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《概率论》数学1章课后习题详解

1、10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率.

解: 设事件A ={能打开门}, 则A 为不能打开门

基本事件总数

210C n =, 有利于A 的基本事件数27C n A =, 467.0157910212167)(21027==?????==C C A P

因此, 533.0467.01)(1)(=-=-=A P A P .

2、100个产品中有3个次品(隐含条件?),任取5个, 求其次品数分别为0,1,2,3的概率.

解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3,

基本事件总数5100C n =, 有利于A i 的基本事件数为

3,2,1,0,5973==-i C C n i i i 则

00006.09833512196979697989910054321)(006.098

3359532195969739697989910054321)(138.098

33209495432194959697396979899100543213)(856.033

4920314719969798991009394959697)(510029733510039723225100

49711510059700=??==???????????====??=

??????????????====???=

????????????????=?===????=????????===C C n n A P C C C n n A P C C n n A P C C n n A P

3、 一个袋内有5个红球, 3个白球, 2个黑球, 计算任取3个球恰为一红, 一白, 一黑的概率.

解: 设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件,

则基本事件总数310C n =, 有利于A 的基本事件数为

121315C C C n A =, 则25.0412358910321)(310121315==???????===C C C C n n A P A

4、两封信随机地投入四个邮筒, 求(1)前两个邮筒内没有信的概率(2)第一个邮筒内只有一封信的概率.

解: (1)设A 为前两个邮筒没有信的事件, (2)B 为第一个邮筒内只有一封信

则基本事件总数1644=?=n ,

有利于A 的基本事件数422=?=A n ,

有利于B 的基本事件数632=?=B n , 则25.041164)(====n n A P A

P (B )=

5、 一批产品中, 一, 二, 三等品率分别为0.8, 0.16, 0.04, 若规定一, 二等品为合格品, 求产品的合格

解: 设事件A 1为一等品, A 2为二等品, B 为合格品, 则

P (A 1)=0.8, P (A 2)=0.16,

B =A 1+A 2, 且A 1与A 2互不相容, 根据加法法则有

P (B )=P (A 1)+P (A 2)=0.8+0.16=0.96

6、袋内装有两个5分, 三个2分, 五个一分的硬币(隐含条件?), 任意取出5个, 求总数大于一角的概率.

解: 假设B 为总数大于一角(分析:(1)至少有一个是5分;(2)当仅有1个5分时,必须至少有2个2分))

设:A 1为5个中有两个5分,

A 2为5个中有一个5分三个2分一个1分,

A 3为5个中有一个5分两个2分两个1分, 则

B =A 1+A 2+A 3, 而A 1,A 2,A 3互不相容, 基本事件总数252762354321678910510=???=????????==

C n

设有利于A 1, A 2 , A 3的基本事件数为n 1, n 2, n 3,

5.0252126252601056)(,602

14532,

1052,563

216782523123153312238221==++==???

?===?===????==B P C C C n C C C n C C n

7、 求习题2中次品数不超过一个的概率.(100个产品中有3个次品(隐含条件?),任取5个, …)

解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3, B 为次品数不超过一个,

则B =A 0+A 1, A 0与A 1互不相容, 则根据第2题的计算结果有

P (B )=P (A 0)+P (A 1)=0.856+0.138=0.994

8、 由长期统计资料得知, 某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4/15, 刮风(用B 表示)的概率为7/15, 既刮风又下雨的概率为1/10, 求P (A |B ), P (B |A ), P (A +B ).

解: 根据题意有P (A )=4/15, P (B )=7/15, P (AB )=1/10, 则

633.03019303814101154157)()()()(275.08

315/410/1)())|(214.014

315/710/1)()()|(==-+=-+=-+=+========AB P B P A P B A P A P PAB A B P B P AB P B A P

9、为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A 与B , 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A 为0.92, 系统B 为0.93, 在A 失灵的条件下, B 有效的概率为0.85, 求

(1) 发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率

(2) B 失灵的条件下, A 有效的概率

解: 设A 为系统A 有效, B 为系统B 有效, 则根据题意有

P (A )=0.92, P (B )=0.93, 85.0)|(=A B P

(1) 两个系统至少一个有效的事件为A +B , 其对立事件为两个系统都失效, 即B A B A =+, 而15.085.01)|(1)|(=-=-=A B P A B P , 则

988.0012.01)(1)(012

.015.008.015.0)92.01()|()()(=-=-=+=?=?-==B A P B A P A B P A P B A P

(2) B 失灵条件下A 有效的概率为)|(B A P , 则

829.093.01012.01)()(1)|(1)|(=--=-=-=B P B A P B A P B A P

10、 10个考签中有4个难签, 3人参加抽签考试, 不重复地抽取, 每人一次, 甲先, 乙次, 丙最后, 证明3人抽到难签的概率相等.

证: 设事件A ,B ,C 表示甲,乙,丙各抽到难签, 显然P (A )=4/10,

而由

903095106)|()()(90

2496104)|()()(90

2494106)|()()(90

1293104)|()()(=?===?===?===?=

=A B P A P B A P A B P A P B A P A B P A P B A P A B P A P AB P

由于A 与A 互不相容,且构成完备事件组, 因此B A AB B +=可分解为两个互不相容事件的并, 则有

1049036902412)()()(==+=+=B A P AB P B P 又因B A B A B A AB ,,,之间两两互不相容且构成完备事件组, 因此有 C B A C B A BC A ABC C +++=分解为四个互不相容的事件的并,

720120849030)|()()(720

72839024)|()()(720

72839024)|()()(720

24829012)|()()(=?===?===?===?=

=B A C P B A P C B A P B A C P B A P C B A P B A C P B A P BC A P AB C P AB P ABC P 则104720288720120727224()()()()(==+++=

+++=C B A P C B A P BC A P ABC P C P

因此有P (A )=P (B )=P (C ), 证毕.

11、 用3台机床加工同一种零件, 零件由各机床加工的概率分别为0.5, 0.3, 0.2, 各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94, 0.9, 0.95, 求全部产品中的合格率.

解: 设A 1,A 2,A 3零件由第1,2,3个机床加工, B 为产品合格,

A 1,A 2,A 3构成完备事件组.

则根据题意有

P (A 1)=0.5, P (A 2)=0.3, P (A 3)=0.2,

P (B |A 1)=0.94, P (B |A 2)=0.9, P (B |A 3)=0.95

由全概率公式得全部产品的合格率P (B )为

93

.095.02.09.03.094.05.0)|()()(3

1=?+?+?==∑=i i i A B P A P B P

12、12个乒乓球中有9个新的3个旧的, 第一次比赛取出了3个, 用完后放回去, 第二次比赛又取出3个, 求第二次取到的3个球中有2个新球的概率. 解: 设A 0,A 1,A 2,A 3为第一次比赛取到了0,1,2,3个新球, A 0,A 1,A 2,A 3构成完备事件组.

设B 为第二次取到的3个球中有2个新球. 则有

22962156101112321)|(,55

2132101112789321)(,442152167101112321)|(,55272101112389321)(,552842178101112321)|(,2202710111239321)(,552732189101112321)|(,220

1101112321)(312

16263312393312

15272312

13292312

14281312

23191312

132********=????????===?????????===????????===????????===????????===??????===????????===????==C C C A B P C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C A P 根据全概率公式有

455.01562.02341.00625.00022.022

955214421552755282202755272201)

|()()(3

0=+++=?+?+?+?=

=∑=i i i A B P A P B P

13、某商店收进甲厂生产的产品30箱, 乙厂生产的同种产品20箱(隐含条件?), 甲厂每箱100个, 废品率为0.06, 乙厂每箱装120个, 废品率是0.05, 求:

(1)任取一箱, 从中任取一个为废品的概率;

(2)若将所有产品开箱混放, 求任取一个为废品的概率.

解: (1) 设B 为任取一箱, 从中任取一个为废品的事件.

设A 为取到甲厂的箱, A 为乙厂的箱,则A 与A 构成完备事件组

056.005.04.006.06.0)

|()()|()()(05

.0)|(,06.0)|(4.050

20)(,6.05030)(=?+?=+=======A B P A P A B P A P B P A B P A B P A P A P (2) 设B 为开箱混放后任取一个为废品的事件.

则甲厂产品的总数为30×100=3000个, 其中废品总数为3000×0.06=180个, 乙厂产品的总数为20×120=2400个, 其中废品总数为2400×0.05=120个,

因此

...055555555.0540030024003000120180)(==++=

B P

14、有两个口袋, 甲袋中盛有两个白球, 一个黑球,(隐含条件?) 乙袋中盛有一个白球两个黑球(隐含条件?). 由甲袋中任取一个球放入乙袋, 再从乙袋中取出一个球, 求取到白球的概率.

解: 设事件A 为从甲袋中取出的是白球, 则A 为从甲袋中取出的是黑球, A 与A 构成完备事件组. 设事件B 为从乙袋中取到的是白球.

则P (A )=2/3, P (A )=1/3,

P (B |A )=2/4=1/2, P (B |A )=1/4,

则根据全概率公式有

417.012541312132)|()()|()()(==?+?=

+=A B P A P A B P A P B P

15、 上题中若发现从乙袋中取出的是白球, 问从甲袋中取出放入乙袋的球, 黑白哪种颜色可能性大?

解: 事件假设如上题, 而现在要求的是在事件B 已经发生条件下, 事件A 和A 发生的条件概率P (A |B )和P (A |B )哪个大, 可以套用贝叶斯公式进行计算, 而计算时分母为P (B )已上题算出为0.417, 因此

2.0417.04131)()|()()|(8.0417

.02132)()|()()|(=?===?==B P A B P A P B A P B P A B P A P B A P

P (A |B )>P (A |B ), 因此在乙袋取出的是白球的情况下, 甲袋放入乙袋的球是白球的可能性大.

16、甲, 乙两部门处理日常性事务, 根据长期资料总结, 甲部门办事评优的概率为1%, 乙部门办事评优的概率为2%,。现抽查两个部门的办事档案, 由乙部门处理的事务量比甲部门处理的事务量大一倍,。今从档案的事务中任意取出一件, 经检查恰好评优的案档, 试由此检查结果恰为甲部门所处理的概率.

解: 设A 为零件由甲机器制造, 则A 为零件由乙机器制造, A 与A 构成完备事件组. (注:要善于利用A 与A 的关系)。

由P (A +A )=P (A )+P (A )=1并由题意知P (A )=2P (A ),

得P (A )=1/3, P (A )=2/3.

设B 为零件为废品, 则由题意知

P (B |A )=0.01, P (B |A )=0.02,

则根据贝叶斯公式, 任抽一件检查为废品条件下零件由甲机器制造的概率为

2.005.001.002.03201.03101.031)

|()()|()()|()()|(==?+??==+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P

17、 假设有3箱同种型号的零件, 里面分别装有50件, 30件和40件, 而一等品分别有20件, 12件及24件. 现在任选一箱(隐含条件?)从中随机地先后各抽取一个零件(第一次取到的零件不放回). 试求先取出的零件是一等品的概率; 并计算两次都取出一等品的概率.

解: 称这三箱分别为甲,乙,丙箱, 假设A 1, A 2, A 3分别为取到甲,乙,丙箱的事件, 则A 1, A 2, A 3构成完备事件组.

易知P (A 1)=P (A 2)=P (A 3)=1/3.

设B 为先取出的是一等品的事件. 则6.04024)|(,4.03012)|(,4.05020)|(321======A B P A B P A B P

根据全概率公式有

467.036.04.04.0)|()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P

设C 为两次都取到一等品的事件, 则

38.039

402324)|(1517.029

301112)|(1551.049501920)|(24022432302122250

2201=??===??===??==C C A C P C C A C P C C A C P 根据全概率公式有

22.033538.01517.01551.0)|()()(31=++=

=∑=i i i A C P A P C P

18、甲,乙两人射击, 甲击中的概率为0.6, 乙击中的概率为0.7, 两人同时射击, 并假定中靶与否是独立的. 求(1)两人都中靶的概率; (2) 甲中乙不中的概率;

解: 设事件A 为甲击中, 事件B 为乙击中, 则A 与B 相互独立,

P (A )=0.6, P (B )=0.7

(1) 两人都中靶的概率

P (AB )=P (A )P (B )=0.6×0.7=0.42

(2) 甲中乙不中的概率

18.03.06.0)](1)[()(=?=-=B P A P B A P (3) 甲不中乙中的概率

28.07.04.0)()](1[)(=?=-=B P A P B A P

19、加工一个产品要经过三道工序, 第一,二,三道工序不出废品的概率分别为0.9, 0.95, 0.8, 若假定各工序是否出废品为独立的, 求经过三道工序而不出废品的概率.

解: 设事件A ,B ,C 为经过第一,二,三道工序不出废品, 则A ,B ,C 相互独立, 且有 P (A )=0.9, P (B )=0.95, P (C )=0.8

经过三道工序而不出废品的概率为

P (ABC )=P (A )P (B )P (C )=0.9×0.95×0.8=0.684

20、一个自动报警器由雷达和计算机两部分组成, 两部分有任何一个失灵, 这个报警器失灵, 若使用100小时后, 雷达部分失灵的概率为0.1, 计算机失灵的概率为0.3, 若两部分失灵与否为独立的, 求这个报警器使用100小时而不失灵的概率.

解: 设A 为雷达失灵, B 为计算机失灵, 则A 与B 相互独立, 且有

P (A )=0.1, P (B )=0.3

因此, 这个报警器使用100小时不失灵的概率为

63.07.09.0)3.01)(1.01()](1)][(1[)()()(=?=--=--==B P A P B P A P B A P

21、制造一种零件可采用两种工艺, 第一种工艺有三道工序, 每道工序的废品率分别为0.1, 0.2, 0.3; 第二种工艺有两道工序, 每道工序的废品率都是0.3; 如果使用第一种工艺, 在合格零件中, 一级品率为0.9, 而用第二种工艺, 合格品中的一级品率只有0.8, 试问哪一种工艺能保证得到一级品的概率较大?

解: (1) 计算第一种工艺的一级品率

设A 1,A 2,A 3为经过第一,二,三道工序时出废品, B 为产品合格, C 为产品为一级品 则A 1,A 2,A 3

相互独立, 321A A A B =, 并有 P (A 1)=0.1, P (A 2)=0.2, P (A 3)=0.3,

P (C |B )=0.9

504

.07.08.09.0)3.01)(2.01)(1.01()]

(1)][(1)][(1[)()()()(321321=??=---=---==A P A P A P A P A P A P B P

因C B ?, 因此BC =C , 则 )()()()()|(B P C P B P BC P B C P ==,

则第一种工艺的一级品率为4536.09.0504.0)|()()(=?==B C P B P C P

(2) 计算第二种工艺的一级品率

设设A 1,A 2为经过第一,二道工序时出废品, B 为产品合格, C 为产品为一级品 则A 1,A 2相互独立, 21A A B =, 并有

P (A 1)=P (A 2)=0.3

P (C |B )=0.8

49.07.07.0)3.01)(3.01()]

(1)][(1[)()()(2121=?=--=--==A P A P A P A P B P

因C B ?, 因此BC =C ,

则 )()()()()|(B P C P B P BC P B C P ==,

因此第二种工艺的一级品率为392.08.049.0)|()()(=?==B C P B P C P 因此, 第一种工艺的一级品率0.4536要大于第二种工艺的一级品率0.392.

22、3人独立地去破译一个密码, 他们能译出的概率分别为1/5, 1/3, 1/4, 问能将此密码译出的概率是多少(与任何一人译出是等价的)?

解: 设A ,B ,C 为各个人译出密码, 则A ,B ,C 相互独立, 且有

P (A )=1/5, P (B )=1/3, P (C )=1/4,

因此, 将密码译出的概率为

6.05214332541)

4/11)((3/11)(5/11(1)]

(1)][(1)][(1[1)()()(1)(=-=??-=----=----=-=++C P B P A P C P B P A P C B A P

24、 电灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2, 求3个灯泡在使用1000小时后, 最多只有一个坏了的概率.

解: 在此贝努里试验概型中, 设事件A 为灯泡损坏, 则事件A 发生的概率p =1-0.2=0.8, 试验次数n =3, 设事件B 为最多只有一个坏, 因此

104.0096.0008.08.02.032.0)1()0()(2333=+=??+=+=p p B P

25、 某机构有一个9人组成的顾问小组, 若每个顾问贡献正确意见的百分比是0.7, 现在该机构对某事可行与否征求各位顾问意见, 并按2/3以上人意见做出决策, 求做出正确决策的概率.

解: 在此贝努里试验概型中, 设事件A 为顾问贡献正确意见, 试验次数n =9, 事件B 为作出正确决策, 则

9011.00404.01556.02668.02668.01715.07.03.07.093.07.021983.07.03219873.07.0432198763.07.0)()(982736459

599959=++++=+??+????+??????+????????=

=

??==∑∑=-=k k k k k C k p B P

26、 某店内有4名售货员, 据经验每名售货员平均在一小时内只用秤15分钟, 问该店配置几台秤较为合理?

解: 每时刻的用秤情况构成一贝努里试验概型, A 为一个售货员要用秤的事件, 其概率为p =1/4=0.25, 四个售货员代表试验四次, 设B i 为至多要用i 台秤, i =0,1,2,3,4, 则

95.09492.02109.07383.05625.00625.02

347383.075.025.07383.0)2()1()0()(7383

.075.025.043164.0)1()0()(3164

.075.0)0()(222444423441440≈=+=???+

=??+=++==??+=+====C p p p B P p p B P p B P 可以看出用2台秤就可以保证以近95%的概率用秤情况不会冲突, 因此配置二台秤较为合理.