空间几何体的外接球与内切球问题精讲

空间几何体的外接球与内切球问题精讲

类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）

图2

图3

图4

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2

2

2

2

)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 π9 解：（1）162

==h a V ，2=a ，24164442

2

2

2

=++=++=h a a R ，π24=S ，选C ； （2

）933342

=++=R ，ππ942

==R S

（3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 。π36 解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：

如图（3）-1，取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，则H 是底面正三角形ABC 的中心，∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥，

BC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ，

∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直，

本题图如图（3）-2， MN AM ⊥，MN SB //，

∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，

故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直，

∴36)32()32()32()2(2222

=++=R ，即3642=R ，

∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36

(3)题-1

A

(3)题-2

A

（4）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠?

AB AC SA BAC 则该四面体的外接

球的表面积为（ D ）π11.A π7.B π310.

C π3

40.D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是

（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几

何体外接球的体积为 解析：（4）在ABC ?中，7120cos 22

2

2

=??-+=

BC AB AB AC BC ，

7=BC ，ABC ?的外接球直径为3

7

22

37sin 2=

=∠=

BAC BC r ， ∴340

4)3

72(

)2()2(2222=

+=+=SA r R ，340π=S ，选D （5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为c b a ,,（+

∈R c b a ,,），则

??

???===6812

ac bc ab ，∴24=abc ，∴3=a ，4=b ，2=c ，29)2(2222=++=c b a R ，ππ2942

==R S ， （6）3)2(2

2

2

2

=++=c b a R ，4

3

2

=

R ，23=R

πππ2

3

83334343=?==R V ，

类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC 解题步骤：

第一步：将ABC ?画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直

径

AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ； 第二步：1O 为ABC ?的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半

径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得

r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 2

1

1=； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①2

22)2()2(r PA R +=?22)2(2r PA R +=

；

②2

12

2OO r R +=?2

12OO r R +=

图5

P

2．题设：如图6，7，8，P 的射影是ABC ?的外心?三棱锥ABC P -的三条侧棱相等?三棱锥ABC P -的底面ABC ?在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点

图6

图7-1

图7-2

图8

图8-1

图

8-2

图8-3

解题步骤：

第一步：确定球心O 的位置，取ABC ?的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；

第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：2

12

12

O O A O OA +=?2

2

2

)(r R h R +-=，解出R 方法二：小圆直径参与构造大圆。

例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为( )C A ．π3 B ．π2 C ．

3

16π

D ．以上都不对 解：选C ，2

21)3(R R =+-,2

2

1323R R R =++-, 0324=-R ,

3

2=

R ,ππ31642

==R S

类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）

图9-1

图9-2

图9-3

图9-4

1．题设：如图9-1，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）

第一步：易知球心O 必是PAC ?的外心，即PAC ?的外接圆是大圆，先求出小圆的直径r AC 2=； 第二步：在PAC ?中，可根据正弦定理

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===，求出R

2．如图9-2，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）

2

12

12

O O C O OC +=?2

12

2

O O r R +=?2

122O O R AC -=

3．如图9-3，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且P 的射影是ABC ?的外心?三棱锥ABC P -的三条侧棱相等?三棱ABC P -的底面ABC ?在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点 解题步骤：

第一步：确定球心O 的位置，取ABC ?的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；

第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=?2

22)(r R h R +-=，解出R

4．如图9-3，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且AC PA ⊥，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①2

22)2()2(r PA R +=?22)2(2r PA R +=

；

②2

12

2OO r R +=?2

12OO r R +=

例3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为32，则该球的表面积为 。

（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 解：（1）由正弦定理或找球心都可得72=R ，ππ4942

==R S ，

（2）方法一：找球心的位置，易知1=r ，1=h ，r h =，故球心在正方形的中心ABCD 处，1=R ，

3

4π=V 方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC ?的外接圆，此处特殊，SAC Rt ?的斜边是球半径，

22=R ，1=R ，3

4π

=

V

（3）在三棱锥ABC P -中，3===PC PB PA ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为

60，则该三棱锥外

接球的体积为（ ） A ．π B.

3π C. 4π D.43

π 解：选D ，圆锥C B A ,,在以2

3

=

r 的圆上，1=R （4）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ?是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）A A

．

6 B

C

．3 D

．2

解：3

6

)33(

12221=

-=-=

r R OO ，362=h ，62362433131=??==Sh V 类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）

图10-2

题设：如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以

是任意三角形）

第一步：确定球心O 的位置，1O 是ABC ?的外心，则⊥1OO 平面ABC ； 第二步：算出小圆1O 的半径r AO =1，h AA OO 2

1

2111==

（h AA =1也是圆柱的高）

； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=?2

22)2

(r h

R +=?22)2

(h

r R +=

，解出R

例4 （1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，

且该六棱柱的体积为8

9

，底面周长为3，则这个球的体积为 解：设正六边形边长为a ，正六棱柱的高为h ，底面外接圆的关径为r ，则2

1

=a ，

底面积为833)21(4362=??

=S ，89833===h Sh V 柱，∴3=h ，1)2

1()23(222=+=R ， 1=R ，球的体积为3

4π

=

V （2）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=?，则此球的表面积等于 。

解：32=BC ，4120

sin 3

22==

r ，2=r ，5=R ，π20=S （3）已知EAB ?所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，

?=∠===60,2,3AEB AD EB EA ，则多面体ABCD E -的外接

球的表面积为 。π16

解析：折叠型，法一：EAB ?的外接圆半径为31=

r ，11=OO ，

231=+=R ；法二：231=

M O ，21322==D O r ，44

13432

=+=R ，2=R ，π16=S （4）在直三棱柱111C B A ABC -中，4,3

,6,41====AA A AC AB π

则直三棱柱111C B A ABC -的外接球

的表面积为 。

π3

160 解析：282164236162

=?

??-+=BC ，72=BC ，3742

3722=

=r ，3

7

2=r ， 3404328)2(

2

122=+=+=AA r R ，π3

160=S

类型五、折叠模型

题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图11)

第一步：先画出如图所示的图形，将BCD ?画在小圆上，找出BCD ?和BD A '?的外心1H 和2H ； 第二步：过1H 和2H 分别作平面BCD 和平面BD A '的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接OC OE ,； 第三步：解1OEH ?，算出1OH ，在1OCH Rt ?中，勾股定理：2

2

12

1OC CH OH =+

例5三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 和△ABC 均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .

解析：3460sin 22221=== r r ，3221==r r ，3

1

2

=H O ， 图11

3

5

343121222=+=+=r H O R ，315=R ； 法二：312=

H O ，3

1

1=H O ，1=AH ， 3

5

2121222=++==O O H O AH AO R ，315=R 类型六、对棱相等模型（补形为长方体）

题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CD AB =，BC AD =，BD AC =） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；

第二步：设出长方体的长宽高分别为c b a ,,，x BC AD ==，y CD AB ==，z BD AC ==，列方程组，

??

???=+=+=+2

222

22222z a c y c b x b a ?2)2(2222222z y x c b a R ++=

++=， 补充：abc abc abc V BCD A 3

1

461=?-

=- 第三步：根据墙角模型，2

22

222

22z y x c b a R ++=

++=，

8

2

222z y x R ++=，8

2

22z y x R ++=

，求出R ，

例如，正四面体的外接球半径可用此法。

例6（1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一 个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .

（2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点 在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）

A ．4

3

3 B ．33 C ．43 D ．123

解：（1）截面为1PCO ?，面积是2；

（2）高1==R h ，底面外接圆的半径为1=R ，直径为22=R ， 设底面边长为a ，则260sin 2==

a

R ，3=a ，433432==a S ，

三棱锥的体积为4

3

31==

Sh V （3）在三棱锥BCD A -中，,4,3,2======BD AC BC AD CD AB 则三棱锥BCD A -外接球的表

图12

(1)

题

(1)题解答图

面积为 。

π2

29 解析：如图12，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为c b a ,,，则92

2

=+b a ，

422=+c b ，1622=+a c ∴291649)(2222=++=++c b a ，291649)(2222=++=++c b a ，

229222=

++c b a ，22942

=R ，π2

29=S （4）如图所示三棱锥A BCD -，其中5,6,7,AB CD AC BD AD BC ======则该三棱锥外接球的表面积为 .

解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为c b a ,,，

110493625)(2222=++=++c b a ，55222=++c b a ，5542=R ，π55=S 【55π；对称几何体；放到长方体中】

（5）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为

解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，32=

R ，

2

3=

R ，ππ23

83334=?

=V ，

类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型

图13

题设：

90=∠=∠ACB APB ，求三棱锥ABC P -外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O ，连接

OC OP ,，则AB OP OC OB OA 2

1

=

===，∴O 为三棱锥ABC P -外接球球心，然后在OCP 中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。

例7（1）在矩形ABCD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）

A ．

π12125 B ．π9125 C ．π6125 D ．π3

125

解：（1）52==AC R ，25

=R ，6

125812534343πππ=?==R V ，选C

（2）在矩形ABCD 中，2=AB ，3=BC ，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥BCD

A -的外接球的表面积为 ．

解析：（2）BD 的中点是球心O ，132==BD R ，ππ134

2

==R S ；

类型八、锥体的内切球问题

多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法

多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

多面体外接球、内切球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,8 4x x x h h =??=??∴??=???=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12 r = ，球心到底面的距离d =.∴外接球的 半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 ，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补 .

八个有趣模型搞定外接球内切球问题(学生版))解析

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球 类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2 2 2 2 )2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 （3）在正三棱锥中，分别是棱的中点，且MN AM ⊥,若侧棱,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 （4）在四面体中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠? AB AC SA BAC 则该四面体的外接 球的表面积为（ ） π11.A π7.B π310. C π3 40.D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是 图2 图3 S ABC -M N 、SC BC 、SA =S ABC -

（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为 1的正方形，则该几何体外接球的体积为 类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC 解题步骤： 第一步：将ABC ?画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ； 第二步：1O 为ABC ?的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半 径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得 r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 2 1 1=； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①2 2 2 )2()2(r PA R +=?22)2(2r PA R +=； ②2 12 2 OO r R +=?2 12OO r R += 2．题设：如图6，7，8，P 的射影是ABC ?的外心?三棱锥ABC P -的三条侧棱相等? 三棱锥ABC P -的底面ABC ?在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点 图6 P A D O 1 O C B 图7-1 P A O 1 O C B 图7-2 P A O 1 O C B 图8 P A O 1 O C B 图5 A D P O 1O C B

2021届高考数学专题：立体几何之内切球和外接球(答案不全)

高考数学中的内切球和外接球问题 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为，则该球的体积为 ______________. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为 ，则此球的表面积 为 . 例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）. A.π16 B. π20 C. π24 D.π32 3.求多面体的外接球的有关问题 例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 8 9，底面周长为３，则这个球的体积为 . 241,2,3

二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例6 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________. 例 7 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A. π3 B. π4 C. π33 D. π6 例8 在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分布沿ED 、FC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ ）. A. π2734 B.π26 C. π86 D. π24 6 例9 已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，则球O 的体积等于 . 2、构造长方体 例10.已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥DC ，若AB=6,AC=

空间几何体的外接球和内切球问题说课材料

空间几何体的外接球和内切球问题

空间几何体的外接球和内切球问题 类型1 外接球的问题 1.必备知识： (1)简单多面体外接球的球心的结论. 结论1：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点. 结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点. 结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点. (2)构造正方体或长方体确定球心. (3)利用球心O 与截面圆圆心O 1的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心. 2.方法技巧：（1）几何体补成正方体或长方体.（2）轴截面法（3）空间向量法 1AB DC AD BC BD AC ======例1-1、正四面体的棱长都为，求此四面体外接球和内切球的半径 例1-2、四面体中，， 求此四面体外接球的表面积 例1-3．若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（ ） A.3 B.6 C.36 D.9 训练1（创新110页） 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( ) A.25π B.26π C.32π D.36π 训练2（创新110页）已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，沿AD 进行折叠，使折叠后的∠BDC ＝π2 ，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为( ) A.3π B.4π C.5π D.6π 例2-1（创新110页）体积为3的三棱锥P －ABC 的顶点都在球O 的球面上，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2，∠ABC ＝120°，则球O 的体积的最小值为( ) A.773 π B.2873π C.19193π D.76193 π 例2-1（创新109页）三棱锥P －ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝PC ＝AC ＝2，AB ＝4，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为( ) A.23π B.234π C.64π D.643π 类型2 内切球问题 1.必备知识： (1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等. (2)正多面体的内切球和外接球的球心重合. (3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. 2.方法技巧：体积分割是求内切球半径的通用做法.

高中数学 立体几何 4.高考数学中的内切球和外接球问题

高考数学中的内切球和外接球问题 一、 有关外接球的问题 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 . 例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 3.求多面体的外接球的有关问题 例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8 9 ，底面周长为3，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有 ??????==h x x 24368 936 ?? ???= =213 x h

∴正六棱柱的底面圆的半径21=r ，球心到底面的距离2 3 =d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：3 3 4R V π= . 小结 本题是运用公式222d r R +=求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________. 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 故其外接球的表面积ππ942==r S . 小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为c b a ,,，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。 【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径为R 2体对角线长l 即2 2 22c b a R ++=

高考数学中的内切球和外接球问题

高考数学中的内切球和 外接球问题 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

高考数学中的内切球和外接球问题 一、有关外接球的问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 . 例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4， 体积为16，则这个球的表面积为（）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 3.求多面体的外接球的有关问题

例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8 9，底面周长为3，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有 ∴正六棱柱的底面圆的半径2 1=r ，球心到底面的距离2 3 =d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：3 3 4R V π= . 小结 本题是运用公式222d r R +=求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________. 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 故其外接球的表面积ππ942==r S . 小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为c b a ,,，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有 2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【精品】2019年高考数学中的内切球和外接球问题

【精品】2019年高考数学中的内切球和外接球问题 一、 有关外接球的问题 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 . 例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4， 体积为16，则这个球的表面积为（ ）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 3.求多面体的外接球的有关问题 例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8 9，底面周长为3，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有 ??????==h x x 2436893 6 ?????==213x h

∴正六棱柱的底面圆的半径21=r ，球心到底面的距离2 3= d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：334R V π=. 小结 本题是运用公式222d r R +=求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________. 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 故其外接球的表面积ππ942==r S . 小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为c b a ,,，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。 【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径为R 2体对角线长l 即2 222c b a R ++=

高中数学空间几何体的内切球与外接球问题

空间几何体的内切球与外接球问题 1．[2016·全国卷Ⅱ] 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．12π B.32 3 π C ．8π D ．4π [解析]A 因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为23，所以正方体的外接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π. 2．[2016·全国卷Ⅲ] 在封闭的直三棱柱ABC - A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) A ．4π B.9π2 C ．6π D.32π 3 [解析]B 当球与三侧面相切时，设球的半径为r 1，∵AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，∴8－r 1＋6－r 1＝10，解得r 1＝2，不合题意；当球与直三棱柱的上、下底面相切时，设球的半径为r 2， 则2r 2＝3，即r 2＝32.∴球的最大半径为32，故V 的最大值为43π×????323＝92 π. 3.[2016·郑州模拟] 在平行四边形ABCD 中，∠CBA ＝120°，AD ＝4，对角线BD ＝23，将其沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一球面上，则该球的体积为________． 答案：2053 π；解析：因为∠CBA ＝120°，所以∠DAB ＝60°，在三角形ABD 中，由余弦 定理得(23)2＝42＋AB 2－2×4·AB ·cos 60°，解得AB ＝2，所以AB ⊥BD .折起后平面ABD ⊥平面BCD ，即有AB ⊥平面BCD ，如图所示，可知A ，B ，C ，D 可看作一个长方体中的四个顶点，长方体的体对角线AC 就是四面体ABCD 外接球的直径，易知AC ＝22＋42＝25， 所以球的体积为205 3 π. 4.[2016·山西右玉一中模拟] 球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S-ABC 的体积的最大 值为( ) A . 3 3 B . 3 C ．2 3 D ．4 选A ；[解析] (1)由于平面SAB ⊥平面ABC ，所以点S 在平面ABC 上的射影H 落在AB 上，根据球的对称性可知，当S 在“最高点”，即H 为AB 的中点时，SH 最大，此时棱锥S -ABC 的体积最大． 因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以球的半径r ＝OC ＝23CH ＝23×32×2＝23 3 . 在Rt △SHO 中，OH ＝12OC ＝3 3 ，

内切球和外接球例题

内切球和外接球例题 This manuscript was revised on November 28, 2020

高考数学中的内切球和外接球问 题 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ______________ .27π. 例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为 24，则该球的体积为 ______________. . 2、求长方体的外接球的有关问题 例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个 顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球 的表面积为 .14π. 例4、（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）. C. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 3.求多面体的外接球的有关问题 例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱 的体积为9 8，底面周长为３，则这个球 的体积为 . 解设正六棱柱的底面边长为x， 高为h ，则有 2 63,1 , 2 9 6, 8 x x x h h = ?? = ?? ∴ ?? = ??= ? ? ∴正六棱柱的底面圆的半径 1 2 r= ，球心 到底面的距离2 d= . ∴外接球的半径 1 R==. 4 3 V π ∴= 球 . 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 （2008年福建高考题）若三棱 锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 _______________.9π 解据题意可知，该三棱锥的三条 侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补 的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R，则有 ( ) 222 2 29 R=++= .∴2 9 4 R= .故其外接球的表面积 2 49 S R ππ ==. 小结一般地，若一个三棱锥的三 条侧棱两两垂直，且其长度分别为 a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成 一个长方体，于是长方体的体对角线的 长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R=.

数学研究课题---空间几何体的外接球与内切球问题.

高中数学课题研究 几何体与球切、接的问题 纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究,以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路,力争在这部分内容不失分.从近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见. 首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 1 球与柱体的切接 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则2a OJ r ==；二 是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，则GO R a ==；三是球为正方体的 外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则12 A O R a '==.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.

外接球与内切球问题

立体图形的外接球与内切球问题 一、基础知识与概念： 1．球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆． 大圆：截面过球心，半径等于球半径（截面圆中最大）；小圆：截面不过球心． 2．球心和截面圆心的连线垂直于截面． 3．球心到截面的距离d 与球半径R 及截面圆半径r 的关系：222R d r =+． 4．几何体的外接球：几何体的顶点都在球面上；几何体的内切球：球与几何体的各个面都相切． 二、多面体的外接球（球包体） 模型1：球包直柱（直锥）：有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱） 球包 直柱 球径公式：2 22h R r ? ? =+ ??? ， （r 为底面外接圆半径） 球包正方体 球包长方体 球包四棱柱 球包三棱柱 球 包直锥 三棱锥 四棱锥 r 速算 模型2：“顶点连心”锥：锥体的顶点及球心在底面的投影都是底面多边形外接圆的圆心（两心一顶连成线） 实例：正棱锥 球径计算方程：()2 2 2 h R r R -+=22 22 202h r h hR r R h +?-+=?=， （h 为棱锥的高，r 为底面外接圆半径） 特别地， （1）边长为a 正四面体的外接球半径：R =______________． （2）底面边长为a ，高为h 的正三棱锥的外接球半径：R =__________． （3）底面边长为a ，高为h 的正四棱锥的外接球半径：R =__________． 例：1．（2017年全国卷III 第8题）已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ． B ． C ． D ． π34 π2 π4 π

立体几何之内切球与外接球求法(经典习题)

圆梦教育中心 立体几何之内切球与外接球 一、球与棱柱的组合体问题 1. （2007天津理?12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱 的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ． 答案 14π 2.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( ) A . 1∶3 B . 1∶3 C . 1∶33 D . 1∶9 答案 C 3.已知正方体外接球的体积是 π3 32 ，那么正方体的棱长等于（ ） A.22 B. 332 C.324 D.3 3 4 4.(吉林省吉林市2008届上期末)设正方体的棱长为23 3，则它的外接球的表面积为（ ） A ．π3 8 B ．2π C ．4π D ．π3 4 答案C 5.（2007全国Ⅱ理?15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。如果正四 棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2. 答案 2+ 6.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9 8 ，底面周长为3，则这个球的体积为 ． 答案 3 4π 7．（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,D 是球O 表面上的点,PA ⊥平面ABCD,四边形 ABCD 是边长为正方 形 .若则△OAB 的面积为______________. 二、锥体的内切球与外接球 8.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考） 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是 . 答案 9.（2006辽宁）如图，半径为2的半球 内有一内接正六棱锥 P A B C D E F -，则此正六棱锥的侧面积是________． 答案 F

难点突破：立体图形的外接球与内切球问题

*创作编号：GB8878185555334563BT9125XW* 创作者：凤呜大王* 2019届高三数学第一轮复习教学案18：难点突破：立体图形的外接球与内切球问题 一、基础知识与概念： 1．球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆． 大圆：截面过球心，半径等于球半径（截面圆中最大）；小圆：截面不过球心． 2．球心和截面圆心的连线垂直于截面． 3．球心到截面的距离d与球半径R及截面圆半径r的关系：222 R d r =+． 4．几何体的外接球：几何体的顶点都在球面上；几何体的内切球：球与几何体的各 个面都相切． 二、多面体的外接球（球包体） 模型1：球包直柱（直锥）：有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱） 球 包 直 柱 球径公式： 2 2 2 h R r ?? =+ ? ?? ，球包正方体球包长方体球包四棱柱球包三棱柱

四 棱 锥 r 速 算 模型2：“顶点连心”锥：锥体的顶点及球心在底面的投影都是底面多边形外接圆的圆心（两心一顶连成线）实例：正棱锥 例：1．（2017年全国卷III第8题）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径 为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A．πB． 3 4 π C． 2 π D． 4 π 【解析】模式辨识：“球包体”中的“垂底侧边棱（母线）”类型，1 h=，1 R=，底 面半径为r，则由 2 2 2 h R r ?? =+ ? ?? 2 222 13 1 24 r r ?? =+?= ? ?? ，2 3 4 V r h π π ==． 2．（2010年全国新课标卷第10题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a， 顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

内切球和外接球问题专题复习

内切球和外接球问题 一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1 （2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径. 故表面积为27π. 例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线， 23所以球的半径为3.因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是 43π. 故该球的体积为 2、求长方体的外接球的有关问题 例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三 1,2,3，则此球的表面积为. 条棱长分别为 解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为14，故球的表面积为14π. 例4、（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及 高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、 宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C. 3.求多面体的外接球的有关问题 例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于 底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱

(完整版)高考数学中的内切球和外接球问题.

高考数学中的内切球和外接球问题 一、有关外接球的问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为. 例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4， 体积为16，则这个球的表面积为（）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π

3.求多面体的外接球的有关问题 例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8 9，底面周长为3，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有 ?? ???? ==h x x 24368936 ?? ???= =213 x h ∴正六棱柱的底面圆的半径2 1 =r ，球心到底面的距离2 3 =d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：3 3 4R V π= . 小结 本题是运用公式222d r R +=求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________. 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 故其外接球的表面积ππ942==r S . 小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为c b a ,,，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

外接球内切球问题标准答案

1 球与柱体 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体 发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题 例 1 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）A ． 22 B ．1 C ．212 + D ．2 1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的 棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正 方体的外接球的道理是一样的，故球的半径222 2l a b c R ++== 例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为( )A.10π 3 B.4π C.8π3 D.7π3

1.3 球与正棱柱 例3 正四棱柱1111ABCD A B C D 的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为 . 2 球与锥体 规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 2.1 球与正四面体

解决几何体的外接球与内切球

解决几何体的外接球与内切球，就这6个题型！ 一、外接球的问题 简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键． （一）由球的定义确定球心 在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心． 由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论． 结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点． 结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点． 结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点． 结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到． 结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心． （二）构造正方体或长方体确定球心

长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法． 途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体． 途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体． 途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体． 途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体． （三）由性质确定球心 利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．

二、内切球问题 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。

高中必备比例及外接球内切球问题(含答案)

高考必背比例 1. 三角形重心(中线的交点)分各条中线的比是2:1(这个在证明和计算题中可直接用,不会扣分) 2.圆的内接四边形对角互补 3.正方体的体对角线长a 根3(正方体边长a) 4.还有圆的相交弦定理在与球体有关的计算题中很有用处 5.正三角形四心共点(中心,重心,内心,外心) 外接球内切球问题 外接球半径：四分之根号六 正四面体 r=(a 根6)/12 R=(a 根6)/4 h=(a 根6)/3 正八面体 r=(a 根6)/6 R=(a 根2)/2 1. （陕西理?6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ） A ．4 33 B ．33 C ． 43 D ．123 2. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若 12AB AC AA ===,120BAC ∠=?，则此球的表面积等于 。 3．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱 柱的体积为 ． 4.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 A ．3 B ．13π C ．23 π D ．3 5.已知正方体外接球的体积是 π332，那么正方体的棱长等于（ ） A.22 B.332 C.324 D.3 34 6.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( ) A . 1∶3 B . 1∶3 C . 1∶33 D . 1∶9 7.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为3，则这个球的体积为 ． 8. （2007天津理?12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱 的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ． 9.（2007全国Ⅱ理?15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。如果正四 棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2. 10.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -，则此正六棱

空间几何的外接球和内切球 优质专题

空间几何体的外接球与内切球 专题 类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 图2 图3 图4 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 π9 解：（1）162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，π24=S ，选C ； （ 2）933342=++=R ，ππ942==R S （3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 。π36 解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下： 如图（3）-1，取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，则H 是底面正三角形ABC 的中心， ∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥，

BC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ， ∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图如图（3）-2， MN AM ⊥，MN SB //， ∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥， 故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直， ∴36)32()32()32()2(2222=++=R ，即3642=R ， ∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36 （4）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠?AB AC SA BAC 则该四面 体的外接球的表面积为（ D ）π11.A π7.B π3 10 . C π3 40.D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是 （6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和 边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为 解析：（4）在ABC ?中，7120cos 2222=??-+= BC AB AB AC BC ， 7=BC ，ABC ?的外接球直径为3 7 22 37sin 2= =∠= BAC BC r ， ∴340 4)3 72( )2()2(2222= +=+=SA r R ，340π=S ，选D （5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为c b a ,,（+∈R c b a ,,），则 (3)题-2 A

内切球和外接球例题之欧阳光明创编

高考数学中的内切球和外接球 问题 欧阳光明（2021.03.07） 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .27π. 例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为 ______________.. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .14π. 例4、（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）.C. A.16π B.20π C.24π D.32π 3.求多面体的外接球的有关问题 例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 9 8，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解设正六棱柱的底面边长为x，高为h ，则有2 63,1 , 2 9 6, 8 x x x h h = ?? = ?? ∴ ?? =? ??= ? ?∴正六棱柱的底面圆的半径1 2 r= ，球心到底面的距离 d= .∴外接球的半径 *欧阳光明*创编 2021.03.07

*欧阳光明*创编 2021.03.07 22 1R r d =+=. 43V π∴= 球. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条 侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.9π 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂 直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正 方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R ，则有 () ()()() 2 2 2 2 23339 R = ++=.∴29 4R = .故其外接球 的表面积2 49S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个 三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有222 2R a b c = ++.出现“墙角”结构 利用补形知识，联系长方体。 【例题】：在四面体 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为 ，若该四面体 的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。 解：因为：长方体外接球的直径为长方体的 体对角线长所以：四面体外接球的直径为 的长即： 所以 球的表面积为 例 6.2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A.3π B.4π C.33π D.6π 解析：一般解法，需设出球心，作出高线，