排列组合知识点总结及典型例题(全)

排列组合知识点总结及典型例

题（全）

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一．基本原理

1．加法原理：做一件事有 n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分 n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二 ． 排 列 ： 从 n 个 不 同 元 素 中 ， 任 取 m （ m ≤ n ） 个 元 素 ， 按 照 一 定 的 顺 序 排 成 列，叫做从 n 个不同元素中取出

m 个元素的一个排列，所 有排列的个数记为 A n m

.

1.

公式：

1. A n

m n n 1 n 2 ?? n m 1 n! n n m! 2. 规定： 0! 1

（1）

n! n （n 1）!,（ n 1） n! （n 1）!

（2）

n n! [（n 1） 1] n! （n 1） n! n! （n 1）! n!；

四．处理排列组合应用题 1. ①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略

（1）两种思路：①直接法； ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。

（2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交

集为空集，所 有各类的并集为全集。

（3）分步处理： 与分类处理类似， 某些问题总体不好解决时， 常常分成若干步， 再由分步计数原理解决。 在处理排列组合问题

时， 常常既要分类， 又要分步。其原则是先分类，后分步。

（4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。 3．排列应用题：

（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； （2） 、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑； （3）．相邻问题：捆邦法： 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。

（4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法 . 即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相

邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 （5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插

解法一： 对于某几个元素按一定的顺序排列问题， 可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列， 然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。 即先全排，再除以定序元素的全排列。

解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右 到左排列，则只有 1 种排法；若不要求，则有 2 种排法；

（6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。

（7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。 （8）．数字问题（组成无重复数字的整数）

① 能被 2 整除的数的特征：末位数是偶数；不能被 2 整除的数的特征：末位数是奇数。②能被 3 整除的数的特征：各位数字之和是 3 的倍数；

③能被 9 整除的数的特征： 各位数字之和是 9的倍数④能被 4整除的数的特征： 末两位是 4 的倍数。 ⑤能被 5 整除的数的特征： 末位数是 0 或 5 ⑥能被 25 整除的数的特征：末两位数是 25，50，75。 ⑦能被 6 整除的数的特征：各位数字之和是 3的倍数的偶数。

4．组合应用题：（ 1）. “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法 : （2）． “含”与“不含” 用间接排除法或分类法 : 3．分组问题： 均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。

非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。 混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。

4．分配问题： 定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。 随机分配：（不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后排，注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。

（3） （n 1）!

1 （n 1）! （n 1）! （n 1）! n! （n 1）! n 个不同元素中任取 m （m ≤ n ）个元素并组成一组，叫做从 n 个

不同的 m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

A n n n 1 ?? n m 1 n!

规定： C

0 1

A m m m! m! n m !

C n m C n n m ，C n m C n m 1 C n m 1，C n 0 C n 1 ?? C n n

；

② ；③ ；④ n n 1 1 n 1 1

1. 公式：

C n m

2.组合数性质： ①

注： C

r C r 1 C r 2 C n 1 C n C r 1 C r 1 C r 2 C n 1 C n

C r 2 C

若C n m1 C n m2则 m 1=m 2或 m 1+m 2 n

r r 1 n

C r 2

r r2

2

n

C n r 1

C n r

C

n r 11

5．隔板法： 不可分辨的球即相同元素分组问题

例 1. 电视台连续播放 6 个广告， 其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告， 要求首尾必须播放公益广告， 则共有 种不同 的播放方式（结果用数值表示） .

解：分二步：首尾必须播放公益广告的有 A 22

种；中间 4 个为不同的商业广告有 A 44

种，从而应当填 A 22

· A 44

＝ 48. 从而应填 48．

例 3.6 人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？ 解一：间接法：即 A 66 A 55 A 55 A 44 720 2 120 24

504 解二：（ 1）分类求解：按甲排与不排在最右端分类 .

（1） 甲排在最右端时 ,有 A 55种排法； （2） 甲不排在最右端（甲不排在最左端）时，则甲有 A 41 种排法，乙有 A 14种排法，其他人有 A 44 种排法，

共有 A 41 A 41 A 44 种排法，分类相加得共有 A 55 + A 41 A 14 A 44 =504种排法 例.有 4个男生， 3 个女生，高矮互不相等，现将他们

排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？

分析一：先在 7个位置上任取 4个位置排男生，有 A 47种排法.剩余的 3个位置排女生，因要求“从矮到高”，只有 1种排法，故共有

A 47 ·1=840 种.

1.从 4台甲型和 5台乙型电视机中任取 3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有

解析 1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有 C 93 C 43 C 53 70 种,

选. C

解析 2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况： 甲型 1台乙型 2台；甲型 2台乙型 1台；故不同的取法有 C 52C 14 C 51C 42 70 台,选C .

2．从5名男生和 4名女生中选出 4人去参加辩论比赛 （1）如果 4人中男生和女生各选 2人，有 种选法； （2）如果男生中的甲与女生中的 乙必须在内，有 种选法； （ 3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有 1人在内，有 种选法； （4）如果 4 人中必须既有男生又有女生，有 种选法

分析：本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题 . 由于选出的人没有地位的差异，所以是组合问题 .

解：（ 1）先从男生中选 2人，有 C 52种选法，再从女生中选 2人，有 C 42种选法，所以共有 C 52C 42 =60（种）；

2）除去甲、乙之外，其余 2人可以从剩下的 7 人中任意选择，所以共有 C 22C 72 =21（种）；

（3）在 9 人选 4 人的选法中，把甲和乙都不在内的去掉，得到符合条件

的选法数： 直接法，则可分为 3 类：只含甲；只含乙；同时含甲和乙，得到符合条件的方法数

（4）在 9 人选 4 人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数

直接法：分别按照含男生 1、2、3人分类，得到符合条件的选法为 C 51C 43 C 52C 42 C 53C 41 =120（种） .

1．6 个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐 4 人，则不同的乘车方法数为 （ ）

A ．40

B ．50

C ．60

D ． 70

C 36

[ 解析] 先分组再排列， 一组 2 人一组 4 人有 C 62

＝15 种不同的分法；两组各 3 人共有 A 26

＝ 10 种不同的分法， 所以乘车方法数为 25×2

＝50，故选 B.

2．有 6 个座位连成一排，现有 3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）

A ．36 种

B ．48 种

C ． 72 种

D ．96 种

[ 解析 ] 恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共 A 3

3 A 24＝72 种排法，故选 C. 3．只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有 （ ）

A ．6个

B ．9个

C ．18个

D ．36 个

[ 解析 ] 注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有 C 31

＝3（种） 选法，即 1231,1232,1233 ，

而每种选择有 A 2

2×C 32

＝6（种）排法，所以共有 3×6＝18（ 种）情况，即这样的四位数有 18 个．

4．男女学生共有 8人，从男生中选取 2 人，从女生中选取 1 人，共有 30种不同的选法，其中女生有 （ ）

A ．2人或 3人

B ．3人或 4人

C ．3人

D ．4人

[ 解析] 设男生有 n 人，则女生有 （8 －n ）人，由题意可得 C 2

n C 1

8－n ＝30，解得 n ＝5或n ＝6，代入验证，可知女生为 2人或 3人． 5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用 8 步走完，则方法有

（ ）

A ．45 种

B ．36种

C ．28种

D ．25 种

[ 解析] 因为 10÷8的余数为 2，故可以肯定一步一个台阶的有 6步，一步两个台阶的有 2步，那么共有 C 82

＝28 种走法．

6．某公司招聘来 8 名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人

C 9 C 7 =91（种）；

C 11C 73 C 11C 73 C 22C 72 C 73 C 73 C 72 =91（种） 444

C 9 C 5 C 4 =120（种） .

员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有（）

A．24 种B．36 种C ．38 种D．108 种

[ 解析] 本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2 种方法，第二步将3 名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2 人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2 人即可，由于是每个部门各4 人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步乘法计数原理共有2C31A22C31＝36（种）．

7．已知集合 A＝{5} ， B＝{1,2} ，C＝{1,3,4} ，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（）

A．33 B．34 C ．35

[ 解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标

D．36

1 的有C12·A33＝12

② 所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 1 个 1 的有 C 1

2·A 33

＋A 3

3＝18 个； ③ 所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 2 个 1 的有 C 1

3＝3 个． 故共有符合条件的点的个数为 12＋ 18＋ 3＝33 个，故选 A.

8．由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 （ ）

A ．72

B ． 96

C ．108

D ．144 [ 解析] 分两类：若 1与 3相邻，有 A 22

·C 31

A 2

2A 2

3＝72（ 个），若 1与 3不相邻有 A 33

·A 3

3＝36（个） 故共有 72＋ 36＝ 108 个．

9．如果在一周内 （ 周一至周日 ）安排三所学校的学生参观某展览馆， 每天最多只安排一所学校， 要求甲学校连续参观两天， 其余学校均只参观一天， 那么不同的安排方法有 （ ）

A ．50 种

B ．60种

C ．120种

D ．210 种

[ 解析 ] 先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有 6 种： （1,2） 、（2,3） 、（3,4） 、（4,5） 、（5,6） 、

（6,7） ，甲任选一种为 C 1

6，然后

在剩下的 5天中任选 2天有序地安排其余两所学校参观， 安排方法有 A 2

5种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法 C 61

·A 2

5＝120 种，故选

【解析】标号 1,2 的卡片放入同一封信有 种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有 种方法，共有 种， 故选 B.

15. 某单位安排 7位员工在 10月 1日至 7日值班，每天 1人，每人值班 1天，若 7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在 10

月1日，丁不

排在 10月 7日，则不同的安排方案共有 A. 504 种 B. 960 种 C. 1008 种 D. 1108 种

2 1 4 解析：分两类：甲乙排 1、2

号或 6、7号 共有 2 A 22 A 41 A 44种方法

甲乙排中间 ,丙排 7号或不排 7号，共有 4A 22（A 44 A 31 A 31 A 33 ） 种方法 故共有 1008 种不同的排法

C.

10．安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班，每人值班一天， 其中甲、 乙二人都不能安排在 5月 1日和 2日，不同的安排方法共有 种． （用数字作答 ） [ 解析 ] 方法． 11．今有 [ 解析

] 先安排甲、乙两人在后 5 天值班，有 A 2

5＝20（ 种）排法，其余 5 人再进行排列，有 A 55

＝120（种）排法，所以共有 20×120＝2400（ 种）安排 2 个红球、 3 个黄球、 4 个白球，同色球不加以区分，将这 由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有 9 个球排成一列有 种不同的排法． （ 用数字作答 ） C 94

·C 2

5·C 3

3＝1260（ 种）排法．

不同的分配方案有

12．将 6位志愿者分成 4组，其中两个组各 2人，另两个组各 1 人，分赴世博会的四个不同场馆服务， C 26C 24

[ 解析] 先将 6名志愿者分为 4组，共有 C A 6

C 2 4

种分法，再将 4组人员分到 4 个不同场馆去，共有 A 4

4种分法，

故所有分配

C 2

· C 2

方案有： C 6·A

2 C 4

·A 4

4＝1 080 种．

13．要在如图所示的花圃中的 5 个区域中种入 4 种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有 字作答）．

[ 解析] 5有4种种法， 1有3种种法， 4有 2种种法．若 1、3同色， 2有2种种法，若 1、3不同色， 2有1种种法， ∴有 4×3×2×（1×2＋1×1）＝72 种．

14. 将标号为 1，2，3，4，5，6的 6张卡片放入 3个不同的信封中．若每个信封放 2张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信

封，则不同的方法 共有 （A ）12 种 B ) 18 种 C ）36种 D ) 54 种 种（用数字作答 ） ． 种不同的种法 （ 用数

排列组合 二项式定理

1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法

（每一种都可以独立的完成这个事情）

分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法

2，排列

排列定义：从 n 个不同元素中，任取 m （m ≤n ）个元素（被取出的元素各不相同） ，按 照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。 排列数定义；从

n 个不同元素中，任取 m （m ≤n ）个元素的所有排列的个数

An m

3，组合

组合定义 从 n 个不同元素中，任取 m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的一个组合

公式

m

n!

A

n =(n m)!

规定 0！ =1