2019年高考数学模拟试题含答案
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F
D
C
B
A 2019年高考数学模拟试题（理科）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的
1．已知集合}032{2>--=x x x A ，}4,3,2{=B ，则B A C R ?)(=
A ．}3,2{
B ．}4,3,2{
C ．}2{
D ．φ
2．已知i 是虚数单位，i
z +=
31
，则z z ?= A ．5
B ．10
C ．
10
1
D ．
5
1 3．执行如图所示的程序框图，若输入的点为(1,1)P ，则输出的n 值为
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
（第3题） （第4题）
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4．如图，ABCD 是边长为8的正方形，若1
3
DE EC =，且F 为BC 的中点，则EA EF ?=
A ．
10 B
．12
C ．16
D ．20
5．若实数y x ,满足??
???≥≤-≤+012
y x y y x ，则y
x z 82?=的最大值是
A ．4
B ．8
C ．16
D ．32
6.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为 A ．3228516++ B ．32532+
C ．32216+
D ．32216516++
7. 5张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是 A ．
10
1
B ．
51 C ．10
3 D ．
5
4
8．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，且11-=a ，11++?=n n n S S a ，则5a = A ．
30
1
B ．031-
C ．021
D ．20
1- 9. 函数()1ln
1x
f x x
-=+的大致图像为
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10. 底面为矩形的四棱锥ABCD P -的体积为8，若⊥PA 平面ABCD ,且3=PA ，则四棱锥
ABCD P -的外接球体积最小值是
A ．π625
B ．π125
C ．π6
251 D ．π25
11. 已知抛物线()220y px p =>,过焦点且倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B 两点，以AB
为直径的圆与抛物线的准线相切，切点的纵坐标是3，则抛物线的准线方程为 A ．1x =- B ．3x =-
C ．3
x =- D ．3x =- 12. 已知函数x x x f ln )(2
-=（22≥x ），函数2
1
)(-=x x g ，直线t y =分别与两函数交于B A ,两点，则AB 的最小值为 A ．2
1
B ．1
C ．
2
3
D ．2
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 设样本数据1x ，2x ，...，2018x 的方差是5，若13+=i i x y （2018,...,2,1=i ），则1y ，
2y ，...，2018y 的方差是________
14. 已知函数x x x f ωωcos 3sin )(-=（0>ω），若3=ω，则方程1)(-=x f 在),0(π的
实数根个数是_____
15. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33? 的方格
内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…， 2n 填入n n ?的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中， 315N =)，则5N =_______
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16.已知ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1c =，π
3
C =
． 若sin sin()sin 2C A B B +-=，则ABC ?的面积为
三、解答题：本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分，第22—23题为选考
题，考生根据要求做答，每题10分． 17.(本小题满分12分)
设数列}{n a 是公差为d 的等差数列.
(Ⅰ) 推导数列}{n a 的通项公式；
(Ⅱ) 设0≠d ，证明数列}1{+n a 不是等比数列.
18．(本小题满分12分)
某中学为了解全校学生的上网情况，在全校随机抽取了40名学生(其中男、女生各占一半)进行问卷调查，并进行了统计，按男、女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0，5)，[5，10)，[10，15)，[15，20)，[20，25]，得到如图所示的频率分布直方图．
(Ⅰ)写出女生组频率分布直方图中a 的值；
(Ⅱ)在抽取的40名学生中从月上网次数不少于20的学生中随机抽取2人，并用X 表示随机抽取的2人中男生的人数，求X 的分布列和数学期望．
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C 1
B 1
A 1
C
B
A
19.(本小题满分12分)
在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA AC AB ，CA BA ⊥。
(Ⅰ)证明：1BC ⊥1AB ；
(Ⅱ) 求直线C A 1与平面11BC A 所成的角．
20.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x E ，
圆)0(:2
2
2
b r r y x O <<=+，若圆O 的一条切线m kx y l +=:与椭圆E 相交于B A ,两点.
(Ⅰ)当1,3
1
=-=r k ,若点B A ,都在坐标轴的正半轴上,求椭圆的方程；
(Ⅱ)若以AB 为直径的圆经过坐标原点，探究r b a ,,之间的等量关系.
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21.(本小题满分12分)
已知函数ax e x f x
-=)(（e 是自然对数的底数）.
(Ⅰ) 求)(x f 的单调区间；
(Ⅱ)若1-≥a ，当m ax x a x x xf +-++-
≥132
35)(2
3
对任意),0[+∞∈x 恒成 立时，m 的最大值为1，求实数a 的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请先将对应题号用铅笔涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为???+==.
sin 31,
cos 3θθy x （θ为参数）．以坐标原点
为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρcos 2=． (Ⅰ) 写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
(Ⅱ) 设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，判断1C 与2C 的位置关系并求||PQ 的最小值．
23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数12)(-++=x m x x f （0>m ）. (Ⅰ)当1=m 时，解不等式2)(≥x f ；
(Ⅱ)当]2,[2
m m x ∈时，不等式
1)(2
1
+≥x x f 恒成立，求实数m 的取值范围.
数学科答案（理科）
一、选择题 1-5ACADD 6-10ABCBC 11-12BA
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二、填空题 13.45 14.3 15.65 16.6
343或 三、解答题
17. 解：（1）因为}{n a 是等差数列且公差为d ，所以）（21≥=--n d a a n n ...........1 d a a =-∴12 ， d a a =-23，... ， d a a n n =--1 (3)
将上述式子相加，得 d n a a n )1(1-=-
所以，数列}{n a 的通项公式为d n a a n )1(1-+=.................6 （2）假设数列}1{+n a 是等比数列，.. (7)
当2≥n 时，11+-n a ，1+n a ，11++n a 成等比数列
所以)
1()1()1(112
+?+=++-n n n a a a (9)
所以 ])1[(])1[()1(2
d a d a a n n n ++?-+=+
所以
02=d ，所以0=d ，这与0≠d 矛盾
所以，数列}1{+n a 不是等比数列 (12)
18.解：(1)由频率分布直方图，得a =1(20.020.030.08)5
5
-?++?错误！未找到引用
源。=0.05． (3)
(2)在抽取的女生中，月上网次数不少于20的学生的频率为0.02×5=0.1，
学生人数为0.1×20=2．.........................4 同理，在抽取的男生中，月上网次数不少于20的
学生人数为0.03×5×20=3，.....................................5 故X 的所有可能取值为0，1，2，
则 22
25C 1(0)C 10P X ===错误！未找到引用源。，112325C C 6(1)C 10
P X ===错误！未找到
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引用源。，2325C 3
(2)C 10
P X === (9)
所以X 的分布列为
所以E (X )=0×
110错误！未找到引用源。+1×5
错误！未找到引用源。+2×310=6
5错误！未找到引用源。． (12)
19.解：（1）由题意，以A 为坐标原点，以AB,AC,1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴,z 轴建立空间直角坐标系A-xyz. 因为21===AA AC AB
则)0,0,0(A ，)0,0,2(B ，)0,2,0(C ，)2,0,0(1A ，)2,0,2(1B ，)2,2,0(1C (3)
所以）（2,2,21-=?→
?BC ，）（2,0,21=?→
?AB
所以040411=++-=??→
??→?AB BC ..........................................4 所
以
?→
??→?⊥1
1AB BC ，所以
1BC ⊥1
AB (5)
（2）又因为）（2,0,21-=?→
?B A ，所以0404A 11=-+=??→
??→
?B A B 所以?→
??→?⊥B A B 11A 又因为B BC B A =?11
所以111BC A AB 平面⊥，............................................8 又)2,2,0(1-=?→
?C A ，所以21
8
84,cos 11-=?->=
??→
?AB C A (10)
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所以 3
2,11π
>=
??→?AB C A ，............................................11 所以直线C A 1与平面11BC A 所成的角为6
π
(12)
20.解（1）因为圆O 的一条切线为m kx y l +=:
所以r k
m
=+21，当1,31
=-=r k ，所以310=m ..................2 又点B A ,都在坐标轴的正半轴上，所以310=
m ，所以切线3
1031:+-=x y l 所以B A ,两点坐标是)3
10
,
0(和)0,10(，..............................4 所以椭圆的方程为1109102
2=+y x (5)
（2）设),(11y x A ，),(22y x B ，以AB 为直径的圆经过坐标原
所以02121=+y y x x ，所以0))((2121=+++m kx m kx x x ..................6 所以0)()1(221212=++++m x x km x x k
由??
???+==+
m kx y b y a x 122
22所以02)(222222222=-+++b a m a x kma x k a b 所以222222221b k a b a m a x x +-=，2222
212b k a kma x x +-=+ (8)
所以0)()2())(1(2222222222=++-+-+b k a m kma km b a m a k .................10 且)1(222k r m +=
所以2222222)1()1()(b a k k r b a +=++,................................11 所以
222111r b a =
+ (12)
10 / 12
21. 解（1）因为
a
e x f x -=')( (1)
①0≤a 时，0)(≥'x f 恒成立，所以)(x f 在R 上单调递增，无减区间； (2)
②0>a 时，0)(=-='a e x f x 有a x ln =，
且)ln ,(a x -∞∈时，0)(<'x f .),(ln +∞∈a x 时，0)(>'x f ，
所以)(x f 的增区间是),(ln +∞a ，减区间是)ln ,(a -∞ (4)
（2）m ax x a x x xf +-++-
≥132
35)(2
3对任意),0[+∞∈x 恒成立， 所以m ax x a x ax e x x +-++-≥-132
35)(2
3对任意),0[+∞∈x 恒成立
所以1)32)
1(3(2+-++-≤a x a x e x m x 对任意),0[+∞∈x 恒成立 (5)
设),0[,32
)
1(3)(2+∞∈-++-=x a x a x e x g x ，因为m 的最大值为1， (6)
所以恒成立032
)
1(3)(2≥-++-=a x a x e x g x
2)
1(32)(++-='a x e x g x ， (7)
令2
)1(32)(++-=a x e x h x
所以02)(=-='x
e x h 有2ln =x ，且)2ln ,0[∈x ，0)(<'x h ，),2[ln +∞∈x ，0)(>'x h
所以
02ln 2)1(2
3
2)2(ln )(>-++='≥'a g x g 所以)(x g 在),0[+∞∈x 是单调递增的。 (10)
所以031)0()(≥-=≥a g x g 恒成立，所以3
1
≤a (11)
所以实数a 的取值范围是]3
1
,1[- (12)
22.解：(Ⅰ) 1C 的普通方程为：22(1)9x y +-= ………………（２分）
将2C 的极坐标方程变形为：2=2cos ρρθ， ∵x =θρcos ，y =θρsin ，
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∴2C 的直角坐标方程为：222x y x +=
即22(1)1x y -+=． ………………（５分） (Ⅱ) 由(Ⅰ)知：曲线1C 与2C 都是圆．
圆1C 的圆心为1C (0,1)，半径为13r =；圆2C 的圆心为2C (10)，，半径为21r =
∵1212||2||C C r r =<=-
∴圆1C 与圆2C 内含 ………………（８分）
||PQ
的最小值为：1212||||2r r C C --=………………（10分）
23.解：（1）由题知，2121≥-++x x . (1)
所以①??
?
??≥-++≥21212
1x x x ，解得32≥x ...........................2 ②???≥+----≤21211
x x x ，解得1-≤x (3)
③???
??≥-++<<-2
2112
11x x x ，解得01≤<-x .......................4 所以，不等式的解集是(]??
?
???+∞∞-,320, (5)
（2）因为???><022m m m ，所以21
>m (6)
不等式
1)(2
1
+≥x x f 所以2212+≥-++x x m x ...............................8 所以m x -≥3
所以m m -≥3 (9)
12 / 12
所以2
3≥
m 所以，实数m 的取值范围是??
?
???+∞,23 (10)