切线的性质与证明

学科教师辅导教案

组长审核：

授课主题 点与圆、直线与圆的位置关系 教学目的 掌握点与圆、直线与圆的位置关系 掌握证明切线的方法 教学重点 证明切线的方法

授课日期及时段

2014年11月 29日 15:00---17:00

教学内容

1、垂径定理：

推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 如图,?ABC 内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD 为⊙O 的直径,AD=6,求BC 的长.

2、弧、弦与圆心角的关系定理：______________________________________

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的 。

4、推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径。 推论 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

O

D C

B

A

5、圆内接四边形

圆内接四边形的性质： 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 圆的确定：

不在同一直线上的三个点确定一个圆．

也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的 圆． 外接圆的圆心是三角形三条边 的交点，叫做这个三角形的 心．

1．某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．

直线与圆的位置关系：

l

l

(a)

(b)

相离相切相交

(c)

l

如图（a ），直线L 和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．

如图（b ），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，?这条直线叫做圆的切

线，这个点叫做切点．

如图（c），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．

我们知道，点到直线L的距离是这点向直线作垂线，这点到垂足D的距离，?按照这个定义，作出圆心O到L的距离的三种情况？

直线L和⊙O相交?d

l

l

l

(a)(b)(c)

直线L和⊙O相切?d=r，如图（b）所示；

直线L和⊙O相离?d>r，如图（c）所示．

因为d=r?直线L和⊙O相切，这里的d是圆心O到直线L的距离，即垂直，并由d=r就可得到L经过半径r的外端，即半径OA的A点，因此，很明显的，?我们可以得到切线的判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

根据上面的判定定理，如果你要证明一条直线是⊙O的切线，你应该如何证明？

应分为两步：（1）说明这个点是圆上的点，（2）?过这点的半径垂直于直线．

例1．如图，已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm．

（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？为什么？

（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？

B

A

C

D

O

实际上，如图，CD 是切线，A 是切点，连结AO 与⊙O 于B ，那么AB 是对称轴，所以沿AB 对折图形时，AC 与AD 重合，因此，∠BAC=∠BAD=90°．

因此，我们有切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径．

例2．如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且∠DCB=?∠A ． （1）CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．

（2）若CD 与⊙O 相切，且∠D=30°，B D=10，求⊙O 的半径．

切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径． 一、选择题．

1．如图，AB 与⊙O 切于点C ，OA=OB ，若⊙O 的直径为8cm ，AB=10cm ，那么OA 的长是（ ）

A ．41

B ．40

.14.60C D

2．下列说法正确的是（ ）

A ．与圆有公共点的直线是圆的切线．

B ．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;

C ．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;

D ．过圆的半径的外端的直线是圆的切线

B

A

C

O

3．已知⊙O 分别与△ABC 的BC 边，AB 的延长线，AC 的延长线相切，则∠BOC 等于（ ）

A ．12（∠B+∠C ）

B ．90°+1

2

∠A

C ．90°-1

2

∠A D ．180°-∠A

4．如图，AB 为⊙O 直径，BD 切⊙O 于B 点，弦AC 的延长线与BD 交于D?点，?若AB=10，AC=8，则DC 长为________．

B

A

C D

O

B

A

C

P

O

5．如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 为⊙O 的切线，A 、B 为切点，弦AB 与PO 交于C ，⊙O 半径为1，PO=2，则PA_______，PB=________，PC=_______AC=______，BC=______∠AOB=________．

1、下列说法正确的是（ ）

A ．与圆有公共点的直线是圆的切线．

B ．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;

C ．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;

D ．过圆的半径的外端的直线是圆的切线

2、已知:如图,A 是⊙O 外一点,AO 的延长线交⊙O 于点C,点B 在圆上,且AB=BC, ∠A=30.

求证:直线AB 是⊙O 的切线.

C

O

A

3.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O AB 是⊙O 的直径，∠CAD ＝∠ABC ，判断直线AD 与⊙O 的位置关系，并说明理由。

4、如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB,CA=CB,求证直线AB 是⊙O 的切

线。

o

C

A

B

5.如图，点D 是∠AOB 的平分线OC 上任意一点，过D 作DE ⊥OB 于E ，以DE 为半径作⊙D ，判断⊙D 与OA 的位置关系， 并证明你的结论。（无点作垂线证半径）

A

B

C

E O

D

一、选择题

1．下列命题正确的是( )

A. 经过半径外端的直线是圆的切线

B. 直线和圆有公共点，则直线和圆相交

C. 过圆上一点有且只有一条圆的切线

D. 圆的切线垂直于半径

2．如图，PA切⊙O于点A，若∠APO=30°，OP=2，则⊙O半径是( )

A. B. 1 C. 2 D. 4

3．如图，AB、AC分别与⊙O相切于B、C，∠A=50°，点P是圆上异于B，C的动点，则∠BPC

的度数是( )

A. 65°

B. 115°

C. 65°和115°

D. 130°和150°

4．如图，CD切⊙O于B，CO的延长线交⊙O于A，

若∠C=36°，则∠ABD的度数是( )

A. 72°

B. 63°

C. 54°

D. 36°

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以BC上一点O为圆心作⊙O与AB相切于E，与AC相切于 C，又⊙O与BC的另一交点为D，则线段BD的长为( )

A. 1

B.

C.

D.

二、填空题

6．如图，AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，且∠BAC=45°，AB=2，则⊙O的面积为_____。

7. 如图，已知AB是⊙O的直径，延长AB到D，使BD=OB，DC切⊙O于C，则∠D=____，∠C=_____，若⊙O的半径为R，则AC=_____。

8. 如图，AB，AD，CD分别切⊙O于B，E，C，且AB∥CD，则△AOD的形状是____三角形。

9. 如图，AB是圆的直径，MN切圆于P，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，如果AM=5，BN=3，那么⊙O 的半径为____。

10. 如图，半径为3cm的⊙O切直线AC于B，AB=3cm，，则∠AOC的度数是_______。