函数极限连续重要概念公式定理
一、函数、极限、连续重要概念公式定理
(一)数列极限的定义与收敛数列的性质
数列极限的定义:给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有
n x A ε-<,则称A 就是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞
=、若
{}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散、
收敛数列的性质:
(1)唯一性:若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞
=,则极限就是唯一的.
(2)有界性:若lim n n x A →∞
=,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ?均有n x M ≤、
(3)局部保号性:设lim n n x A →∞
=,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或、
(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A 、
(三)函数极限存在判别法 (了解记忆)
1.海涅定理:()0
lim x x f x A →=?对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠=L ,都有 ()lim n n f x A →∞
=.
2、充要条件:(1)()()0
lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-
→→→=?==; (2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞
→+∞
→-∞
=?==、
3、柯西准则:()0
lim x x f x A →=?对任意给定的0ε>,存在0δ>,当
100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<、
4、夹逼准则:若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ?φ≤≤（,且0
lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则
lim ()x x f x A →=、
5、单调有界准则:若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在
常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞
存在、
(四)无穷小量的比较 (重点记忆)
1、无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==、
(1)若()
lim
0()
x x αβ=,则称()x α就是比)x β（高阶的无穷小量、 (2)()
lim ,())()
x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量、 (3)()
lim (0),())()
x c c x x x ααββ=≠若则称与（就是同阶无穷小量、 (4)()
lim 1,())()
x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~、 (5)()
lim
(0),0,())()
k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2、常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时,
sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x x
x x x x x ?
????
??
?
+?
-??
()
21
1cos ~2(1)1~x x x x ααα-+-是实常数 (五)重要定理 (必记内容,理解掌握)
定理1 0
00lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=?==、
定理2 0
lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=?=+=其中、
定理3 (保号定理):0
lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=>设又或则一个,当
000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或、
定理4 单调有界准则:单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限、 定理5 (夹逼定理):设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ?φ≤≤（,且
lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则0
lim ()x x f x A →=.
定理6 无穷小量的性质:
(1)有限个无穷小量的代数与为无穷小量; (2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量; (3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量.
定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量. 定理8 极限的运算法则:设()()lim ,lim f x A g x B ==,则 (1)lim(()())f x g x A B ±=± (2)lim ()()f x g x A B =? (3)()lim
(0)()f x A
B g x B
= ≠ 定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限. 定理10 初等函数在其定义域的区间内连续. 定理11 设()f x 连续,则()f x 也连续.
(六)重要公式 (重点记忆内容,应考必备)
(1)0sin lim
1x x
x
→=
(2)1
1lim(1)e,lim(1)e n x
x n x n
→→∞
+=+=、(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式:设
()lim 0f x =,且()0f x ≠则有()()
sin lim
1f x f x =,()()
1
lim 1f x f x e +=????
)
(3)10110
10
0110,lim
,,n n n n m m x m m n m a x a x a x a a n m b b x b x b x b n m
---→∞-?
++++?= =?++++??∞ >?L L . (4)函数()f x 在0x x =处连续()()()000f x f x f x -+?==、 (5)当x →+∞时,以下各函数趋于+∞的速度
()ln ,0,(1),a x x
x x a a a x >>→+∞速度由慢到快
()ln ,0,(1),!,a n n
n n a a a n n >>→+∞速度由慢到快
(6)几个常用极限
)01,n a >=
1,n = lim
arctan 2
x x π
→+∞
=
lim arctan 2
x x π
→-∞
=-
lim arccot 0,x x →+∞
= lim arccot x x π→-∞
=
lim e 0,x x →-∞
= lim e ,x x →+∞
=∞ 0
lim 1x x x +
→=、 (七)连续函数的概念
1、 ()f x 在0x x =处连续,需满足三个条件: