当前位置：文档库 › 中考压轴题专题：与圆有关的最值问题(附答案)

中考压轴题专题：与圆有关的最值问题(附答案)

与圆有关的最值（取值范围）问题

引例1：在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．

引例2：如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧AB上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b，求a b

的最大值.

引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE

长度的最大值为( ).

．3 B．6 C

D．

一、题目分析：

此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接

1．引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用；

2．引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；

3．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D、E与一个定点A 构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用；

综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透.

二、解题策略

1．直观感觉，画出图形；

2．特殊位置，比较结果；

3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.

三、中考展望与题型训练

例一、斜率运用

1.如图，A 点的坐标为（﹣2，1），以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B ，P （m ，

n ）为⊙A 上的一个动点，请探索n+m 的最大值．

例二、圆外一点与圆的最近点、最远点

1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 .

2．如图，⊙O 的直径为4，C 为⊙O 上一个定点，∠ABC=30°，动点P 从A 点出发沿半圆弧AB 向B 点运动（点P 与点C 在直径AB 的异侧)，当P 点到达B 点时运动停止，在运动过程中，过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．

（1）在点P 的运动过程中，线段CD 长度的取值范围为；

（2）在点P 的运动过程中，线段AD 长度的最大值为 .

例三、正弦定理 1

．如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径作⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F 两点，连接EF ，则线段EF 长度的最小值

为．

2. 如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若CD=3，AB=8，则PM 长度的最大值是．

例四、柯西不等式、配方法

1．如图，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA 、PB ，设PC 的长为x （2＜x ＜4），则当x= 时，PD?CD 的值最大，且最大值是为 .

2．如图，线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE ，⊙O 外接于△CDE ，则⊙O

半径的最小值为( ).

D. 2

3．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，线段AB 长度的最小值是 .

例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）

1．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D 为AB 边上一点，过点D 作CD 的垂线交直线BC 于点E ，则线段CE 长度的最小值是 .

2．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC 上的一点O 为圆心OA 为半径作⊙O ，若⊙O 与边BC 始终有交点（包括B 、C 两点），则线段AO 的取值范围是 .

3．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）A．B．C．3 D．2

例五、其他知识的综合运用

1.（2015?济南）抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，连接CB，以CB为边作?CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且?CBPQ的面积为30，求点P的坐标；

（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E 重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．

2.（2013秋?相城区校级期末）如图，已知A、B是⊙O与x轴的两个交点，⊙O的半径为1，P是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点，E为线段CD的中点．

（1）判断直线PE与⊙O的位置关系并说明理由；

（2）求线段CD长的最小值；

（3）若E点的纵坐标为m，则m的范围为．

【题型训练】

1．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C，若在⊙O上存在点

Q，使△

QAC是以AC为底边的等腰三角形，则⊙O的半径r的取值范围为 .

2．已知：如图，RtΔABC中，∠B=90o，∠A=30o，

BC=6cm，点O从A点出发，沿AB以每秒的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒(t＞0)时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点，过E作EG⊥DE交射线BC于G.

（1）若点G在线段BC上，则t的取值范围是；

（2）若点G在线段BC的延长线上，则t的取值范围是 .

3．如图，⊙M，⊙N的半径分别为2cm，4cm，圆心距MN=10cm．P为⊙M上的任意一点，Q 为⊙N上的任意一点，直线PQ与连心线l所夹的锐角度数为α，当P、Q

在两圆上任意运动时，tanα

∠的最大值为

(B)

；； (D)

4．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为( ).

(A)4 (B)

(C)

(D)

4 5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB 分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是( ).

A．

B．

C．5 D．

6．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为．

7．如图，A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE

面积的最小值是( ).

A．2 B．

1 C.2- D.2

8．如图，已知A、B两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，⊙C的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是( ).

A．3 B．

C．

D．4

9．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ 切⊙O于点Q，则切线长PQ

长度的最小值为( ).

10．如图∠BAC＝60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的范围为 .

11．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P（m n

，）是第一象限内一点，且AB=2，则m n

-的范围为 .

12．在坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P是y轴右侧一点，且AP=2，点B上直线y=x+1上一动点，且PB⊥AP于点P，则tan ABP m

∠=，则m的取值范围是 .

13．在平面直角坐标系中，M（3，4），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是 .

蔡老师点评：与圆有关的最值问题，看着无从下手，但只要仔细观察，分析图形，寻找动点与定点之间不变的维系条件，构建关系，将研究的问题转化为变量与常量之间的关系，就能找到解决问题的突破口！几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．

几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：

1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．

注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．

参考答案：

引例1.解：C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，∠BOC最小，AC=2，OA=3，由勾股定理得：OC=，∵∠BOA=∠ACO=90°，

∴∠BOC+∠AOC=90°，∠CAO+∠AOC=90°，∴∠BOC=∠OAC，tan∠BOC=tan∠

OAC==，

随着C的移动，∠BOC越来越大，∵C在第一象限，∴C不到x轴点，即∠BOC＜90°，

∴tan∠BOC≥，故答案为：m≥．

引例1图引例2图

+≤

引例2.a b

原题：（2013?武汉模拟）如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O 为圆心OA长为半径作圆O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b．

（1）求证：AE=b+a；

（2）求a+b的最大值；

（3）若m是关于x的方程：x2+ax=b2+ab的一个根，求m的取值范围．

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）首先连接BE，由△OAB为等边三角形，可得∠AOB=60°，又由圆周角定理，可求得∠E的度数，又由AB为⊙D的直径，可求得CE的长，继而求得AE=b+a；（2）首先过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，可得（a+b）2= a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH?AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；

（3）由x2+ax=b2+ab，可得（x﹣b）（x+b+a）=0，则可求得x的值，继而可求得m的取值范围．

【解答】解：（1）连接BE，∵△OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AEB=30°，

∵AB为直径，∴∠ACB=∠BCE=90°，∵BC=a，∴BE=2a，CE=a，∵AC=b，∴AE=b+a；

（2）过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，∴a2+b2=1，

∵S△ABC=AC?BC=AB?CH，∴AC?BC=AB?CH，

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH?AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，∴a+b≤，

故a+b的最大值为，

（3）∵x2+ax=b2+ab，∴x2﹣b2+ax﹣ab=0，∴（x+b）（x﹣b）+a（x﹣b）=0，

∴（x﹣b）（x+b+a）=0，∴x=b或x=﹣（b+a），

当m=b时，m=b=AC＜AB=1，∴0＜m＜1，

当m=﹣（b+a）时，由（1）知AE=﹣m，又∵AB＜AE≤2AO=2，∴1＜﹣m≤2，

∴﹣2≤m＜﹣1，∴m的取值范围为0＜m＜1或﹣2≤m＜﹣1．

【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．

引例3.解：连接EP，DP，过P点作PM垂直DE于点M，过O做OF⊥AC与F，连接AO，如图，∵∠BAC=60°，∴∠DPE=120°．∵PE=PD，PM⊥DE，∴∠EPM=60°，

∴ED=2EM=2EP?sin60°=EP=PA．当P与A、O共线时，且在O点右侧时，⊙P直径最大．

∵⊙O与∠BAC两边均相切，且∠BAC=60°，∴∠OAF=30°，OF=1，

∴AO==2，AP=2+1=3，∴DE=PA=3．故答案为：D。

【点评】本题考查了切线的性质中的解决极值问题，解题的关键是找出DE与AP之间的关系，再解决切线的性质来解决问题．本题属于中等难度题，难点在于找到DE与半径AP之间的关系，只有找到DE与AP之间的关系，才能说明当A、O、P三点共线时DE最大．

引例3图

例一、斜率运用

【考点】切线的性质；坐标与图形性质．【专题】探究型．

【分析】设m+n=k，则点P（m，n）在直线x+y=k上，易得直线y=﹣x+k与y轴的交点坐标为（0，k），于是可判断当直线y=﹣x+k与⊙A在上方相切时，k的值最大；直线y=﹣x+k 与x轴交于点C，切⊙A于P，作PD⊥x轴于D，AE⊥PD于E，连接AB，如图，则C（k，0），利用直线y=﹣x+k的性质易得∠PCD=45°，则△PCD为等腰直角三角形，接着根据切线长定理和切线的性质得AB⊥OB，AP⊥PC，AP=AB=1，CP=CB=k+2，所以四边形ABDE

为矩形，∠APE=45°，则DE=AB=1，PE=AP=，所以PD=PE+DE=+1，然后在Rt△PCD 中，利用PC=PD得到2+k=（+1），解得k=﹣1，从而得到n+m的最大值为

﹣1．

【解答】解：设m+n=k，则点P（m，n）在直线x+y=k上，当x=0时，y=k，即直线y=﹣x+k与y轴的交点坐标为（0，k），所以当直线y=﹣x+k与⊙A在上方相切时，k的值最大，

直线y=﹣x+k与x轴交于点C，切⊙A于P，作PD⊥x轴于D，AE⊥PD于E，连接AB，如图，

当y=0时，﹣x+k=0，解得x=k，则C（k，0），∵直线y=﹣x+k为直线y=﹣x向上平移k

个单位得到，∴∠PCD=45°，∴△PCD为等腰直角三角形，∵CP和OB为⊙A的切线，

∴AB⊥OB，AP⊥PC，AP=AB=1，CP=CB=k+2，∴四边形ABDE为矩形，∠APE=45°，

∴DE=AB=1，

∵△APE为等腰直角三角形，∴PE=AP=，∴PD=PE+DE=+1，在Rt△PCD中，

∵PC=PD，∴2+k=（+1），解得k=﹣1，∴n+m的最大值为﹣1．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决本题的关键是确定直线y=﹣x+k与⊙A相切时n+m的最大值．

例二、圆外一点与圆的最近点、最远点

1.解：作AB的中点E，连接EM、CE．在直角△ABC中，AB===5，∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，∴CE=AB=．∵M是BD的中点，E是AB的中点，∴ME=AD=1．∴在△CEM中，﹣1≤CM≤+1，即≤CM≤．故答案是：≤CM≤．

<≤（2）2+

2.（1）CD

变式题：（2011?邯郸一模）如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，⊙O的直径AB=5，AB的不同侧有定点C和动点P，tan∠CAB=．其运动过程是：点P在弧AB上滑动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．

（1）当PC=时，CQ与⊙O相切；此时CQ=．

（2）当点P运动到与点C关于AB对称时，求CQ的长；

（3）当点P运动到弧AB的中点时，求CQ的长．

【考点】切线的性质；圆周角定理；解直角三角形．

【专题】计算题．

【分析】（1）当CQ为圆O的切线时，CQ为圆O的切线，此时CP为圆的直径，由CQ垂直于直径CP，得到CQ为切线，即可得到CP的长；由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，由已知角的正切值，在直角三角形CPQ中，利用锐角三角函数定义即可求出CQ的长；

（2）当点P运动到与点C关于AB对称时，如图1所示，此时CP⊥AB于D，由AB为圆O的直径，得到∠ACB为直角，在直角三角形ACB中，由tan∠CAB与AB的长，利用锐角三角函数定义求出AC与BC的长，再由三角形ABC的面积由两直角边乘积的一半来求，也利用由斜边乘以斜边上的高CD的一半来求，求出CD的长，得到CP的长，同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，由已知角的正切值，得到tan∠CPB的值，由CP的长即可求出CQ；

（3）当点P运动到弧AB的中点时，如图2所示，过点B作BE⊥PC于点E，由P是弧AB 的中点，得到∠PCB=45°，得到三角形EBC为等腰直角三角形，由CB的长，求出CE与BE的长，在直角三角形EBP中，由∠CPB=∠CAB，得到tan∠CPB=tan∠CAB，利用三角函数定义求出PE的长，由CP+PE求出CP的长，即可求出CQ的长．

【解答】解：（1）当CP过圆心O，即CP为圆O的直径时，CQ与⊙O相切，理由为：

∵PC⊥CQ，PC为圆O的直径，∴CQ为圆O的切线，此时PC=5；∵∠CAB=∠CPQ，

∴tan∠CAB=tan∠CPQ=，∴tan∠CPQ===，则CQ=；故答案为：5；；（2）当点P运动到与点C关于AB对称时，如图1所示，此时CP⊥AB于D，

图1图2

又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=5，tan∠CAB=，∴BC=4，AC=3，

又∵S△ABC=AC?BC=AB?CD，∴AC?BC=AB?CD，即3×4=5CD，∴CD=，

∴PC=2CD=，

在Rt△PCQ中，∠PCQ=90°，∠CPQ=∠CAB，∴CQ=PCtan∠CPQ=PC，∴CQ=×=；

（3）当点P运动到弧AB的中点时，如图2所示，过点B作BE⊥PC于点E，

∵P是弧AB的中点，∠PCB=45°，∴CE=BE=2，又∠CPB=∠CAB，

∴tan∠CPB=tan∠CAB==，∴PE==BE=，

∴PC=CE+PE=2+=，

由（2）得，CQ=PC=．

【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．

再变式：如图3时，CQ最长。

图3

例三、正弦定理

1.解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，

如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2

∴AD=BD=2，即此时圆的半径为1，由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，∴在Rt△EOH中，EH=OE?sin∠EOH=1×=，由垂径定理可知EF=2EH=，故答案为：．

例三1答图例三2答图

2.【考点】垂径定理；三角形中位线定理．

【分析】当CD∥AB时，PM长最大，连接OM，OC，得出矩形CPOM，推出PM=OC，求出OC长即可．

【解答】解：法①：如图：当CD∥AB时，PM长最大，连接OM，OC，

∵CD∥AB，CP⊥CD，∴CP⊥AB，∵M为CD中点，OM过O，∴OM⊥CD，

∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，∴四边形CPOM是矩形，∴PM=OC，

∵⊙O直径AB=8，∴半径OC=4，即PM=4，故答案为：4．

法②：连接CO，MO，根据∠CPO=∠CM0=90°，所以C，M，O，P，四点共圆，且CO为直径．连接PM，则PM为⊙E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM=CO=4时PM 最大．即PM max=4

【点评】本题考查了矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质的应用，关键是找出符合条件的CD的位置，题目比较好，但是有一定的难度．

例四、柯西不等式、配方法

1.过O作OE⊥PD，垂足为E，∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE=ED，

又∵∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°，∴四边形OACE为矩形，∴CE=OA=2，又PC=x，

∴PE=ED=PC﹣CE=x﹣2，∴PD=2（x﹣2），∴CD=PC﹣PD=x﹣2（x﹣2）=x﹣2x+4=4﹣x，∴PD?CD=2（x﹣2）?（4﹣x）=﹣2x2+12x﹣16=﹣2（x﹣3）2+2，∵2＜x＜4，∴当x=3时，PD?CD的值最大，最大值是2．

第1题答图第2题答图

2.解：如图，分别作∠A与∠B角平分线，交点为P．

∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AP与BP为CD、CE垂直平分线．

又∵圆心O在CD、CE垂直平分线上，则交点P与圆心O重合，即圆心O是一个定点．

连接OC．若半径OC最短，则OC⊥AB．又∵∠OAC=∠OBC=30°，AB=4，∴OA=OB，

∴AC=BC=2，∴在直角△AOC中，OC=AC?tan∠OAC=2×tan30°=．故选：B．

3. 解：（1）线段AB长度的最小值为4，理由如下：连接OP，

∵AB切⊙O于P，∴OP⊥AB，取AB的中点C，∴AB=2OC；当OC=OP时，OC最短，即AB最短，此时AB=4．故答案为：4．

（3题答图）

例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）

1.求CE最小值，就是求半径OD的最小值。

≤≤；

3.【考点】切线的性质．【专题】压轴题．

【分析】因为PQ为切线，所以△OPQ是Rt△．又OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最小．根据垂线段最短，知OP=3时PQ最小．根据勾股定理得出结论即可．

【解答】解：∵PQ切⊙O于点Q，∴∠OQP=90°，∴PQ2=OP2﹣OQ2，而OQ=2，∴PQ2=OP2﹣4，即PQ=，当OP最小时，PQ最小，∵点O到直线l的距离为3，∴OP的最

小值为3，∴PQ的最小值为=．故选B．

【点评】此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PQ最小时点P的位置是解题的关键，难度中等偏上．

例五、其他几何知识的运用

1.解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：．

∴抛物线得解析式为y=x2﹣6x+4．

（2）如图所示：

设点P的坐标为P（m，m2﹣6m+4），∵平行四边形的面积为30，

∴S△CBP=15，即：S△CBP=S梯形CEDP﹣S△CEB﹣S△PBD．

∴m（5+m2﹣6m+4+1）﹣×5×5﹣（m﹣5）（m2﹣6m+5）=15．

化简得：m2﹣5m﹣6=0，解得：m=6，或m=﹣1．∵m＞0，∴点P的坐标为（6，4）．（3）连接AB、EB．∵AE是圆的直径，∴∠ABE=90°．∴∠ABE=∠MBN．

又∵∠EAB=∠EMB，∴△EAB∽△NMB．∵A（1，﹣1），B（5，﹣1），∴点O1的横坐标为3，

将x=0代入抛物线的解析式得：y=4，∴点C的坐标为（0，4）．设点O1的坐标为（3，m），

∵O1C=O1A，∴，解得：m=2，∴点O1的坐标为（3，2），

∴O1A=，在Rt△ABE中，由勾股定理得：

BE===6，∴点E的坐标为（5，5）．∴AB=4，BE=6．

∵△EAB∽△NMB，∴．∴．∴NB=．

∴当MB为直径时，MB最大，此时NB最大．∴MB=AE=2，∴NB==3．

2.【考点】圆的综合题．【专题】综合题．

【分析】（1）连接OP，设CD与x轴交于点F．要证PE与⊙O相切，只需证∠OPE=90°，只需证∠OPB+∠EPD=90°，由OP=OB可得∠OPB=∠OBP=∠FBD，只需证∠EPD=∠EDP，只需证EP=ED，只需利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可解决问题．

（2）连接OE，由于PE=CD，要求线段CD长的最小值，只需求PE长的最小值，在Rt△OPE

中，OP已知，只需求出OE的最小值就可．

（3）设⊙O与y轴的正半轴的交点为Q，由图可知：点P从点Q向点B运动的过程中，点E的纵坐标越来越小，而点P在点Q时，点E的纵坐标为1，由此就可得到m的范围．【解答】解：（1）直线PE与⊙O相切．

证明：连接OP，设CD与x轴交于点F．∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=∠CPD=90°．

∵E为CD的中点，∴PE=CE=DE=CD，∴∠EPD=∠EDP．∵OP=OB，

∴∠OPB=∠OBP=∠DBF．

∵∠DBF+∠EDB=90°，∴∠OPB+∠EPD=∠OPE=90°，∴EP⊥OP．∵OP为⊙O的半径，∴PE是⊙O的切线．

（2）连接OE，∵∠OPE=90°，OP=1，∴PE2=OE2﹣OP2=OE2﹣1．∵当OE⊥CD时，OE=OF=2，

此时OE最短，∴PE2最小值为3，即PE最小值为，∵PE=CD，∴线段CD长的最小

值为2．

（3）设⊙O与y轴的正半轴的交点为Q，

由图可知：点P从点Q向点B运动的过程中，点E的纵坐标越来越小，当点P在点Q时，由PE⊥OP可得点E的纵坐标为1．∵点P是圆上第一象限内的一个动点，∴m的范围为m ＜1．

【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，利用勾股定理将求PE的最小值转化为求OE的最小值是解决第（2）小题的关键．

【题型训练】

1.解：连接OB．如图1，∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°，

∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB，

∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC，∴AB=AC，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE

⊥MN，如图2，∴OE=AC=AB=，又∵圆O与直线MN有交点，∴

OE=≤r，∴≤2r，即：100﹣r2≤4r2，∴r2≥20，∴r≥2．∵OA=10，

直线l与⊙O相离，

∴r＜10，∴2≤r＜10．故答案为：2≤r＜10．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力．本题综合性比较强，有一定的难度．

2.原题：（2004?无锡）已知：如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm．点O从A 点出发，沿AB以每秒cm的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒（t＞0）时，以O 点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点．过E作EG⊥DE交射线BC于G．

（1）若E与B不重合，问t为何值时，△BEG与△DEG相似？

（2）问：当t在什么范围内时，点G在线段BC上？当t在什么范围内时，点G在线段BC 的延长线上？

（3）当点G在线段BC上（不包括端点B、C）时，求四边形CDEG的面积S（cm2）关于时间t（秒）的函数关系式，并问点O运动了几秒钟时，S取得最大值最大值为多少？

【考点】切线的性质；二次函数综合题；相似三角形的判定．

【专题】综合题；压轴题；分类讨论．

【分析】（1）连接OD，DF．那么OD⊥AC，则∠AOD=60°，∠AED=30°．由于∠DEG=90°，因此∠BEG=60°，因此本题可分两种情况进行讨论：

①当∠EDG=60°，∠DGE=30°时，∠BGD=∠BGE+∠EGD=60°．这样∠BGD和∠ACB相等，那么G和C重合．

②当∠DGE=60°时，可在直角△AOD中，根据∠A的度数和AO的长表示出AD的长，也就能表示出CD的长，由于∠A=∠AED=30°，那么AD=DE，可在直角△DEG中，用AD的长表示出DG，进而根据DG∥AB得出的关于CD，AD，DG，AB的比例关系式即可求出此时t的值．

（2）本题可先求出BG的表达式，然后令BG＞BC，即可得出G在BC延长线上时t的取值范围．

（3）由于四边形CGED不是规则的四边形，因此其面积可用△ABC的面积﹣△ADE的面积﹣△BEG的面积来求得．在前两问中已经求得AD，AE，BE，BG的表达式，那么就不难得

出这三个三角形的面积．据此可求出S，t的函数关系式．根据函数的性质和自变量的取值范围即可求出S的最大值及对应的t的值．

【解答】解：（1）连接OD，DF．∵AC切⊙O于点D，∴OD⊥AC．在Rt△OAD中，∠A=30°，

OA=t，∴OD=OF=t，AD=OA?cosA=．又∵∠FOD=90°﹣30°=60°，∴∠AED=30°，∴AD=ED=．∵DE⊥EG，∴∠BEG=60°，△BEG与△DEG相似．∵∠B=∠GED=90°，①当∠EGD=30°，CE=2BE=2（6﹣t）则∠BGD=60°=∠ACB，此时G与C重合，DE==AD，CD=12﹣，BE=6﹣t，∵△BEG∽△DEC，∴=，

∴=，t=；

②当∠EGD=60°．∴DG⊥BC，DG∥AB．在Rt△DEG中，∠DEG=90°，DE=，∴DG=t．在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6，∴AC=12，AB=6，∴CD=12﹣．∵DG∥AB，

∴解得t=．答：当t为或时，△BEG与△EGD相似；

（2）∵AC切⊙O于点D，∴OD⊥AC．在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=t，∴∠AED=30°，∴DE⊥EG，∴∠BEG=60°．在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6，∴AB=6，

BE=6﹣t．Rt△BEG中，∠BEG=60°，∴BG=BE?tan60°=18﹣t．当0≤18﹣t≤6，即≤t≤4时，点G在线段BC上；当18﹣t＞6，即0＜t＜时，点G在线段BC的延长线上；

（3）过点D作DM⊥AB于M．在Rt△ADM中，∠A=30°，∴DM=AD=t．

∴S=S△ABC﹣S△AED﹣S△BEG=36﹣t2﹣27t=﹣（t﹣）2+（＜t＜4）．

所以当t=时，s取得最大值，最大值为．

【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、切线的性质、相似三角形的判定、图形面积的求法以及二次函数的综合应用等知识点．

3.D；

4.解：当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，

∵P是⊙D的切线，∴DP垂直与切线，延长PD交AC于M，则DM⊥AC，

∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∴AC==5，∴OA=，

∵∠AMD=∠ADC=90°，∠DAM=∠CAD，∴△ADM∽△ACD，∴=，∵AD=4，CD=3，AC=5，∴DM=，∴PM=PD+DM=1+=，∴△AOP的最大面积

=OA?PM=××=，

故选D．

（4题答图）（5题答图）

【点评】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大；

5.解：如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，则FD⊥AB．∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，FC+FD=PQ，∴FC+FD＞CD，∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ=CD有最小值，∴CD=BC?AC÷AB=4.8．故选：B．

7.解：若△ABE的面积最小，则AD与⊙C相切，连接CD，则CD⊥AD；

Rt△ACD中，CD=1，AC=OC+OA=3；由勾股定理，得：AD=2；

∴S△ACD=AD?CD=；易证得△AOE∽△ADC，∴=（）2=（）2=，

即S△AOE=S△ADC=；∴S△ABE=S△AOB﹣S△AOE=×2×2﹣=2﹣；

另解：利用相似三角形的对应边的比相等更简单！故选：C．

（7题答图）（8题答图）

8.解：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．连接AC，

∵∠AOC=∠ADC=90°，AC=AC，OC=CD，∴Rt△AOC≌Rt△ADC，∴AD=AO=2，

连接CD，设EF=x，∴DE2=EF?OE，∵CF=1，∴DE=，∴△CDE∽△AOE，∴=，即=，解得x=，S△ABE===．故选：B．

【点评】本题是一个动点问题，考查了切线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是确定当射线AD 与⊙C 相切时，△ABE 面积的最大．

9. 解：当PC ⊥AB 时，PQ 的长最短．在直角△ABC 中，AB===4， PC=AB=2

．∵PQ 是⊙C 的切线，∴CQ ⊥PQ ，即∠CQP=90°， ∴PQ===．故选A ．

【点评】本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用；注意掌握辅助线的作法，注意当PC ⊥AB 时，线段PQ 最短是关键．

（9题答图）（10题答图）

10. 解：连接AO 并延长，与ED 交于F 点，与圆O 交于P 点，此时线段ED 最大，

连接OM ，PD ，可得F 为ED 的中点，∵∠BAC=60°，AE=AD ，∴△AED 为等边三角形， ∴AF 为角平分线，即∠FAD=30°，在Rt △AOM 中，OM=1，∠OAM=30°，∴OA=2， ∴PD=PA=AO+OP=3，在Rt △PDF 中，∠FDP=30°，PD=3，∴PF=，根据勾股定理得：

FD==，则DE=2FD=3．同理可得：DE 23323333DE ≤≤ 11.15m n ≤-≤；12.01m <≤；13. 解：设P （x ，y ），∵PA 2=（x+1）2+y 2，PB 2=（x ﹣1）2+y 2

，

∴PA 2+PB 2=2x 2+2y 2+2=2（x 2+y 2）+2，∵OP 2=x 2+y 2，∴PA 2+PB 2=2OP 2+2，当点P 处于OM 与圆的交点上时，OP 取得最值，∴OP 的最大值为OM+PM=5+2=7，∴PA 2+PB 2最大值为100．

【点评】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P 坐标，将所求代数式的值转化

为求解OP 的最大值，难度较大．

附：1.如图，直线分别与x、y轴交于点A、B，以OB为直径作⊙M，⊙M与

直线AB的另一个交点为D．

（1）求∠BAO的大小；（2）求点D的坐标；（3）过O、D、A三点作抛物线，点Q是抛物线的对称轴l上的动点，探求：|QO﹣QD|的最大值．

【考点】一次函数综合题．【专题】压轴题．

【分析】（1）根据直线解析式求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，再求出∠BAO 的正切值，然后根据特殊角的三角函数值求解即可；

（2）连接OD，过D作DE⊥OA于点E，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BDO=90°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OD，直角三角形两锐角互余求出∠DOE=60°，然后解直角三角形求出OE、DE，再写出点D的坐标即可；

（3）根据二次函数的对称性可得抛物线的对称轴为OA的垂直平分线，再根据三角形的任意两边之差小于第三边判断出点Q为OD与对称轴的交点时|QO﹣QD|=OD的值最大，然后求解即可．

【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+4分别与x、y轴交于点A、B，

∴当y=0时，﹣x+4=0，解得x=4；当x=0时，y=4，∴A（4，0），B（0，4）．

∴OA=4，OB=4，在Rt△AOB中，∵tan∠BAO===，∴∠BAO=30°；

（2）连接OD，过D作DE⊥OA于点E，∵OB是⊙M的直径，∴∠BDO=∠ADO=90°，在Rt△AOD中，∵∠BAO=30°，∴OD=OA=×4=2，∠DOE=60°，在Rt△DOE中，

OE=OD?cos∠DOE=2×=，DE=OD?sin∠DOE=2×=3，∴点D的坐标为（，3）；

（3）易知对称轴l是OA的垂直平分线，延长OD交对称轴l于点Q，此时|QO﹣QD|=OD 的值最大，理由：设Q′为对称轴l上另一点，连接OQ′，DQ′，则在△ODQ′中，|Q′O﹣Q′D|＜OD，

∴|QO﹣QD|的最大值=OD=2．

【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求解，直径所对的圆周角是直角，锐角三角函数定义，解直角三角形，二次函数的对称性，三角形的三边关系，（3）判断出点Q为直线OD与对称轴的交点是解题的关键．

2.如图，已知A，B两点的坐标分别为（﹣3，0），（0，3），⊙C的圆心坐标为（3，0），并与x轴交于坐标原点O．若E是⊙C上的一个动点，线段AE与y轴交于点D．

（1）线段AE长度的最小值是，最大值是；

（2）当点E运动到点E1和点E2时，线段AE所在的直线与⊙C相切，求由AE1、AE2、弧E1OE2所围成的图形的面积；

（3）求出△ABD的最大值和最小值．

（题图）（答图）

【考点】圆的综合题．【专题】几何综合题．

【分析】（1）根据动点E在x轴上时，AE取得最小值与最大值解答；

（2）连接CE1、CE2，根据圆的切线的定义可得CE1⊥AE1，CE2⊥AE2，解直角三角形求出∠ACE1=60°，过点E1作E1F⊥x轴于F，利用∠ACE1的正弦求出E1F，然后利用三角形的面积求出△ACE1的面积，同理可得△ACE2的面积，再根据由AE1、AE2、弧E1OE2所围成的图形的面积=四边形AE1CE2的面积﹣扇形CE1E2的面积，然后列式计算即可得解；（3）根据直角三角形两锐角互余求出∠DAO=30°，利用∠DAO的正切值求出OD的长度，根据三角形的面积，点D在y轴负半轴时，△ABD的面积取得最大值，在y轴正半轴时，△ABD的面积取得最小值，然后进行计算即可得解，

【解答】解：（1）∵A（﹣3，0），∴OA=3，∵⊙C的圆心坐标为（3，0），并与x轴交于坐标原点O，∴⊙C的半径为3，∴AE长度的最小值为3，最大值为3+3×2=9；故答案为：3，9；

（2）如图，连接CE1、CE2，∵点E运动到点E1和点E2时，线段AE所在的直线与⊙C相切，

∴CE1⊥AE1，CE2⊥AE2，∵cos∠ACE1===，∴∠ACE1=60°，过点E1作E1F⊥x

轴于F，则E1F=CE1?sin60°=3×sin60°=3×=，∴△ACE1的面积

=AC?E1F=×6×=，

同理可得，△ACE2的面积=，∴四边形AE1CE2的面积=△ACE1的面积+△ACE2的面

积=+=9，由AE1、AE2、弧E1OE2所围成的图形的面积=四边形AE1CE2的面积﹣扇形CE1E2的面积，=9﹣，=9﹣3π；

（3）∵∠ACE1=60°，∴∠DAO=90°﹣ACE1=90°﹣60°=30°，

∴OD=AO?tan∠DAO=3tan30°=3×=，∵点A到BD的距离为OA的长度，不变，

∴点D在y轴负半轴时，△ABD的面积取得最大值，此时BD=OB+OD=3+，最大面积为：

×（3+）×3=，在y轴正半轴时，△ABD的面积取得最小值，

此时BD=OB﹣OD=3﹣，最小面积为：×（3﹣）×3=．

【点评】本题是圆的综合题型，主要考查了圆外一点与圆上各点的距离的最值问题，圆的切线问题，解直角三角形，以及三角形的面积，综合题，但难度不大，（1）（3）确定出最大值

中考数学圆的综合-经典压轴题及答案

中考数学圆的综合-经典压轴题及答案一、圆的综合 1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．试题解析：连接AD，OA， ∵∠ADC=∠B，∠B=60°， ∴∠ADC=60°， ∵CD是直径， ∴∠DAC=90°， ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°， ∵AP=AC，OA=OC， ∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°， ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，即OA⊥AP， ∵OA为半径， ∴AP是⊙O切线．（2）连接AD，BD，

∵CD是直径， ∴∠DBC=90°， ∵CD=4，B为弧CD中点， ∴BD=BC=， ∴∠BDC=∠BCD=45°， ∴∠DAB=∠DCB=45°，即∠BDE=∠DAB， ∵∠DBE=∠DBA， ∴△DBE∽△ABD， ∴， ∴BE?AB=BD?BD=．考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质． 2．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F．连接OC．（1）若∠G=48°，求∠ACB的度数；（2）若AB=AE，求证：∠BAD=∠COF；（3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2．若 tan∠CAF= 1 2，求1 2 S S的值．【答案】（1）48°（2）证明见解析（3）3 4

备战中考数学圆的综合-经典压轴题及答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，△ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G．（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：AG2=AF·AB；（3）若⊙O的直径为10，AC=25，AB=45，求△AFG的面积. 【答案】（1）PA与⊙O相切，理由见解析；（2）证明见解析；（3）3. 【解析】试题分析：（1）连接CD，由AD为⊙O的直径，可得∠ACD=90°，由圆周角定理，证得∠B=∠D，由已知∠PAC=∠B，可证得DA⊥PA，继而可证得PA与⊙O相切．（2）连接BG，易证得△AFG∽△AGB，由相似三角形的对应边成比例，证得结论. （3）连接BD，由AG2=AF?AB，可求得AF的长，易证得△AEF∽△ABD，即可求得AE的长，继而可求得EF与EG的长，则可求得答案．试题解析：解：（1）PA与⊙O相切．理由如下：如答图1，连接CD， ∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°. ∴∠D+∠CAD=90°. ∵∠B=∠D，∠PAC=∠B，∴∠PAC=∠D. ∴∠PAC+∠CAD=90°，即DA⊥PA. ∵点A在圆上， ∴PA与⊙O相切．

（2）证明：如答图2，连接BG ， ∵AD 为⊙O 的直径，CG ⊥AD ，∴AC AD =.∴∠AGF=∠ABG. ∵∠GAF=∠BAG ，∴△AGF ∽△ABG. ∴AG ：AB=AF ：AG. ∴AG 2=AF?AB. （3）如答图3，连接BD ， ∵AD 是直径，∴∠ABD=90°. ∵AG 2=AF?AB ，55∴5 ∵CG ⊥AD ，∴∠AEF=∠ABD=90°. ∵∠EAF=∠BAD ，∴△AEF ∽△ABD. ∴ AE AF AB AD =545=，解得：AE=2. ∴221EF AF AE = -=. ∵224EG AG AE = -=，∴413FG EG EF =-=-=. ∴1132322 AFG S FG AE ?=??=??=．

中考圆压轴题

学生：科目：数学教师：知识框架一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系 A

1、点在圆内?d r ?点A在圆外；三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r +；外切（图2）?有一个交点?d R r =+；相交（图3）?有两个交点?R r d R r -<<+；内切（图4）?有一个交点?d R r =-；内含（图5）?无交点?d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB是直径②AB CD =④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧 ⊥③CE DE

广州中考圆压轴题专题#(精选.)

1.如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y=1 4 x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形 CDEF的面积为1．（1）求B点坐标；（2）求证：ME是⊙P的切线； 2.如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=1 2 BC．（1）求∠BAC的度数；（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H；求证：四边形AFHG是正方形；（3）若BD=6，CD=4，求AD的长．

3.如图1所示，以点M（-1，O）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A，B，C，D，直线y= 3 -x- 53 与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；（2）如图2所示，弦HQ交x轴于点P，且DP：PH=3：2，求cos∠QHC的值；（3）如图3所示，点K为线段EC上一动点（不与E，C重合），连接BK交⊙M于点T，弦A T交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN?MK=a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由． 4.如图，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧?BC上一个动点，且A（-1，0），E（1，0）．（1）求点C的坐标；（2）连接PA，PC．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，当P点在运动时，线段AQ的长度是否发生变化；若不变求出其值，若发生变化，求出变化的范围；（3）连接PD，当P点在运动时（不与B、C两点重合），求证：PC PD PA 的值不变

2016年中考压轴题专题与圆有关的最值问题附答案

B y C x A O D B O C A 与圆有关的最值（取值范围）问题引例1：在坐标系中，点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan ∠BOC=m ，则m 的取值范围是_________．引例2：如图，在边长为1的等边△OAB 中，以边AB 为直径作⊙D ，以O 为圆心OA 长为半径作⊙O ，C 为半圆弧?AB 上的一个动点（不与A 、B 两点重合），射线AC 交⊙O 于点E ，BC=a ，AC=b ，求a b 的最大值. 引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O 与∠BAC 的两边相切，P 为圆O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ). A ．3 B ．6 C ．332 D ．33 一、题目分析：此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接 1．引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C 与两个定点O 、A 构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用； 2．引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C 与两个定点A 、B 构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用； 3．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D 、E 与一个定点A 构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦DE 、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE 与半径AP 之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用；综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透. 二、解题策略 1．直观感觉，画出图形； 2．特殊位置，比较结果； 3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.

中考圆压轴题训练精选

成都中考圆压轴题训练一．选择题（共15小题） 1．如图1，⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE⊥AB，在上取一点D，分别作直线CD，ED，交直线AB于点F、M．（1）求∠COA和∠FDM的度数；（2）求证：△FDM∽△COM；（3）如图2，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在上，仍作直线CD、ED，分别交直线AB于点F、M．试判断：此时是否仍有△FDM∽△COM？证明你的结论． 2．已知：如图，BC为半圆的直径，O为圆心，D是弧AC的中点，四边形ABCD 的对角线AC、BD交于点E．（1）求证：△ABE∽△DBC；（2）已知BC=，CD=，求sin∠AEB的值；（3）在（2）的条件下，求弦AB的长． 3．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，

如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x ，△DOE 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域． 4．如图，⊙M 交x 轴于B 、C 两点，交y 轴于A ，点M 的纵坐标为2．B （﹣3， O ），C （，O ）．（1）求⊙M 的半径；（2）若CE ⊥AB 于H ，交y 轴于F ，求证：EH=FH ．（3）在（2）的条件下求AF 的长． 5．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，BC 为直径，AD ⊥BC 于点D ，点E 为DA 延长线上一点，连接BE ，交⊙O 于点F ，连接CF ，交AB 、AD 于M 、N 两点．（1）若线段AM 、AN 的长是关于x 的一元二次方程x 2﹣2mx +n 2﹣mn +m 2=0的两个实数根，求证：AM=AN ；（2）若AN=，DN=，求DE 的长；（3）若在（1）的条件下，S △AMN ：S △ABE =9：64，且线段BF 与EF 的长是关于y 的一元二次方程5y 2﹣16ky +10k 2+5=0的两个实数根，求直径BC 的长．

与圆有关的中考数学压轴题精选

与圆有关的中考数学压轴题精选 1．在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4），直线CM ∥x 轴（如图所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y ＝x ＋b （b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ．（1）求b 的值和点D 的坐标；（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以PD 为半径的圆P 与圆O 外切，求圆O 的半径． 2．如图，已知射线DE 与x 轴和y 轴分别交于点D （3，0）和点E （0，4），动点C 从点M （5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向左作匀速运动，与此同时，动点P 从点D 出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE 的方向作匀速运动．设运动时间为t 秒．（1）请用含t 的代数式分别表示出点C 与点P 的坐标；（2）以点C 为圆心、 2 1 t 个单位长度为半径的⊙C 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），连接P A 、PB ． ① 当⊙C 与射线DE 有公共点时，求t ② 当△P AB 为等腰三角形时，求t 的值．

3．如图，射线OA ⊥射线OB ，半径r ＝2cm 的动圆M 与OB 相切于点Q （圆M 与OA ?没有公共点），P 是OA 上的动点，且PM ＝3cm ，设OP ＝x cm ，OQ ＝y cm ．（1）求x 、y 所满足的关系式，并写出x 的取值范围．（2）当△MOP 为等腰三角形时，求相应的x 的值．（3）是否存在大于2的实数x ，使△MQO ∽△OMP ？若存在，求相应x 的值，若不存在，请说明理由． 4．如图所示，在直角坐标系中，⊙P 经过原点O ，且与x 轴、y 轴分别相交于A （－6，0）、B （0，－8）两点，两点．（1）求直线AB 的函数表达式；（2）有一开口向下的抛物线过B 点，它的对称轴平行于y 轴且经过点P ，顶点C 在⊙P 上，求该抛物线的函数表达式；（3）设（2）中的抛物线交x 轴于D ，E 两点，在抛物线上是否存在点Q ，使得S △QDE ＝ 15 1S △ABC ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

圆中考数学压轴题

1 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），∠ABO=60°. （1）若△AOB的外接圆与y轴交于点D，求D点坐标. （2）若点C的坐标为（-1，0），试猜想过D、C的直线与△AOB的外接圆的位置关系，并加以说明. （3）二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上，求此函数的解析式. 2 如图（4），正方形111 OA B C的边长为1，以O为圆心、 1 OA为半径作扇形 1111 OAC AC ，与 1 OB相交于点 2 B，设正方形 111 OA B C 与扇形 11 OA C之间的阴影部分的面积为 1 S；然后以 2 OB为对角线作正方形 222 OA B C，又以O为圆心，、 2 OA为半径作扇形 22 OA C，22 A C与 1 OB相交于点 3 B，设正方形 222 OA B C与扇形 22 OA C之间的阴影部分面积为 2 S；按此规律继续作下去，设正方形 n n n OA B C 与扇形 n n OA C之间的阴影部分面积为 n S．（1）求 123 S S S ，，；（2）写出 2008 S；（3）试猜想 n S（用含n的代数式表示，n为正整数）． 3 (10分)如图，点I是△ABC的内心，线段A I的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．（1）求证：I D=BD；（2）设△ABC的外接圆的半径为5，I D=6，AD x =，DE y =，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围． 4 如图，点A，B，C，D是直径为AB的⊙O上四个点，C是劣弧BD的中点，AC交BD于点E，AE＝2，EC＝1．（1）求证：DEC △∽ADC △；（3分）（2）试探究四边形ABCD是否是梯形？若是，请你给予证明并求出它的面积；若不是，请说明理由．（4分）（3）延长AB到H，使BH＝OB． 1 B2 B3 A1 A2 A3 O C C C 图4 S2 S1 S3

中考数学圆经典压轴题带答案

1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE?CA．（1）求证：BC=CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长． 2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为 G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；（2）若=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长． 4.

5.已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且E M＞MC，连结DE，DE=。（1）求证：AM·MB=EM·MC；（2）求EM的长；（3）求sin∠EOB的值。 6.如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知 ∠EAT=30°，AE=3，MN=2．（1）求∠COB的度数；（2）求⊙O的半径R；（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比． 7.如图，AB是半径O的直径，AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC．过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F．过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q．（1）求证：△ABC∽△OFB；（2）当△ABD与△BFO的面枳相等时，求BQ的长；（3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点

中考数学与圆的综合有关的压轴题附答案解析

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ，连接BE ，过点O 作BE 的平行线，交⊙O 于点F ，交切线于点C ，连接AC （1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）连接EF ，当∠D= °时，四边形FOBE 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）30. 【解析】【分析】（1）由等角的转换证明出OCA OCE ??≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ?为等边三角形，而得出60BOE ∠=?，根据三角形内角和即可求出答案. 【详解】（1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ， ∴OE CD ⊥， ∴90CEO ∠=?，又∵OC BE ， ∴COE OEB ∠=∠，∠OBE=∠COA ∵OE=OB ， ∴OEB OBE ∠=∠， ∴COE COA ∠=∠，又∵OC=OC ，OA=OE ， ∴OCA OCE SAS ??≌（）， ∴90CAO CEO ∠=∠=?，又∵AB 为⊙O 的直径， ∴AC 为⊙O 的切线；（2）解：∵四边形FOBE 是菱形， ∴OF=OB=BF=EF ， ∴OE=OB=BE ， ∴OBE ?为等边三角形， ∴60BOE ∠=?，

而OE CD ⊥， ∴30D ∠=?．故答案为30．【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键. 2．如图1O ，的直径12AB P =，是弦BC 上一动点(与点B C ，不重合)30ABC ，∠=，过点P 作PD OP ⊥交O 于点D ． ()1如图2，当//PD AB 时，求PD 的长； ()2如图3，当DC AC =时，延长AB 至点E ，使12BE AB =，连接DE ． ①求证：DE 是O 的切线； ②求PC 的长．【答案】（1）26；（2）333-①见解析，②．【解析】分析：()1根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角函数关系得出OP PD ，的长； ()2①首先得出 OBD 是等边三角形，进而得出ODE OFB 90∠∠==，求出答案即可； ②首先求出CF 的长，进而利用直角三角形的性质得出PF 的长，进而得出答案．详解：()1如图2，连接OD ， //OP PD PD AB ⊥，， 90POB ∴∠=， O 的直径12AB =， 6OB OD ∴==，

中考数学圆的综合-经典压轴题附答案解析

中考数学圆的综合-经典压轴题附答案解析一、圆的综合 1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．试题解析：连接AD，OA， ∵∠ADC=∠B，∠B=60°， ∴∠ADC=60°， ∵CD是直径， ∴∠DAC=90°， ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°， ∵AP=AC，OA=OC， ∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°， ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，即OA⊥AP， ∵OA为半径， ∴AP是⊙O切线．（2）连接AD，BD，

∵CD 是直径， ∴∠DBC=90°， ∵CD=4，B 为弧CD 中点， ∴BD=BC= ， ∴∠BDC=∠BCD=45°， ∴∠DAB=∠DCB=45°，即∠BDE=∠DAB ， ∵∠DBE=∠DBA ， ∴△DBE ∽△ABD ， ∴ ， ∴BE?AB=BD?BD= ．考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质． 2．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D 在BC uuu r 上，点E 在弦AB 上（E 不与A 重合），且四边形BDCE 为菱形．（1）求证：AC=CE ；（2）求证：BC 2﹣AC 2=AB?AC ；（3）已知⊙O 的半径为3． ①若AB AC =5 3 ，求BC 的长； ②当 AB AC 为何值时，AB?AC 的值最大？【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2；② 32

与圆有关的中考数学压轴题图文稿

与圆有关的中考数学压轴题集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

与圆有关的中考数学压轴题精选 1．在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4），直线CM ∥x 轴（如图所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y ＝x ＋b （b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ．（1）求b 的值和点D 的坐标；（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以PD 为半径的圆P 与圆O 外切，求圆O 的半径． 2．如图，已知射线DE 与x 轴和y 4 ），动点C 从点M （5，0）出发，以1作匀速运动，与此同时，动点P 从点D 度沿射线DE （1）请用含t 的代数式分别表示出点C 与点P 的坐标；（2）以点C 为圆心、2 1 t 个单位长度为半径的⊙C 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），连接PA 、PB ． ① 当⊙C 与射线DE 有公共点时，求t ② 当△PAB 为等腰三角形时，求t 的值． 3．如图，射线OA ⊥射线OB ，半径r ＝2cm 的动圆M 与M 与OA ?没有公共点），P 是OA 上的动点，且PM ＝3cm ＝y cm ．（1）求x 、y 所满足的关系式，并写出x

（2）当△MOP 为等腰三角形时，求相应的x 的值．（3）是否存在大于2的实数x ，使△MQO ∽△OMP 值，若不存在，请说明理由． 4．如图所示，在直角坐标系中，⊙P 经过原点O 交于A （－6，0）、B （0，－8）两点，两点．（1）求直线AB 的函数表达式；（2）有一开口向下的抛物线过B 点，它的对称轴平行于y 轴且经过点 P ，顶点C 在⊙P 上，求该抛物线的函数表达式；（3）设（2）中的抛物线交x 轴于D ，E 两点，在抛物线上是否存在点 Q ，使得S △QDE ＝ 15 1 S △ABC 若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A(－C(0，－4)，⊙M 是△ABC 的外接圆，M 为圆心．（1）求抛物线的解析式；（2）求阴影部分的面积；（3）在x 轴的正半轴上有一点P ，作PQ ⊥x 轴交BC 于Q ，设PQ ＝k ，△CPQ 的面积为S ，求S 关于k 的函数关系式，并求出S 的最大值． 6．如图，在平面直角坐标系中，半圆M 的圆心轴于A （－1，0）、B （4，0）两点，交y 交y 轴于点D ，连接AD 并延长交半圆M 于点E （1）求经过A 、B 、C O P A Q B

中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练附详细答案

中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练附详细答案一、圆的综合 1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E． (1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC； (2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，?? BF FA =，连接EF，过点F作AD 的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG； (3)在(2)的条件下，如图3，若AE=2 3 DG，PO=5，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32．【解析】【分析】（1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可；（2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案；（3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出 EH∥DG，求出OM=1 2 AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE= 2 3 DG，DG=3a，求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝ 1 2 MO BM =，tanP= 1 2 CO PO =,设 OC=k，则PC=2k，根据OP=5k=5求出k=5，根据勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】（1）证明：连接OC， ∵PC为⊙O的切线，

∴OC⊥PC， ∵AD⊥PC， ∴OC∥AD， ∴∠OCA=∠DAC， ∵OC=OA， ∴∠PAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠PAC；（2）证明：连接BE交GF于H，连接OH， ∵FG∥AD， ∴∠FGD+∠D=180°， ∵∠D=90°， ∴∠FGD=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BEA=90°， ∴∠BED=90°， ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°， ∴四边形HGDE是矩形， ∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°， ∵?? BF AF =， ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°， ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°， ∴∠HEF=∠HFE， ∴FH=EH， ∴FG=FH+GH=DE+DG；（3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF， ∵EH=HF，OE=OF，HO=HO， ∴△FHO≌△EHO， ∴∠FHO=∠EHO=45°，

中考数学与圆的综合有关的压轴题附答案

中考数学与圆的综合有关的压轴题附答案一、圆的综合 1．已知AB ，CD 都是O e 的直径，连接DB ，过点C 的切线交DB 的延长线于点E ． ()1如图1，求证：AOD 2E 180∠∠+=o ； ()2如图2，过点A 作AF EC ⊥交EC 的延长线于点F ，过点D 作DG AB ⊥，垂足为点 G ，求证：DG CF =； ()3如图3，在()2的条件下，当DG 3CE 4 =时，在O e 外取一点H ，连接CH 、DH 分别交 O e 于点M 、N ，且HDE HCE ∠∠=，点P 在HD 的延长线上，连接PO 并延长交CM 于点Q ，若PD 11=，DN 14=，MQ OB =，求线段HM 的长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）837+ 【解析】【分析】（1）由∠D +∠E =90°，可得2∠D +2∠E =180°，只要证明∠AOD =2∠D 即可；（2）如图2中，作OR ⊥AF 于R ．只要证明△AOR ≌△ODG 即可；（3）如图3中，连接BC 、OM 、ON 、CN ，作BT ⊥CL 于T ，作NK ⊥CH 于K ，设CH 交DE 于W ．解直角三角形分别求出KM ，KH 即可；【详解】 ()1证明：如图1中， O Q e 与CE 相切于点C ， OC CE ∴⊥， OCE 90∠∴=o ， D E 90∠∠∴+=o ，

2D 2E 180∠∠∴+=o ， AOD COB ∠∠=Q ，BOC 2D ∠∠=，AOD 2D ∠∠=， AOD 2E 180∠∠∴+=o ． ()2证明：如图2中，作OR AF ⊥于R ． OCF F ORF 90∠∠∠===o Q ， ∴四边形OCFR 是矩形， AF//CD ∴，CF OR =， A AOD ∠∠∴=，在AOR V 和ODG V 中， A AOD ∠∠=Q ，ARO OGD 90∠∠==o ，OA DO =， AOR ∴V ≌ODG V ， OR DG ∴=， DG CF ∴=， ()3解：如图3中，连接BC 、OM 、ON 、CN ，作BT CL ⊥于T ，作NK CH ⊥于K ，设CH 交DE 于W ．设DG 3m =，则CF 3m =，CE 4m =， OCF F BTE 90∠∠∠===o Q ， AF//OC//BT ∴， OA OB =Q ， CT CF 3m ∴==， ET m ∴=， CD Q 为直径， CBD CND 90CBE ∠∠∠∴===o ，

2020-2021备战中考数学圆与相似-经典压轴题附详细答案

2020-2021备战中考数学圆与相似-经典压轴题附详细答案一、相似 1．如图，在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，连接BO，以AB为斜边向三角内部作Rt△ABE，且∠AEB=90°，连接EO．求证：（1）∠OAE=∠OBE；（2）AE=BE+ OE．【答案】（1）证明：在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点， ∴OB⊥AC， ∴∠AOB=90°， ∵∠AEB=90°， ∴A，B，E，O四点共圆， ∴∠OAE=∠OBE （2）证明：在AE上截取EF=BE，则△EFB是等腰直角三角形， ∴，∠FBE=45°， ∵在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点， ∴∠ABO=45°， ∴∠ABF=∠OBE， ∵， ∴， ∴△ABF∽△BOE，

∴ = ， ∴AF= OE， ∵AE=AF+EF， ∴AE=BE+ OE．【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，可证得∠AOB=∠AEB=90°，可得出A，B，E，O四点共圆，再利用同弧所对的圆周角相等，可证得结论。（2）在AE上截取EF=BE，易证△EFB是等腰直角三角形，可得出BF与BE的比值为，再证明∠ABF=∠OBE，AB与BO的比值为，就可证得AB、BO、BF、BE四条线段成比例，然后利用两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ABF∽△BOE，可证得AF= OE，由AE=AF+EF，可证得结论。 2．如图，抛物线与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B 运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式．【答案】（1）解：把A（﹣4，0），B（1，0），点C（0，2）代入得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：，对称轴为：直线x=﹣；（2）解：存在，∵AD=2t，

中考数学圆压轴题

1推理运算如图，AB 为O e 直径，CD 为弦，且CD AB ⊥，垂足为H ．（1）OCD ∠的平分线CE 交O e 于E ，连结OE ．求证：E 为? ADB 的中点；（2）如果O e 的半径为1，CD =，①求O 到弦AC 的距离； ②填空：此时圆周上存在个点到直线AC 的距离为 12 ． 2 如图6，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，D 是AC 的中点，⊙O 经过A 、B 、D 三点， CB 的延长线交⊙O 于点E . (1) 求证AE =CE ； (2) EF 与⊙O 相切于点E ，交AC 的延长线于点F ，若CD =CF =2cm ，求⊙O 的直径；（3）若n CD CF = （n >0），求sin ∠CAB . 3 已知：如图，在半径为4的⊙O 中，AB ，CD 是两条直径，M 为OB 的中点， CM 的延长线交⊙O 于点E ，且EM ＞MC ．连结DE ，DE = (1) 求证：AM MB EM MC ?=?； (2) 求EM 的长；（3）求sin ∠EOB 的值. 4 如图，已知⊙O 的直径AB ＝2，直线m 与⊙O 相切于点A ，P 为⊙O 上一动点（与点A 、点B 不重合），PO 的延长线与⊙O 相交于点C ，过点C 的切线与直线 m 相交于点D ．（1）求证：△APC∽△COD．（2）设AP ＝x ，OD ＝y ，试用含x 的代数式表示y ．（3）试探索x 为何值时，△ACD 是一个等边三角形． 5 如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心O ，且与小圆相交于点A 、与大圆相交于点B ．小圆的切线AC 与大圆相交于点D ，且CO 平分∠ACB ．（1）试判断BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；（2）试判断线段AC 、AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；（3）若8cm 10cm AB BC ==，，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π） 6 在Rt △ABC 中，BC =9， CA =12，∠ABC 的平分线BD 交AC 与点D ， DE ⊥DB 交AB 于点E ．（1）设⊙O 是△BDE 的外接圆，求证:AC 是⊙O 的切线; （2）设⊙O 交BC 于点F ，连结EF ，求 EF AC 的值． 7 如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r ＝1+t （t ≥0）．（1）试写出点A ，B 之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式； A B D E O C H A B N M

2016年中考压轴题专题：与圆有关的最值问题(附答案)

与圆有关的最值（取值范围）问题引例1：在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．引例2：如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E， ?AB BC=，AC=，求的最大值. a b a b 引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE 长度的最大值为( ). A．3 B．6 C D．一、题目分析：此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接 1．引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用； 2．引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用； 3．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D、E与一个定点A 构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用；综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透. 二、解题策略 1．直观感觉，画出图形； 2．特殊位置，比较结果； 3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.

中考数学—圆与相似的综合压轴题专题复习及答案.doc

中考数学—圆与相似的综合压轴题专题复习及答案一、相似 1．如图的中点 1，过等边三角形 M， N，连接 MN ． ABC 边AB 上一点 D 作交边AC 于点E，分别取BC， DE （1）发现：在图 1 中，________；（2）应用：如图2，将绕点 A 旋转，请求出的值；（3）拓展：如图3，和是等腰三角形，且， M ， N 分别是底边 BC， DE 的中点，若，请直接写出的值．【答案】（1）（2）解：如图 2 中，连接AM、 AN，，，都是等边三角形，，，，，，，，， ∽，

（3）解：如图 3 中，连接AM、 AN，延长 AD 交 CE于 H，交 AC 于 O，，，，，，，，，，，，，，， ∽，，，，，， ≌，，，，，，，，，，

【解析】【解答】解：（1）如图 1 中，作于H，连接AM，，，，时等边三角形，，，，，平分线段DE，，、 N、 M 共线，，四边形 MNDH 时矩形，，，故答案为：；【分析】（ 1）作DH ⊥ BC 于 H，连接AM.证四边形MNDH 时矩形，所以MN=DH，则MN ： BD=DH：BD=sin60 ，°即可求解；（2）利用△ ABC ，△ ADE 都是等边三角形可得AM ： AB=AN： AD，易得∠BAD = ∠MAN ，从而得△ BAD ∽ △ MAN，则 NM： BD=AM：AB=sin60 ，°从而求解；（3）连接 AM、 AN，延长 AD 交 CE 于 H，交 AC 于 O.先证明△BAD∽△ MAN可得 NM ： BD=AM：AB=sin∠ ABC；再证明△ BAD ≌ △ CAE，则∠ ABD = ∠ ACE ，进而可得∠ABC = 45 ，可求出°答案 . 2．如图， Rt△ AOB 在平面直角坐标系中，已知：B（0，），点OA=3，∠BAD=30°，将△ AOB 沿 AB 翻折，点O 到点 C 的位置，连接A 在 x 轴的正半轴上，CB 并延长交 x 轴于点

2020年九年级中考数学压轴题专项训练：圆的综合卷(附答案)

2020年九年级中考数学压轴题专项训练：圆的综合卷（含答案） 1．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，∠C＝90°，以OA为半径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接AD且AD平分∠BAC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）（1）证明：连接OD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， ∵AO＝DO， ∴∠BAD＝∠ADO， ∴∠CAD＝∠ADO， ∴AC∥OD， ∵∠ACD＝90°， ∴OD⊥BC， ∴BC与⊙O相切；（2）解：连接OE，ED，

∵∠BAC＝60°，OE＝OA， ∴△OAE为等边三角形， ∴∠AOE＝60°， ∴∠ADE＝30°，又∵∠OAD＝∠BAC＝30°， ∴∠ADE＝∠OAD， ∴ED∥AO， ∴四边形OAED是菱形， ∴OE⊥AD，且AM＝DM，EM＝OM， ∴S △AED ＝S △AOD ， ∴阴影部分的面积＝S扇形ODE＝＝π． 2．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点E在⊙O外，连接CE，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）若∠BCE＝∠BAC，求证：CE是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BC＝3，求弦AC的长．（1）证明：连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，

∴∠ACO+∠BCO＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵∠BAC＝∠BCE， ∴∠ACO＝∠BCE， ∴∠BCE+∠BCO＝90°， ∴∠OCE＝90°， ∴CE是⊙O的切线；（2）解：连接BD， ∵∠ACB的平分线交⊙O于点D， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴＝， ∴AD＝BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴△ADB是等腰直角三角形， ∴AB＝AD＝4， ∵BC＝3， ∴AC＝＝＝． 3．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）∠C＝45°，⊙O的半径为2，求阴影部分面积．

圆和旋转压轴题解题技巧与近几年中考试题汇总

圆和旋转压轴题解题技巧与近几年中考试题汇总 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

如何短时间突破数学压轴题还有不到一个月的时间就要进行期中考试了，期中考试的重要性不必多说。各区期中考试的范围相信学生们都已经非常清楚。个人觉得现在大部分学生的困难在于旋转、圆，由于时间比较紧张，给大家一些复习资料和学习方法，希望能够帮到大家。一、旋转：纵观几年的数学试卷，最难的几何题几乎都是旋转，在此给出旋转中最常见的几何模型和一些解题技巧。旋转模型： 1、三垂直全等模型三垂直全等构造方法：从等腰直角三角形的两个锐角顶点出发向过直角顶点的直线作垂线。 2、手拉手全等模型手拉手全等基本构图： 3、等线段、共端点 (1) 中点旋转(旋转180°) (2) 等腰直角三角形(旋转90°) (3) 等边三角形旋转(旋转60°) (4) 正方形旋转(旋转90°) 4、半角模型半角模型所有结论：在正方形ABCD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，且满足∠EAF=45°，AE、AF分别与对角线BD交于点M、N.求证：

M E D C B A (1) BE +DF =EF ； (2) S △ABE +S △ADF =S △AEF ； (3) AH =AB ； (4) C △ECF =2AB ； (5) BM 2+DN 2=MN 2； (6) △DNF ∽△ANM ∽△AEF ∽△BEM ；相似比为1：2(由△AMN 与△AEF 的高之比AO ： AH =AO ：AB =1：2而得到)； (7) S △AMN =S 四边形MNFE ； (8) △AOM ∽△ADF ，△AON ∽△ABE ； (9) ∠AEN 为等腰直角三角形，∠AEN =45°.(1. ∠EAF =45°；：AN =1：2) 解题技巧： 1.遇中点，旋180°，构造中心对称例：如图，在等腰ABC △中，AB AC =，ABC α∠=，在四边形BDEC 中，DB DE =，2BDE α∠=，M 为CE 的中点，连接AM ，DM ． ⑴ 在图中画出DEM △关于点M 成中心对称的图形； ⑵ 求证：AM DM ⊥； ⑶ 当α=___________时，AM DM =． [解析]⑴ 如图所示； ⑵ 在⑴的基础上，连接AD AF ，由⑴中的中心对称可知，DEM FCM △≌△， ∴DE FC BD ==，DM FM =，DEM FCM ∠=∠， ∵360ABD ABC CBD BDE DEM BCE α∠=∠+∠=+?-∠-∠-∠ 360DEM BCE α=?--∠-∠， 360360ACF ACE FCM BCE FCM α∠=?-∠-∠=?--∠-∠， ∴ABD ACF ∠=∠， ∴ABD ACF △≌△，∴AD AF =， ∵DM FM =，∴AM DM ⊥． ⑶ 45α=?． 2.遇90°。旋90°，造垂直； F B