《复变函数》 期末试卷及答案(A卷)
《复变函数》试卷 第1页（共4页） 《复变函数》试卷 第2页（共4页）
XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试
复变函数 试卷
一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。）
1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im
2.函数2
)(z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B.处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0=z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析
3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b
a b
a --1的值 ( )
A.大于1
B.等于1
C.小于1
D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0
5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin
π=?dz z z
C n
，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2
6.0=z 是2
1
)(
z e z f z -=的 ( )
A.1阶极点
B.2阶极点
C.
可去奇点 D.本性奇点
7.幂级数!2)1(0
n z n n
n n
∑∞
=-的和函数是 ( )
A.z
e - B.2
z
e C.2
z e
-
D.z sin
8.设C 是正向圆周 2=z ，则
=?C z dz
2 ( )
A.0
B.i 2π-
C.i π
D.i 2π
9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<- 的充要条件是 ( ) A.a z f z z =→)(lim 0 （a 为复常数） B.∞=→)(lim 0 z f z z C.)(lim 0 z f z z →不存在 D.以上都对 10. z ln 在1=z 处的泰勒级数展开式为 ( ) A.11 ,1)1() 1(11<-+--+∞ =∑z n z n n n B.11 ,)1()1(1 <---∑∞ =z n z n n n C.11 ,1)1() 1(10<-+--+∞ =∑z n z n n n D.11 ,)1()1(0 <---∑∞=z n z n n n 二、填空题(本大题共5小题，每题3分，共15分) 11.i 21+=z 的共轭复数=z ________ . 12.设)i 2)(i 32(+--=z ，则=z arg ________ . 13.在复平面上，函数)2(i )(2 2 2 y xy x y x z f -+--=在直线 ________ 上可导. 14.设C 是正向圆周1=z ，则 =?dz z z C 5cos ________ . 15.若级数∑∞ =1 n n z 收敛，而级数 ∑∞ =1 n n z 发散，则称复级数 ∑∞ =1 n n z 为 ________ . 学号（最后两位） 总分 题号 一 二 三 四 统分人 题分 30 20 30 30 复查人 得分 得分 评卷人 复查人 得分 评卷人 复查人 系别 专业 姓名 班级 学号和姓名务必正确清楚填写。因填写错误或不清楚造成不良后果的，均由本人负责；如故意涂改、乱写的，考试成绩视为无效。 答 题 请 勿 超 过 此 密 封 线 ， 否 则 视 为 无 效 。 《复变函数》试卷 第3页（共4页） 《复变函数》试卷 第4页（共4页） 三、计算题(本大题共5小题，每小题8分，共40分) 16.利用柯西-黎曼条件讨论函数z z f =)(的解析性. 17.判断数列1 i 2017++=n n z n 的收敛性. 若收敛，求出其极限. 18.求在映射2 z w =下，z 平面上的直线t z )i 2(+=被映射成w 平面上的曲线的方程. 19.求z e 在0=z 处的泰勒展开式. 20.计算积分dz z ? +i 10 2. 三、证明题(本大题共1小题，每小题15分，共15分) 21.试证明柯西不等式定理:设函数)(z f 在圆R z z C =-0:所围的区域内解析，且在C 上连续，则 ,...)2,1( ! )(0)(=≤ n R Mn z f n n 其中M 是)(z f 在C 上的最大值. 得分 评卷人 复查人 得分 评卷人 复查人 《复变函数》试卷 第5页（共4页） 《复变函数》试卷 第6页（共4页） XXXX 学院2016-2017学年度第一学期期末考试 复变函数答案（A 卷） 一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1－5 C C B B D 6-10 A C A B C 二、单项选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 11. i 21- 12. 8arctan -π 13. 2 1 =y 14.i 2π 15.条件收敛 三、计算题（本大题共5小题，每小题8分，共40分） 16. 解：因y x z z f i )(-==，故 y y x v x y x u -==),( ,),(，从而 ,1 ,0 ,0 ,1-=??=??=??=??y u x u y u x u 因此在任何点),(y x 处，y v x u ??≠??，所以)(z f 在复平面内处处不解析。 17. 解： i 1 120161i 1602+++=++=n n n n n z n 而 )( 11 012016∞→→+→+n n n n ， 所以 i lim =∞→n n z 18. 解：直线t z )i 2(+=的参数方程为 )( , 2∞<<-∞?? ?==t t y t x 在2z w =映射下，该直线被映射成w 平面上的曲线 2222)i 43()i 2(t t z w +=+== 于是 ,4 ,32 2t v t u == 消去t ，得 )0( 3 4 ≥=u u v 这是w 平面上第一象限内的一条半直线。 19. 解：因为,...)2,1,0()()(==n e e z n z ，其展开式中泰勒系数为 ! 1!)0()(n n f c n n == 于是 z e 在0=z 处的泰勒展开式为 ???++???+++==∑∞ =!!21! 0n z z z n z e n n n n z 20. 解：）（）（i 13 2i 131|313 i 103i 102+-=+==++?z dz z 五、证明题（本大题15分） 21. 证：由假设条件及高阶导数公式，有 ,...)2,1( ) () (i 2!)(100)(=-= ?+n dz z z z f n z f C n n π 于是 ,...)2,1( ! 22!,...)2,1( )(2! )(1110 0) (==??≤=-≤+++?n R Mn R R M n n dz z z z f n z f n n C n n πππ 证毕。 第一章 复数的运算与复平面上的拓扑 1.复数的定义 一对有序实数（x,y ）构成复数z x iy =+,其中()()Re ,Im x z y z ==.21i =-， X 称为复数的实部，y 称为复数的虚部。 复数的表示方法 1） 模： z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值 ()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与 arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? 4）若 12 1122,i i z z e z z e θθ==, 则 () 121212i z z z z e θθ+=； ()121122 i z z e z z θθ-= 5.无穷远点得扩充与扩充复平面 复平面对内任一点z , 用直线将z 与N 相连, 与球面相交于P 点, 则球面上除N 点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系, 而N 点本身可代表无穷远点, 记作∞.这样的球面称作复球面 这样的球面称作复球面. 扩充复平面---引进一个“理想点”: 无穷远点 ∞ 复平面的开集与闭集 复平面中领域，内点，外点，边界点，聚点，闭集等概念 复数序列的极限和复数域的完备性 复数的极限，，柯西收敛定理，魏尔斯特拉斯定理，聚点定理等从实数域里的推广，可以结合实数域中的形式来理解。 第二章 复变量函数 1.复变量函数的定义 1）复变函数的反演变换（了解） 2）复变函数性质 反函数 有界性 周期性， 3）极限与连续性 极限： 连续性 2.复变量函数的形式偏导 1）复初等函数 ). ( ),( , , , , . z f w z w iv u w z G iy x z G =+=+=记作复变函数简称的函数是复变数那末称复变数之对应与就有一个或几个复数每一个复数中的对于集合按这个法则个确定的法则存在如果有一的集合是一个复数设. )( )(,)0(0 )( ,0 , , 0 )( 0000时的极限趋向于当为那末称有时使得当相应地必有一正数对于任意给定的存在如果有一确定的数内的去心邻域定义在设函数z z z f A A z f z z A z z z z f w ερδδεδερ<-≤<<-<><-<= . )( , )( . )( ),()(lim 000 内连续在我们说内处处连续在区域如果处连续在那末我们就说如果D z f D z f z z f z f z f z z =→ 中南大学考试试卷(A) 2008--2009学年第二学期 时间110分钟 复变函数与积分变换课程40学时2.5学分 考试形式：闭卷 专业年级：教改信息班 总分100分，占总评成绩70 % 注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上 一、单项选择题（15分，每小题3分） 1． 下列方程中，表示直线的是（ ）。 ()()()()()()()254(54)54(54)1 12R e 1 A i z i z z z B i z i z C z i z i D z z z -++ =-++=-++= =- 2． 函数222()()(2)f z x y x i xy y =--+-在（ ）处可导。 ()()()()22A B x C y D ==全平面 处处不可导 3． 下列命题中，不正确的是（ ）。 ()()()()()()()()()0R e s ,0I m 1.z z A f z f z B f z D z f z D C e i D z e i ωπω∞∞ =-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数 ,则在内解析. 幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆 4． 下列级数绝对收敛的是（ ）。 ()()()() ()2 2111 1112n n n n n n n i i i A B C i D n n n ∞∞ ∞ ∞ ====?? ++ ?? ?∑ ∑∑∑ 5． 设()f z 在01z <<内解析且()0 lim 1z zf z →=，那么()() Res ,0f z =（ ）。 ()()()()22 11 A i B i C D ππ-- 二、填空题（15分，每空3分） 1．()Ln 1i -的主值为 。 2．函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。 3． ()1 sin z z z e z dz =-=? 。 4． 函数()ln 1z +在0z =处的泰勒展开式 。 5． 幂级数()1 1n n z n ∞ =-∑ 的收敛半径为 。 三．(10分)求解析函数f z u iv ()=+，已知22,()1u x y xy f i i =-+=-+。 四．(20分)求下列积分的值 1． () 2 2 4 1z z e dz z z =-? 2． ()2 sin 0x x dx a x a +∞ >+? 五．(15分)若函数()z ?在点解析，试分析在下列情形： 1．为函数()f z 的m 阶零点； 2．为函数()f z 的m 阶极点； 求()()()0Res ,f z z z f z ??? '??? ?。 六．（15分）试求()2 1 1f z z = +以z i =为中心的洛朗级数。 七．（10分）已知单位阶跃函数()0 01 t u t t >?=? sh ēng d òng zu ǒ y òu b ěi j īng yu ǎn j ìn y ǐ j īng sh ēn t ǐ 期末综合测试卷 时间：60分钟，满分100分 题号 一 二 三 四 总分 得分 一、基j ī础ch ǔ知zh ī识sh í 。（61分） 1.把b ǎ 词c í 语y ǔ 和h é对du ì应y ìn ɡ的de 音y īn 节ji é连li án 起q ǐ来l ái 。（5分） 告诉 有趣 微笑 瓢虫 棉花 pi áo ch óng w ēi xi ào mi án hu ā g ào s ù y ǒu q ù 2.读d ú拼p īn 音y īn ，写xi ě词c í 语y ǔ 。（16分） 3.选xu ǎn 字z ì 组z ǔ 词c í 。（5分） 睛 情 晴 清 请 4.读d ú 句j ù 子z ǐ写xi ě同t ón ɡ音y īn 字z ì 。（3分） ch ūn f ēng c ǎo f áng ___水 ___天 心___ ___问 眼___ （1）同学们正（ ）写作业。 （2）现（ ），人们的生活水平越来越好了。 （3）我要去上学了，我跟妈妈说（ ）见。 5.比b ǐ 一y ì 比b ǐ ，再z ài 组z ǔ 词c í 。（8分） 清（ ） 快（ ） 洋（ ） 真（ ） 请（ ） 块（ ） 样（ ） 直（ ） 6.选xu ǎn 字z ì填ti án 空k ōn ɡ。（4分） 呢 吗 吧 呀 （1）你要干什么去（ ）？ （2）你去过上海（ ）？ （3）我的小刀哪儿去了（ ）？ （4）我们一起做游戏（ ）！ 7.按àn 查ch á字z ì典di ǎn 的de 内n èi 容r ón ɡ填ti án 空k ōn ɡ。（9分） 8.给ɡěi 下xi à列li è句j ù 子z ǐ加ji ā标bi āo 点di ǎn 。（5分） (1)小鸟飞的真低呀（ ） (2)你作业写了吗（ ） 复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.2 1i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? 复变函数试题汇总 ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期： ? 《复变函数》考试试题(一） 一、 判断题（2０分）: 1.若ｆ(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(ｚ)在ｚ0解析． （ ) 2. 有 界 整 函 数 必 在 整 个 复 平 面 为 常 数 . ( ） ３ . 若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. （ ) 4．若ｆ(z)在区域Ｄ内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)((常数）. ( ) ５.若函数ｆ(z)在z ０处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ） 6.若 z 0是 )(z f 的 m 阶零点，则 z 0是 1/ )(z f 的 m 阶极 点． （ ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z ０ 是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域 D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈?≠. （ ） 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . 10.若函数f （z ）在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f （ｚ)在区域D 内恒等于常数.( ） 二．填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz ＿__＿______.(n 为自然数) 2. =+z z 22cos sin ____＿____. 3．函数z sin 的周期为_________＿＿． 人教版六年级数学上册 期末测试卷 （时间：90分钟总分：100分） 一、选择题（10分） 1. 甲数是100，比乙数多20，甲数比乙数多（）。 A、25% B、125% C、16.7 D.20% 2. 若a是非零自然数，下列算式中的计算结果最大的是（）。 A. a ×5 8 B. a÷ 5 8 C. a ÷ 3 2 D. 3 2 ÷a 3. 已知a的1 4 等于b的 1 5 （a、b均不为0），那么（）。 A、a=b B、 a 〉b C、 b〉a D. 无法判断 4. 一个长方形的周长是32厘米，长与宽的比是5：3，则这个长方形的面积是（）平方厘米。 A、16 B、60 C、30 D. 15 5. 一根绳子剪成两段，第一段长3 7 米，第二段占全长的 3 7 ，两段相比（）。 A. 第一段长 B. 第二段长 C. 一样长 D. 无法确定 6. 要表示出陈老师家今年六月份各项生活支出占月总收入的百分比情况，用（）统计图比较合适。 A.扇形 B.折线 C.条形 7. 一种商品原价1000元，第一季度售价比原价降低10%，第二季度售价比第一季度再降低10%，第二季度的售价是（）元。 A.800 B.810 C.900 8. 如果x、y互为倒数，那么“xy+3”的计算结果是（）。 A.3 B.4 C.不能确定 9. 六（2）班有男生25人，比女生多5人，男生人数比女生人数多百分之几？ 正确的列式是（）。 A.（25-5）÷25 B.5÷（25+5） C.5÷（25-5） 10. 把一个圆平均分成32份，然后剪开，拼成一个近似的长方形，这个转化过程中（）。 A.周长、面积都没变 B.周长没变，面积边了 C.周长变了，面积没变 二、判断题（对的打“√”，错的打“×”）。（5分） 1、50厘米=50%厘米。（） 2、0.2和5互为倒数。（） 3、环形是轴对称图形，它只有一条对称轴。（） 4、一个圆的半径扩大3倍，这个圆的面积扩大6倍。（） 5、生产120个零件，全部合格，合格率是120%。（） 三、填空题（20分） 1、45分=（）小时 450千克=（）吨。 2、25%的计数单位是（），它有（）这样的计数单位，再加上（）个这样的计数单位就等于1。 3、225：45化成最简整数比是（），比值是（）。 4、在一个长10cm宽8cm的长方形内画一个最大的圆，这个圆的周长是（）cm ,面积是（）cm2 。 5、把3米长的铁丝平均分成5段，每段是（）米，每段占全长的（）%。 6、（）千克的25%是12千克，比4.5米长三分之一的是（）米。 7、大圆的半径等于小圆的直径，大圆与小圆的周长比是（）， 大圆与小圆的面积比是（）。 8、某班男生与女生的比是4：5，那么男生是女生的（）%，女生比男生多（）%。 9、在一个长25厘米，宽20厘米的长方形铁片上切下一个最大的圆，这个圆的半径是（）厘米，面积是（）平方厘米。 《复变函数论》期末考试试题-A 卷答案 一、 选择题（每小题4分，共20分） ⒈ 21|z | 复变小结 1.幅角（不赞成死记，学会分析） .2 argtg 20,0,0,0,arctg 0,0,20,arctg arg ππ πππ<<-???? ?????=<≠<±≠=±>=x y y x y x x y y x x x y z 其中 -∏ b.对于P12例题 1.11可理解为高中所学的平面上三点（A,B,C ）共线所满足的公式: (向量) OC=tOA+（1-t ）OB=OB+tBA c.对于P15例题1.14中可直接转换成X 和Y 的表达式后判断正负号来确定其图像。 d.判断函数f(z)在区域D 内是否连续可借助课本P17定义1.8 4.解析函数，指数，对数，幂、三角双曲函数的定义及表达式，能熟练计算，能熟练解初等函数方程 a.在某个区域内可导与解析是等价的。但在某一点解析一定可导，可导不一定解析。 b.柯西——黎曼条件，自己牢记:（注意那个加负那个不加） c.指数函数:复数转换成三角的定义。 d.只需记住：Lnz=ln[z]+i(argz+2k π) e.幂函数：底数为e 时直接运算（一般转换成三角形式） 当底数不为e 时，w= z a = e aLnz (幂指数为Ln 而非ln) 能够区分： 的计算。 f.三角函数和双曲函数： 只需记住： 及 其他可自己试着去推导一下。 反三角中前三个最好自己记住，特别 iz iz i z -+-=11Ln 2Arctg 因为下一章求积分会用到 11)(arctan ,2+=z z (如第三章的习题9) 5.复变函数的积分 ,,,i e e i i e i ππ+)15.2(.2e e sin ,2e e cos i z z iz iz iz iz ---=+=???????=-==+=--y i i iy y iy y y y y sh 2e e sin ch 2e e cos 得分 得分 ?复变函数与积分变换?期末试题（A ） 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ ）；2.)1(i Ln +-的主值是 （ ）；3. 2 11)(z z f +=，=)0() 5(f （ ）； 4．0=z 是 4 sin z z z -的（ ）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （ ） ； 二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2 )1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分） （1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周：2=z ； 得分 七年级语文期末综合测试卷 一、基础知识。（35分） 1、默写填空（10分） （1）微闻有鼠作作索索，，。 （2），稍稍正坐。 （3）于是宾客无不变色离席，，，几欲先走。 （4）未至，。 （5）江山代有才人出，。 2、根据拼音填汉字。（4分） 归xǐng 、阴mái 、毛骨sǒng 然、léi 弱、 3、关联词语填空。（2分） ________我是个作曲家，我要用音符来传达她们轻捷的舞步和细响的铃声。 4、 5、选出对修辞判断正确的一项（）（2分） ①在所有的动物中间，马是身材高大且身体各部分又都配合得最匀称、最优美的。 ②老斑羚哀咩一声，像颗流星似的笔直坠落下去。 ③容不得束缚，容不得羁绊，容不得闭塞。 A、反复拟人排比 B、对比比喻排比 C、对比拟人反复 D、反复比喻反复 6、给下列一段话加上一段总结性的话。（2分） 厨师烧菜要讲究火候，生病服药要讲究剂量，批评表扬要注意分寸。“过”与“不及”都是不好的，所以，。 7、下面一段话的含义是什么（4分） 希望是本无所谓有，本无所谓无的。这正如地上的路：其实地上本没有路，走的人多了， 也便成了路。 本段话的含义是：。 8、仿句。（4分） 没有理想的人，他的生活如荒凉的戈壁，冷冷清清，没有活力。 没有理想的人，他的生活如。 9、根据要求改错。（3分） 近年来，我校初三同学为了迎接中考，在作最后的冲刺拼搏。据了解，大多数同学学习到晚上12点，这种精神是可贵的，而且效果却不一定好。许多老师反应，降低了课堂教学的效率，不少同学上课时精神不振。 （1）改正文中的其中一个错别字。改为 （2）改正文中的其中一个病句。（直接写下正确的句子即可） dz C 2 2．设2 2-+= ni ni n α),3,2,1(ΛΛ=n ,则=∞→n n αlim （ ） A. 0； B. 1； C. -1+i ； D. 1+i 。 3．满足不等式3211≤-+≤i z 的所有点z 构成的集合是（ ）。 A ．有界单连通区域； B. 无界单连通区域； C ．有界复连通闭域； D.无界复连通闭域。 4．下列函数中，不在复平面内解析的函数是( ) A.1 )(+=z e z f ； B ．- =z z f )( ； C ．n z z f =)( ； D ．)sin (cos )(y i y e z f x +=。 5 A. ∑∞ =+08)56(n n n i ； C. ∑∞ =02n n i ；三．计算题（每小题71．设z 1+= 2．判定函数)2()()(222y xy i x y x z f -+--=在何处可导，在何处解析。 3．计算积分? - C dz z z 4 )2 (sin π 4.计算积分 4=。 5.设,)1(2y x u -=试求解析函数iv u z f +=)(，使得i f -=)2(。 6.将函数) 2)(1(1 )(--=z z z f ，在圆环域21< 7.利用留数计算积分?C 四.证明函数yi x z f 2)(+=在复平面内不可导。（7分） 参考答案 一、填空题（本大题共8小题，每小题3 1．109 ， 2. 4 ，3. 0 ，4. 1，5. -3或 二、单项选择题(本大题共7小题，每小题31. B ，2. B ，3.C,4. B,5. B . 三、计算题（本大题共7小题，15-19 1.解：由i z 31+=得：) sin (cos 2π π i z +=, （1分） 6 24 (cos 23166ππ k i z k +=+=所以)18sin 18(cos 260ππi z +=，)1813sin 1813(cos 262ππi z += , )25sin 1825(cos 264ππi z +=,5z 7分） 2. 解 ) 2()2y xy i x -+,则 (),(22y x y x u -= y u x x u ,12=??-=?? 只在2 1 = y ,x v ??-（6分） 故只在2 1 =y 处可导，处处不解析。（7分） 3z 在2=z 内解析，（2分） 第六章留数理论及其应用 §1.留数 1.（定理6.1 柯西留数定理）： ∫f(z)dz=2πi∑Res(f(z),a k) n k=1 C 2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点， f(z)= φ(z) (z?a)n , 其中φ(z)在点a解析，φ(a)≠0，则 Res(f(z),a)=φ(n?1)(a) (n?1)! 3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点， φ(z)=(z?a)f(z),则 Res(f(z),a)=φ(a) 4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点 φ(z)=(z?a)2f(z)则 Res(f(z),a)=φ′(a) 5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式 6.无穷远点的留数： Res(f(z),∞)= 1 2πi ∫f(z)dz Γ? =?c?1 即，Res(f(z),∞)等于f(z)在点∞的洛朗展式中1 z 这一项系数的反号 7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为a1,a2,…,a n,∞,则f(z)在各点的留数总和为零。 注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有Res(f(z),∞)=0，但是，如果点∞为f(z)的可去奇点（或解析点），则Res(f(z),∞)可以不为零。 8.计算留数的另一公式： Res (f (z ),∞)=?Res (f (1t )1t 2,0) §2.用留数定理计算实积分 一.∫R (cosθ,sinθ)dθ2π0型积分 → 引入z =e iθ 注：注意偶函数 二.∫P(x)Q(x)dx +∞?∞型积分 1.（引理6.1 大弧引理）：S R 上 lim R→+∞zf (z )=λ 则 lim R→+∞∫f(z)dz S R =i(θ2?θ1)λ 2.（定理6.7）设f (z )=P (z )Q (z )为有理分式，其中 P (z )=c 0z m +c 1z m?1+?+c m (c 0≠0) Q (z )=b 0z n +b 1z n?1+?+b n (b 0≠0) 为互质多项式，且符合条件： （1）n-m ≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有 ∫ f (x )dx =2πi ∑Res(f (z ),a k )Ima k >0 +∞ ?∞ 注：lim R→R+∞ ∫f(x)dx +R ?R 可记为P.V.∫f(x)dx +∞?∞ 三. ∫P(x)Q(x)e imx dx +∞?∞ 型积分 3.（引理6.2 若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周ΓR :z =Re iθ(0≤θ≤π，R 充分大)上连续，且 lim R→+∞g (z )=0 在ΓR 上一致成立。则 lim R→+∞ ∫g(z)e imz dz ΓR =0 4.（定理6.8）：设g (z )=P (z )Q (z )，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件： 七年级下册期末综合测试卷 一、语文基础知识及运用。（30分） 1．下列加点字注音全都正确的一项是（）( 3分) A．归省shěng 粗犷guǎng 行辈háng 不羁jī B．冗杂rǒng 晦暗huì蓦然mù戛然jiá C．告罄qìng 悲怆cāng 阔绰chuò祈祷dǎo D．叱咤chà赢弱yíng 崔巍wēi 颦蹙pín 2．下列词语书写全都正确的一项是（）( 3分) A．渔夫偏僻娴熟秩序井然 B．粲然絮叨怠慢离和悲欢 C．观瞻抽搐依希一尘不染 D．窥伺贬骨遒劲息息相通 3．下列各句中加粗成语的使用，恰当的一项是（）( 3分) A．它的头部比例整齐，却给它一种轻捷的神情，而这种神情又恰好与颈部的美相辅相成。 B．他们发现自己又陷入了进退维谷的绝境，一片惊慌。 C．当福楼拜的激情冲动过去之后，他就抑扬顿挫地开始说话，声音总是很平静…… D．漫天大雪封住了他们的眼睛，使他们每走一步都小心翼翼，因为一旦偏离方向，无异于走向死亡。 4．下面语段划线处都有语病，请改正过来。( 4分) ①《三字经》自南宋以来，已有近七百多年以上历史，共一千多字。三字一句的韵文极易成诵，内容包括了中国传统的教育、历史、天文、地理、伦理和道德以及一些民间传说，广泛生动而又言简意赅，现被联合国教科文组织列入《世界儿童道德教育丛书》。近日，②苏州一所高校的老教授沿用中国经典启蒙教育读物《三字经》的“三字一句”，以“人文”为本，撰写了一部《新编人文三字经》，其内容跨越数千年中外历史，③并对现代社会的种种问题举行反思。④这是又一部继上世纪90年代出版的《新三字经》后的挑战经典之作，在各界引发了不小的争议。 (1)第①处句式杂糅，应该这样修改 (2)第②处成分残缺，应在句末添加 (3)第③处搭配不当，应将改为 (4)第④处语序不当，应这样调整： 5．仿照划线句子在写两个句子。（4分） 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 ．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ） 8．已知3 1z i =+，则下列正确的是（ ） 9．积分 ||342z dz z =-??的值为（ ） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于（ ） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ） A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上，条件收敛 12．0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（ ） A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. = )0,(Re n z z e s ，其中n 为自然数. 第一章 复变函数测试题及答案-精品 2020-12-12 【关键字】条件、充分、关系、满足、方向、中心 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） 四年级语文第二学期期末综合素质测试卷 第一部分基础知识积累与运用（55分） 一、读拼音.规范地写词语.（10分） wān yán héxiéshǎng xīn yuèmùgān zàng ( ) ( ) ( ) ( ) yúchǔn xīshēng zāo tàshuài lǐng píbèi （）（）（）（）( ) 二、组词（5分） 削（）暇（）潮（）捎（）尊（） 哨（）瑕（）嘲（）稍（）遵（） 三、给划线字选择正确的解释.把序号填在括号里.（4分） A、往上托 B、举动 C、提出 D、全 （1）我认识了一位举．止特别的青年.（） （2）课堂上.我积极举手回答老师提出的问题.（） （3）请你举个例子来具体说明一下.（） （4）万里长城是举世闻名的古建筑.（） 四、按要求填空.（14分） 1、把下面的成语补充完整.并选择你最喜欢的最少两个写一两句话.赞美一个你心目中的英雄.（8分) 知（）知（）（）出（）没出（）不（） 所（）无（）运（）帷（）骨瘦（）（） 声（）击（）响（）云（） 2、在本学期中.你在“走进大自然”的综合实践中.通过调查访问.发现人类有破坏大自然的现象.你想对人们说些什么？（3分） 3、从你读过的书里.挑选一本喜欢的向同学推荐.推荐的书名《》.作者( ) 书的主要内容：推荐的理由：（3分） 五、精彩回放.(10分) 1、关于农业气象方面的农谚我知道很多.如（）. 2、学了本册书我认识了石油大王哈默、盲女孩安静、（）、（）. 等.其中给我印象最深的是（）.因为（ ）. 3、早开的红梅——（）；（）——入木三分.课外我还收集了很多歇后语.（）（6分） 4、默写本学期学过的一首古诗.别忘了写诗人的姓名哟.（4分） .. .. 六、句子万花筒.（5分） 1、面对急需帮助的人.我们怎能袖手旁观呢？（改成陈述句） 2、礼花绽放.（把句子写具体） 3、湖面很平静.（改成比喻句） 4、树叶在哗啦啦地响.（改成拟人句） 5、纪昌勤学苦练.纪昌成了百发百中的射箭能手.（用上恰当的关联词合成一句话） 七、口语交际.（7分） 在你身边.一定有值得你敬佩的人.他可能是你的小伙伴.可能是你的家人.也可能十身边的清洁工……动笔写一写他们的哪些品质令你敬佩. 第二部分：阅读积累与运用（30分） 学院领导 审批并签名 B 卷 广州大学20011-2012学年第二学期考试卷（答 案） 课 程： 复 变 函 数 考 试 形 式： 闭卷 考查 学院：_ _ _ _ 系：_ _ _ _ _ 专业：_ _ _ _ 班级：_ _ _ _ _ 学号：_ _ 姓名：_ _ _ _ _ 题 次 一 二 三 四 五 六 总分 评 卷 人 分 数 24 30 16 10 10 10 100 评 分 一．填空题（每小题3分，共24分） 1．设1255,34,z i z i =-=+ 则)Re( 2 1z z =__-1/5___。 2. 复数 13i - 的主幅角为 3/π-。 3. 复数1i +的指数形式为i e 42π 。 4. ln(3)i +=6 2ln π i +。 5. 曲线|3||3|10z z -++=的直角坐标方程为116 252 2=+y x 。 6. 0=z 是3 sin z z 的 2 级极点。 7. dz z z z ?=-1 ||2= 0 。 8. 复数项级数 1 2n n n n z ∞ =∑的收敛半径R = 2 。 二．解答下列各题（每小题6分，共30分） 1．求方程 3 10z +=的全部解。 p.32. )31(2 1 , 1),31(2 1 i i --+ 2．设iy x z +=，判定函数i y x z f 2332)(+=在何处可导？何处解析？ 答案： p.66. 在抛物线2x y =上可导，但在复平面上处处不解析。 3．计算积分2 ()C x iy dz +? ， 其中C 为连接原点O 到i +1的线段。 p.99 i 6 561+- 4．计算积分3 3() C z dz z i -??? 其中C 为正向圆周：||2z =。 答案： p.89 π6- 5．计算积分 cos i z z dz ? 。 答案： p.83 11--e 三．解答下列各题（每小题8分，共16分） 1．判断级数2(1)1 []ln 3n n n i n ∞ =-+∑的收敛性与绝对收敛性。 答案： p.109 收敛、非绝对收敛 2．将函数1 ()(1)(2) f z z z = --在圆环域1||2z <<内展成洛朗级数。 答案： p.132 ------- --8 4211112 1 z z z z z n n 四．（10分）求 dz z z z )3 211( 4 ||-++? =的值。 答案： p.86 i π6复变函数总结
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