2020高考数学二轮复习 专题二 立体几何 第1讲 空间几何体学案
第1讲空间几何体
[考情考向分析] 1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题．
热点一三视图与直观图
1．一个物体的三视图的排列规则
俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．
2．由三视图还原几何体的步骤
一般先依据俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体．
例1 (1)(2018·全国Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
答案 A
解析由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.
(2)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．
答案2＋
2 2
解析如图，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，
则在Rt△ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°，∴BE ＝22
. 而四边形AECD 为矩形，AD ＝1， ∴EC ＝AD ＝1，∴BC ＝BE ＋EC ＝2
2
＋1. 由此可还原原图形如图所示．
在原图形中，A ′D ′＝1，A ′B ′＝2，
B ′
C ′＝
2
2
＋1， 且A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′⊥B ′C ′，
∴这块菜地的面积为S ＝1
2(A ′D ′＋B ′C ′)·A ′B ′
＝12×? ??
??
1＋1＋22×2＝2＋22. 思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．
跟踪演练1 (1)(2018·浙江省台州中学模拟)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )
答案 D
解析由正视图和俯视图得该几何体可以为一个底面为等腰三角形的三棱锥和一个与三棱锥等高，且底面直径等于三棱锥的底面等腰三角形的底的半圆锥的组合体，则其侧视图可以为D选项中的图形，故选D.
(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CD，CC1，A1B1的中点，用过点E，F，G的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为( )
答案 C
解析取AA1的中点H，连接GH，则GH为过点E，F，G的平面与正方体的面A1B1BA的交线．延长GH，交BA的延长线与点P，连接EP，交AD于点N，则NE为过点E，F，G的平面与正方体的面ABCD的交线．
同理，延长EF，交D1C1的延长线于点Q，连接GQ，交B1C1于点M，则FM为过点E，F，G的平面与正方体的面BCC1B1的交线．
所以过点E，F，G的平面截正方体所得的截面为图中的六边形EFMGHN.
故可得位于截面以下部分的几何体的侧视图为选项C所示．
热点二几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧．
例2 (1)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A ．8＋42＋8 5
B ．24＋4 2
C ．8＋20 2
D ．28
答案 A
解析 由三视图可知，该几何体的下底面是长为4，宽为2的矩形，左右两个侧面是底边为2，高为22的三角形，前后两个侧面是底边为4，高为5的平行四边形，所以该几何体的表面积为S ＝4×2＋2×1
2
×2×22＋2×4×5＝8＋42＋8 5.
(2)(2018·杭州质检)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________．
答案
14
3
π 6＋(6＋13)π 解析 由三视图知，该几何体是由四分之一球与半个圆锥组合而成，则该组合体的体积为V ＝14×43π×23＋12×13π×22
×3＝143
π， 表面积为S ＝14×4π×22＋12×π×22＋12×4×3＋12×12×2π×2×32＋22
＝6＋()6＋13π.
思维升华 (1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和． (2)求简单几何体的体积时，若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解；求组合体的体积时，若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，常用转换法、分割法、补形法等进行求解；求以三视图为背景的几何体的体积时，应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
跟踪演练2 (1)(2018·宁波期末)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r 等于( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8 答案 B
解析 由三视图得该几何体为一个半球和一个半圆柱的组合体，且半圆柱的底面和半球体的一半底面重合，则其表面积为12×4πr 2＋πr 2＋2r ×2r ＋12×2πr ×2r ＝4r 2＋5πr 2
＝16＋
20π，解得r ＝2，故选B.
(2)(2018·绍兴质检)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3
)是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6 答案 A
解析 将俯视图的对角线的交点向上拉起，结合正视图与侧视图知，此空间几何体是底面为正方形(边长2)，高为3的正四棱锥，则其体积V ＝13Sh ＝13×(2)2
×3＝2，故选A.
热点三 多面体与球
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径．球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图． 例3 (1)已知正三棱锥S －ABC 的顶点均在球O 的球面上，过侧棱SA 及球心O 的平面截三棱
锥及球面所得截面如图所示，已知三棱锥的体积为23，则球O 的表面积为( )
A ．16π
B ．18π
C ．24π
D ．32π
答案 A
解析 设正三棱锥的底面边长为a ，外接球的半径为R ， 因为正三棱锥的底面为正三角形，边长为a ， 则AD ＝32a ，则AO ＝23AD ＝33
a ， 所以
3
3
a ＝R ，即a ＝3R ， 又因为三棱锥的体积为23，
所以13×34a 2R ＝13×34×()3R 2
×R ＝23，
解得R ＝2，所以球的表面积为S ＝4πR 2
＝16π.
(2)如图是某三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为( )
A.
25π4 B.25π16 C.1 125π4 D.1 125π16
答案 D
解析 把此三棱锥嵌入长、宽、高分别为20,24,16的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，
三棱锥B －KLJ 即为所求的三棱锥，其中KC 1＝9，C 1L ＝LB 1＝12，B 1B ＝16，∴KC 1C 1L ＝LB 1
B 1B
， 则△KC 1L ∽△LB 1B ，∠KLB ＝90°， 故可求得三棱锥各面面积分别为
S △BKL ＝150，S △JKL ＝150，S △JKB ＝250，S △JLB ＝250，
故表面积为S 表＝800.
三棱锥体积V ＝1
3S △BKL ·JK ＝1 000，
设内切球半径为r ，则r ＝
3V
S 表
＝
154
， 故三棱锥内切球体积V 球＝43πr 3＝1 125π
16
.
思维升华 三棱锥P －ABC 可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形 (1)点P 可作为长方体上底面的一个顶点，点A ，B ，C 可作为下底面的三个顶点． (2)P －ABC 为正四面体，则正四面体的每条棱都可作为正方体的一条面对角线．
跟踪演练3 (1)在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，若AB ＝2，BC ＝3，PA ＝4，则该三棱锥的外接球的表面积为( ) A ．13π B．20π C．25π D．29π 答案 D
解析 把三棱锥P －ABC 放到长方体中，如图所示，
所以长方体的体对角线长为22
＋32
＋42
＝29， 所以三棱锥外接球的半径为
29
2
， 所以外接球的表面积为4π×?
??
??2922
＝29π. (2)已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为S 1，外接球的表面积为S 2，则S 1S 2
等于( )
A ．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶8 答案 C 解析 如图，
由已知圆锥侧面积是底面积的2倍，不妨设底面圆半径为r ，l 为底面圆周长，R 为母线长， 则12
lR ＝2πr 2
， 即12·2π·r ·R ＝2πr 2
， 解得R ＝2r ，
故∠ADC ＝30°，则△DEF 为等边三角形， 设B 为△DEF 的重心，过B 作BC ⊥DF ，
则DB 为圆锥的外接球半径，BC 为圆锥的内切球半径，
则BC BD ＝12，∴r 内r 外＝12，故S 1S 2＝14
.
真题体验
1．(2018·全国Ⅰ改编)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在侧视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为________．
答案 2 5
解析 先画出圆柱的直观图，根据题中的三视图可知，点M ，N 的位置如图①所示．
圆柱的侧面展开图及M ，N 的位置(N 为OP 的四等分点)如图②所示，连接MN ，则图中MN 即为
M 到N 的最短路径．ON ＝1
4
×16＝4，OM ＝2，
∴MN ＝OM 2
＋ON 2
＝22
＋42
＝2 5.
2．(2017·北京改编)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为________．
答案 2 3
解析 在正方体中还原该四棱锥，如图所示，
可知SD 为该四棱锥的最长棱． 由三视图可知，正方体的棱长为2， 故SD ＝22
＋22
＋22
＝2 3.
3．(2017·天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________． 答案 92
π
解析 设正方体的棱长为a ，则6a 2
＝18，∴a ＝ 3. 设球的半径为R ，则由题意知2R ＝a 2
＋a 2
＋a 2
＝3， ∴R ＝32.故球的体积V ＝43πR 3＝43π×? ????323＝92
π.
4．(2017·全国Ⅰ)已知三棱锥S —ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S —ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________． 答案 36π
解析 如图，连接OA ，OB .
由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径知，OA ⊥SC ，OB ⊥SC . 由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，OA ?平面SCA ， ∴OA ⊥平面SCB .
设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ， ∴三棱锥S －ABC 的体积V ＝13×12×SC ×OB ×OA ＝r
3
3，
即r 3
3＝9，∴r ＝3，∴球O 的表面积S ＝4πr 2
＝36π.
押题预测
1．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为( )
A ．16
B ．82＋8
C ．22＋26＋8
D ．42＋46＋8
押题依据 求空间几何体的表面积或体积是立体几何的重要内容之一，也是高考命题的热点．此类题常以三视图为载体，给出几何体的结构特征，求几何体的表面积或体积． 答案 D
解析 由三视图知，该几何体是底面边长为22
＋22
＝22的正方形，高PD ＝2的四棱锥P －
ABCD ，因为PD ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 是正方形，
易得BC ⊥PC ，BA ⊥PA ，
又PC ＝PD 2
＋CD 2
＝22
＋(22)2
＝23， 所以S △PCD ＝S △PAD ＝1
2
×2×22＝22，
S △PAB ＝S △PBC ＝12
×22×23＝2 6.
所以几何体的表面积为46＋42＋8.
2．在正三棱锥S －ABC 中，点M 是SC 的中点，且AM ⊥SB ，底面边长AB ＝22，则正三棱锥
S －ABC 的外接球的表面积为( )
A ．6π B．12π C．32π D．36π
押题依据 灵活运用正三棱锥中线与线之间的位置关系来解决外接球的相关问题，是高考的热点． 答案 B
解析 因为三棱锥S －ABC 为正三棱锥，所以SB ⊥AC ，又AM ⊥SB ，AC ∩AM ＝A ，AC ，AM ?平面
SAC ，所以SB ⊥平面SAC ，所以SB ⊥SA ，SB ⊥SC ，同理SA ⊥SC ，即SA ，SB ，SC 三线两两垂直，
且AB
＝
22，所以SA ＝SB ＝SC ＝2，所以(2R )2
＝3×22
＝12，所以球的表面积S ＝4πR 2
＝12π，故选B.
3．已知半径为1的球O 中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为________．
押题依据 求空间几何体的体积是立体几何的重要内容之一，也是高考的热点问题之一，主要是求柱体、锥体、球体或简单组合体的体积．本题通过球的内接圆柱，来考查球与圆柱的体积计算，命题角度新颖，值得关注． 答案
42
3
解析 如图所示，设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的侧面积为
S ＝2πr ×21－r 2
＝4πr 1－r 2
≤4π×
r 2＋(1－r 2)
2
＝2π
? ??
??
当且仅当r 2＝1－r 2，即r ＝22时取等号.
所以当r ＝
22时，V 球V 圆柱＝4π3
×13
π? ??
??222
×2＝42
3.
A 组 专题通关
1.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的正投影可能是( )
A ．①② B．①④ C．②③ D．②④ 答案 B
解析 P 点在上下底面投影落在AC 或A 1C 1上，所以△PAC 在上底面或下底面的投影为①，在前、后面以及左、右面的投影为④.
2. (2018·浙江省金丽衢十二校联考)某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图都是腰长为2的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则此四面体的最大面的面积是( )
A ．2
B ．2 2
C ．2 3
D ．4 答案 C
解析 由三视图得该几何体如图中的三棱锥A －BCD 所示，则S △ABD ＝12×(22)2
×32
＝23，
S △BCD ＝1
2×2×2＝2，S △ABC ＝S △ADC ＝12
×22×2＝22，所以最大面的面积为23，故选C.
3．(2018·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3
)是( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
答案 C
解析 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，直角梯形的上、下底边长分别为2,1，高为2，
∴该几何体的体积为V ＝2×????
??12×(2＋1)×2＝6. 故选C.
4．某几何体的正视图和侧视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是△A ′B ′C ′，如图(2)所示，其中O ′A ′＝O ′B ′＝2，O ′C ′＝3，则该几何体的表面积为( )
A ．36＋12 3
B ．24＋8 3
C ．24＋12 3
D ．36＋8 3
答案 C
解析 由题图(2)可知，该几何体的俯视图是一个底面边长为4，高为23的等腰三角形，即
该三角形为等边三角形，在如图所示的长方体中，长、宽、高分别为4,23，6，三视图还
原为几何体是图中的三棱锥P－ABC，且S△PAB＝S△PBC＝1
2
×4×6＝12，S△ABC＝
1
2
×4×23＝43，
△PAC是腰长为52，底边长为4的等腰三角形，S△PAC＝8 3.综上可知，该几何体的表面积为2×12＋43＋83＝24＋12 3.故选C.
5.已知如图所示的三棱锥D－ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB＝3，AC＝3，BC＝CD＝BD＝23，则球O的表面积为( )
A．4π B．12π
C．16π D．36π
答案 C
解析如图所示，∵AB2＋AC2＝BC2，∴∠CAB为直角，即△ABC外接圆的圆心为BC的中点O′.△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，则球心在过△DBC的圆面上，即△DBC的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合，易得球半径R＝2，球的表面积为S＝4πR2＝16π，故选C.
6．已知正四棱锥P－ABCD的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为2，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为( )
A.124π
3
B.
625π
81
C.
500π
81
D.
256π
9
答案 C
解析如图所示，设底面正方形ABCD的中心为O′，正四棱锥P－ABCD的外接球的球心为O，
∵底面正方形的边长为2， ∴O ′D ＝1，
∵正四棱锥的体积为2， ∴V P －ABCD ＝13×(2)2
×PO ′＝2，
解得PO ′＝3，
∴OO ′＝|PO ′－PO |＝|3－R |，
在Rt△OO ′D 中，由勾股定理可得OO ′2
＋O ′D 2
＝OD 2
， 即(3－R )2
＋12
＝R 2
， 解得R ＝5
3
，
∴V 球＝43πR 3＝43π×? ??
??533＝
500π81.
7．在三棱锥S －ABC 中，侧棱SA ⊥底面ABC ，AB ＝5，BC ＝8，∠ABC ＝60°，SA ＝25，则该三棱锥的外接球的表面积为( ) A.64
3π B.2563
π C.436
3
π D.
2 0483
27
π 答案 B
解析 由题意知，AB ＝5，BC ＝8，∠ABC ＝60°， 则在△ABC 中，由余弦定理得
AC 2＝AB 2＋BC 2－2×AB ×BC ×cos∠ABC ，
解得AC ＝7，
设△ABC 的外接圆半径为r ，则 △ABC 的外接圆直径2r ＝
AC
sin∠ABC
＝
732
，∴r ＝
73
，
又∵侧棱SA ⊥底面ABC ，
∴三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离d ＝1
2
SA ＝5，则外接球的半径R ＝
? ??
??732＋()52＝643，则该三棱锥的外接球的表面积为S ＝4πR 2
＝2563
π. 8．某几何体的正视图和俯视图如图所示，在下列图形中，可能是该几何体侧视图的图形是________．(写出所有可能的序号)
答案 ①②③
解析 如图a 三棱锥C －ABD ，正视图与俯视图符合题意，侧视图为①； 如图b 四棱锥P －ABCD ，正视图与俯视图符合题意，侧视图为②； 如图c 三棱锥P －BCD ，正视图与俯视图符合题意，侧视图为③.
9．如图1所示是一种生活中常见的容器，其结构如图2，其中ABCD 是矩形，ABFE 和CDEF 都是等腰梯形，且AD ⊥平面CDEF ，现测得AB ＝20 cm ，AD ＝15 cm ，EF ＝30 cm ，AB 与EF 间的距离为25 cm ，则几何体EF －ABCD 的体积为________cm 3
.
答案 3 500
解析 在EF 上，取两点M ，N (图略)，分别满足EM ＝NF ＝5，连接DM ，AM ，BN ，CN ，则该几何体就被分割成两个棱锥和一个棱柱，根据柱、锥体的体积公式以及题中所给的相关量，可以求得V ＝12×20×15×20＋2×13×1
2
×20×15×5＝3 500.
10. (2018·浙江省杭州二中等五校联考)一个三棱锥的三视图如图所示，则其表面积为________，其外接球的体积为________．
答案 26＋234
1252
3
π 解析 由三视图得该几何体是一个底面为直角边分别为3,4的直角三角形，高为5的三棱锥，且三棱锥的顶点在底面的投影为底面直角三角形中边长为4的直角边所对的顶点，则其表面积为12×3×4＋12×3×5＋12×5×5＋1
2
×34×4＝26＋234，其外接球的半径为
? ????522＋? ????32＋42
22＝522，则外接球的体积为43π×? ??
??5223＝12523π. 11．(2018·全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为7
8，SA 与圆锥底面
所成角为45°，若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________． 答案 402π
解析 如图，∵SA 与底面所成角为45°，
∴△SAO 为等腰直角三角形． 设OA ＝r ，则SO ＝r ，SA ＝SB ＝2r . 在△SAB 中，cos∠ASB ＝7
8，
∴sin∠ASB ＝
158
， ∴S △SAB ＝1
2SA ·SB ·sin∠ASB
＝12(2r )2·158＝515， 解得r ＝210，
∴SA ＝2r ＝45，即母线长l ＝45，
∴S 圆锥侧＝πr ·l ＝π×210×45＝402π.
12．已知二面角α－l －β的大小为π
3
，点P ∈α，点P 在β 内的正投影为点A ，过点A 作
AB ⊥l ，垂足为点B ，点C ∈l ，BC ＝22，PA ＝23，点D ∈β，且四边形ABCD 满足∠BCD ＋
∠DAB ＝π.若四面体PACD 的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为________． 答案 86π
解析 ∵∠BCD ＋∠DAB ＝π， ∴A ，B ，C ，D 四点共圆，直径为AC . ∵PA ⊥平面β，AB ⊥l ，∴易得PB ⊥l ， 即∠PBA 为二面角α－l －β的平面角， 即∠PBA ＝π
3，
∵PA ＝23，∴BA ＝2， ∵BC ＝22，∴AC ＝2 3. 设球的半径为R ，则23－
R 2－()32＝R 2－()32，
∴R ＝6，V ＝4π3
(6)3
＝86π.
B 组 能力提高
13．若四棱锥P －ABCD 的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为( )
A.
81π5 B.81π20 C.101π5 D.101π
20
答案 C
解析 根据三视图还原几何体为一个四棱锥P －ABCD ，如图所示，平面PAD ⊥平面ABCD ，
由于△PAD 为等腰三角形，PA ＝PD ＝3，AD ＝4，四边形ABCD 为矩形，CD ＝2，过△PAD 的外心
F 作平面PAD 的垂线，过矩形ABCD 的中心H 作平面ABCD 的垂线，两条垂线交于一点O ，则O
为四棱锥外接球的球心，在△PAD 中，cos∠APD ＝32
＋32
－42
2×3×3＝19，则sin∠APD
＝45
9，
2PF ＝
AD
sin∠APD ＝4459
＝955，
PF ＝95
10
，
PE ＝9－4＝5，OH ＝EF ＝5－9510＝5
10
， BH ＝
1
2
16＋4＝5， OB ＝OH 2＋BH 2＝
5100＋5＝50510
， 所以S ＝4π×505100＝101π
5
.
14.如图所示，正方形ABCD 的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则正四棱锥侧面积的取值范围为( )
A ．(1,2)
B ．(1,2]
C ．(0,2]
D ．(0,2)
答案 D
解析 设四棱锥一个侧面为△APQ ，∠APQ ＝x ，过点A 作AH ⊥PQ ，
则AH ＝12PQ ×tan x ＝AC －PQ 2＝22－PQ
2
＝2－1
2
PQ ，
∴PQ ＝221＋tan x ，AH ＝2tan x
1＋tan x
，
∴S ＝4×1
2×PQ ×AH ＝2×PQ ×AH
＝2×221＋tan x ×2tan x
1＋tan x
＝
8tan x (1＋tan x )2
，x ∈????
??π4，π2，
∴tan x >0， ∴S ＝8tan x (1＋tan x )2＝8tan x
1＋tan 2
x ＋2tan x ＝
8
1tan x
＋tan x ＋2≤82＋2
＝2， ? ??
??当且仅当tan x ＝1，即x ＝π4时取等号， 而tan x >0，故S >0，
∵S ＝2时，△APQ 是等腰直角三角形，
顶角∠PAQ ＝90°，阴影部分不存在，折叠后A 与O 重合，构不成棱锥， ∴S 的取值范围为(0,2)，故选D.
15．(2018·宁波模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为________，该三棱锥的外接球的体积为________．
答案 4＋3＋15
205
3
π 解析 由三视图得几何体的直观图如图所示，
∴S 表＝2×12×2×2＋12×23×5＋1
2
×23×1
立体几何空间角
D C 1 A 1 B 1 C 1 D B C A D 立体几何专题----空间角 知识点归纳 1、异面直线所成的角 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′ 与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角). a b 注1：异面直线所成的角的范围( 0O , 90O ] 注2：如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b 注3：在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等) 2 、直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角 （1）一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 （2）一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0 ?的角 （3）直线和平面所成角的范围是[0?，90?] 3、二面角: 如右图在二面角的棱l取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则 叫做二面角的平面角. 注：①二面角的平面角的大小与O点位置_____ _。 ②二面角的平面角的范围是_______ 。 ③平面角为______的二面角叫做直二面角。 试题探究： 1、如图：表示正方体 1 1 1 1 D C B A ABCD-， 求异面直线 1 1 CC BA和所成的角。 2、空间四边形ABCD中，2 AD BC ==，,E F分别是, AB CD的中点，3 EF=， 求异面直线, AD BC所成的角。 3、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中，试求直线 1 BD与平面ABCD所成的角. 4、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中，求直线 11 A C与截面 11 ABC D所成的角. 5、将一副三角板如图拼接,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,∠BDC=60°,且平面ABC⊥平面BCD, (1)求证:平面ABD⊥平面ACD;(2)求二面角A-BD-C的正切值;(3)求异面直线AD与BC所成角的余弦值. a′O b′ a P α O A O A B D C A 1 B 1 C 1 D A F E D B A B D B 1 A 1 C 1 D 1
近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总
高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值
立体几何中用传统法求空间角
-立体几何中的传统法求空间角 知识点： 一．异面直线所成角：平移法 二．线面角 1.定义法：此法中最难的是找到平面的垂线.1.）求证面垂线，2）.图形中是否有 面面垂直的结构，找到交线，作交线的垂线即可。 2.用等体积法求出点到面的距离sinA=d/PA 三．求二面角的方法 1、直接用定义找，暂不做任何辅助线； 2、三垂线法找二面角的平面角. 例一：如图,在正方体错误！未找到引用源。中,错误！未找到 引用源。、错误！未找到引用源。分别是错误！未找到引用 源。、错误！未找到引用源。的中点,则异面直线错误！未 找到引用源。与错误！未找到引用源。所成的角的大小是 ______90______. 考向二线面角 例二、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩 形，AD⊥PD，BC=1， ，PD=CD=2. （I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（II）证明平面PDC⊥平面ABCD； （III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。 N A 1
练 习 ： 如图 ， 在 三棱锥 P ABC -中， PA ⊥底面 ,, 60,A B C P A A B A B C B C A ?? =∠=∠=， 点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且//DE BC （Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ； （Ⅱ）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值； （Ⅰ）∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC . 又90BCA ? ∠=，∴AC ⊥BC . ∴BC ⊥平面PAC . （Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，
∴1 2 DE BC = ， 又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E . ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角， ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB ，又PA=A B ， ∴△ABP 为等腰直角三角形，∴ AD AB = ， ∴在Rt △ABC 中，60ABC ? ∠=，∴1 2 BC AB = . ∴在Rt △ADE 中，sin 24 DE BC DAE AD AD ∠= ==， 考向三： 二面角问题 在图中做出下面例题中二面角 例三：.定义法（2011广东理18） 如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60?，PA PD == E,F 分别是BC,PC 的中点． （1） 证明：AD ⊥平面DEF; （2） 求二面角P-AD-B 的余弦值． 法一：（1）证明：取AD 中点G ，连接PG ，BG ，BD 。 因PA=PD ，有PG AD ⊥，在ABD ?中，1,60AB AD DAB ==∠=?，有ABD ?为 等边三角形，因此,BG AD BG PG G ⊥?=，所以AD ⊥平面 PBG ,.AD PB AD GB ?⊥⊥ 又PB//EF ，得AD EF ⊥，而DE//GB 得AD ⊥DE ，又FE DE E ?=，所以AD ⊥ 平面DEF 。
高考数学复习-第十二讲--立体几何之空间角
第十二讲 立体几何之空间角 一、基本知识回顾 空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 1） 异面直线所成角 1.022.π??? ? ???????????范围：，平移相交（找平行线替换）求法：向量法??? ??20π， 2） 直线与平面所成角 1.π???????????????? 范围0，2定义2.求法向量法?? ? ? ??2,0π n m n m ??=arcsin θ 若n m ⊥则α//a 或α?a 若n m //则α⊥a 3） 二面角[]1.0.2.π??? ?????? ?? ???? ???? ?????? 范围：定义法（即垂面法）作二面角平面角的方法：三垂线定理及逆定理垂线法 直接法3.求二面角大小的方法射影面积法向量法 θcos S S =' (S 为原斜面面积,S '为射影面积,θ为斜面与射影所成锐二面角的平面 角) 当θ为锐角时，n m n m ??=arccos θ 当θ为锐角时，n m n m ??-=arccos πθ
二、例题讲解 1.在正三棱柱 111 ABC A B C -中，若 1 2, AB BB =求 1 AB与B C 1 所成的角的大小。 解：法一：如图一所示， 设O为C B 1 、B C 1 的交点，D AC 为的中点，则所求角是DOB ∠。 设 1 ,2 BB a AB a == 则，于是在DOB ?中， 1 222 1 1336 ,2, 2222 13 ,, 2 OB BC a BD a a OD AB a BD OB OD ==== ===+ 即90, DOB ∠=?∴? = ∠90 DOB 法二：取 11 A B的中点O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系, xyz O-AB 2 1 的长度单位，则由
文科立体几何面角二面角专题-带答案
文科立体几何线面角二面角专题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 2．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． 3．（2018年浙江卷）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1； （Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值． 4．如图，在三棱柱中，点P，G分别是，的中点，已知⊥平面 ABC，==3，==2. （I）求异面直线与AB所成角的余弦值； （II）求证：⊥平面； （III）求直线与平面所成角的正弦值. 5．如图，四棱锥，底面是正方形，，，，分别是，的中点.
（1）求证； （2）求二面角的余弦值. 6．如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等.，，分别为棱，，的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求直线与直线所成角的正弦值. 7．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠AB D=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF． （Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BDEF； （Ⅱ）若二面角C BF D的大小为60°，求CF与平面ABCD所成角的正弦值． 8．如图，在四棱锥中，平面，，，
，点是与的交点，点在线段上，且. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 9．在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，，，， （1）求证：平面平面； （2）设为线段上一点，，求二面角的平面角的余弦值. 10．如图，在多面体中，四边形为等腰梯形，，已知，，，四边形为直角梯形，，. （1）证明：平面，平面平面；
最新-江苏高考数学立体几何真题汇编
A B C D E F 2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编 （2008年第16题） 在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD （2）平面EFC ⊥平面BCD 证明：（1） ??? E ， F 分别为AB ，BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ，EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD （2）? ?????CB ＝CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ?? AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD ， 所以平面EFC ⊥平面BCD
B C? （2009年第16题） 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C . 求证：（1）EF∥平面ABC （2）平面A1FD⊥平面BB1C1C 证明：（1）由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC， 因为EF?平面ABC，BC?平面ABC，所以EF∥平面ABC （2）由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1， 又A1D?平面A1B1C1，故CC1⊥A1D， 又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1、B1C?平面BB1C1C 故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD， 故平面A1FD⊥平面BB1C1C
P A B C D D P A B C F E （2010年第16题） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ， ∠BCD ＝90°． （1）求证：PC ⊥BC ； （2）求点A 到平面PBC 的距离． 证明：（1）因为PD ⊥平面ABCD ， BC ?平面ABCD ，所以PD ⊥BC ． 由∠BCD ＝90°，得CD ⊥BC ， 又PD ∩DC ＝D ，PD 、DC ?平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD ． 因为PC ?平面PCD ，故PC ⊥BC ． 解：（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则： 易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等． 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍． 由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD ＝DC ，PF ＝FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F ． 易知DF ＝ 2 2 ，故点A 到平面PBC 的距离等于2． （方法二）等体积法：连接AC ．设点A 到平面PBC 的距离为h ． 因为AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，所以∠ABC ＝90°． 从而AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1． 由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P —ABC 的体积V ＝13S △ABC ×PD ＝ 1 3 ． 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ?平面ABCD ，所以PD ⊥DC ． 又PD ＝DC ＝1，所以PC ＝PD 2＋DC 2＝2． 由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝ 2 2 ． 由V A ——PBC ＝V P ——ABC ，13S △PBC ×h ＝V ＝ 1 3 ，得h ＝2， 故点A 到平面PBC 的距离等于2．
立体几何之空间角(经典)
中小学1对1课外辅导专家 武汉龙文教育学科辅导讲义 授课对象 冯芷茜 授课教师 徐江鸣 授课时间 2013-9-19 授课题目 立体几何中的空间角 课 型 复习课 使用教具 讲义、纸、笔 教学目标 熟悉高考中立体几何题型的一般解法 教学重点和难点 重点：运用空间直角坐标系的方法解决立体几何问题 难点：二面角,线面角的空间想象能力 参考教材 人教版高中教材 高考考纲 历年高考真题 教学流程及授课详案 【知识讲解】 空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形） （1）异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。异面直线所成角的范围：o o 900≤<α； 注意：若异面直线中一条直线是三角形的一边，则平移时可找三角形的中位线。有的还可以 通过补形，如：将三棱柱补成四棱柱；将正方体再加上三个同样的正方体，补成一个底面是正方形的长方体。 （2）线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成的角为o 0； ②线面垂直：线面所成的角为o 90； ③斜线与平面所成的角：范围o o 900<<α；即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。 （3）二面角：关键是找出二面角的平面角。方法有：①定义法；②三垂线定理法；③垂面法； 注意：还可以用射影法：S S ' cos =θ；其中θ为二面角βα--l 的大小，S 为α内的一个封 闭几何图形的面积；'S 为α内的一个封闭几何图形在β内射影图形的面积。一般用于解选择、填空题。 时 间 分 配 及 备 注
【题海拾贝】 例1在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点． EF平面P AD； （1）求证：// （2）当平面PCD与平面ABCD成多大二面角时， EF平面PCD？ 直线 例2已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC = AD = CD = DE = 2a，AB = a， F为CD的中点. （Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE； （Ⅱ）求异面直线AC，BE所成角余弦值； （Ⅲ）求面ACD和面BCE所成二面角的大小.
建立空间直角坐标系-解立体几何题
建立空间直角坐标系，解立体几何高考题 立体几何重点、热点： 求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等． 常用公式： 1 、求线段的长度： 222z y x AB ++==()()()2 12212212z z y y x x -+-+-= 2、求P 点到平面α的距离： PN = ，（N 为垂足，M 为斜足，为平面α的法向量） 3、求直线l 与平面α所成的角：|||||sin |n PM ?= θ，(l PM ?,α∈M ,为α的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角：cos = θ 5、求二面角的平面角θ：|||||cos |21n n ?= θ，（ 1n ，2n 为二面角的两个面的法向量） 6、求二面角的平面角θ：S S 射影 = θ cos ，（射影面积法） 7、求法向量：①找；②求：设, 为平面α内的任意两个向量，)1,,(y x =为α的法向量， 则由方程组?????=?=?0 n b n a ，可求得法向量．
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