数学九年级上册 旋转几何综合单元测试卷附答案

数学九年级上册 旋转几何综合单元测试卷附答案

一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）

1．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．

【答案】（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492

． 【解析】 【分析】

（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =

，1

2

PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；

（2）先判断出ABD ACE ???，得出BD CE =，同（1）的方法得出1

2

PM BD =

，1

2

PN BD =

，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；

（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ?的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ?的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论． 【详解】 解：（1）

点P ，N 是BC ，CD 的中点，

//PN BD ∴，1

2

PN BD =

， 点P ，M 是CD ，DE 的中点，

//PM CE ∴，1

2

PM CE =

， AB AC =，AD AE =， BD CE ∴=， PM PN ∴=， //PN BD ，

DPN ADC ∴∠=∠， //PM CE ，

DPM DCA ∴∠=∠， 90BAC ∠=?，

90ADC ACD ∴∠+∠=?，

90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=?， PM PN ∴⊥，

故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；

（2）PMN ?是等腰直角三角形． 由旋转知，BAD CAE ∠=∠，

AB AC =，AD AE =，

()ABD ACE SAS ∴???，

ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =，

利用三角形的中位线得，12PN BD =，1

2

PM CE =，

PM PN ∴=，

PMN ∴?是等腰三角形，

同（1）的方法得，//PM CE ， DPM DCE ∴∠=∠，

同（1）的方法得，//PN BD ， PNC DBC ∴∠=∠，

DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，

MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠

BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠， 90BAC ∠=?，

90ACB ABC ∴∠+∠=?， 90MPN ∴∠=?，

PMN ∴?是等腰直角三角形；

（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ?是等腰直角三角形，

MN ∴最大时，PMN ?的面积最大， //DE BC ∴且DE 在顶点A 上面， MN ∴最大AM AN =+，

连接AM ，AN ，

在ADE ?中，4AD AE ==，90DAE ∠=?，

22AM ∴=

在Rt ABC ?中，10AB AC ==，52AN = 22522MN ∴=最大，

222111149(72)22242

PMN S PM MN ?∴=

=?=?=最大． 方法2：由（2）知，PMN ?是等腰直角三角形，1

2

PM PN BD ==

， PM ∴最大时，PMN ?面积最大， ∴点D 在BA 的延长线上，

14BD AB AD ∴=+=，

7PM ∴=，

2211497222

PMN S PM ?∴=

=?=最大． 【点睛】

此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出

12PM CE =，1

2

PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ???，解（3）的关键

是判断出MN 最大时，PMN ?的面积最大．

2．探究：如图①和②，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=90°，点E 、F 分别在BC 、CD 上，∠EAF=45°．

（1）如图①，若∠B 、∠ADC 都是直角，把ABE △绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，使AB 与AD 重合，则能得EF=BE+DF ，请写出推理过程；

（2）如图②，若∠B 、∠D 都不是直角，则当∠B 与∠D 满足数量关系 时，仍有EF=BE+DF ；

（3）拓展：如图③，在ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=22D 、E 均在边BC 上，且

∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长．

【答案】（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）

5

3

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件证明△EAF≌△GAF，进而得到EF=FG，即可得到答案；

（2）先作辅助线，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，根据（1），要使EF=BE+DF，需证明△EAF≌△GAF，因此需证明F、D、G在一条直线上，即

180

ADG ADF

∠+∠=?，即180

B D

∠+∠=?；

（3）先作辅助线，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，根据已知条件证明△FAD≌△EAD，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3﹣x，然后再Rt BDF中根据勾股定理即可求出x的值，即DE的长．

【详解】

（1）解：如图，

∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠DAG+∠DAF=45°，

即∠EAF=∠GAF=45°，

在△EAF和△GAF中

AF AF

EAF GAF

AE AG

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴EF=GF，

∵

BE=DG ， ∴EF=GF=BE+DF ； （2）解：∠B+∠D=180°， 理由是：

如图，把△ABE 绕A 点旋转到△ADG ，使AB 和AD 重合， 则AE=AG ，∠B=∠ADG ，∠BAE=∠DAG ， ∵∠B+∠ADC=180°， ∴∠ADC+∠ADG=180°， ∴F 、D 、G 在一条直线上， 和（1）类似，∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF 和△GAF 中

AF AF EAF GAF AE AG =??

∠=∠??=?

∴△EAF ≌△GAF （SAS ）， ∴EF=GF ， ∵BE=DG ， ∴EF=GF=BE+DF ； 故答案为：∠B+∠D=180°；

（3）解：∵△ABC 中，AB=AC=22，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：BC=

22AB AC +=4，

如图，把△AEC 绕A 点旋转到△AFB ，使AB 和AC 重合，连接DF ． 则AF=AE ，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE ， ∵∠DAE=45°，

∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC ﹣∠DAE=90°﹣45°=45°，

∴∠FAD=∠DAE=45°， 在△FAD 和△EAD 中

AD AD FAD EAD AF AE =??

∠=∠??=?

∴△FAD ≌△EAD ， ∴DF=DE ， 设DE=x ，则DF=x ， ∵BD=1，

∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x ， ∵∠FBA=45°，∠ABC=45°， ∴∠FBD=90°，

由勾股定理得：222DF BF BD =+，

22(3)1x x =-+，

解得：x=53

， 即DE=

53． 【点睛】

本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题关键在于正确做出辅助线得出全等三角形．

3．已知如图1，在ABC 中，90ABC ∠=?，BC AB =，点D 在AC 上，DF AC ⊥交BC 于F ，点E 是AF 的中点．

（1）写出线段ED 与线段EB 的关系并证明；

（2）如图2，将CDF 绕点C 逆时针旋转(

)

090a α?

<

（3）将CDF 绕点C 逆时针旋转一周，如果6BC =

，CF =，直接写出线段CE 的范围．

【答案】（1）ED EB =，DE BE ⊥，证明见解析；（2）结论不变，理由见解析；（3）最大值22= 最小值32

2

=． 【解析】 【分析】

（1）在Rt △ADF 中，可得DE=AE=EF ，在Rt △ABF 中，可得BE=EF=EA ，得证ED=EB ；然后利用等腰三角形的性质以及四边形ADFB 的内角和为180°，可推导得出∠DEB=90°； （2）如下图，先证四边形MFBA 是平行四边形，再证△DCB ≌△DFM ，从而推导出△DMB 是等腰直角三角形，最后得出结论；

（3）如下图，当点F 在AC 上时，CE 有最大值；当点F 在AC 延长线上时，CE 有最小值． 【详解】

（1）∵DF ⊥AC ，点E 是AF 的中点 ∴DE=AE=EF ，∠EDF=∠DFE ∵∠ABC=90°，点E 是AF 的中点 ∴BE=AE=EF ，∠EFB=∠EBF ∴DE=EB ∵AB=BC ， ∴∠DAB=45°

∴在四边形ABFD 中，∠DFB=360°－90°－45°－90°=135°

∠DEB=∠DEF+∠FEB=180°－2∠EFD+180°－2∠EFB=360°－2(∠EFD+∠EFB) =360°－2×135°=90° ∴DE ⊥EB

（2）如下图，延长BE 至点M 处，使得ME=EB ，连接MA 、ME 、MF 、MD 、FB 、DB ，延长MF 交CB 于点H

∵ME=EB，点E是AF的中点

∴四边形MFBA是平行四边形

∴MF∥AB，MF=AB

∴∠MHB=180°－∠ABC=90°

∵∠DCA=∠FCB=a

∴∠DCB=45°+a，∠CFH=90°－a

∵∠DCF=45°，∠CDF=90°

∴∠DFC=45°，△DCF是等腰直角三角形

∴∠DFM=180°－∠DFC－∠CFH=45°+a

∴∠DCB=∠DFM

∵△ABC和△CDF都是等腰直角三角形

∴DC=DF，BC=AB=MF

∴△DCB≌△DFM(SAS)

∴∠MDF=∠BDC，DB=DM

∴∠MDF+∠FDB=∠BDC+∠FDB=90°

∴△DMB是等腰直角三角形

∵点E是MB的中点

∴DE=EB，DE⊥EB

（3）当点F在AC上时，CF有最大值，图形如下：

∵BC=6，∴在等腰直角△ABC 中，AC=62 ∵CF=32，∴AF=32 ∴CE=CF+FE=CF+

12AF 922

= 当点F 在AC 延长线上时，CE 有最小值，图形如下：

同理，CE=EF －CF 32

2

= 【点睛】

本题考查三角形的旋转变换，用到了等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质，解题关键是构造并证明△BDM 是等腰直角三角形．

4．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8AD cm =，连接BD ，将ABD △绕B 点作顺时针方向旋转得到A B D '''△（B ′与B 重合），且点D '刚好落在BC 的延长上，A D ''与

CD 相交于点E ．

（1）求矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分（如图1中阴影部分A B CE ''）的面积；

（2）将A B D

'''

△以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与A B D

'''

△重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；

（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得AA B''

△成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．

【答案】（1）2

45

2

cm；（2）

2

2

3316

24(0)

225

88020016

(4)

3335

x x x

y

x x x

?

--+≤<

??

=?

?-+≤≤

??

；（3）存在，使得AA B''

△成为等腰三角形的x的值有：0秒、

3

2

秒、

69

5

．

【解析】

【分析】

（1）先用勾股定理求出BD的长，再根据旋转的性质得出10

B D BD cm

''==，

2

CD B D BC cm

'=''-=，利用B D A

∠'''的正切值求出CE的值，利用三角形的面积差即可求阴影部分的面积；

（2）分类讨论，当

16

5

x

≤<时和当

16

4

5

x

≤≤时，分别列出函数表达式；

（3）分类讨论，当AB A B

'=''时；当AA A B

'=''时；当AB AA

'='时，根据勾股定理列方程即可．

【详解】

解：（1）6

AB cm

=，8

AD cm

=，

10

BD cm

∴=，

根据旋转的性质可知10

B D BD cm

''==，2

CD B D BC cm

'=''-=，

tan

A B CE

B D A

A D CD

''

'''

∠==

'''

，

6

82

CE

∴=，

3

2

CE cm

∴=，

()2

86345

22

222

A B CE A B D CED

S S S cm

'

'''''

?

∴==-?÷=

-；

（2）①当1605x ≤<

时，22CD x '=+，3

2

CE x =， 233

+22

CD E S x x '∴=

△， 221333

68242222

y x x x ∴=??-=--+；

②当

1645x ≤≤时，102BC x =-，()4

1023

CE x =- ()2

21488020010223333

y x x x ∴=?-=-+．

（3）①如图1，当AB A B '=''时，0x =秒；

②如图2，当AA A B '=''时，1825A N BM BB B M x '=='+'=+

，24

5

A M N

B '==， 2236AN A N +'=，

22

2418623655x ?

???∴-++= ? ??

???，

解得：6695x -=

秒，（669

5

x --=舍去）； ③如图2，当AB AA '='时，1825A N BM BB B M x '=='+'=+

，24

5

A M N

B '==， 2222AB BB AN A N +'=+'

22

224183646255x x ?

???∴+=-++ ? ??

???

解得：3

2

x =

秒． 综上所述：使得AA B ''△成为等腰三角形的x 的值有：0秒、

32秒、6695

-．

【点睛】

本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．

5．综合与探究：

如图1，Rt AOB 的直角顶点O 在坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，点B 在x 轴正半轴上，4OA =，2OB =，将线段AB 绕点B 顺时针旋转90?得到线段BC ，过点C 作

CD x ⊥轴于点D ，抛物线23y ax x c =++经过点C ，与y 轴交于点(0,2)E ，直线AC 与x 轴交于点H ．

（1）求点C 的坐标及抛物线的表达式；

（2）如图2，已知点G 是线段AH 上的一个动点，过点G 作AH 的垂线交抛物线于点F （点F 在第一象限），设点G 的横坐标为m ． ①点G 的纵坐标用含m 的代数式表示为________；

②如图3，当直线FG 经过点B 时，求点F 的坐标，判断四边形ABCF 的形状并证明结论；

③在②的前提下，连接FH ，点N 是坐标平面内的点，若以F ，H ，N 为顶点的三角形与FHC 全等，请直接写出点N 的坐标．

【答案】（1）点C 的坐标为(6,2)，21322y x x =-

++；（2）①1

43

m -+；②点F 的坐标为(4,6)，四边形ABCF 为正方形，证明见解析；③点N 的坐标为(10,4)或

4226,55?? ???或384,55?? ???

． 【解析】 【分析】

（1）根据已知条件与旋转的性质证明ABO BCD ≌，根据全等三角形的性质得出点C 的坐标，结合点E 的坐标，根据待定系数法求出抛物线的表达式；

（2）①设直线AC 的表达式为y kx b =+，由点A 、C 的坐标求出直线AC 的表达式，进而得解；

②过点G 作GM x ⊥轴于点M ，过点F 作FP y ⊥轴，垂足为点P ，PF 的延长线与

DC 的延长线交于点Q ，根据等腰三角形三线合一得出AG CG =，结合①由平行线分线

段成比例得出点G 的坐标，根据待定系数法求出直线BG 的表达式，结合抛物线的表达式求出点F ；利用勾股定理求出AB BC CF FA ===，结合90ABC ?∠=可得出结论； ③根据直线AC 的表达式求出点H 的坐标，设点N 坐标为(,)s t ，根据勾股定理分别求出

2FC ，2CH ，2FN ，2NH ，然后分两种情况考虑：若△FHC ≌△FHN ，则FN ＝FC ，NH

＝CH ，若△FHC ≌△HFN ，则FN ＝CH ，NH ＝FC ，分别列式求解即可．

【详解】 解：（1）

4=OA ，2OB =，

∴点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(2,0)，

线段AB 绕点B 顺时针旋转90?得到线段BC ， AB BC ∴=，90ABC ?∠=，

90ABO DBC ?∴∠+∠=，

在Rt AOB 中，90ABO OAB ?∴∠+∠=，

=OAB DBC ∴∠∠，

CD x ⊥轴于点D ，

90BDC ?∴∠=， 90AOB BDC ?∴∠=∠=．

AB BC =，

ABO BCD ∴△≌△，

2CD OB ∴==，4BD OA ==， 6OB BD ∴+=，

∴点C 的坐标为(6,2)，

∵抛物线2

3y ax x c =++的图象经过点C ，与y 轴交于点(0,2)E ，

236182c a c =?∴?++=?

， 解得，122

a c ?

=-?

??=?，

∴抛物线的表达式为2

1322

y x x =-

++； （2）①设直线AC 的表达式为y kx b =+， ∵直线AC 经过点()6,2C ，(0,4)A ，

∴624k b b +=??=?

，

解得，134

k b ?

=-?

??=?，即143y x =-+，

∴点G 的纵坐标用含m 的代数式表示为：1

43

m -+，

故答案为：143

m -+．

②过点G 作GM x ⊥轴于点M ，

OM m ∴=，1

43

GM m =-+，

AB BC =，BG AC ⊥， AG CG ∴=，

90AOB GMH CDH ?∠=∠=∠=，

OA GM CD ∴，

1OM AG

MD GC

∴

==， 1

32OM MD OD ∴===，

3m ∴=，1433

m -+=，

∴点G 为(3,3)，

设直线BG 的表达式为y kx b =+，将(3,3)G 和(2,0)B 代入表达式得，20

33

k b k b +=??

+=?，

36

k b =?∴?=-?，即表达式为36y x =-， 点F 为直线BG 和抛物线的交点，

∴得2

132362

x x x -

++=-， 14x ∴=，24x =-（舍去）， ∴点F 的坐标为(4,6)，

过点F 作FP y ⊥轴，垂足为点P ，PF 的延长线与DC 的延长线交于点Q ，

4PF ∴=，2AP =，2FQ =，4CQ =，

在Rt AFP △中和Rt FCQ △中，根据勾股定理，得25AF FC ==， 同理可得25AB BC ==，

AB BC CF FA ∴===， ∴四边形ABCF 为菱形， 90ABC ?∠=， ∴菱形ABCF 为正方形；

③∵直线AC ：1

43

y x =-

+与x 轴交于点H ，

∴1

403

x -

+=， 解得，x ＝12， ∴(12,0)H ，

∴2

2

2

(64)(26)20FC =-+-=，2

2

2

(126)(02)40CH =-+-=， 设点N 坐标为(,)s t ，

∴2

2

2

(4)(6)FN s t =-+-，2

2

2

(12)(0)NH s t =-+-， 第一种情况：若△FHC ≌△FHN ，则FN ＝FC ，NH ＝CH ，

∴2222

(4)(6)20(12)40s t s t ?-+-=?-+=?

， 解得，11425265s t ?

=????=??

，226

2s t =??=?（即点C ），

∴4226,55N ??

??

?； 第二种情况：若△FHC ≌△HFN ，则FN ＝CH ，NH ＝FC ，

∴2222

(4)(6)40(12)20s t s t ?-+-=?-+=?

， 解得，11385

45s t ?

=????=??

，22104s t =??=?，

∴384,55N ??

??

?或(10,4)N ， 综上所述，以F ，H ，N 为顶点的三角形与△FHC 全等时，点N 坐标为(10,4)或4226,55??

???

或384,55??

??

?． 【点睛】

本题是函数与几何的综合题，考查了待定系数法求函数的表达式，全等三角形的判定与性质，菱形与正方形的判定，旋转的性质，勾股定理等知识，其中对全等三角形存在性的分析，因有一条公共边，可对另外两边进行分类讨论，本题有一定的难度，是中考压轴题．

6．小明研究了这样一道几何题：如图1，在△ABC 中，把AB 点A 顺时针旋转α (0°＜α＜180°)得到AB ′，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC ′，连接B ′C ′．当α+β=180°时，请问△AB ′C ′边B ′C ′上的中线AD 与BC 的数量关系是什么？以下是他的研究过程：

特例验证：

(1)①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=BC；

②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为．

猜想论证：

(2)在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．

拓展应用

(3)如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠A+∠B=120°，BC=12，CD=6，DA=63，在四边形内部是否存在点P，使△PDC与△PAB之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P的位置(保留作图痕迹，不需要说明)并直接写出△PDC的边DC上的中线PQ的长度；若不存在，说明理由．

【答案】(1)①1

2

；②4

(2) AD=1

2

BC，理由见解析

(3)存在，313

【解析】

【分析】

(1)①由已知条件可得AD⊥B′C′，由α+β=180°可得∠BAC+∠B′AC′=180°，已知∠BAC=60°，可

求得∠B′AC′=120°继而∠B′=∠C′=30°，可得AD=1

2

AB′=

1

2

BC

②当∠BAC=90°时，可得∠B′AC′=∠BAC=90°，△B′AC′是直角三角形，可证得

△BAC≌△B′AC′，推出对应边相等，已知BC=8求出AD的长.

（2）先做辅助线，延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M、C′M，如图1所示：

因为B′D=DC′，AD=DM，对角线相互平分，可得四边形AC′MB′是平行四边形，得出对应边相等，由∠BAB′+∠CAC′=180°推得∠BAC=∠AB′M，可证明△BAC≌△AB′M，所以BC=AM，

AD=1

2 BC；

(3)先做辅助线，作线段BC的垂直平分线交BE于P，即为点P的位置；延长AD交BC的延长线于M，线段BC的垂直平分线交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PDC的中线PQ，连接DF交PC于O

假设P点存在，再证明理由.

根据已知角可得出△DCM是直角三角形，∠MDC=30°，可得出CM

DM

在；

∵CD=6，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∠M=90°﹣∠MDC=60°，可求得EM=1

2 BM

DE=EM﹣DM

﹣

由已知DA

AE=DE

且BE⊥AD，可得PF是线段BC的垂直平分线，证得PA=PD

因为PB=PC，PF∥CD，可求得CF=1

2

BC

，利用线段长度可求得∠CDF=60°

利用全等三角形判定定理可证得△FCP≌△CFD(AAS)，进而证得四边形CDPF是矩形，

得∠CDP=90°，∠ADP =60°，可得△ADP是等边三角形，求出DQ、DP，在Rt△PDQ中可求得PQ长度.

【详解】

(1)①∵△ABC是等边三角形

∴AB=BC=AC=AB′=AC′，∠BAC=60°

∵DB′=DC′

∴AD⊥B′C′

∵∠BAB′+∠CAC′=180°

∴∠BAC+∠B′AC′=180°

∴∠B′AC′=180°﹣∠BAC=180°﹣60°=120°

∴∠B′=∠C′=30°

∴AD=1

2

AB′=

1

2

BC

故答案：1 2

②∵∠BAB′+∠CAC′=180°∴∠BAC+∠B′AC′=180°∵∠BAC=90°

∴∠B′AC′=∠BAC=90°

在△BAC和△B′AC′中，

'

'"90

"

AB AB

BAC B AC

AC AC

=

?

?

∠=∠=??

?=

?

∴△BAC≌△B′AC′(SAS)∴BC=B′C′

∵B

′D=DC′

∴AD=1

2

B′C′=

1

2

BC=4

故答案：4

(2)AD与BC的数量关系：AD=1

2

BC；理由如下：

延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M、C′M，如图1所示：∵B′D=DC′，AD=DM，

∴四边形AC′MB′是平行四边形，

∴∠B′AC′+∠AB′M=180°，AC′=B′M=AC，

∵∠BAB′+∠CAC′=180°，

∴∠BAC+∠B′AC′=180°，

∴∠BAC=∠AB′M，

在△BAC和△AB′M中，

'

'

'

AC B M

BAC AB M

AB AB

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△BAC≌△AB′M(SAS)，∴BC=AM，

∴AD=1

2 BC；

(3)存在；作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，即为点P的位置；理由如下：

延长AD交BC的延长线于M，线段BC的垂直平分线交BC于F，连接PA、PD、PC，作

△PDC的中线PQ，连接DF交PC于O，如图4所示：

∵∠A+∠B=120°，

∴∠ADC=150°，

∴∠MDC=30°，

在Rt△DCM中，∵CD=6，∠DCM=90°，∠MDC=30°，

∴CM3DM3，∠M=90°﹣∠MDC=60°，

在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=BC+CM333，∠MBE=90°﹣∠M=30°，

∴EM=1

2

BM3

∴DE=EM﹣DM

∵DA

∴AE=DE，

∵BE⊥AD，

∴PA=PD，

∵PF是线段BC的垂直平分线，∴PB=PC，PF∥CD，

在Rt△CDF中，∵CD=6，CF=1

2 BC

∴tan∠CDF=CF

CD

=

6

，

∴∠CDF=60°，

∴∠MDF=∠MDC+∠CDF=30°+60°=90°，∴∠ADF=90°=∠AEB，

∴∠CBE=∠CFD，

∵∠CBE=∠PCF，

∴∠CFD=∠PCF=30°，

∵∠CFD+∠CDF=90°，∠PCF+∠CPF=90°，∴∠CPF=∠CDF=60°，

在△FCP和△CFD中，

CPF CDF

PCF CFD CF CF

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△FCP≌△CFD(AAS)，

∴CD=PF，

∵CD∥PF，

∴四边形CDPF是矩形，

∴∠CDP=90°，

∴∠ADP=∠ADC﹣∠CDP=60°，

∴△ADP是等边三角形，

∴∠APD=60°，

∵∠BPF=∠CPF=90°﹣30°=60°，

∴∠BPC=120°，

∴∠APD+∠BPC=180°，

∴△PDC与△PAB之间满足小明探究的问题中的边角关系；

在Rt△PDQ中，∵∠PDQ=90°，PD=DA

DN=

1

2

CD=3，

∴PQ

．

【点睛】

本题考查了三角形的边旋转的问题，旋转前后边长不变，根据已知角度变化，求得线段之间关系.在证明某点知否存在时，先假设这点存在，能求出相关线段或坐标，即证实存在性.

7．(1)如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD．

①求证：四边形BFDE是菱形；

②直接写出∠EBF的度数；

(2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究，如图②，点G、I分别在BF、BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH并延长，交ED于点J，连接IJ、IH、IF、IG.试探究线段IH

与FH之间满足的关系，并说明理由；

(3)把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE、EF、DF，使△DEF是等腰直角三角形，DF交AC于点G.请直接写出线段AG、GE、EC三者之间满足的数量关系.

【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH3；（3）EG2＝AG2+CE2．

【解析】

【分析】

（1）①由△DOE≌△BOF，推出EO＝OF，∵OB＝OD，推出四边形EBFD是平行四边形，再证明EB＝ED即可．

②先证明∠ABD＝2∠ADB，推出∠ADB＝30°，延长即可解决问题．

（2）IH3．只要证明△IJF是等边三角形即可．

（3）结论：EG2＝AG2+CE2．如图3中，将△ADG绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，先证明△DEG≌△DEM，再证明△ECM是直角三角形即可解决问题．

【详解】

（1）①证明：如图1中，