(完整版)级数的概念与性质

第十一章无穷级数

教学内容目录：

§1—§8

本章主要内容：

常数项级数：无穷级数及其收敛与发散的定义，无穷级数的基本性质，级数收敛的必要条件，几何级数，调和级数，P级数，正项级数的比较审敛法和比值审敛法，交错级数，莱布尼兹定理，绝对收敛和条件收敛。

幂级数：幂级数概念，阿贝尔（Abel）定理，幂级数的收敛半径与收敛区间，幂级数的四则运算，和的连续性、逐项积分与逐项微分。泰勒级数，函数展开为幂级数的唯一性，函数（、

e x cos

sin ln(1+x)、(1+x)m等）的幂级数展开式，幂级数在近

、x

x

、

似计算中的应用举例，“欧拉（Euler）公式。

函数项级数：函数项级数的一般概念，收效域及和函数。

教学目的与要求：

1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。

2、掌握几何级数和P—级数的收敛性。

3、掌握正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。

4、理解交错级数的审敛法（莱布尼兹定理）。

5、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。

6、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7、掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求）。

8、了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。

9、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10、掌握应用e x,sinx,cox,en(1+x)和(1+x)u的马克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的的函数间接展开成幂级数的方法。

11、了解函数展开为傅里叶（Fourier）级数的狄利克雷（Dirchet）条件，会将定义在（-π,π）上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在（-π,π）上的函数展开为正弦或余弦级数。

本章重点与难点：

重点:

正项级数的审敛法；将一些简单的的函数间接展开成幂级数

难点：

应用逐项积分、逐项微分的性质求和函数、

本章计划学时：

16学时（2节习题课）

教学手段：

课堂讲授、习题课、讨论，同时结合多媒体教学

推荐阅读文献：

1.高等数学同步辅导(下) (第十一章) 主编同济大学应用数学系彭舟

航空工业出版社

2.高等数学名师导学(下) (第十一章) 主编大学数学名师导学丛书编写组

中国水利水电出版社

3.高等数学双博士课堂(第十一章) 主编北京大学数学科学学院

机械工业出版社

作业：

习题11－1：2(2、4) 、3(2)、4(1、3、5)

习题11－2：1(1、3、5)、2(2、4)、3(1、3、4)、4(1、3、5)、5(1、3、5) 习题11－3：1(1、3、5、6、8)、2(1、3)

习题11－4：1、2(2、3、5)、4、6

习题11－7：1(1、3)、2(1)、4、6

能力培养及措施:

通过精讲多练,启发式教学, 讨论式教学,重点讲授重点、难点，自学部分内容,课堂讨论,结合习题课及多媒体教学培养学生的比较熟练的运算能力、逻辑推理的能力及抽象思维能力,推荐学生阅读相关文献培养学生自学能力.

§11-1 常数项级数的概念和性质

问题的提出――计算半径为R 圆的面积 用内接正3×n 2边形的面积逐步逼近圆面积： 正六边形面积A ≈1a ， 正十二边形面积A ≈1a +2a ,

……

正n 23?形面积 A ≈1a +2a +……+n a

若内接正多边形的边数n 无限增大，则和1a +2a +……+n a 的极限就是所要求的圆面积A 。这时和式中的项数无限增多，出现了无穷多个数量依次相加的数学式子。

一、常数项级数的概念

1.常数项级数

如果给定一个数列 1u ,2u ,3u , …,n u ,…, 则表达式 1u +2u +3u +…+n u +… (1) 叫(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记为∑∞

=1n n u 即

∑∞

=1

n n u =1u +2u +3u +…+n u +… n u -----一般项．

注1：怎样理解级数中无穷多个数量相加呢？观察有限项和的变化趋势 2.级数的部分和：

前n 项的和)2(121∑==+++=n

i i

n n u u u u s Λ

部分和数列{n s }:11u s = 12u s =+2u

1u s n =+2u +3u +…+n u

3.级数的收敛与发散

定义（敛散性） 如果级数∑∞

=1n n u 的部分和数列{n s }有极限s ，即 ∞

→n lim ,s s n =

则称无穷级数∑∞

=1

n n u 收敛,极限s 为这级数的和,并写成

1u s =+2u +3u +…+n u +…

如果数列{n s }没有极限,则称无穷级数∑∞

=1

n n u 发散.

注2：若级数收敛，n s 是和S 的近似值， Λ++=-=++21n n n n u u s s r 叫做级数的余项,n s 代替和S 所产生的误差是该余项的绝对值，即误差是n r 。

例1 判别级数∑∞

=++1

)3)(2(1

n n n 的收敛性.

解 3

121+-

+=

n n u n ∑

=++=n

k n k k s 1

)3)(2(131

31)3121( )5141()4131(+-

=+-++???+-+-=n n n 31lim =∞→n n s 所以级数收敛.，它的和是3

1。 例2 讨论等比级数(几何级数) ∑∞

=0

n n aq ( a ≠0,q ：级数的公比)的收敛性。

分析：若,1≠q q

aq a aq

aq a s n n n --=+++=-11

Λ 当1

→n lim ,0=n q ∞

→n lim ,1q

a

s n -=

级数收敛，其和

.1q

a -当1>q 时,

∞

→n lim ,∞=n q ∞

→n lim ,∞=n s 级数发散．当1=q 时，级数发散。

即：若 1

∞

=+++++=11

312111n n n

ΛΛ的收敛性．

分析 因为 ()

()01ln >+>x x x

n

n n 1

ln 1,,34ln 31,23ln 21,

2ln 1+>>>>Λ >++++n

1

31211Λ()1ln 1ln

34ln 23ln 2ln +=++++n n n ()+∞=+=∴∞

→∞

→1ln lim lim n s n n n , 所以级数发散.

二、收敛级数的基本性质

性质1 若级数∑∞=1

n n u 收敛于和s ,则级数∑∞

=1

n n ku 也收敛，且其和为ks .

分析：设∑∞=1

n n u 与∑∞

=1

n n ku 的部分和分别为n s 与n σ ,则,n

n ks =σ

∞

→n lim .lim lim ks s k ks n n n n n ===∞

→∞

→σ 则∑∞

=1

n n ku 收敛，和为.ks

由n n ks =σ知，若{}n s 无极限且0≠k ,则{}n σ也无极限．

结论：级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不会改变.

ΛΛ++++=∑∞

=n

n n 232332

30 级数收敛； ΛΛ++++=∑∞

=n n

n 2

22221 级数发散 性质2 若∑∞

=1

n n u 、∑∞

=1

n n v 分别收敛于s 、

σ,则∑∞

=±1

)(n n n v u 也收敛，且其和为σ+s . 分析：∑∞=1

n n u 、∑∞=1

n n v ：n s 、n σ , ∑∞

=+1

)(n n n v u 的部分和n τn n s σ±=

∞

→n lim .σ

τ±=s n 则∑∞

=±1

)(n n n v u 收敛，且其和为.σ

±s

注3：性质2也说成：两收敛级数可以逐项相加减.

性质3 在级数中去掉或加上有限项，不会改变级数的收敛性.

分析：只需证明“在级数的前面部分去掉或加上有限项,不会改变级数的收敛性”,因为其他情形(即在级数中任意去掉、加上或改变有限项的情形)都可以看成在级数的前面先去掉有限项,然后再加上有限项的结果.

将级数1u +2u +3u +…+k u +1+k u +…+n k u ++…的前k 项去掉，得级数

1+k u +…+n k u ++…

新级数的部分和为n σ=1+k u +…+n k u +=,k k n s s -+其中n k s +是原级数的前k +n 项的和．因

k s 是常数，故∞→n 时，n σ与n k s +或者同时有极限，或者同时没有极限.

类似地，可以证明在级数的前面加上有限项，不会改变级数的收敛性. 性质4 如果级数∑∞

=1n n u 收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数

)2()()()(121111Λ

ΛΛΛΛ+++++++-+k k n n n n n u u u u u u

仍然收敛,且其和不变.

即加括弧后所成的级数收敛,且其和不变.

注意 如果加括弧后所成的级数收敛,则不能断定去括号后原来级数也收敛. 例如,级数(1-1)+(1-1)+… 收敛于零,但级数1-1+1-1+… 是发散的. 推论：如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散．事实上，倘若原来级数收敛，则根据性质4知道，加括弧后的级数就应该收敛了.

性质5(级数收敛的必要条件)若∑∞

=1n n u 收敛,则∞

→n lim .0=n u

分析 设∑∞

=1

n n u 的部分和为n S ,且,)(∞→→n S S n 则∞→n lim .0)(lim 1=-=-∞

→n n n n S S u

注4：(1) ∞

→n lim 0

=n u 是级数收敛的必要条件而非充分条件。

如调和级数ΛΛ+++++

n

131211虽然,)(01

∞→→=

n n

u n 但它是发散的。 (2) ∞

→n lim 0

≠n u (不存在)，则∑∞

=1

n n u 发散。

例4 讨论下列级数的收敛性 1．∑

∞

=+11

n n n

∞

→n lim 0

1≠=n u 发散

2．n

n 1121∑∞

=??

?

?? ∞

→n lim 0

1≠=n u 发散

3. ∑∞

=+11ln

n n n n ∞→n lim ()011

ln

111ln 1

1≠-==?

?? ??

+-=+?

+e

n u n n n n 发散

4．∑∞

=1

2

sin

n n π

∞→n lim n u 不存在 发散 小结:本节介绍了无穷级数的基本概念和性质及其收敛的必要条件。

(完整版)等比数列的概念与性质练习题

等比数列的概念与性质练习题 1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 2. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=L 则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 4.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 5.．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 7.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 8.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=?a a a a ，则 =10 20 a a （ ） A. 32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 9.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（ ） A ．16 B ．24 C ．48 D ．128 10.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中1a =2，5a =8，则3a 的值为（ ） A. －4 B.4 C. ±4 D. 5 11.等比数列 {}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a +++L ＝ A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋3log 5 12. 设函数()()() * 2 ,311N n x n x x f ∈≤≤-+-=的最小值为n a ，最大值为n b ，则2n n n n c b a b =-是( ) A.公差不为零的等差数列 B.公比不为1的等比数列 C.常数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 13. 三个数c b a ,,成等比数列，且0,>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（ ） A. ??????3, 0m B. ??????--3,m m C . ??? ??3,0m D. [)?? ? ???-3,00,m m 14.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则 10 429 31a a a a a a ++++的值为 ． 15.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则 =+2 2 1b a a ______．

等比数列的概念和通项公式(教学设计)

《等比数列》（第1课时）教学设计 授课地点：武威八中 授课时间：20XX年4月22日 授课人：武威六中杨志隆 一、教学目标 知识与技能 1.理解等比数列的概念； 2.掌握等比数列的通项公式； 3.会应用定义及通项公式解决一些实际问题。 过程与方法 培养运用归纳类比的方法去发现并解决问题的能力。通过实例，归纳并理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式，培养学生严密的思维习惯。情感态度与价值观 充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。 二、教学重点、难点 教学重点： 等比数列的概念及通项公式； 教学难点： 通项公式的推导及初步应用。 三、教学方法 发现式教学法，类比分析法 四、教学过程 （一）旧知回顾，情境导入 1. 回顾等差数列的相关性质 设计意图：通过复习等差数列的相关知识，类比学习本节课的内容，用熟知的等差数列内容来分散本节课的难点，为等比数列的学习做铺垫。 2.情境展示

情境1：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 情境2：一张纸的折叠问题 把以上实例表示为数学问题，并引导学生通过观察、联想，得到两个数列： ① ??????16 1,81,41,21,1 ② 1,2,4,8,16,32,64?????? 设计意图：让学生通过观察，得到两个数列的共同特点：从第二项起，每一项与它前面一项的比都等于同一个常数．由此引入等比数列。 （二）概念探究 1．引导学生通过联想并类比等差数列给出该数列的名称：等比数列 2．归纳总结，形成等比数列的概念． 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比（引导学生经过类比等差数列的定义得出）。同时给出等比中项的定义，并和等差中项做比较，加深学生对概念的理解。 3．对等比数列概念的深化理解 给出几个数列让学生判断是否是等比数列，以加深对概念的理解。 问题1：等比数列的项可以为零吗？ 问题2：等比数列的公比可以为零吗？ 问题3：若0>q ，等比数列的项有什么特点？0

等比数列的概念与性质

等比数列的概念与性质 一、知识归纳 1. ________________________________________________________________ 等比数列的概念：一般的，____________________________________________________________ ，那么这个数列 叫做等比数列，这个常数叫做，公比通常用字母q表示。即 a n J 2. 若a,G,b成等比数列，则G叫做a与b的___________ 。此时G=_____________ . 3. 等比数列的通项公式为： __________________________ 。 4. 首项为正数的等比数列的公比q =1时，数列为 ___________ 数列；当q ：：： 0时，数列为 数列；当0 ：：：q ::: 1时，数列为___ 数列；当q时，数列为_______________ 数列。5. 等比数列性质： 在等比数列｛a.｝中，若m ? n二P q ,则a m a^a p a q 6. 等比数列的前n项和 当q =1 时，S n 二_____________ ；

当q =1 时，S n 二_______________ . 7用函数的观点看等比数列： （1）等比数列的通项公式是 ____________ 二、经典题目 1、判断正误： ① 1，2，4，8，16是等比数列； 1 1 1 ②数列1, — ,,，…是公比为2的等比数列; 2 4 8 a b . ③若，则a,b,c成等比数列； ④若= n n ? N ，则数列On 成等比数列; a n ⑤0,2,4,8,16 是等比数列； 2.判断下列数列玄［是否为等比数列： （1）a n =（-1 厂（W N* ； （3）a n= n 2n,n N* （） （） （） （）（）. ⑵ a n+2 n：N* ； （4）a n 二-1,n N* 思考：如何证明（判断）一个数列是等比数列？

等比数列的概念(教案)

等比数列的概念 亳州三中 范图江 一、教学目标 1、 体会等比数列特性，理解等比数列的概念。 2、 能根据定义判断一个数列是等比数列，明确一个数列是等比数列的限定条件。 3、 能够运用类比的思想方法得到等比数列的定义,会推导出等比数列的通项公式。 二、教学重点、难点 重点：等比数列定义的归纳及应用，通项公式的推导。 难点：正确理解等比数列的定义，根据定义判断或证明某些数列为等比数列，通项公式的推导。 三、教学过程 1、 导入 复习等差数列的相关内容: 定义：*1,()n n a a d n N +-=∈ 通项公式：()*1(1),n a a n d n N =+-∈ 等差数列只是数列的其中一种形式，现在来看这两组数列1、2、4、8……， 1、1 2、14、18 …… 问：这两组数列中，各组数列的各项之间有什么关系 2、 探究发现，建构概念 问：与等差数列的概念相类比，可以给出这种数列的概念吗是什么 <1>定义：如果一个数列从地2项起，每一项与前一项的比值都等于同一个常数，则称此数列为的不过比数列。这个常数就叫做公比，用q 表示。 <2>数学表达式：*1,()n n a q n N a +=∈ 问：从等比数列的定义及其数学表达式中，可以看出什么也就是，这个公式在什么条件下成立 结论1 等比数列各项均不为零，公比0q ≠。 带领学生看45P 页的实例，目的是让学生知道等比数列在现实生活中的应用，从而知道其重要性。 3、 运用概念 例1 判断下列数列是否为等比数列： （1）1、1、1、1、1； （2）0、1、2、4、8； （3）1、11 1124816 -、、-、.

分析 （1）数列的首项为1，公比为1，所以是等比数列； （2）等比数列中的各项均不为零，所以不是等比数列； （3）数列的首项为1，公比为12- ，所以是等比数列. 注 成等比数列的条件：11;20;30n n n a q a q a +=≠≠. 练习47P 1、判断下列数列是否为等比数列： （1）1、2、1、2、1； （2）-2、-2、-2、-2； （3）11111392781--、、、、； （4）2、1、12、14、0. 分析 （1）3122122 a a a a ==，，比值不等于同一个常数，所以不是等比数列； （2）首项是-2，公比是1，所以是等比数列； （3）首项是1，公比是13 -，所以是等比数列； （4）数列中的最后一项是零，所以不是等比数列. 例2 求出下列等比数列中的未知项： （1）2，a ，8； （2）- 4，b ，c ，12 . 分析 在做这种题的时候，可以根据等比数列的定义，列出一个或多个等式来求解。 （1）8442a a a ==-，解得或； （2）22442,,1122b c b b c b c b c c c b ?=?-?=-=??????=-=????=??化简得解得. 例3等比数列{}n a 中， ①a 3=4，a 5=16，求a n ②a 1=2，第二项与第三项的和为12，求第四项。 随堂练习 P23练习题。 思考 由前面的练习5，等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ， 212321234321, , , a a q a a q a q a a q a q a q ====== …… 以此类推，可以得到n a 用1a 和q 表示的数学表达式吗

等比数列的概念与性质练习题

等比数列的概念与性质练习题 1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 2. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 4.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 5.．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 7.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 8.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=?a a a a ，则 =10 20 a a （ ） A. 32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 9.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（ ） A ．16 B ．24 C ．48 D ．128 10.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中1a =2，5a =8，则3a 的值为（ ） A. －4 B.4 C. ±4 D. 5 11.等比数列 {}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a ++ +＝ A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋3log 5 12. 设函数()()() * 2 ,311N n x n x x f ∈≤≤-+-=的最小值为n a ，最大值为n b ，则2n n n n c b a b =-是( ) A.公差不为零的等差数列 B.公比不为1的等比数列 C.常数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 13. 三个数c b a ,,成等比数列，且0,>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（ ） A. ??????3, 0m B. ??????--3,m m C . ??? ??3,0m D. [)?? ? ???-3,00,m m 14.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则 10 429 31a a a a a a ++++的值为 ． 15.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则 =+2 2 1b a a ______．

等比数列概念优秀教案

等比数列的概念教案 教学目标 1．理解等比数列的定义，并能以方程思想作指导，理解和运用它的通项公式． 2．逐步体会类比、归纳的思想，进一步培养学生概括、抽象思维等能力． 3．培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展． 教学重点和难点 重点：等比数列要领的形成及通项公式的应用． 难点：对要领的深刻理解． 教学过程设计 (一)引入新课 师：前面我们已经研究了一类特殊的数列──等差数列，今天我们一起研究第二类新的数列──等比数列． (板书)三等比数列 (二)讲解新课 师：等比数列与等差数列在名字上非常类似，只有一字之差，一个是差，一个是比，你能否仿照等差数列，举列说明你对等比数列的理解． (要求学生能主动的用类比思想，通过具体例子说明对概念的理解) 生：数列1，3，9，27，… 师：你为什么认为它是等比数列呢？ 生：因为这个数列相邻两项的比都是相等的，所以是等比数列． (先引导学生用自己的语言描述等比数列的特征，但暂时不作评论，以防限制其他学生的思维) 师：这是你对等比数列的理解，不过这个例子中的项是一项比一项大，能否再举一个一项比一项小的．

师：你对等比数列的理解呢？ 生：数列中每一项与前一项的比都是同一个常数． 师：他们对等比数列理解基本相同的，能否再换个样子，举一个例子． (若理解没有什么变化，就不必让学生再重复了) 师：下面再举例子又增加点要求，既然要去研究它，说明它一定有实际应用价值，那么能否再举一个生活中的等比数列例子． 生：如生物学中细胞分裂问题：1个细胞经过一次分裂变为2个细胞，这两个细胞再继续分裂成为4个细胞．这样分裂继续下去，细胞个数从1到2到4到8，把每次分裂后所得细胞个数排列好可形成一个数列1，2，4，8，16，…这个数列就是等比数列． 师：这个例子举得很好，不仅能够发现生活中的数学问题，还能把数学知识应用在其它学科，其实等比数列的应用是非常广泛的，说明它确有很高的研究价值． 说了这么多，也发现了等比数列的特征，能否试着给等比数列下个定义呢？ 生：如果一个数列的每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列就叫做等比数列． 师：作为定义这种叙述还有一点不足，为保证这样比都作得出来，这每一项应从数列的第二项起，否则第一项没有前一项，也就做不出这个比，调整之后，再找一位同学准确描述一下等比数列． 生：如果一个数列，从第二项起．每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列叫做等比数列． 师：好，就把它作为等比数列的定义记录下来． (板书)1．定义如果一个数列，从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，记作q．

等比数列的概念及基本运算

第37讲 等比数列的概念及基本运算 1．(2016·湖北省八校第二次联考)在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝(A) A ．1 B ．±1 C ．2 D ．±2 因为a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，即a 1q 2＝2， 所以a 1>0，又a 2a 3a 4＝a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 21·a 1q 6＝a 21· a 7＝8a 21＝8，所以a 1＝1或a 1＝－1(舍去)，故选A. 2．(2015·新课标卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14 ，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝(C) A ．2 B ．1 C.12 D.18 由题意可得a 3a 5＝a 24＝4(a 4－1)， 所以a 4＝2，所以q 3＝a 4a 1 ＝8，所以q ＝2. 所以a 2＝a 1q ＝12 . 3．(2017·湖南五市十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的(B) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 若A ＝B ＝0，则S n ＝0，故数列{a n }不是等比数列； 若数列{a n }是等比数列，当q ＝1时，S n ＝A ＋B ，所以a n ＝0(n ≥2)与数列{a n }是等比数 列矛盾，所以q ≠1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ， 所以A ＝－a 11－q ，B ＝a 11－q ，所以A ＝－B ， 因此“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的必要不充分条件． 4．(2018·华大新高考联盟教学质量测评)在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝33，则 a 11＋a 2011a 17＋a 2017 ＝(D) A.29 B.49 C.23 D.89 依题意知等比数列{a n }的公比q ＝a 3a 2＝332 ， 故a 11＋a 2011a 17＋a 2017＝a 11＋a 2011q 6(a 11＋a 2011)＝1q 6＝89 . 5．已知{a n }为等差数列，公差为1，且a 5是a 3与a 11的等比中项，则a 1＝ －1 . 因为a 5是a 3与a 11的等比中项，所以a 25＝a 3·a 11.

等比数列的概念-教学设计

《等比数列 (第一课时)》教学设计 教学目标︰ 1、通过实例，理解等比数列的概念 通过从丰富实例中抽象出等比数列的模型，使学生认识到这一类型数列也是现实世界中大量存在的数列模型;同时经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳等比数列的定义的过程。 2、探索并掌握等比数列的通项公式及等比中项 通过等差数列的通项公式的推导过程的类比，探索等比数列的通项公式，探索等比数列的通项公式的图象特征及等比中项。 教学重点： 理解等比数列的概念，认识等比数列是反映自然规律的重要的数列模型之一，探索并掌握等比数列的通项公式。 教学难点：等比数列通项公式及其应用 教学过程： 一、复习提问 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示. 1, 3, 5, 7, 9，…; (1)

3, 0, -3, -6, … ; (2) (3) . , , , , 104103102101 ??? 二、创设情境,引入新课 在前几节课中,我们学习了等差数列的定义、等差数列的通项公式及等差中项的定义，今天我们就来学习另外一种特殊的数列，首先看实例。 ● 实例分析1：1细胞分裂：1，2，4，8，… ● 实例分析2：公元前5至前3世纪，中国战国时，《庄子》一书中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的关于物质无限可分的观点。你能解释这个论述的含义吗？ 【学生】思考、讨论，用现代语言叙述。 【老师】 (用现代语言叙述后)如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢？ 【学生】发现等比关系，写出一个无穷等比数列：1，，，，，…。 【老师】大家知道计算机病毒的传播是非常快的，速度大的惊人，那么让我们看一个这样的实例。 ● 实例分析3：一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄，通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推。假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是什么？

数项级数的概念与基本性质

8.1数项级数的概念与基本性质 教学目的 理解级数的概念和基本性质 教学重点 级数的基本性质，收敛的必要条件，几何级数 教学难点 有穷项相加与无穷项相加的差异 教学过程 1.导入 以前我们学习的加法是将有限个数相加，这种加法易于计算但无法满足应用的需要．在许多技术问题中常要求我们将无穷多个数相加，这种加法叫做无穷级数．无穷级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种工具．无穷级数分为常数项级数和函数项级数，常数项级数是函数项级数的特殊情况，是函数项级数的基础． 2.讲授新课 2.1常数项级数的概念 定义8.1 设给定数列}{n a ，我们把形如 ∑∞ == ++++1 21n n n a a a a （8.1.1） 的式子称为一个无穷级数，简称级数．其中第n 项n a 称为级数 ∑∞ =1 n n a 的通项（或一般项）． 如果级数中的每一项都是常数，我们称此级数为数项级数. 例如， 等差数列各项的和 +-+++++++])1([)2()(1111d n a d a d a a 称为算术级数． 等比数列各项的和 +++++-1 12 111n q a q a q a a 称为等比级数，也称为几何级数． 级数 1 1n n ∞ =∑ =111123n +++++ 称为调和级数． 级数（8.1.1）的前n 项和为： 121 n n k k k S a a a a ===+++∑ ，

称n S 为级数 ∑∞ =1 n n a 的前n 项部分和，简称部分和． 2.2常数项级数收敛与发散 定义8.2 若级数(8.1.1)的部分和数列}{n S 的极限存在， 即 S S n n =∞ →lim (常数) 则称极限S 为无穷级数 ∑∞ =1n n a 的和．记作 ++++==∑∞ =n n n a a a a S 211 此时称级数 ∑∞ =1 n n a 收敛；如果数列}{n S 没有极限，则称级数 ∑∞ =1 n n a 发散，这时级数没有和． 显然，当级数收敛时，其部分和n S 是级数和S 的近似值，它们之间的差 ++=-=++21n n n n a a S S r 叫做级数的余项．用近似值n S 代替S 所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差为||n r ． 例１ 讨论几何级数 +++++=∑∞ =-n n n aq aq aq a aq 21 1 的敛散性，其中0≠a ，q 是公比． 结论：几何级数 ∑∞ =-1 1 n n aq ，当1||

7.1 常数项级数的概念和性质

1．写出下列级数的一般项： ⑴ 1357 2468 ++++ ； 【解】分析级数各项的表达规律： 分子为奇数数列21n -，分母为偶数数列2n ， 于是得级数的一般项为21 2n n u n -= ，1,2,3,....n =。 ⑵ 1111112349827 ++++++ ； 【解法一】分析级数各项的表达规律： 分子不变恒为1， 分母的变化中，奇数项为2的乘幂，幂指数为项数+1的一半，即12 2 n +，偶数项为3 的乘幂，幂指数为项数的一半，即2 3n ， 于是有12 22, 21 3, 2n n n n k u n k +?=-?=??=? ，k J ∈，1,2,3,....n =。 也可为1 221(1)1(1)2322 n n n n n u +--+-=?+?，1,2,3,....n =。 【解法二】分析级数各项的表达规律： 分子不变恒为1，但分母的变化按奇数项和偶数项有不同的变化规律，可以视为两个 级数的和，也可以视为级数的一个项由两个分数的和构成， 若将级数的一个项看成由两个分数的和构成，则有 111 23 u = +， 21149u =+221123=+， 311827u =+ 3311 23 =+， ...... 于是得11 23 n n n u = +，1,2,3,....n =。 ⑶3456 22345 -+-+- 。 【解】分析数列各项的表达规律：

各项顺次正负相间，有符号函数，注意到第一项是正的，应为1 (1)n +-， 从第二项起，各项分式都是分子比分母大1，而分母恰为序数n 于是得1 1 (1) n n n u n ++=-，2,3,....n =， 检验当1n =时，11111(1)21 u ++=-=，说明第一项也符合上面一般项的规律， 从而得 11(1)n n n u n ++=-，1,2,3,....n =。 2．根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性： ⑴ 1 1 (21)(21)n n n ∞ =-+∑； 【解】级数前n 项和为 11(21)(21)n n i S i i ==-+∑1111()221 21n n i i ==--+∑1111 ()22121n n i i ==--+∑ 11[(1)()(1152)]22113113n n =-+-+-+-+ 11 (1)221 n =-+， 由于lim n n S →∞11lim (1)221n n →∞=-+12 =，知级数收敛，收敛于1 2。 ⑵ 1 1 1n n n ∞ =++∑ ； 【解】级数前n 项和为 1 1 1n n i S i i ==++∑ 2211(1)()n i i i i i =+-=+-∑1 (1)n i i i ==+-∑ (1)()(123)2n n =-+-+++- 11n =+-， 由于lim n n S →∞ lim(11)n n →∞ =+-=∞，知级数发散。 ⑶ 1 1 ln n n n ∞ =+∑； 【解】级数前n 项和为 11ln n n i i S i =+=∑1 [ln(1)ln ]n i i i ==+-∑ ln 2ln 2ln3ln (ln1)()[ln(1)]n n =-+-+++- ln(1)ln1n =+-ln(1)n =+，

等比数列的概念与性质练习题

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 等比数列的概念与性质练习题 1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 2. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、 3,9b ac =-=- 3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 4.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 5.．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 7.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 8.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=?a a a a ，则 =10 20 a a （ ） A. 32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 9.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（ ） A ．16 B ．24 C ．48 D ．128 10.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中1a =2，5a =8，则3a 的值为（ ） A. －4 B.4 C. ±4 D. 5 11.等比数列 {}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则 3132310log log log a a a ++ +＝

教案1.无穷级数概念与性质

高等数学教案1 第十一章 无穷级数 编写人:吴炯圻 I. 授课题目: 第一节 常数项级数的概念和性质 Ⅱ.教学目的与要求 1、了解常数项级数的概念及其产生的背景； 2、掌握收敛级数的基本性质； 3、会采用级数敛散的定义或收敛级数的基本性质判断较简单级数的敛散性； 4、了解柯西审敛原理。 Ⅲ.教学重点与难点： 重点：级数收敛与发散的定义; 收敛级数的基本性质。 难点：无穷个数量求和与有限个量求和的差别。 关键: 1.会把级数的问题转化为部分和序列来处理; 2.熟悉数列的收敛与发散的判别. Ⅳ.讲授内容： 第一节 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念及其产生的背景 1．古代人如何求圆的面积? 我国古代数学家刘徽已经利用无穷级数的思想来计算圆的面积. 在半径为1的圆内作内接正六边形, 其面积记 为1a , 它是圆面积A 的一个近似值. 再以这正六边 形的每一边为底边分别作一个顶点在圆周上的等腰 三角形 (图1-1) , 算出这六个等腰三角形的面积之 和2a . 那么21a a (即内接正十二边形的面积)也是 图1-1

A 的一个近似值, 其近似程度比正六边形的好. 同样 地, 在这正十二边形的每一边上分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形, 算出这十二个等腰三角形的面积之和3a . 那么321a a a ++(即内接正二十四边形的面积)是A 的一个更好的近似值. 如此继续进行n 次, 当n 是较大的整数时，得到的正多边形的面积 n n a a a s +++= 21就很接近A 的值了. 2．常数项级数的概念 古代数学家刘徽时代，人们只懂求有限个量之和，没有极限的概念，仅能把求圆面积的步骤和准确性停留在有限的数n 上。 随着科学的进步，人们认识的提高，人们自然认为，当n 无限增大时，则 n n a a a s +++= 21的极限就是圆的面积A ，即 )(lim lim 21n n n n a a a s A ++==∞ →∞ →. (1.1) 这时，上式右边括号中的项数无限增多，出现了无穷个数量累加的式子。 一般地, 给定一个数列 ,,,,,321n u u u u , 则由这数列构成的表达式 +++++n u u u u 321 (1.2) 叫做(常数项)无穷级数, 简称(常数项)级数, 记为 ∑∞ =1 n n u , 即 ∑∞ =1 n n u +++++=n u u u u 321, 其中第n 项u n 叫做级数的一般项或通项. 上述级数的定义只是一个形式的定义，怎样理解无穷级数中无穷多个数量相加呢？ 联系上面计算圆的面积的例子，即（1.1）式，用有限项的和S n 的极限来定义无穷多个数量相加的“和”，我们自然要问，对一般的级数是否也可以这样做？ 这个思路是对的。 为此，我们把级数(1.2)的前n 项之和s n = u 1+u 2 +…+u n 称为级数(1.1)的部分和, n 依次取 1,2, 时得数列 s 1, u 2 ,…, u n … 称为级数的部分和数列. 在上面求面积的例子中，部分和数列收敛（为什么？），并由此求得面积, 即求得无穷多个量之和12....n a a a A ++++=。 但是，能否由此推断, 所有级数的部分和数列收敛都收敛? (提问, 允许各种猜测.) 事实上, 正像一般的数列未必收敛一样，部分和数列也未必收敛。例如 1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+……=1 1(1)n n -∞ =-∑. 其部分和数列是：1，0，1，0，…….,它显然不收敛。

人教版高数必修五第6讲：等比数列的概念、性质(学生版)

等比数列的概念、性质 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 教学重点： 掌握并理解等比数列的概念及性质，通项公式的求解，等比数列与指数函数的关系 教学难点： 理解等比数例性质及与指数函数的关系 1. 等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第_______项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_________，公比通常用__________表示。 2. 等比数列的通项公式 ____________________ 3. 等比中项 如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，其中___________ 4. 等比数列的性质 （1）公比为q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m ，所得数列仍是等比数列，公比仍为q （2）若,,,,m n p q m n p q N ++=+∈，则__________________ （3）若等比数列{}n a 的公比为q ，则1n a ??????是以 _________ 为公比的等比数列 （4）等比数列{}n a 中，序号成等差数列的项构成等比数列 （5）若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则{}n n a b 也为等比数列 5. 等比数列与指数函数的关系

(完整版)级数的概念与性质

第十一章无穷级数 教学内容目录： §1—§8 本章主要内容： 常数项级数：无穷级数及其收敛与发散的定义，无穷级数的基本性质，级数收敛的必要条件，几何级数，调和级数，P级数，正项级数的比较审敛法和比值审敛法，交错级数，莱布尼兹定理，绝对收敛和条件收敛。 幂级数：幂级数概念，阿贝尔（Abel）定理，幂级数的收敛半径与收敛区间，幂级数的四则运算，和的连续性、逐项积分与逐项微分。泰勒级数，函数展开为幂级数的唯一性，函数（、 e x cos sin ln(1+x)、(1+x)m等）的幂级数展开式，幂级数在近 、x x 、 似计算中的应用举例，“欧拉（Euler）公式。 函数项级数：函数项级数的一般概念，收效域及和函数。 教学目的与要求： 1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。 2、掌握几何级数和P—级数的收敛性。 3、掌握正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 4、理解交错级数的审敛法（莱布尼兹定理）。 5、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。 6、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7、掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求）。 8、了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。 9、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10、掌握应用e x,sinx,cox,en(1+x)和(1+x)u的马克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的的函数间接展开成幂级数的方法。 11、了解函数展开为傅里叶（Fourier）级数的狄利克雷（Dirchet）条件，会将定义在（-π,π）上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在（-π,π）上的函数展开为正弦或余弦级数。

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等比数列的概念与性质练习题 1. 已知等比数列 { a n } 的公比为正数，且 a 3 · a 9 =2 a 2 ， a 2 =1，则 a 1 = 5 A. 1 B. 2 C. 2 D.2 2 2 2. 如果 1, a,b,c, 9 成等比数列，那么（ ） A 、 b 3, ac 9 B 、 b 3, ac 9 C 、 b 3, ac 9 D 、 b 3, ac 9 3、若数列 a n 的通项公式是 a n ( 1)n (3n 2), 则 a 1 a 2 L a 10 （ A ） 15 （ B ） 12 （ C ） D ） 4. 在等比数列 { a } 中， a ＝8， a ＝ 64，，则公比 q 为（ ） n 2 5 A ． 2 B ．3 C ． 4 D ． 8 5.．若等比数列 { a n } 满足 a n a n+1 =16 n ，则公比为 A ．2 B ． 4 C ． 8 D ． 16 6. 若互不相等的实数 a, b,c 成等差数列， c, a,b 成等比数列，且 a 3b c 10 ，则 a A ． 4 B ． 2 C ．－ 2 D ．－ 4 7.公比为 3 2 等比数列 { a n } 的各项都是正数，且 a 3a 11 16 ，则 log 2 a 16 =（ ） A. 4 B. 5 C. D. 8.在等比数列 a n 中， a 7 a 11 6, a 4 a 14 a 20 （ ） 5 ，则 a 10 A. 2 B. 3 C. 2 或 3 D. － 2 或－ 3 3 2 3 2 3 2 9.等比数列 { a n } 中，已知 a 1a 2 a 12 6 4 ，则 a 4 a 6 的值为（ ） A ． 16 B ．24 C ．48 D ． 128 10. 实数 a 1, a 2 , a 3 , a 4 ,a 5 依次成等比数列，其中 a 1 =2， a 5 =8，则 a 3 的值为（ ） A. － 4 B.4 C. ± 4 D. 5 11.等比数列 a n 的各项均为正数，且 a 5a 6 a 4 a 7 ＝ 18，则 log 3 a 1 log 3 a 2 L log 3 a 10 ＝ A ． 12 B ．10 C ． 8 D ． 2＋ log 3 5 12. 设函数 f x x 1 2 n 1 x 3, n N * 的最小值为 a n ，最大值为 b n ，则 c n b n 2 a n b n 是( ) A. 公差不为零的等差数列 B. 公比不为 1的等比数列 C. 常数列 D. 既不是等差数列也不是等比数列 13. 三个数 a,b,c 成等比数列，且 a b c m, m 0 ，则 b 的取值范围是（ ） A. 0, m B. m, m C. 0, m D. m,0 0, m 3 3 3 3 14. 已知等差数列 { a n } 的公差 d 0 ，且 a 1 , a 3 , a 9 成等比数列，则 a 1 a 3 a 9 的值为 ． a 2 a 4 a 10 15. 已知 1 2 1 2 3 a 1 a 2 ______ ． 1, a , a , 4 成等差数列， 1, b , b , b , 4 成等比数列，则 b 2 1

《等比数列的概念》教学设计

等比数列教案 一、教学目标 知识目标：通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式． 能力目标：使学生进一步体会类比、归纳思想，培养学生的观察、概括能力． 情感目标：培养学生勤于思考，实事求是的精神及严谨的科学态度． 二、教学重点和难点 重点：等比数列的定义，通项公式的猜想过程、理解． 难点：等比数列的通项公式的应用． 三、教学用具 多媒体． 四、教学过程 （一） 复习旧知 等差数列的定义，数学表达式，通项公式． （二）创设情境 情景引入生活中实际的例子． 1, 细胞分裂问题，可以记作数列：1,2,4,8,． ① 2, 取木棒问题可以记作数列： .,8 1,41,21,1 ② 3, 计算机病毒感染可以记作数列 ： 2341,20,20,20,20 观察三组数列的共同特征．从第2项起, 每一项与前一项的比都等于同一常 数. （三）讲解新课 一、等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项之比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做这个数列的公比，用q 表示,(q ≠0)． 1, 等比数列的数学表达式： ()*10,.n n a q q n N a +=≠∈ 2, 对定义的认识 （1）等比数列的首项不为0； （2）等比数列的每一项都不为0; 二、等比数列的通项公式. 结合等比数列的定义可知，有： 2341231,,,.n n a a a a q q q q a a a a -==== 即有: ()21213111,,0,0,2n n a a q a a q a a q a q n -===≠≠≥ 等比数列的通项公式为: ()1*110,0,n n a a q a q n N -=≠≠∈ 变形公式为: ()*0,,n m n m a a q q m n N -=≠∈ 三、等比中项: 若,,a G b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项. 2G ab = 四、例题讲解 例1 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的第1项与第2项. 解：设这个等比数列的第1项是1a ,公比是q ，那么 21311218 a q a q ?=?=? 解得，1316,23 q a == 因此21163832 a a q ==?= 答：这个数列的第1项与第2项分别是 163与8。 课堂互动： （1） 一个等比数列的第5项是49 ，公比是13-，求它的第1项； 解：设它的第一项是1a ，则由题意得