七年级上册数学全册单元试卷培优测试卷

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一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）

1．

（1）问题发现：如图 1，已知点 F，G 分别在直线 AB，CD 上，且 AB∥CD，若∠BFE=40°，∠CGE=130°，则∠GEF 的度数为________；

（2）拓展探究：∠GEF，∠BFE，∠CGE 之间有怎样的数量关系？写出结论并给出证明；答：∠GEF=▲ .

证明：过点 E 作 EH∥AB，

∴∠FEH=∠BFE（▲），

∵AB∥CD，EH∥AB，（辅助线的作法）

∴EH∥CD（▲），

∴∠HEG=180°-∠CGE（▲），

∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=▲ .

（3）深入探究：如图 2，∠BFE 的平分线 FQ 所在直线与∠CGE 的平分线相交于点 P，试探究∠GPQ 与∠GEF 之间的数量关系，请直接写出你的结论.

【答案】（1）90°

（2）解：∠GEF＝∠BFE＋180°?∠CGE，

证明：过点 E 作 EH∥AB，

∴∠FEH=∠BFE（两直线平行，内错角相等），

∵AB∥CD，EH∥AB，（辅助线的作法）

∴EH∥CD（平行线的迁移性），

∴∠HEG=180°-∠CGE（两直线平行，同旁内角互补），

∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=∠BFE＋180°?∠CGE ，

故答案为：∠BFE＋180°?∠CGE；两直线平行，内错角相等；平行线的迁移性；两直线平

行，同旁内角互补；∠BFE＋180°?∠CGE；

（3）解：∠GPQ＋∠GEF＝90°，

理由是：如图2，∵FQ平分∠BFE，GP平分∠CGE，

∴∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，

在△PMF中，∠GPQ＝∠GMF?∠PFM＝∠C GP?∠BFQ，

∴∠GPQ＋∠GEF＝∠CGE? ∠BFE＋∠GEF＝ ×180°＝90°.

即∠GPQ＋∠GEF＝90°.

【解析】【解答】（1）解：如图1，过E作EH∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EH，

∴∠HEF＝∠BFE＝40°，∠HEG＋∠CGE＝180°，

∵∠CGE＝130°，

∴∠HEG＝50°，

∴∠GEF＝∠HEF＋∠HEG＝40°＋50°＝90°；

故答案为：90°；

【分析】（1）如图1，过E作EH∥AB，根据平行线的性质可得∠HEF＝∠BFE＝40 ，∠HEG＝50 ，相加可得结论；（2）由①知：∠HEF＝∠BFE，∠HEG＋∠CGE＝180°，则∠HEG＝180°?∠CGE，两式相加可得∠GEF＝∠BFE＋180°?∠CGE；（3）如图2，根据角平

分线的定义得：∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，由三角形的外角的性质得：∠GPQ＝

∠GMF?∠PFM＝∠CGP?∠BFQ，计算∠GPQ＋∠GEF并结合②的结论可得结果.

2．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．

（1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝________；（2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON和∠CON的度数；

（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度数．

【答案】（1）25°

（2）解：∠BOC=65°，OC平分∠MOB

∠MOB=2∠BOC=130°

∠BON=∠MOB-∠MON=130°-90°=40°

∠CON=∠COB-∠BON=65°-40°=25°

（3）解：∠NOC= ∠AOM ∠AOM=4∠NOC ∠BOC=65°

∠AOC=∠AOB-∠BOC=180°-65°=115°

∠MON=90°

∠AOM+∠NOC=∠AOC-∠MON=115°-90°=25°

4∠NOC+∠NOC=25°

∠NOC=5°

∠NOB=∠NOC+∠BOC=70°

【解析】【解答】解：（1）∠MON=90，∠BOC=65°

∠MOC=∠MON-∠BOC=90°-65°=25°

【分析】（1）根据∠MON和∠BOC的度数可以得到∠MON的度数；（2）根据角平分线的性质，由∠BOC=65°，可以求得∠BOM的度数，然后由∠NOM-90°，可得∠BON的度

数，从而得解；（3）由∠BOC=65°，∠NOM=90°，∠NOC= ∠AOM，从而可求得∠NOC的

度数，然后由∠BOC=65°，从而得解.

3．已知：线段AB=30cm.

（1）如图1，点P沿线段AB自A点向B点以2厘米/秒运动，同时点Q沿线段BA自B点向A点以4厘米/秒运动，经过几秒，点P、Q两点能相遇？

（2）如图1，点P沿线段AB自A点向B点以2厘米/秒运动，点P出发3秒后，点Q沿线段BA自B点向A点以4厘米/秒运动，问再经过几秒后点P、Q两点相距6cm？

（3）如图2，AO=4cm，PO=2cm，∠POB=60°，点P绕着点O以60度/秒的速度逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，假若P、Q两点能相遇，直接写出点Q运动的速度.

【答案】（1）解：30÷(2+4)=5(秒)，

答：经过5秒，点P、Q两点能相遇.

（2）解：设再经过x秒后点P、Q两点相距6cm.

当点P在点Q左边时，2(x+3)+4x+6=30

解得x=3；

当点P在点Q右边时，2(x+3)+4x-6=30

解得x=5，

所以再经过3或5秒后点P、Q两点相距6cm；

（3）解：设点Q运动的速度为每秒xcm.

当P、Q两点在点O左边相遇时，120÷60x=30-2，

解得x=14；

当P、Q两点在点O右边相遇时，240÷60x=30-6，

解得x=6，

所以若P、Q两点能相遇点Q运动的速度为每秒14cm或6cm.

【解析】【分析】(1)根据点P、Q运动路程和等于AB求解；(2)分点P在点Q左右两边两种可能来解答；(3)分情况讨论，P、Q在点O左右两边相遇来解答.

4．如图1，已知∠AOB=140°，∠AOC=30°，OE是∠AOB内部的一条射线，且OF平分∠AOE．

（1）若∠EOB=30°，则∠COF=________；

（2）若∠COF=20°，则∠EOB=________；

（3）若∠COF=n°，则∠EOB=________（用含n的式子表示）．

（4）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，请把图补充完整；此时，∠COF与∠EOB有怎样的数量关系？请说明理由．

【答案】（1）20°

（2）40°

（3）80°-2n°

（4）如图所示：∠EOB=80°+2∠COF．

证明：设∠COF=n°，则∠AOF=∠AOC-∠COF=30°-n°，

又∵OF平分∠AOE，

∴∠AOE=2∠AOF=60°-2n°．

∴∠EOB=∠AOB-∠AOE=140°-（60°-2n°）=（80+2n）°

即∠EOB=80°+2∠COF．

【解析】【解答】（1）∵∠AOB=140°，∠EOB=30°，

∴∠AOE=∠AOB-∠EOB=140°-30°=110°，

∵OF平分∠AOE，

∴∠AOF= ∠AOE= ×110°=55°，

∴∠COF=∠AOF-∠AOC，

=55°-30°，

=25°；

故答案为：25°；

（2）∵∠AOC=30°，∠COF=20°，

∴∠AOF=∠AOC+∠COF=30°+20°=50°，

∵OF平分∠AOE，

∴∠AOE=2∠AOF=2×50°=100°，

∴∠EOB=∠AOB-∠AOE=140°-100°=40°；

故答案为：40°；

（3）∵∠AOC=30°，∠COF=n°，

∴∠AOF=∠AOC+∠COF=30°+n°，

∵OF平分∠AOE，

∴∠AOE=2∠AOF=2（30°+n°）=60°+2n°，

∴∠EOB=∠AOB-∠AOE=140°-（60°+2n°）=80°-2n°；

故答案为：80°-2n°；

【分析】（1）根据∠AOE=∠AOB-∠EOB先求出∠AOE，再根据角平分线的定义求出∠AOF，最后根据∠COF=∠AOF-∠AOC解答即可；

（2）根据∠AOF=∠AOC+∠COF先求出∠AOF，再根据角平分线的定义求出∠AOE，最后根据∠EOB=∠AOB-∠AOE解答即可；

（3）与（2）的思路相同求解即可；

（4）设∠COF=n°，先表示出∠AOF，再根据角平分线的定义求出∠AOE，最后根据∠EOB=∠AOB-∠AOE解答即可．

5．如图1，平面内一定点A在直线MN的上方，点O为直线MN上一动点，作射线OA、OP、OA′，当点O在直线MN上运动时，始终保持∠MOP=90°、∠AOP=∠A′OP，将射线OA 绕点O顺时针旋转60°得到射线OB

（1）如图1，当点O运动到使点A在射线OP的左侧，若OB平分∠A′OP，求∠AOP的度数．

（2）当点O运动到使点A在射线OP的左侧，∠AOM=3∠A′OB时，求的值．

（3）当点O运动到某一时刻时，∠A′OB=150°，直接写出∠BOP=________度．

【答案】（1）解：由题意可得：∠AOB=60°，∠AOP=∠A′OP，

∵OB平分∠A′OP，

∴∠A′OP=2∠POB，

∴∠AOP=∠A′OP=2∠POB，

∴∠AOB=∠AOP+∠POB=3∠POB=60°，

∴∠POB=20°，

∴∠AOP=2∠POB=40°

（2）解：①当点O运动到使点A在射线OP的左侧，且射线OB在在∠A′OP的内部时，如图1，

设∠A′OB=x，则∠AOM=3∠A′OB=3x，∠AOA′= ，

∵OP⊥MN，

∴∠AON=180°-3，∠AOP=90°-3x，

∴，

∵∠AOP=∠A′OP，

∴∠AOP=∠A′OP=

∴，解得：，

∴；

②当点O运动到使A在射线OP的左侧，但是射线OB在∠A′ON内部时，如图2，

设∠A′OB=x，则∠AOM=3x，∠AON= ，∠AOA′= ，

∵∠AOP=∠A′OP，

∴∠AOP=∠A′OP= ，

∵OP⊥MN，

∴∠AOP=90-∠AOM=90-3x，

∴，解得：，

∴；

（3）解：①如图3，当∠A′OB=150°时，由图可得：∠A′OA=∠A′OB-∠AOB=150°-60°=90°，又∵∠AOP=∠A′OP，∴∠AOP=45°，

∴∠BOP=60°+45°=105°；②如图4，当∠A′OB=150°时，由图可得∠A′OA=360°-150°-60°=150°，又∵∠AOP=∠A′OP，∴∠AOP=75°，∴∠BOP=60°+75°=135°；综上所述：∠BOP的度数为105°或135°.

【解析】【分析】（1）由角平分线的性质和∠ AOP=∠A′OP可得∠POB= ∠AOB，∠AOP=

∠AOB，则∠POA的度数可求解；

（2）由题意可分两种情况：

①

当点O运动到使点A在射线OP的左侧，且射线OB在在∠A′OP的内部时，由角的构成易得∠AOP= -∠AOM= -3∠A′OB，∠AOA′=+∠A′OB，由角平分线的性质可得

∠AOP=∠A′OP，于是可得关于∠A′OB的方程，解方程可求得∠A′OB的度数，则

可求解；

②

当点O运动到使A在射线OP的左侧，但是射线OB在∠A′ON内部时，同理可求解；（3）由题意可分两种情况讨论求解：①当∠A′OB沿顺时针成

150°时，结合已知条件易求解；

②

当∠A′OB沿时针方向成 150°时，结合题意易求解。

6．如图

如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的一个“二倍点”．

（1）一条线段的中点________这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）

（2）如图2，若线段AB=20cm，点M从点B的位置开始，以每秒2cm的速度向点A运动，当点M到达点A时停止运动，运动的时间为t秒．

问t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”.

（3）同时点N从点A的位置开始，以每秒1cm的速度向点B运动，并与点M同时停止．请直接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值．

【答案】（1）是

（2）解：当AM=2BM时，20﹣2t=2×2t，解得：t= ；

当AB=2AM时，20=2×（20﹣2t），解得：t=5；

当BM=2AM时，2t=2×（20﹣2t），解得：t= ；

答：t为或5或时，点M是线段AB的“二倍点”

（3）解：当AN=2MN时，t=2[t﹣（20﹣2t）]，解得：t=8；

当AM=2NM时，20﹣2t=2[t﹣（20﹣2t）]，解得：t=7.5；

当MN=2AM时，t﹣（20﹣2t）=2（20﹣2t），解得：t= ；

答：t为7.5或8或时，点M是线段AN的“二倍点”．

【解析】【解答】解：（1）因为线段的中点把该线段分成相等的两部分，

该线段等于2倍的中点一侧的线段长．

所以一条线段的中点是这条线段的“二倍点”

故答案为：是

【分析】（1）由中点可知，这条线段等于中点分出的线段的2倍，进而得出结论；（2）分三种情况：当AM=2BM时，当AB=2AM时，当BM=2AM时，分别列出方程解答即可；

（3）分三种情况：当AN=2MN时，当AM=2NM时，当MN=2AM时，分别列出方程解

7．如图，直线AB、CD相交于点O，已知，OE把分成两个角，且：：3

（1）求的度数；

（2）过点O作射线，求的度数．

【答案】（1）解：，

，

：：3，

；

（2）解：，

，

，

OF在的内部时，

，

，

，

OF在的内部时，

，

，

综上所述或

【解析】【分析】（1）根据对顶角相等得出，然后根据：：3 即可算出∠BOE的度数；

（2）根据角的和差，由算出∠DOE的度数，根据垂直的定义得出∠EOF=90°；当OF在的内部时，根据，算出答案；OF在的内部时，根据，算出但，综上所述即可得出答案。

8．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1：2的两个角的射线，叫做这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图1所示，若∠BOC=2∠AOC，则OC是∠AOB的一条三分线．

（1）如图1所示，OC是∠AOB的一条三分线，且∠BOC>∠AOC，若∠AOB=60°，求∠AOC 的度数：

（2）已知∠AOB=90°，如图2所示，若OC，OD是∠AOB的两条三分线．

①求∠COD的度数；

②现以点O为中心，将∠COD顺时针旋转n度得到∠C’DD’，当OA恰好是∠C’OD’的三分线时，求n的值．

【答案】（1）解：如图1，

∵ OC是∠AOB的一条三分线，且∠BOC＞∠AOC，

∴∠AOC= ∠AOB，

又∵∠AOB=60°，

∴∠AOC=20°

（2）解：① 如图2，

∵∠AOB=90°，OC，OD是∠AOB的两条三分线，

∴∠COD = ∠AOB =30°；

② 分两种情况：

当OA是∠C′OD＇的三分线，且∠AOD＇＞∠AOC＇时，∠AOC＇=10°，

∴∠DOC＇=30°-10°=20°，

∴∠DOD＇=20°+30°=50°；

当OA是∠C＇OD＇的三分线，且∠AOD＇＜∠AOC＇时，

∠AOC＇=20°，

∴∠DOC＇=30°-20°=10°，

∴∠DOD＇=10°+30°=40°；

综上所述，n=40°或50°

【解析】【分析】（1）根据题中给出的角的三分线的定义结合已知条件可得∠AOC=∠AOB ，计算即可得出答案.

（2）①根据题中给出的角的三分线的定义结合已知条件∠COD =∠AOB，计算即可得出答案；

②根据题意分情况讨论：当OA是∠C′OD＇的三分线，且∠AOD＇＞∠AOC＇时；当OA 是∠C＇OD＇的三分线，且∠AOD＇＜∠AOC＇时；分别结合角的三分线的定义计算即可得出答案.

9．问题情境：如图1，AB∥CD，∠A=30°，∠C=40°，求∠AEC的度数.

小明的思路是：

（1）初步尝试：按小明的思路，求得∠AEC的度数；

（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点E、F为AB、CD内部两点，问∠A、∠E、∠F和∠D 之间有何数量关系?请说明理由；

（3）应用拓展：如图3，AB∥CD，点E、F为AB、CD内部两点，如果∠E+∠EFG=160°，请直接写出∠B与∠D之问的数量关系.

【答案】（1）解：如图，过E作EM∥AB，

∵AB∥CD，∴AB∥ME∥CD，

∴∠A =∠AEM，∠C=∠CEM，

∴∠AEC=∠A+∠C=70°；

（2）解：∠A+∠EFD =∠AEF+∠D

理由如下：过点E作EM∥AB, 过点F作FN∥AB

∵AB∥CD，∴AB∥ME∥FN∥CD，

∴∠A =∠AEM，∠MEF=∠EFN,∠D=∠DFN，

∴∠A+∠EFD =∠AEF+∠D；

（3）∠B+∠D=160°

【解析】【解答】解：（3）过点E作EH∥AB，过点F作FM∥AB ，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥FM∥EH，

∴∠B=∠BEH，∠EFM=∠HEF，∠MFD+∠D=180°，

∴∠B+∠EFM+∠MFD+∠D=180°+∠BEH+∠HEF，

∴∠B+∠D+∠EFD=180°+∠BEF，

∴∠B+∠D=180°+∠BEF-∠EFD。

∵∠BEF+∠EFG=160°，

∴∠BEF+180°-∠EFD=160°，

∴∠BEF-∠EFD=-20°，

∴∠B+∠D=180°-20°=160°。

【分析】（1）添加辅助线，转化基本图形。过E作EM∥AB，利用平行线的性质可证得∠A =∠AEM，∠C=∠CEM，再证明∠AEC=∠A+∠C，继而可解答问题。

（2）添加辅助线，转化两直线平行的基本图形。过点E作EM∥AB, 过点F作FN∥AB ，利用平行线的性质可证AB∥ME∥FN∥CD，再根据两直线平行，内错角相等，可证得∠A =∠AEM，∠MEF=∠EFN,∠D=∠DFN，然后将三式相加，可证得结论。

（3）过点E作EH∥AB，过点F作FM∥AB ，结合已知可证得AB∥CD∥FM∥EH，利用两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，可证∠B=∠BEH，∠EFM=∠HEF，∠MFD+∠D=180°，再将三个等式相加，整理可得到∠B+∠D=180°+∠BEF-∠EFD，然后由∠BEF+∠EFG=160°，可推出∠BEF-∠EFD=-20°，整体代入求出∠B+∠D的值。

10．平行线问题的探索

（1）问题一：

已知：如图，AB∥CD，EF⊥AB于点O，FG交CD于点P，当∠1=30°时，求∠EFG的度数。

甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图1：

甲同学辅助线的做法和分析思路如下

辅助线：（）

分析思路

①欲求∠EFG的度数，由图可知只需转化为求∠2和∠3的度数；

②由MN∥CD可知，∠2=∠1，又由已知∠1的度数可得∠2的度数；

③由AB∥CD，MN〃CD推出AB∥MN，由此可推出∠3=∠4；

④由已知EF⊥AB，可得∠4=90°，所以可得∠3的度数；

⑤从而可求∠EFG的度数

Ⅰ.请你根据乙同学所画的图形，描述乙同学辅助线的做法

辅助线： ________ ；

Ⅱ.请你根据丙同学所画的图形，且不再添加其他辅助线，求∠EFG的度数________

（2）问题二

如图2，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，C(0，a)，D(b，a)，其中a，b满足关系式：|a+3|+(b-a+1)2=0．

①a=________，b=________ ；

②根据已知点的坐标判断AB与CD的位置关系是 ________ 。

【答案】（1）过点F作MN∥CD；如图，过O作OD∥FG，交CD于N

∴∠ONP=∠1=30°

∵AB∥CD，

∴∠BON=∠ONP=30°

∵EF⊥AB，

∴∠EOB=90°

∴∠EON=∠EOB+∠BON=90°+30°=120°

∵OD∥FG

∴∠EFG=∠EON=120°

（2）-3；-4；AB∥CD

【解析】【解答】解：(1)Ⅰ.如图2，过P作PN∥EF，交AB于N，

故答案为：过点F作MN∥CD，①过P作PN∥EF，交AB于N

( 2 )①∵|a+3|+(b-a+1)2=0，

∴a+3=0，b-a+1=0，

解得：a=-3，b=-4，

故答案为：-3，-4

②AB∥CD，理由是

∵C(0，a)，D(b，a)，

∴CD∥x轴，

∵点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上，

∴AB∥CD，

故答案为：AB∥CD

【分析】（1）Ⅰ.由图示可知辅助线的作法；

Ⅱ. 过O作OD∥FG，交CD于N，则两直线平行，内错角相等得∠ONP=∠1，AB∥CD，又由两直线平行内错角相等得∠BON=∠ONP，等量代换从而求得∠BON得度数，结合∠EOB=90°，∠EON=∠EOB与∠BON之和，求得∠EON，再由OD∥FG，根据两直线平行同位角相等求得∠EFG；

（2）根据两个非负数之和等于0，则此两个两个非负数分别等于0列式，解出a、b的值；

C点和D点的横坐标不同，纵坐标相同，则CD∥x轴，又因为点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，则AB在x轴上，因此得出AB平行CD。

11．在△ABC中，∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，且BD，CE交于点F，如图所示，用等式表示BE，BC，CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；

晓东通过观察，实验，提出猜想：BE+CD=BC，他发现先在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，再利用三角形全等的判定和性质证明CM=CD即可．

（1）下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整；

①在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，则可以证明△BEF与________全等，判定它们全等的依据是________；

②由∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，可以得出∠EFB=________°；

（2）请直接利用①，②已得到的结论，完成证明猜想BE+CD=BC的过程．

【答案】（1）△BMF；SAS；60

（2）证明：由①知，∠BFE=60°，

∴∠CFD=∠BFE=60°

∵△BEF≌△BMF，

∴∠BFE=∠BFM=60°，

∴∠CFM=∠BFC-∠BFM=120°-60°=60°，

∴∠CFM=∠CFD=60°，

∵CE是∠ACB的平分线，

∴∠FCM=∠FCD，

在△FCM和△FCD中，，

∴△FCM≌△FCD（ASA），

∴CM=CD，

∴BC=CM+BM=CD+BE，

∴BE+CD=BC．

【解析】【解答】解：（1）解：①在BC上取一点M，使BM=BE，连接FM，如图所示：

∵BD、CE是△ABC的两条角平分线，

∴∠FBE=∠FBM= ∠ABC，

在△BEF和△BMF中，，

∴△BEF≌△BMF（SAS），

故答案为：△BMF，SAS；

②∵BD、CE是△ABC的两条角平分线，

∴∠FBC+FCB= （∠ABC+∠ACB），

在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∵∠A=60°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，

∴∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°- ×120°=120°，

∴∠EFB=60°，

故答案为：60；

【分析】（1）①由BD，CE是△ABC的两条角平分线知∠FBE=∠FBC= ∠ABC，结合BE=BM，BF=BF，依据“SAS”即可证得△BEF≌△BMF；②利用三角形内角和求出∠ABC+∠ACB=120°，进而得出∠FBC+∠FCB=60°，得出∠BFC=120°，即可得出结论；（2）利用角平分线得出∠EBF=∠MBF，进而得出△BEF≌△BMF，求出∠BFM，即可判断出∠CFM=∠CFD，即可判断出△FCM≌△FCD，即可得出结论．

12．已知BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠BED =∠ABE +∠EDC.

（1）如图1，求证：AB//CD；

（2）如图2，若∠ABE=3∠ABF，且∠BFD=30°时，试求的值；

（3）如图3，若H是直线CD上一动点（不与D重合），BI平分∠HBD，画出图形，并探究出∠EBI与∠BHD的数量关系.

【答案】（1）证明：∵∠BED =∠ABE +∠EDC，∠EBD+∠BED+∠BDE=180°，∴∠ABD+∠BDC=180°，∴AB∥CD

（2）解：∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∴∠ABE=∠EBD，∠EDC=∠EDB.

∵∠ABD+∠BDC=180°，∴∠BED=∠ABE+∠EDC=90°.

设∠ABF=α，则∠ABE=3α.

如图，

过F作FG∥AB，则有：∠ABF+∠CDF=∠BFD，∴∠CDF=30°-α.

过E作EH∥AB，则有：∠ABE+∠CDE=∠BED，∴∠CDE=90°-3α，∴∠FDE=60°-2α，∴

.

（3）解：分两种情况讨论：

①当H在点D的左边时，如图3.

设∠HBI=∠DBI=x，∠EBH=y，则∠EBD=2x+y，∴∠ABE=∠EBD=2x+y.

∵AB∥CD，∴∠BHD=∠ABH=2x+y+y=2（x+y）=2∠EBI；

②当H在点D右边时，如图4.

设∠HBI=∠DBI=x，∠EBD=y，则∠EBI=x+y，∴∠ABH=2x+2y.

∵AB∥CD，∴∠ABH+∠BHD=180°，∴2x+2y+∠BHD=180°，∴∠BHD+2∠EBI=180°.

综上所述：∠BHD=2∠EBI或∠BHD+2∠EBI=180°

【解析】【分析】（1）由∠BED =∠ABE +∠EDC和三角形内角和定理即可得到∠ABD+∠BDC=180°，再由同旁内角互补，两直线平行即可得到结论；（2）由角平分线定义和∠ABD+∠BDC=180°，得到∠BED=∠ABE+∠EDC=90°.

设∠ABF=α，则∠ABE=3α，过F作FG∥AB，则有∠ABF+∠CDF=∠BFD，得到∠CDF=30°-α.过E作EH∥AB，同理可得：∠CDE=90°-3α，根据角的和差得到∠FDE=60°-2α，即可得到结论；（3）分两种情况讨论：①当H在点D的左边时，②当H在点D右边时.

13．如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°.

（1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，在（1）的结论下，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD.当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；（3）如图3，在（1）的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时（点C除外），∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？直接写出结论，其数量关系为________.

【答案】（1）解：AB∥CD；理由如下：

∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，

∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，

∵∠EAC＋∠ACE＝90°，

∴∠BAC＋∠ACD＝180°，

∴AB∥CD

（2）解：∠BAE＋∠MCD＝90°；理由如下：

过E作EF∥AB，如图2所示：

∵AB∥CD，

∴EF∥AB∥CD，

∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，

∵∠AEC＝90°，

∴∠BAE＋∠ECD＝90°，

∵∠MCE＝∠ECD

∴∠ECD＝∠MCD

∴∠BAE＋∠MCD＝90°