概率论与数理统计知识点总结!

《概率论与数理统计》 第一章随机事件及其概率

§1.1 随机事件

一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率

古典概型公式：P （A ）=

所含样本点数

所含样本点数

ΩA 实用中经常采用“排列组合”的方法计算

补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ：“每个盒子恰有1个球”。求：P(A)=？Ω所含样本点数：n n n

n n =???...

Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =??-?-?n n

n A P !

)(=∴

补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？

解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。(i =1,2,3)求：P(A i )=？

Ω所含样本点数：6444

443==??

A 1所含样本点数：24234=??

8

36424)(1==

∴A P A 2所含样本点数：

363423=??C

16

9

6436)(2==∴A P

A 3所含样本点数：443

3

=?C

16

1644)(3==

∴A P 注：由概率定义得出的几个性质：

1、0

2、P(Ω)=1，P(φ) =0 §1.3 概率的加法法则

定理：设A 、B 是互不相容事件（AB=φ），则： P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）

推论1：设A 1、 A 2、…、 A n 互不相容，则 P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n )

推论2：设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组，则 P(A 1+A 2+...+ A n )=1

推论3： P （A ）=1－P （A ）

推论4：若B ?A ，则P(B －A)= P(B)－P(A) 推论5（广义加法公式）：

对任意两个事件A 与B ，有P(A ∪B)=P(A)+P(B)－P(A B) 补充——对偶律：

n n A A A A A A ???=???......2121 n n A A A A A A ???=??? (2121)

§1.4 条件概率与乘法法则

条件概率公式：P(A/B)=

)()(B P AB P （P(B)≠0）P(B/A)= )

()

(A P AB P （P(A)≠0） ∴P （AB ）=P （A /B ）P （B ）= P （B / A ）P （A ）

有时须与P （A+B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）中的P （AB ）联系解题。

全概率与逆概率公式：

全概率公式：

∑==n

i i i A B P A P B P 1

)/()()(

逆概率公式：

)

()

()/(B P B A P B A P i i =

),...,2,1(n i =

（注意全概率公式和逆概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用逆概率公式。） § 1.5 独立试验概型

事件的独立性：

)()()(B P A P AB P B A =?相互独立与

贝努里公式（n 重贝努里试验概率计算公式）：课本P24

另两个解题中常用的结论——

1、定理：有四对事件：A 与B 、A 与B 、A 与B 、A 与B ，如果其中有一对相互

独立，则其余三对也相互独立。

2、公式：)...(1)...(2121

n n A A A P A A A P ???-=???

第二章 随机变量及其分布

一、关于离散型随机变量的分布问题

1、求分布列：⑴确定各种事件，记为

写成一行；

⑵计算各种事件概率，记为p

k 写成第二行。得到的表即为所求的分布列。注意：应

符合性质——1

、

0≥k

p （非负性）

2、1=

∑k

k p （可加性和规范性）

补例1：将一颗骰子连掷

2

次，以表示两次所得结果之和，试写出的概率分布。解：

Ω所含样本点数：

6×6=36

所求分布列为：

补例2：一袋中有5只乒乓球，编号1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以表示取出3只球中最大号码，试写出的概率分布。

p k

解：Ω所含样本点数：35C =10

所求分布列为：

2、求分布函数F(x)：

分布函数

{}∑≤=

≤=x

x k k p

x P x F ξ)(

二、关于连续型随机变量的分布问题：

?x ∈R ，如果随机变量的分布函数F （x ）可写成F （x ）=

?

∞

-x

dx

x )(φ，则为

连续型。)(x φ称概率密度函数。

解题中应该知道的几个关系式：

0)(≥x φ

?

+∞

∞

-=1)(dx x φ

?=-=<<=≤≤b

a

dx x a F b F b a P b a P )()()(}

{}{φξξ

第三章 随机变量数字特征

一、求离散型随机变量

的数学期望E

=？

数学期望（均值）

∑=k

k

k p x E ξ

二、设为随机变量，f(x)是普通实函数，则η=f()也是随机变量，求E η=?

x 1 x 2 … x k p k

p

1 p

2 … p k η= f()

y 1

y 2

…

y k

以上计算只要求这种离散型的。

6/10

3/10

1/10

p k

5

4

3

补例1：设的概率分布为：

－1 0 1 2

25 p k

51 101 101 10

3 10

3 求：⑴1-=ξη，2ξη=的概率分布；⑵ηE 。

解：因为

－1 0 1 2

25 p k

5

1 10

1 10

1 10

3 103 η=－ －2 －1 0 1 23 η=

1

1

4

4

25 所以，所求分布列为： η=－ －2 －1 0 1

23 p k 51 101 101 10

3 103 和： η=

1 0 1 4

425 p k 51 101 101 10

3 10

3

当η=－1时，E η=E （－1）

=－2×51+(－1)×101+0×101+1×103+23×103

=1/4

当η=

时，E η=E

=1×

51+0×101+1×101+4×103+425×10

3

=27/8

三、求

或η的方差D

=？ D η=？

实用公式ξD =2ξE －

ξ2

E

其中，ξ2

E

=2)(ξE =2)(∑k

k k p x

2ξE =∑k

k

k p x 2

补例2：

－2 0 2 p k

0.4

0.3

0.3

求：E 和D

解：ξE

=－2×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2

ξ

E 2=（－2）2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8

ξD =ξ

E 2－

ξ2E =2.8－（－0.2）2=2.76

第四章 几种重要的分布

常用分布的均值与方差（同志们解题必备速查表．．．．．．．．．．

） 名称

概率分布或密度

期望

方差

参数

范围

二项分布

n p

n p q

0

q=1－p

正态分布

μ

μ任意 σ>0

泊松分

布

不要求

λ λ λ>0

2

σ

{})

,...,2,1,0(n k q

p C k P k

n k k n ===-ξ.

).(,

21)(2

2

2)(为常数，，μσσ

πφσμ∞+-∞∈??=

--

x e

x x

指数分

布 不要求

λ>0

解题中经常需要运用的E 和D

的性质（同志们解题必备速查表．．．．．．．．．．

） E 的性质

D 的性质

————————

第五章 参数估计

§8.1 估计量的优劣标准（以下可作填空或选择） ⑴若总体参数θ的估计量为θ?

，如果对任给的ε>0，有

1}?{lim

=<-∞

→εθθP n ，则称θ?是θ的一致估计； ⑵如果满足θθ

=)?(

E ，则称θ?是θ的无偏估计； ⑶如果1?θ和2?

θ均是θ的无偏估计，若)?()?(2

1θθ

D D <，则称1?θ是比2?θ有效的估计量。

§8.3 区间估计：

λ

12

1

λc

c E =)(0

)(=c D η

ξηξE E E ±=±)(η

ξηξηξD D D +=±)(独立，则、若η

ξξηηξE E E ?=)(独立，则、若ξ

ξE c c E ?=)(ξ

ξD c c D ?=2)(

几个术语——

1、设总体分布含有一位置参数，若由样本算得的一个统计量)...(?11n ，x ，x θ及)...

(?12n ，x ，x θ，对于给定的α（0<α<1）满足： αθθθ-=<<1)}...

(?)...(?{1211n n ，x ，x ，x ，x P 则称随机区间（1?θ，2?

θ）是

θ的100（1－α）％的置信区间，1?θ和2?θ称为θ的100

（1－α）％的置信下、上限，百分数100（1－α）％称为置信度。 一、求总体期望（均值）E 的置信区间

1、总体方差2

σ

已知的类型

①据α，得)(0αU Φ＝1－

2

α

，反查表（课本P260表）得临界值αU ； ②x =∑=n

i i

x n 1

1 ③求d=n

U σα?

④置信区间（x -d ，x +d ）

补简例：设总体

)09.0,(~μN X 随机取4个样本其观测值为12.6，13.4，12.8，13.2，

求总体均值μ的95%的置信区间。 解：①∵1－α=0.95，α=0.05

∴Φ（U α）=1－

2

α

=0.975，反查表得：U α=1.96 ②∑==+++==4113)2.138.124.136.12(4

141i i

X X ③∵σ=0.3，n=4 ∴d=n

U σα

?

=43

.096.1?=0.29

④所以，总体均值μ的α=0.05的置信区间为：

（X －d ，X ＋d ）=（13－0.29，13＋0.29）即（12.71，13.29） 2、总体方差2

σ

未知的类型（这种类型十分重要！务必掌握！！）

①据α和自由度n －1（n 为样本容量），查表（课本P262表）得)1(-n t α；

②确定x =∑=n

i i

x n 1

1和∑=--=n i i

x x n s 1

2

2

)(11

③求d=n

s n t ?

-)1(α ④置信区间（x -d ，x +d ）

注：无特别声明，一般可保留小数点后两位，下同。 二、求总体方差2

σ

的置信区间

①据α和自由度n －1（n 为样本数），查表得临界值：

)1(22

-n αχ和)1(22

1--n αχ ②确定X =∑=n

i i

x n 1

1和∑=--=n

i i x X n s 1

22

)(11

③上限)1()1(22

12---n s n α

χ 下限)1()1(22

2

--n s n αχ

④置信区间（下限，上限） 典型例题：

补例1：课本P166之16 已知某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布，对10个试件作横纹抗压力试验得数据如下（单位：kg/cm 2）: 482 493 457 471 510 446

435

418

394

469

试对该木材横纹抗压力的方差进行区间估计（α＝0.04）。 解：①∵α=0.04，又n=10，自由度n －1=9

∴查表得，)1(22

-n αχ=)9(202.0χ=19.7

)1(22

1--n αχ=)9(298.0χ=2.53

②X =∑=101101i i x =)469...493482(10

1

+++=457.5

∑=-=10122

)(91i i x X s =9

1

[2)4825.457(-+2)4935.457(-+…+2)4695.457(-]

=1240.28

③上限)1()1(22

12---n s n αχ=)9(9298.02χs =53

.228.12409?=4412.06

下限)1()1(22

2--n s n αχ=)9(9202

.02χs =7.1928

.12409?=566.63

④所以，所求该批木材横纹抗压力的方差的置信区间为（566.63，4412.06）

第六章 假设检验

必须熟练掌握一个正态总体假设检验的执行标准 一般思路：

1、提出待检假设H 0

2、选择统计量

3、据检验水平α，确定临界值

4、计算统计量的值

5、作出判断 检验类型⑵：未知方差2

σ

，检验总体期望(均值)μ

①根据题设条件，提出H 0:μ= 0μ(0μ已知)；

②选择统计量)1(~/--=

n t n

s X T μ；

③据α和自由度n －1（n 为样本容量），查表（课本P262表）得)1(-n t α；④由样本值算出X ＝？和s ＝？从而得到n

s X T /0μ

-=

；

⑤作出判断??

???->-<000

0)1()1(H ，n t T H ，n t T 则拒绝若则接受若αα

典型例题：

对一批新的某种液体的存贮罐进行耐裂试验，抽查5个，得到爆破压力的数据（公斤/寸2 ）为：545，545，530，550，545。根据经验爆破压认为是服从正态分布的，而过去该种液体存贮罐的平均爆破压力为549公斤/寸2 ，问这种新罐的爆破压与过去有无显著差异？（α

=0.05）解：H 0:μ= 549选择统计量)1(~/--=

n t n

s X T

μ

∵α=0.05，n －1=4，∴查表得：)4(05.0t =2.776又∵X =)545...545(5

1

++=543

s 2=

])545543(...)545545[(412

2-++-=57.n s X T /0μ-==5

/5.57549543-=1.77<2.776 ∴接受假设，即认为该批新罐得平均保爆破压与过去的无显著差异。 检验类型⑶：未知期望(均值)μ，检验总体方差2

σ

①根据题设条件，提出H 0:σ=

0σ(0σ已知)；②选择统计量2

2

2

)1()1(σχs n n ?-=

-；

③据α和自由度n －1（n 为样本容量），查表（课本P264表）得临界值：

)1(2

12

--

n αχ和

)1(2

2

-n αχ； ④由样本值算出X ＝？和s ＝？从而得到2

2

2

)1()1(σχs n n ?-=

-；

⑤若)1(2

12--n αχ<)1(20-n χ<

)1(2

2-n αχ则接受假设，否则拒绝! 补例：某厂生产铜丝的折断力在正常情况下服从正态分布，折断力方差2

σ

=64，今从一批

产品中抽10根作折断力试验，试验结果（单位：公斤）：578，572，570，568，572，570，572，596，584，570。 是否可相信这批铜丝折断力的方差也是64？（α=0.05） 解： H 0:σ=64

选择统计量2

2

2

)1()1(σ

χ

s n n ?-=

-

∵α=0.05，n －1=9，∴查表得：

)1(2

12--n αχ=)9(975.02χ=2.7)1(2

2-n αχ=)9(025.02χ=19

又∵

X =

)570...578(101++=575.2s 2=])5702.575(...)5782.575[(9

1

22-++-=75.73 ∴

65.1064

73

.759)1(20=?=

-n χ)9(975

.02

χ=2.7<65.10)1(20=-n χ<

)9(025

.02

χ

=19

∴接受假设，即认为这批铜丝折断力的方差也是64。

第1章 随机事件及其概率

我们作了n 次试验，且满足

每次试验只有两种可能结果，A 发生或A 不发生； n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样；

每次试验是独立的，即每次试验A 发生与否与其他次试验A 发生与

否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。

用p 表示每次试验A 发生的概率，则A 发生的概率为q p =-1，用)(k P n 表示n 重伯努利试验中A 出现)0(n k k ≤≤次的概率，

k

n k k

n n q p k P C -=)(，n k ,,2,1,0 =。

第二章随机变量及其分布