高中数学论文集：应用三次函数的图象和性质解题

应用三次函数的图像和性质解题

浙江省余姚第五中学 徐建波

函数是贯穿中学数学中的一条主线，每年高考对函数的考查所占比例都相当大。现行高中数学教材增加了导数内容后，各地高考及其模拟试题中，频频出现了以三次函数为背景，考查导数在三次函数的单调性、极值与最值问题中的应用。下面就对一元三次函数3

2

()f x ax bx cx d =+++的图象与性质进行研究，并解决这类问题。

一元三次函数3

2()f x ax bx cx d =+++的图像可分为两类：（一）在整个定义域内是单调的无极值的，其形状与

3()f x x =±类似；（二）在整个定义域

内有3个单调区间（两增一减或两减一增）必有一个极大值和一个极小值。具体分析如下：

设方程'

2

()320f x ax bx c =++=的判别式为?，0?>时方程的两个实数根记为1212,()x x x x <

（1） 当0,0.a >?>函数的单调增区间为12(,),(,)x x -∞+∞；单调减区间为

12[,]x x ，在1x 处取极大值；在2x 处取极小值。大致图像如下面几种情形：

（2）当0,0a >?≤，函数在(),-∞+∞上单调递增，无极值。图象与3()f x x =相类似，

232

000000()()(62)2222f x x f x x ax b x ax bx cx d ++-=+++++，当

0620

ax b +=即03b

x a

=-

时，000()()2()f x x f x x f x ++-=，∴图象都有一个对称中心()00,()x f x ，其中03b

x a

=-

（3）

当0,0a 时，函数单调减区间为()()12,

,,x x -∞+∞，单调增区间为12

[,]x x ，在1x 处极小值，在2x 处取极大值。图为：

(4)

当0,0a

f x x =-相类似，同理也有一个对称中心()00,()x f x ，其中0x x

x

例题选讲

[例1]已知()()()f x x x a x b =--

其中0,()a b f x x s x t s t <<==<设在及处取得极值，其中，试判断a ，b ，s ，t 的大小

解：由()()()f x x x a x b =--可知它的图象与x 轴有3个交点且3x 的系数大于0，又由()f x x s x t ==在及处取得极值且s t <，根据结论，可知()f x 的简图为

由图可知：0s a t b <<<<

[例2]方程3

269100x x x -+-=的实根的个数（ ） （A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0

解析：32()6910f x x x x =-+-，2'()3129f x x x ∴=-+，令'()0360f x =∴?=>又

3x 的系数大于0

x

x

由结论可知，函数的图象是先增后减的，且在1x =取得极大值为6-，在3x =处取得极小值为10-

所以，方程实数根的个数只有一个，其中(4)6,(5)10.f f =-=所以实根范围为0(4,5)x ∈。

[例3]已知实数,αβ满足32351ααα-+=，32355βββ-+=则___αβ+= 解析：32()35f x x x x =-+，则()1,()5f f αβ==，2'()365f x x x =-+ 方程'()0f x =，240?=-<，3x 的系数大于0，由结论可知函数()f x 在R 上都是增函数，而由结论可知（1，3）是函数图象的对称中心。

(,1),(

αβ3,122

αβ

+=∴=，即2αβ+= [例4]已知函数3()(,)f x x ax b a b R =-++∈若函数()y f x =的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于2，求a 解：2'()3f x x a =-+，方程'()0,12f x a =?=（i ）0a ≤时，0?≤函数()f x 简图如图：

其中（0，b （ii ）0a >时，0?>函数()f x 的简图如图：

x

x

00()()(,)f x f x P x y ∴由题意，为连续函数，

总可以在函数图象上找到以为切点的切线平行于图象上任意不同两点的连线，

∴200'()32K f x x a ==-+<恒成立，即2032a x <+恒成立，2

min (32)2x +=， 02a ∴<<，综合（i ）

（ii ），a 的取值范围为{2}a a <。 [例5]直线y a =与函数3

()3f x x x =-的图象有相异的三个交点，求a 的取值范围 解：y a =是一条平行于x 轴（a=0时x 轴重合）的直线，所以只需研究3

()3f x x x =-的图象变化即可，因为2

'()333(1)(1)f x x x x =-=-+，由'()0f x =的0?>方程的两根为-1，1，3

x 的系数大于0，由结论可以知，在(),1-∞-上()f x 递增，在[-1，1]上()f x 递

减，在()1,+∞上()f x 递增。2)1()]([=-=f x f 极大值，2)1()]([-==f x f 极小值，简图如下：

因为要使y a =与函数的图象有相异的三个交点，必须有(2,2)a ∈- 也容易看出：若无交点，a ∈?；

若有一个交点2a >或2a <-；若有两个交点2a =或2a =-。

[例6]若函数32

11()(1)132

f x x ax a x =

-+-+在区间（1，4）内为减函数，在区间(6,)+∞内为增函数，试求：实数a 的取值范围

解：2'()(1)[(1)](1)f x x ax a x a x =-+-=---方程'()0f x =的两个根为

121,1x x a ==-，若a=2时，()f x 在整个定义域的单调增，所以不符合题意，故

2a ≠，又3x 的系数大于0，函数图象应有3个单调区间且先增后减再增，由已知()f x 在（1，4）内减函数，在区间(6,)+∞内为增函数，可知()f x 在x=1时取

x

极大值，在x=a-1处取极小值。从而得到()f x 的简图

由图可知：416a ≤-≤，57a ∴≤≤，所以a 的取值范围为[5，7]。

[例7]已知3

2

()3f x x bx cx d =+++，在(),0-∞上是增函数，在(0,2)上是减函数，且()0f x =的一根是b -，（1）求c 的值（2）求证：()0f x =还有不同于b -的实数根1,2x x ，且12,,x b x -成等差数列（3）若方程()16f x =恰有一解，求

(1)f 的取值范围

解：（1）2'()36f x x bx c =++，由题意，函数在0处取到极大值，'(0)0f =即c ＝0

（2） 方程3230x bx d ++=的一个根为b -，故32d b =-，

32322

()32()(22)f x x bx b x b x bx b ∴=+-=++-，方程22220x bx b +-=的判别

式为2120b ?=>，且b -不是此方程的根，所以()0f x =还有两个根1,2x x ，且

22x x b +=-，故12,,x b x -成等差数列。

（3）2'()360f x x bx =+>的解集为()(),02,b -∞-+∞，

'()0f x <的解集为

()0,2b -，由题意22b -≥，即1b ≤-，

32323()()163163216F x f x x bx d x bx b =-=++-=+--， 2'()'()360F x f x x bx ==+=，故02x x b ==-或

又方程()()160F x f x =-=只有一根，函数的简图如图：

x

由图可知

(0)0,(

2)0F F b <-< 或者(0)0,(2)0F F b >->2221b b ?-<<∴-<≤-。

记3()(1)231g b f b b ==-++，2'()63g b b =-+在21b -<≤-时，'()0g b <，所以

()g b 在(2,1]b ∈--时为减函数，故()[0,11)g b ∈，(1)[0,11)

f ∴

∈。

x

x