期末,★★☆)已知函数f(x)=1 3 (1)求b; (2)求f(x)的单调区间.

数学人教A版选修2-2讲义：第一章导数及其应用1.1 1.1.1～1.1.2

1．1.1～1.1.2 变化率问题 导数的概念 1．平均变化率 函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率Δy Δx ＝□ 01f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 . 若函数y ＝f (x )在点x ＝x 0及其附近有定义，则函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率是Δy Δx ＝□ 02f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 2．瞬时变化率 设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变Δx 时，函数值的改变量Δy ＝□ 03f (x 0＋Δx )－f (x 0)． 如果当Δx 趋近于0时，平均变化率Δy Δx 趋近于一个常数L ，则常数L 称为函数f (x )在x 0的瞬时变化率，记作□ 04lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝L . 3．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 一般地，函数y ＝f (x )在点x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx ＝□ 05lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或□ 06y ′| x ＝x 0.即f ′(x 0)＝□ 07lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 简言之，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是y ＝f (x )在x ＝x 0处的□ 08瞬时变化率．

导数概念的理解 (1)Δx→0是指Δx从0的左右两侧分别趋向于0，但永远不会为0. (2)若f′(x0)＝lim Δx→0Δy Δx存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值． (3)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0， 于是f′(x0)＝lim x→x0f(x)－f(x0) x－x0 与概念中的f′(x0)＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx意 义相同． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．() (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．() (3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．() 答案(1)√(2)×(3)× 2．做一做 (1)自变量x从1变到2时，函数f(x)＝2x＋1的函数值的增量与相应自变量的增量之比是________． (2)函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________． (3)函数y＝f(x)＝1 x在x＝－1处的导数可表示为________． 答案(1)2(2)2(3)f′(－1)或y′|x ＝－1 探究1求函数的平均变化率 例1求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值． [解]函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 f(x0＋Δx)－f(x0) (x0＋Δx)－x0＝ [3(x0＋Δx)2＋2]－(3x20＋2) Δx ＝6x0·Δx＋3(Δx)2 Δx＝6x0＋3Δx. 当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.

2019衡水名师原创理科数学专题卷：专题五《导数及其应用》

2019届高三一轮复习理科数学专题卷 专题五 导数及其应用 考点13：导数的概念及运算（1,2题） 考点14：导数的应用（3-11题，13-15题，17-22题） 考点15：定积分的计算（12题，16题） 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I 卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是最符合题目要求的。） 1.【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考 考点13 易 函数()2sin f x x =的导数是（ ） A.2sin x B.22sin x C.2cos x D.sin 2x 2．【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考 考点13 易 已知()21cos 4 f x x x =+，()'f x 为()f x 的导函数，则()'f x 的图像是（ ） 3.【2017课标II ，理11】 考点14 易 若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A.1- B.32e -- C.35e - D.1 4．【来源】2017届湖北孝感市高三理上学期第一次统考 考点14 中难 若曲线()ln y x a =+的一条切线为y ex b =+，其中,a b 为正实数，则2e a b + +的取值范围是（ ） A.2,2e e ??++∞ ??? B.[),e +∞ C.[)2,+∞ D.[)2,e 5．【来源】2017届福建闽侯县三中高三上期中 考点14 难 已知函数2x y =的图象在点),(2 00x x 处的切线为l ，若l 也与函数x y ln =，)1,0(∈x 的图象 相切，则0x 必满足（ ）

2012高中数学复习讲义(通用版全套)第十二章 导数及其应用

2012高中数学复习讲义 第十二章 导数及其应用 【知识图解】 【方法点拨】 导数的应用极其广泛，是研究函数性质、证明不等式、研究曲线的切线和解决一些实际问题的有力工具，也是提出问题、分析问题和进行理性思维训练的良好素材。同时，导数是初等数学与高等数学紧密衔接的重要内容，体现了高等数学思想及方法。 1．重视导数的实际背景。导数概念本身有着丰富的实际意义，对导数概念的深刻理解应该从这些实际背景出发，如平均变化率、瞬时变化率和瞬时速度、加速度等。这为我们解决实际问题提供了新的工具，应深刻理解并灵活运用。 2．深刻理解导数概念。概念是根本，是所有性质的基础，有些问题可以直接用定义解决。在理解定义时，要注意“函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '”与“函数()f x 在开区间(,)a b 内的导数()f x '”之间的区别与联系。 3．强化导数在函数问题中的应用意识。导数为我们研究函数的性质，如函数的单调性、极值与最值等，提供了一般性的方法。 4．重视“数形结合”的渗透，强调“几何直观”。在对导数和定积分的认识和理解中，在研究函数的导数与单调性、极值、最值的关系等问题时，应从数值、图象等多个方面，尤其是几何直观加以理解，增强数形结合的思维意识。 5．加强“导数”的实践应用。导数作为一个有力的工具，在解决科技、经济、生产和生活中的问题，尤其是最优化问题中得到广泛的应用。 6．（理科用）理解和体会“定积分”的实践应用。定积分也是解决实际问题（主要是几何和物理问题）的有力工具，如可以用定积分求一些平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程和变力作的功等，逐步体验微积分基本定理。

高中数学选修22：第一章导数及其应用单元测试题.doc

数学选修 2-2 第一章 单元测试题 一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数f′(x) 在( a，b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)在开区间( a，b)内有极小值点() A．1 个B．2 个 C．3 个D．4 个 1 1 2．在区间[ 2，2] 上，函数 f ( x)＝x2＋px＋q 与g( x)＝2x＋x2在 1 同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[2，2]上的最大值是() C．8D．4 2 3．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α 的取值范围是( ) ππ3 A．[0 ，2 ] B．[0 ，2 ] ∪[ 4π，π) 3 π 3 C．[ 4π，π ) D．[ 2，4π] 1 4．已知函数f ( x) ＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f ( x) ＋9≥0恒成立，则实数 m的取值范围是()

3 3 A．m≥2 B．m＞2 3 3 C．m≤2 D．m＜2 x 2 2 5．函数f ( x) ＝cos x－2cos 2的一个单调增区间是 () f x 0＋3 －f x 0 Δx 6．设f ( x) 在x＝x0 处可导，且lim Δx ＝1， Δx→0 则 f ′(x0)等于( ) A．1 B．0 C．3 x＋9 7．经过原点且与曲线y＝x＋5相切的切线方程为() A．x＋y＝0 B．x＋25y＝0 C．x＋y＝ 0 或x＋25y＝0 D．以上皆非 8．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－ 3b＜0 时，f ( x) 是() A．增函数 B．减函数 C．常数 D．既不是增函数也不是减函数

导数的简单应用专题训练

导数的简单应用专题训练 1．设f (x )＝x ln x ，f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．e C ． ln 2 2 D ．ln 2 解析：选B ∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴f ′(x 0)＝1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e ，故选B ． 2． 已知函数f (x )与f ′(x )的图象如图所示， 则函数g (x )＝ f (x ) e x 的递减区间为( ) A ．(0,4) B ．(－∞，1)，???? 43，4 C ．??? ?0，43 D ．(0,1)，(4，＋∞) 解析：选D g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2 ＝f ′(x )－f (x ) e x ，令g ′(x )＜0即 f ′(x )－f (x )＜0， 由图可得x ∈(0,1)∪(4，＋∞)，故函数单调减区间为(0,1)，(4，＋∞)，故选D ． 3． 若函数f (x ) ln x 在(1，＋∞)上单调递减，则称f (x )为P 函数．下列函数中为P 函数的序 号为( ) ①f (x )＝1 ②f (x )＝x ③f (x )＝1 x ④f (x )＝x A ．①②④ B ．①③ C ．①③④ D ．②③ 解析：选B 当x >1时：f (x )ln x ＝1 ln x 单调递减，①是；????x ln x ′＝ln x －1ln 2x ，所以函数在(e ，＋∞)上单调递增， ②不是；????1x ln x ′＝－(ln x ＋1)ln 2 x ＜0，∴③是；????x ln x ′＝(ln x －2)2x ln 2x ，所以函数在(e 2，＋∞)上单调递增，④不是；选B ． 4．已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是( ) A ．e B ．2e C ．1 D ．2 解析：选C 由函数的解析式可得y ′＝a e x ＋1，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝a e x 0＋1，

第一章导数及其应用练习题

第一章导数及其应用练习题 部门： xxx 时间： xxx 整理范文，仅供参考，可下载自行编辑

第一章导数及其应用 1．1 变化率与导数 1．1.1 变化率问题1．1.2 导数的概念 1．已知函数f(x>＝2x2－4的图象上一点(1，－2>及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy>，则错误!等于( >．b5E2RGbCAP A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx>2 2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是( >． A．4 B．4.1 C．0.41 D．3 3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2>(s的单位为m，t的单位为s>，那么其在1.2 s末的瞬时速度为( >．p1EanqFDPw A．－4.8 m/s B．－0.88 m/sC．0.88 m/s D．4.8 m/s 4．已知函数y＝2＋错误!，当x由1变到2时，函数的增量Δy＝________. 5．已知函数y＝错误!，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________. 6．利用导数的定义，求函数y＝错误!＋2在点x＝1处的导数．7．已知函数y＝f(x>＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( >． A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 8．设函数f(x>可导，则错误!错误!等于( >．DXDiTa9E3d A．f′(1> B．3f′(1> C.错误!f′(1> D．f′(3>

9．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________． 10．某物体作匀速运动，其运动方程是s＝vt，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．RTCrpUDGiT 11．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝ 1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．5PCzVD7HxA 12．(创新拓展>已知f(x>＝x2，g(x>＝x3，求满足f′(x>＋2＝g′(x>的x的值． 1.1.3导数的几何意义 1．已知曲线y＝错误!x2－2上一点P错误!，则过点P的切线的倾斜角为( >．jLBHrnAILg A．30° B．45° C．135° D．165° 2．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2>，则A处的切线斜率等于( >． A．2 B．4C．6＋6Δx＋2(Δx>2D．6 3．设y＝f(x>存在导函数，且满足错误!错误!＝－1，则曲线y＝f(x>上点(1，f(1>>处的切线斜率为( >．xHAQX74J0X A．2 B．－1 C．1 D．－2 4．曲线y＝2x－x3在点(1,1>处的切线方程为________．

导数及其应用大题精选

导数及其应用大题精选 姓名____________班级___________学号____________分数______________ 1 ．已知函数)0()(>++ =a c x b ax x f 的图象在点(1,)1(f )处的切线方程为1-=x y . (1)用a 表示出c b ,; (2)若x x f ln )(≥在[1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围. 2 ．已知2 ()I 若()f x 在x=1处取得极值,求a 的值; ()II 求()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 的最小值为1,求a 的取值范围 . 4 ．已知函数 ()ln f x x x =. (Ⅰ)求()f x 的单调区间; (Ⅱ) 当1k ≤时,求证:()1f x kx ≥-恒成立. 5 ．已知函数()ln a f x x x =- ,其中a ∈R . (Ⅰ)当2a =时,求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)如果对于任意(1,)x ∈+∞,都有()2f x x >-+,求a 的取值范围.

6 ．已知函数 2()4ln f x ax x =-,a ∈R . (Ⅰ)当1 2 a = 时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)讨论()f x 的单调性. 7 ．已知函数 ()e (1)x f x x =+. (Ⅰ)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)若对于任意的(,0)x ∈-∞,都有()f x k >,求k 的取值范围. 8 ．已知函数 a ax x x f 23)(3+-=,)(R a ∈. (Ⅰ) 求)(x f 的单调区间; (Ⅱ)曲线)(x f y =与x 轴有且只有一个公共点,求a 的取值范围. 9 ．已知函数 22()2ln (0)f x x a x a =->. (Ⅰ)若()f x 在1x =处取得极值,求实数a 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 在[1]e ， 上没有零点,求实数a 的取值范围. 10．已知曲线 ()x f x ax e =-(0)a >. (Ⅰ)求曲线在点(0,(0)f )处的切线; (Ⅱ)若存在实数0x 使得0()0f x ≥,求a 的取值范围.

《第一章导数及其应用》教材分析与教学建议(精)

《第一章 导数及其应用》教材分析与教学建议 广州市黄埔区教育局教研室 肖凌戆 导数是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用，任何事物的变化率都可以用导数来描述，其基本思想是以直代曲。导数是研究函数和解决实际生活中优化问题的重要工具． 在普通高中数学课程标准中，规定导数及其应用的教学内容有： (1)导数概念及其几何意义； (2)导数的运算； (3)导数在研究函数中的应用； (4)生活中的优化问题举例(导数在解决实际问题中的应用)； (5)定积分与微积分基本定理．(文科数学不做要求) 本章内容在普通高中数学课程标准实验教材中的相应位置是：人教A 版选修1－1第三章,人教A 版选修2－2第一章. 一、课标要求 导数及其应用的基本教学要求是： 1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；通过函数图象直观地理解导数的几何意义． 2．能根据导数定义，求函数2,,y c y x y x ===，3,y x =1y x =，y =只要求求函数2,,y c y x y x ===， 1y x =的导数）；能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +的导数(文科数学不做要求)；会使用导数公式表． 3．结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间． 4．结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值． 5．通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 6．通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念．(文科数学不做要求) 7．通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义．(文科数学不做要求) 8．体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值． 二、课时安排 1．本章理科教学时间约需24课时，具体分配如下： 变化率与导数 约3课时

3第三讲导数与微分法研究

泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析教研室 通过教学使学生掌握导数的定义，导数的几何意义及微分的概念，熟练掌 握导数的各 种求导方法。 第三讲导数与微分法研究 、基本概念 1?导数及其变形 2?分段函数的导数通过左右导数来求 3. 导数的几何意义 4. 微分的定义 二、求导方法 1 .求导公式及其应用 2. 复合函数求导法 3 ?隐函数的导数求法 4.参数方程确定的函数的导数求法 5?极坐标方程表示的的函数的导数求法 6 .形如y = f(x)g(X) 的函数的导数求法一一取对 数求导法 7?分段函数的导数 8?变动上线的积分表示的函数的导数 课程名称 高等数学研究 授课对象 授课题目 第三讲导数与微分法研究 课时数 教学 目的 重 点 难 占 八\、 1. 2. 3. 隐函数的导数求法 参数方程确定的函数的导数求法 形如y = f (X) g(X) 的函数的导数求法一一取对数求导法 变动上线的积分表示的函数的导数

教学过程与内容 教学 后记 第三讲导数与微分法研究 元函数的导数与微分是微积分的基础，经常出选择题与填空题，可作为求极限、 求驻点、求拐点、求多元函数的偏导数与全微分等问题的基础。重点掌握分段函数的导 数、隐函数的导数、参数(极坐标)方程确定的函数的导数。变动上限的积分表示的函 数的导数每年都考。 一、基本概念 1 .导数及其变形 ,f(X)-f(X 0), lim = lim f X - x 0 4° 例1：设f (X)在x 0可导，求 f(X 0 —3h)-f(X 0) (1) lim h T f(X o 中心 X)— f(X o ) _ lim f (X o +h)- f(X o ) -h m o h 1 ⑶ lim n[ f(X 0 +-) - f (X o - T n f(X0+2h)-f(X0-2h) ⑵h m o 丄)] 2n 2 .分段函数的导数通过左右导数来求 例2：设f(X)斗X - a I ?(x),护(X)在X = a 连续，文在什么条件下 f (x)在x = a 可 导? 【解】lim f(X ^f(a ^ lim -?(x) = -?(a) X —a lim fg-f (a) = lim 畀(X)=护(a) T X — a X T 〒 当—q)(a)=W (a)，即 W (a) =0时，f (x)在 x = a 可导。 2 【讨论】f(x)=|x|, f(x)=x|x|, f(x) =x(x +1)(X -1) I X -1 I 分别有几个不可导 点。 例3:已知函数f(x) =? ” 2 x l ax + b X A 1 X ^1处处可导，试确定 a 、b 的值。 【解】(1)欲使f (x)在X =1处可导，必先在X = 1处连续, 故有 lim f(X)= limf (x) = f(1)，即 a + ^1 x —! — H 十 (2)又f (x)在X=1处的左、右导数分别为 2 5= 十斗 ad + 也 x)+b —1 「5、 .. a(1+也 x)+b —1 r a 也X f Q=J x s + 纵 二四盂=a 故a = 2，从而b = -1，所以，当a = 2 , b = —1时f (x)处处可导。

数学选修2-2第一章导数及其应用练习题汇编

第一章导数及其应用 1．1变化率与导数 1．1.1变化率问题1．1.2导数的概念 1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)， 则Δy Δx等于()． A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是()． A．4 B．4.1 C．0.41 D．3 3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在 1.2 s末的瞬时速度为()． A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s C．0.88 m/s D．4.8 m/s 4．已知函数y＝2＋1 x，当x由1变到2时，函数的增量Δy＝________. 5．已知函数y＝2 x，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________. 6．利用导数的定义，求函数y＝1 x2＋2在点x＝1处的导数． 7．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()．A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44

8．设函数f(x)可导，则lim Δx→0f(1＋Δx)－f(1) 3Δx等于()． A．f′(1) B．3f′(1) C.1 3f′(1) D．f′(3) 9．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________． 10．某物体作匀速运动，其运动方程是s＝v t，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________． 11．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度． 12．(创新拓展)已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值．

导数及其应用高考题精选含答案

导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线2 x y x = +在点()1,1--处的切线方程为（） （A ）21y x =+（B ）21y x =-（C ）23y x =--（D ）22y x =-- 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为22 (2) y x '= +，所以，在点()1,1--处的切线斜率12 2 2(12)x k y =-' == =-+，所以，切线方程为12(1)y x +=+，即21y x =+，故选A. 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元） 与年产量x （单位：万件）的函数关系式为3 1812343 y x x =-+-，则使该生产厂 家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11万件 (C)9万件(D)7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C ，2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-（舍去），当9x <时'0y >；当9x >时'0y <，故当9x =时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=2 x ,y=3 x 围成的封闭图形面积为（） （A ） 1 12 (B)14 (C)13 (D) 712 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的

导数及其应用教材分析

第三章导数教材分析 一、内容安排 本章大体上分为导数的初步知识、导数的应用、微积分建立的时代背景和历史意义部分. 导数的初步知识.关键是导数概念的建立.这部分首先以光滑曲线的斜率与非匀速直线运动的瞬时速度为背景，引出导数的概念，给出按定义求导数的方法，说明导数的几何意义.然后讲述初等函数的求导方法，先根据导数的定义求出几种常见函数的导数、导数的四则运算法则，再进一步给出指数函数和对数函数的导数. 这部分的末尾安排了两篇阅读材料，一篇是结合导数概念的“变化率举例”，另一篇是介绍导数应用的“近似计算”. 导数的应用，这部分首先在高一学过的函数单调性的基础上，给出判定可导函数增减性的方法.然后讨论函数的极值，由极值的意义，结合图象，得到利用导数判别可导函数极值的方法*最后在可以确定函数极值的前提下，给出求可导函数的最大值与最小值的方法. 微积分是数学的重要分支，导数是微积分的一个重要的组成部分.一方面，不但数学的许多分支以及物理、化学、计算机、机械、建筑等领域将微积分视为基本数学工具，而且，在社会、经济等领域中也得到越来越广泛的应用.另一方面，微积分所反映的数学思想也是日常生活与工作中认识问题、研究问题所难以或缺的. 本章共9小节，教学课时约需18节（仅供参考） 3. 1导数的概念 ............. 约3课时 3. 2几种常见函数的导数........... 约1课时 3. 3函数的和、差、积、商的导数...... 约2课时 3. 4复合函数的导数............. 约2课时 3. 5对数函数与指数函数的导数....... 约2课时 3. 6函数的单调性............. 约1课时 3. 7函数的极值 ............. 约2课时 3. 8函数的最大值与最小值......... 约2课时 3. 9微积分建立的时代背景和历史意义....约1课时 小结与复习.............. 约2课时 二、教学目标 1?了解导数概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念. 2.熟记基本导数公式：

第三讲 简单复合函数的导数及定积分

第三讲 简单复合函数的导数及定积分 班级 姓名 一、教学要求 1、理解简单复合函数的导数，能求一些简单复合函数的导数。 2、了解定积分的实际背景，初步掌握定积分的相关概念，体会定积分的基本方法。 3、了解微积分基本定理的含义，能利用微积分基本定理计算简单的定积分，解决一些简单的几何和物理问题。 二、课前练习 1.若函数(),y f u u ax b ==+，则x y '=______ _=________ 2.微积分基本定理的内容是_____________________________ 3.定积分 21(1)x dx +=?_________ 4.定积分b a cdx =?__________ 5.直线0,1,0x x y ===和曲线2y x =围成的图形(曲边三角形)的面积为 三、例题选讲 例1、计算下列定积分： （1）、()1123x dx -+? （2）、120xd x ? （3）、 20s i n 2x d π ? （4）、211dx x ?

例2、计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积。 例3、已知弹簧每拉长0.02米要用9.8N 的力，求把弹簧拉长0.1米所做的功。 四、巩固练习 1、若131 y x =-，则y '= 2、若()cos 12y x =-，则y '= 3、曲线sin 2y x =在点(),0P π处的切线方程为 4、由cos y x =及x 轴围成的介于0x =与2x π= 之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 5、曲线2x y =，1x =-，2x =及x 轴所围成图形的面积为

导数及其应用经典题型总结

《导数及其应用》经典题型总结 一、知识网络结构 题型一 求函数的导数及导数的几何意义 考 点一 导数的概念，物理意义的应用 例 1．(1)设函数()f x 在 2x =处可 导，且(2)f '=， 求 0(2)(2) lim 2h f h f h h →+--； (2)已知()(1)(2) (2008)f x x x x x =+++，求(0)f '. 考点二 导数的几何意义的应用 例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、c 的值 例3：已知曲线y=.3 43 13+x (1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程. 题型二 函数单调性的应用 考点一 利用导函数的信息判断f(x)的大致形状 例1 如果函数y ＝f(x)的图象如图，那么导函数y ＝f(x)的图象可能是( ) 考点二 求函数的单调区间及逆向应用 例1 求函数522 4 +-=x x y 的单调区间.（不含参函数求单调区间） 例2 已知函数f (x )＝1 2x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．（含参函数求单调区间） 练习：求函数x a x x f + =)(的单调区间。 例3 若函数f(x)＝x 3 －ax 2 ＋1在(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围．（单调性的逆向应用） 练习1：已知函数0],1,0(,2)(3 >∈-=a x x ax x f ，若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a 的取值范围。 2. 设a>0,函数ax x x f -=3 )(在（1，+∞）上是单调递增函数，求实数a 的取值范围。 导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则

第三章导数及其应用

第三章 导数及其应用 考点1 导数的概念及计算 1．(2014·陕西，10)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( ) A ．y ＝12x 3－1 2x 2－x B ．y ＝12x 3＋1 2x 2－3x C ．y ＝1 4 x 3－x D ．y ＝14x 3＋1 2 x 2－2x 1.解析 法一 由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0，0)，(2，0)，在(0，0)处的切线方程为y ＝－x ，在(2，0)处的切线方程为y ＝3x －6，以此对选项进行检验．A 选项， y ＝12x 3－12x 2－x ，显然过两个定点，又y ′＝3 2x 2－x －1，则y ′|x ＝0＝－1，y ′|x ＝2＝3，故条件都满足，由选择题的特点知应选A. 法二 设该三次函数为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由题设有?????f （0）＝0?d ＝0， f （2）＝0?8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′（0）＝－1?c ＝－1， f ′（2）＝3?12a ＋4b ＋c ＝3，解得a ＝12，b ＝－1 2，c ＝－1，d ＝0. 故该函数的解析式为y ＝12x 3－1 2x 2－x ，选A. 答案 A 2.(2016·新课标全国Ⅲ，16)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝-x-1 e －x ，则曲线y ＝f (x ) 在

点(1，2)处的切线方程是________. 2.解析设x>0，则－x<0，f(－x)＝e x－1＋x， 因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝e x－1＋x，f′(x)＝e x－1＋1，f′(1)＝2， y－2＝2(x－1)，即y＝2x. 答案y＝2x 3．(2015·新课标全国Ⅰ，14)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________. 3.解析f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝1＋3a，f(1)＝a＋2. 点(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(1＋3a)(x－1)． 将(2，7)代入切线方程，得7－(a＋2)＝(1＋3a)， 解得a＝1. 答案1 4.(2015·新课标全国Ⅱ，16)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________. 4.解析由y＝x＋ln x，得y′＝1＋1 x，得曲线在点(1，1)的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切 线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，此切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，消去y得ax2＋ax＋2＝0，得a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8. 答案8 5.(2015·天津，11)已知函数f(x)＝a ax ln，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________． 5.解析f′(x)＝x a ln＋ax·1x＝a(ln x＋1)，由f′(1)＝3得，a(ln 1＋1)＝3，解得a＝3.