初中数学_如何确定函数自变量的取值范围

如何确定函数自变量的取值范围

湖北省黄石市下陆中学宋毓彬

为保证函数式有意义，或实际问题有意义，函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制，这就是函数自变量的取值范围．函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件，只有正确理解函数自变量的取值范围，我们才能正确地解决函数问题．

初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为以下三种类型：

一、函数关系式中自变量的取值范围

在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：⑴函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；⑵函数关系式为分式形式：分母≠0；⑶函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；⑷函数关系式含0指数：底数≠0．

例1．在下列函数关系式中，自变量x的取值范围分别是什么？

⑴y=2x-5；⑵y=；⑶y=；⑷y=；⑸y=（x-3）0

解析：⑴为整式形式：x的取值范围为任意实数；

⑵为分式形式：分母2x+1≠0∴x≠－∴x的取值范围为x≠－；

⑶含算术平方根：被开方数3x-4≥0 ∴x≥∴x的取值范围为x≥；

⑷既含分母、又含算术平方根，故∴x≥－2且x≠0

x的取值范围为：x≥－2且x≠0

⑸含0指数，底数x-3≠0 ∴x≠3，x的取值范围为x≠3．

二、实际问题中自变量的取值范围．

在实际问题中确定自变量的取值范围，主要考虑两个因素：

⑴自变量自身表示的意义．如时间、用油量等不能为负数．

⑵问题中的限制条件．此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围．

例2、某学校在2300元的限额内，租用汽车接送234名学生和6名教师集体外出活动，

设租用甲种车x辆，租车费用为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

解析：⑴由题设条件可知共需租车6辆，租用甲种车x辆，则租用乙种车辆（6－x）辆．

y=400x+280（6-x）=120x+1680

∴y与x的函数关系式为：y=120x+1680

⑵自变量x需满足以下两个条件：

240名师生有车坐：45x+30（6-x）≥240 ∴x≥4

费用不超过2300元：120x+1680≤2300 ∴x≤5

∴自变量x的取值范围是：4≤x≤5

三、几何图形中函数自变量的取值范围

几何问题中的函数关系式，除使函数式有意义外，还需考虑几何图形的构成条件及运动范围．特别要注意的是在三角形中“两边之和大于第三边”．

例3．若等腰三角形的周长为20cm，请写出底边长y与腰长x的函数关系式，并求自变量x的取值范围．

解析：底边长y与腰长x的函数关系式为：y=20-2x

①x表示等腰三角形腰长：x≥0

②三角形中“两边之和大于第三边”：2x＞y 即2x＞20-2x ∴x＞5

③等腰三角形底边长y＞0，20-2x＞0，∴x＜10

∴自变量x的取值范围是：5＜x＜10

作者简介：宋毓彬，男，43岁，中学数学高级教师．在《中学数学教学参考》、《数哩天地》、《中学生数学》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《中学课程辅导》、《数学周报》、《数学辅导报》等报刊发表教学辅导类文章40多篇．主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等教学方面的研究．

2021年八年级数学 自变量的取值范围教案

2019-2020年八年级数学自变量的取值范围教案 知识点： 求函数自变量取值范围的两个依据： (1)要使函数的解析式有意义。 ①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0；③函数的解析式是开方式时，自变量的取值应使被开方数≥0。(2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义。 例1 求下列函数中自变量x的取值范围： (1)y＝－2x－5x2； (3) y＝x(x＋3)； (3)； (4)． 例2分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围： (1)某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y(元)关于用电度数x的函数关系式； (2)已知等腰三角形的面积为20cm2，设它的底边长为x(cm)，求底边上的高y(cm)关于x的函

数关系式； (3)在一个半径为10 cm的圆形纸片中剪去一个半径为r(cm)的同心圆，得到一个圆环．设圆环的面积为S(cm2)，求S关于r的函数关系式． (4)一个正方形的边长为3 cm，它的各边长减少x cm后，得到的新正方形周长为y cm．求y 和x间的关系式； (5)寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n封这样的信所需邮资y（元）与n间的函数关系式； (6)矩形的周长为12 cm，求它的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)间的关系式，并求出当一边长为2 cm时这个矩形的面积． 例3已知A、B两地相距30千米，B、C两地相距48千米．某人骑自行车以每小时12千米的速度从A地出发，经过B地到达C地．设此人骑行时间为x（时），离B地距离为y（千米）．

如何求实际问题中自变量取值范围

如何求实际问题中自变量取值范围 一般地求实际问题中的自变量取值范围，可以从静止和运动变化的角度去考虑，下面举例说明． 一、用静止的观点求自变量的取值范围． 由于学生认识能力有限，运动的变化观念和意识尚不成熟，他们往往习惯于用静止的观点看问题．学生在求自变量取值范围时，一般喜欢用静止的观点来求．从静止的角度考虑这个问题一般遵循以下原则： 1．尊重事实．现实世界，“人数”“字数”等均用零和自然数表达，线段的长度，时间均为非负数，这些都是不可违背的事实． 例1设电报费标准是每字0.14元，电报纸每张0.20元，写出电报费y(元)与字数x(个)之间的函数关系及x的取值范围． 解：y＝0.14x＋0.20，x取正整数． 例2矩形周长20，一边长x，面积为y，试写出y与x关系及x取值范围． 解：y＝10x－x2，一边长为x，另一边长为10－x，由于边长不能为负，则x＞0，10－x＞0，∴0＜x＜10． 2．遵循定律公理等． 例3等腰梯形腰长和底长均为x，下底长y，其周长为20，写出y与x之间函数关系及x的取值范围． 解：y＝20－3x，根据两点间距离线段最短，有：x＋x＋x＞y， 例4等腰三角形腰长x，底边长y，周长30，写出y与x的函数关系及自变量的取值范围． 解：y＝30－2x，因三角形两边之和大于第三边，∴x＋x＞y，

3．符合题目要求 例5一根弹簧，不挂物体时长12厘米，挂上物体以后，它伸长的长度(不超过22厘米)与所挂重物质量成正比．如果挂3千克重物，弹簧总长13.5厘米．求弹簧总长y与所挂重物质量x之间的函数关系，并写出自变量取值范围． 解：y＝12＋0.5x，因为最长伸长y不超过22厘米，∴12＋0.5x≤22，x≤20，又∵x≥0，∴x的取值范围是0≤x≤20． 二、用运动变化的观点求自变量取值范围． 1．让两变量对应的图形或值进行大小变化，从而确定自变量最大值和最小值或者临界值． 例6等腰三角形底角为x，顶角为y，写出y与x之间函数关系及x取值范围． 解：y＝180°－2x，我们让x变大，x不可大到90°，让x变小x不能小到0°，这里0°就是x的临界值，∴x的取值范围是0°＜x＜90°． 例7拖拉机油箱里有油54千克，使用时平均每小时耗油6千克，求箱中剩下油y(千克)与使用时间t(小时)之间函数关系及自变量的取值范围． 解：y＝54－6t．当拖拉机不使用时，t＝0；开始使用，t在增加，y在减小，到油耗干时，y＝0，54－6t＝0，t＝9，这里，0和9是它的最大值和最小值．∴t 的取值范围是0≤t≤9． 2．让动点动起来． B点运动到C点，设PB＝x，四边形APCD面积为y，写出y与x之间的函数关系及x的取值范围．

三角函数f(ωx+φ)中ω、φ的取值范围问题

三角函数()f x ω?+中ω、?的取值范围问题 利用对称中心与对称轴间距离 例1：已知0ω>，函数()cos()3f x x πω=+的一条对称轴为直线3x π=，一个对称中心为点( ,0)12π，则ω有（ ） B 最大值2 B ．最小值2 C ．最小值1 D ．最大值1 例2：设函数()sin()f x x ω?=+（,,A ω?是常数，0A >，0ω>）.若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236 f f f π ππ==-，则()f x 的最小正周期为______.（π） 利用特殊点的坐标 例3：已知函数()sin()f x A x ω?=+（0ω>，0?π≤≤）是R 上的偶函数，其图象关于点3( ,0)4M π对称，且在区间[0,]2 π上是单调函数，则ω和?的值分别为（ ）C A ．2,34π B ．2,3π C ．2,2π D ．10,32π 例4：如果函数3cos(2)y x ?=+的图象关于点4( ,0)3π中对称，那么?的最小值为（ ）A A ． 6π B ．4π C ．3π D ．2π 例5：若将函数()sin 2cos 2f x x x =+图象向右平移?（0?>）个单位，所得图象关于y 轴对称，则?的最小值是（ ）C A ． 8π B ．4π C ．38π D ．34π 例6：若将函数tan()4y x π ω=+（0ω>）的图象向右平移6 π个单位长度后，与函数tan()6 y x π ω=+的图象重合，则ω的最小值为（ ）D A ．16 B ．14 C ．13 D ．12 B ． 利用题设区间长度与周期的关系建立不等式

如何确定函数自变量的取值范围

如何确定函数自变量的取值范围 湖北省黄石市下陆中学宋毓彬 为保证函数式有意义，或实际问题有意义，函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制，这就是函数自变量的取值范围．函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件，只有正确理解函数自变量的取值范围，我们才能正确地解决函数问题． 初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为以下三种类型： 一、函数关系式中自变量的取值范围 在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：⑴函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；⑵函数关系式为分式形式：分母≠0；⑶函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；⑷函数关系式含0指数：底数≠0． 例1．在下列函数关系式中，自变量x的取值范围分别是什么？ ⑴y=2x-5；⑵y=；⑶y=；⑷y=；⑸y=（x-3）0 解析：⑴为整式形式：x的取值范围为任意实数； ⑵为分式形式：分母2x+1≠0∴x≠－∴x的取值范围为x≠－； ⑶含算术平方根：被开方数3x-4≥0 ∴x≥∴x的取值范围为x≥； ⑷既含分母、又含算术平方根，故∴x≥－2且x≠0 x的取值范围为：x≥－2且x≠0 ⑸含0指数，底数x-3≠0 ∴x≠3，x的取值范围为x≠3． 二、实际问题中自变量的取值范围． 在实际问题中确定自变量的取值范围，主要考虑两个因素： ⑴自变量自身表示的意义．如时间、用油量等不能为负数． ⑵问题中的限制条件．此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围． 例2、某学校在2300元的限额内，租用汽车接送234名学生和6名教师集体外出活动，每量汽车上至少有一名教师．甲、乙两车载客量和租金如下表： 设租用甲种车x辆，租车费用为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．解析：⑴由题设条件可知共需租车6辆，租用甲种车x辆，则租用乙种车辆（6－x）辆．y=400x+280（6-x）=120x+1680 ∴y与x的函数关系式为：y=120x+1680 ⑵自变量x需满足以下两个条件： 240名师生有车坐：45x+30（6-x）≥240 ∴x≥4 费用不超过2300元：120x+1680≤2300 ∴x≤5 ∴自变量x的取值范围是：4≤x≤5 三、几何图形中函数自变量的取值范围

自变量取值范围复习课程

17.1.2函数自变量的取值范围.函数值 农安县合隆中学徐亚惠 一．选择题（共8小题） 1．函数y=中自变量x的取值范围为（） A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2 2．函数y=中的自变量x的取值范围是（） A．x≥0 B．x≠﹣1 C．x＞0 D．x≥0且x≠﹣1 3．在函数y=中，自变量x的取值范围是（） A．x＞1 B．x＜1 C．x≠1 D．x=1 4．根据如图所示程序计算函数值，若输入的x的值为﹣1，则输出的函数值为（） A．1 B．﹣2 C．D．3 5．下面说法中正确的是（） A．两个变量间的关系只能用关系式表示 B．图象不能直观的表示两个变量间的数量关系 C．借助表格可以表示出因变量随自变量的变化情况 D．以上说法都不对 6．某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据： 鸭的质量/千克0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 烤制时间/分40 60 80 100 120 140 160 设鸭的质量为x千克，烤制时间为t，估计当x=3.2千克时，t的值为（） A．140 B．138 C．148 D．160 7．如图，根据流程图中的程序，当输出数值y为1时，输入数值x为（）

A．﹣8 B．8 C．﹣8或8 D．﹣4 8．在函数y=中，自变量x的取值范围是（） A．x≤1 B．x≥1 C．x＜1 D．x＞1 二．填空题（共6小题） 9．函数中，自变量x的取值范围是_________． 10．函数y=中，自变量x的取值范围是_________． 11．函数，当x=3时，y=_________． 12．函数的主要表示方法有_________、_________、_________三种． 13．邓教师设计一个计算程序，输入和输出的数据如下表所示：那么当输入数据是正整数n时，输出的数据是_________． 输入数据 1 2 3 4 5 6 …输出数据… 14．已知方程x﹣3y=12，用含x的代数式表示y是_________． 三．解答题（共6小题） 15．求函数y=的自变量x的取值范围． 16．求下列函数的自变量的取值范围． （1）y=x2+5； （2）y=； （3）y=． 17．已知函数y=2x﹣3． （1）分别求当x=﹣，x=4时函数y的值； （2）求当y=﹣5时x的值．

自变量的取值范围专项练习

自变量的取值范围专项练习 1.在函数43+=x y 中，当1=x 时，函数值为（ ），当x=（ ）时，函数值为10 2.函数x x y 2+= 中，自变量x 的取值范围是____________。 3.函数323-= x x y 中，自变量x 的取值范围是____________。 4.若函数{) 2(2)2(22≤+=x x x x y φ，则当函数值8=y 时，自变量x 的值为____________。 5.函数1 13-+=x x y 的自变量x 的取值范围是____________。 6.在函数x x y -++=43 1中，自变量x 的取值范围是____________。 7.在函数24-++=x x y 中，自变量x 的取值范围是____________。 8.函数2 +=x x y 的自变量x 的取值范围是____________。 9.函数13-=x y 的自变量x 的取值范围是____________。 10.函数x x y 2112-+-=的自变量x 的取值范围是____________。 11.函数2 31-=x y 的自变量x 的取值范围是____________。 12.函数x x y =的自变量x 的取值范围是____________。 13.函数25x y = 的自变量x 的取值范围是____________。 14.函数x x y 14+-=的自变量x 的取值范围是____________。 15.函数68-=x y 的自变量x 的取值范围是____________。 16.函数1 23353-+-= x x y 的自变量x 的取值范围是____________。 17.函数2 31233-+-=x x y 的自变量x 的取值范围是____________。 18.函数x x y -+-=2141的自变量x 的取值范围是____________。 19.函数12+=x y 的自变量x 的取值范围是____________。 20.函数x y 1=的自变量x 的取值范围是____________。

浅谈参数取值范围问题在函数习题中的求解思路

浅谈参数取值范围问题在函数习题中的求解思路 浅谈参数取值范围问题在函数习题中的求解思路 许多学生对函参数的不等式如何确定参数取值范围茫然不知所措。而且这类问题思维要求高，解法也较灵活，故学生难以掌握。但若我们能认真观察分析一下这类问题的特征，其实这类题目的规律性是较强的。下面就结合例子给出解决此类问题的几种方法： 一、分离参数法 所谓分离参数法也就是将参数与未知量分离于表达式的两边，然后根据未知量的取值范围情况决定参数的范围。这种方法可避免分类讨论的麻烦，使问题得到简单明快的解决。当参数与变量能分离且函数的最值易求出。利用这种方法可以顺利解决许多含参数不等式中的取值问题，还可以用来证明一些不等式。 例1 如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数求实数a的值范围。 解：抛物线f(x)=x2+2(a-1)x+2的对称轴直线x=1-a，因此它的单调减区间为(-∞,1-a]，依题设，(-∞,4](-∞,1-a]∴1-a≥4即a≤-3。 二、主参换位法 某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。 例2 若对于任意a∈（-1，1]，函数f(x)=x2（a-4）x+4-2a的值恒大于0，求x的取值范围。 分析：此题若把它看成x的二次函数，由于a, x都要变，则函数的最小值很难求出，思路受阻。若视a为主元，则给解题带来转机。 解：设g(a)=(x-2)a+x2-4x+4，把它看成关于a的直线，由题意知，直线恒在横轴下方。所以g(1)＞0,g(-1)≥0 解得：x＜1或x=2 或 x≥3 例3 对于(0,3)上的一切实数x,不等式(x-2)m＜2x-1恒成立，求实数m的取值范围。 分析：一般的思路是求x的表达式，利用条件求m的取值范围。但求x的表达式时，两边必须除以有关m的式子，涉及对m讨论，显得麻烦。 解：若设f(x)=(x-2)m-(2x-1)=(m-2)x+(1-2m)，把它看成是关于x的直线，由题意知直线恒在x的轴的下方。所以 f(0)≤0 f(3)≤0 解得≤m≤5 三、构造函数法 当参数难以分离而不等式是有关某个变量的一次或二次函数时，可以通过构建函数来解决。我们知道，函数概念是高中数学的一个很重要的概念，其思想和方法已渗透到数学的各个分支。在某些数学问题中，通过数式类比，构造适当的函数模型，然后利用函数的有关性质结论解题，往往收到意想不到的效果。 例4 若对一切|p|≤2 ，不等式x2+px+1＞2x+p恒成立，求实数x的取值范围。 解：原不等式变形为p(x-1)+x2-2x+1＞0，现在考虑p的一次函数：f（p）=p(x -1)+x2-2x+1(|p|≤2) ∴f（p）＞0在 p∈[-2,2]上恒成立

练习-函数自变量的取值范围

函数自变量的取值范围 一、选择题 1．函数中，自变量x的取值范围是（） A．B．C．且D． 2．函数的自变量x的取值范围是（） A． B．C．D． 3．下列函数中，自变量取值范围选取错误的是（） A．中，x取全体实数B．中， C．中，D．中， 4．如果每盒圆珠笔有12支，售价18元，那么圆珠笔的售价y（元）与圆珠笔的支数x之间的函数关系式是（） A．B．C．D． 5．已知函数的自变量x的取值范围是全体实数，则实数m的取值范围是（） A．B．C．D．

6．已知函数，其中相同的两个函数是（） A．与B．与C．与D．与 7．有一内角为120°的平行四边形，它的周长为l，如果它的一边为x，与它相邻的另一边长y与x之间的函数关系式及x的取值范围是（） A．B． C．D． 二、填空题 8．函数中自变量x的取值范围是_______. 9．函数的自变量x的取值范围是_________. 10．函数中自变量x的取值范围是______；函数中自变量x的取值范围是_______. 11．14. 中自变量x的取值范围是______. 12．圆锥的体积为，则圆锥的高h（cm）与底面积之间的函数关系是 ________. 13．将改用x的代数式表示y的形式是_____；其中x的取值范围是 ________.

14．函数中自变量x的取值范围是________. 15．物体从离A处20m的B处以6m/s的速度沿射线AB方向作匀速直线运动，t秒钟后物体离A处的距离为s m，则s与t之间的函数关系式是________，自变量t的取值范围是 _______. 16．等腰三角形的周长是50cm，底边长是x cm，一腰长为y cm，则y与x之间的函数关系式是______；自变量x的取值范围是______. 三、解答题 17．求下列函数自变量的取值范围 （1）；（2）； （3）；（4）. 18．在中，已知，任取AB上一点M，作 ，设AM的长为x，平行四边形MPCQ的周长为y，求出y关于x的函数关系式和自变量的取值范围. 19．中，已知的平分线交于点D，设和的度数分别为x和y，写出y与x之间的函数关系式，并求x的取值范围. 参考答案 1．A 2．C 3．B 4．A 5．A 6．D 7．B 8．9．且 10．11．12．13．14．且和 2 15．16．

第7讲 函数自变量的取值范围问题

第7讲：函数自变量的取值范围问题 二、方法剖析与提炼 例1．在下列函数关系式中，自变量x 的取值范围分别是什么？ ⑴23-=x y ； ⑵121-=x y ； ⑶43-=x y ； ⑷x x y 32+=； ⑸0)3(-=x y 【解答】⑴x 的取值范围为任意实数； ⑵分母012≠-x ∴21≠x ∴x 的取值范围为2 1≠x ； ⑶043≥-x ∴34≥x ∴x 的取值范围为3 4≥x ； ⑷???≠≥+0 302x x ∴2-≥x 且0≠x ∴x 的取值范围为：2-≥x 且0≠x ⑸x -3≠0 ∴x ≠3，x 的取值范围为x ≠3． 【解析】⑴为整式形式：函数关系式是一个含有自变量的整式时，自变量的取值范围是全体实数． ⑵分式型：当函数关系式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数． ⑶偶次根式：当函数关系式是偶次根式时，自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数．含算术平方根：被开方数043≥-x ． ⑷复合型：当函数关系式中，自变量同时含在分式、二次根式中时，函数自变量的取值范围是它们的公共解，即建立不等式组，取它们的公共解． ⑸0指数型：当函数关系式中，自变量同时含在0指数下的底数中时，自变量取值范围是使底数为非零的实数．即底数x -3≠0 ． 【解法】解这类题目，首先搞清楚函数式属于“整式型”、“分式型”、“偶次根式”、“0指数型”、“复合型”当中哪一个类型，自变量的取值必须使含有自变量的代数式有意义即可． 【解释】这种解题策略可以推广到其他问题，如： 求31+x 中x 的取值范围．

解：右边的代数式属于奇次根式型，自变量的取值范围是全体实数． 例2．某学校在2300元的限额内，租用汽车接送234名学生和6名教师集体外 设租用甲种车x 辆，租车费用为y 元，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． 【解答】⑴由题设条件可知共需租车6辆，租用甲种车x 辆，则租用乙种车辆（6－x ）辆． y =400x +280（6-x ）=120x +1680 ∴y 与x 的函数关系式为：y =120x +1680 ⑵∵???≤+≥-+23001680120240)6(3045x x x ， ∴? ??≤≥54x x ， ∴自变量x 的取值范围是：4≤x ≤5 【解析】（1）租车费用y =甲种车辆总费用+乙种车辆总费用．（2）函数关系式同时也表示实际问题时，自变量的取值范围要同时使实际问题有意义．自变量x 需满足以下两个条件： 一是，甲、乙两车的座位总数≥师生总数240名；二是，费用≤2300元，还要考虑到实际背景下的x 为整数． 【解法】关注问题中所有的限制条件，多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围． 【解释】做此题前首先要先从乘车人数的角度考虑应总共租多少辆汽车．因为题目已知总共6名教师，而且要求每辆车上至少有一名教师．所以，最多租用6辆车．同时，也不能少于6辆车否则座位数少于师生总数，不能接送所有的师生．由此可知共租用6辆车子． 例3．一个正方形的边长为5cm ，它的边长减少x cm 后得到的新正方形的周长为y cm ，写了y 与x 的关系式，并指出自变量的取值范围． 【解答】解：由题意得，y 与x 的函数关系式为y =4（5-x ）=20-4x ； 自变量x 应满足???≥>-0 05x x 解得0≤x ＜5，所以自变量的取值范围是0≤x ＜5． 【解析】正方形的周长=边长×4，即y =4（5-x ）；自变量的范围同时满足两个条件：一是，正方形的边长是正数；二是，边长减少的x 应取非负数．

自变量的取值范围及函数值 同步练习题

自变量的取值范围及函数值同步练习题 1．函数y ＝1x ＋2 中，x 的取值范围是( ) A ．x ≠0 B ．x ＞－2 C ．x ＜－2 D ．x ≠－2 2．函数y ＝2x －4中自变量x 的取值范围是( ) A ．x ＞2 B ．x ≥2 C ．x ≤2 D ．x ≠2 3．函数y ＝x －2x ＋3 的自变量x 的取值范围是_______． 4．求下列函数中自变量x 的取值范围： (1)y ＝－13x ＋8; (2)y ＝42x －1； (3)y ＝1x －2＋x ； (4)y ＝－11＋x 2 . 5．变量x 与y 之间的关系是y ＝12x 2－1，当自变量x ＝2时，因变量y 的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 6．同一温度的华氏度数y (℉)与摄氏度数x (℃)之间的函数关系是y ＝95x ＋32，如果某一温度的摄氏度数是 25 ℃，那么它的华氏度数是____℉. 7．如果每盒圆珠笔有12支，每盒售价18元，那么圆珠笔的总销售额y (元)与圆珠笔的销售支数x 之间的函数关系式是( ) A ．y ＝32x B ．y ＝23x C ．y ＝12x D ．y ＝112x 8．已知两个变量x 和y ，它们之间的3组对应值如下表所示． 则y 与x A ．y ＝x B ．y ＝2x ＋1 C ．y ＝x 2＋x ＋1 D ．y ＝3x 9．已知方程x －4y ＝11，用含x 的代数式表示y 是___________. 10. 我们知道，海拔高度每上升1千米，温度就下降6 ℃.某时刻，某地地面温度为20 ℃，设高出地面x

千米处的温度为y ℃. (1)写出y 与x 之间的函数关系式； (2)已知此地某山峰高出地面约500米，求这时山顶的温度大约是多少℃ (3)此刻，有一架飞机飞过此地上空，若机舱内仪表显示飞机外面的温度为－34 ℃，求飞机离地面的高度为多少千米 11．某油箱容量为60 L 的汽车，加满汽油后行驶了100 km 时，油箱中的汽油大约消耗了15，如果加满汽油 后汽车行驶的路程为x km ，油箱中剩油量为y L ，则y 与x 之间的函数关系式和自变量取值范围分别是( ) A ．y ＝，x ＞0 B ．y ＝60－，x ＞0 C ．y ＝，0≤x ≤500 D ．y ＝60－，0≤x ≤500 12．已知函数y ＝?????2x ＋1（x≥0），4x （x ＜0）， 当x ＝2时，函数值y 为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 13．等腰三角形的周长为20 cm ，腰长为x cm ，底边长为y cm ，则底边长与腰长之间的函数关系式为( ) A ．y ＝20－x (0＜x ＜10) B ．y ＝20－x (10＜x ＜20) C ．y ＝20－2x (10＜x ＜20) D ．y ＝20－2x (5＜x ＜10) 14．当x ＝2时，函数y ＝kx －2和y ＝2x ＋k 的值相等，则k ＝____． 15．当x ＝2及x ＝－3时，分别求出下列函数的函数值： (1)y ＝(x ＋1)(x －2); (2)y ＝x ＋2x －1 . 16．弹簧挂上物体后会伸长，在弹性限度内测得一弹簧的长度y (cm )与所挂物体的质量x (kg )有如下关系： (1)请写出弹簧总长y (cm )与所挂物体质量x (kg )之间的函数关系式； (2)当挂重10千克时弹簧的总长是多少

求函数自变量的取值范围的确定方法

求一次函数自变量取值的方法 在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数． 在解答与函数有关的问题时，常常要求出函数的自变量x 的取值范围，下面我们来介绍这一类问题的解法． 经典例题 在函数3 2--=x x y 中，求自变量x 的取值范围． 解题策略 2x -分子中的二次根式被开方数必须为非负数，而且分母不为0．即自变量x 为下面不等式组的解： 20,30. x x -≥??-≠? 解这个不等式组便可求得自变量x 的取值范围是x ≥2，且x ≠3． 画龙点睛 求函数自变量的取值范围，要注意以下几点： 1． 若函数的解析式是整式，自变量的取值范围是全体实数； 2． 若函数的解析式是分式，自变量的取值范围是使分母不等于0的一切实数； 3． 若函数的解析式是二次根式，自变量的取值范围是使被开方数不小于0的一切实数； 4． 若函数的解析式含有以上几类式子时，则应分别求出各自的取值范围，再求出它们的公共部分．

举一反三 1．下列函数中，自变量x 的取值范围是x >2的函数是（ ）． （A ）2-=x y （B ）12-=x y （C ）21 -=x y （D ）121 -=x y 2．求函数2 ||1--=x x y 中自变量x 的取值范围． 3．求函数 y =x 的取值范围． 融会贯通 4．若函数25(2)34kx y k x k += ++-自变量x 的取值范围是一切实数，求实数k 的取值范围． 参考答案 1．C ．在四个选择分支A 、B 、C 、D 中，它们的自变量x 的取值范围依次是x ≥2，x ≥12，x >2，x >12．故选C ．2．由不等式组10,||20, x x -≥??-≠?解得x ≤1， 且x ≠-2．3．由不等式1-|x |>0，得|x |<1，于是-10时，k (x +2)2≥0， 要使分母不等于0，就应有3-4k >0，k < 34，于是有034 ，这与k <0矛盾．综上所述，k 的取值范围是0≤k <34．

综合题中的求取值范围问题

2017年08月14日风的初中数学组卷 一．解答题（共27小题） 1．已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b．（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）； （Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点； （Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N． （ⅰ）若﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值范围； （ⅱ）求△QMN面积的最小值． 2．已知函数y=mx2﹣（2m﹣5）x+m﹣2的图象与x轴有两个公共点． （1）求m的取值范围，并写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；（2）题（1）中求得的函数记为C1， ①当n≤x≤﹣1时，y的取值范围是1≤y≤﹣3n，求n的值； ②函数C2：y=m（x﹣h）2+k的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上，设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式． 3．平面直角坐标系xOy中，点A、B的横坐标分别为a、a+2，二次函数y=﹣x2+（m﹣2）x+2m的图象经过点A、B，且a、m满足2a﹣m=d（d为常数）．（1）若一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点． ①当a=1、d=﹣1时，求k的值； ②若y1随x的增大而减小，求d的取值范围； （2）当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时，判断直线AB与x轴的位置关系，并说明理由； （3）点A、B的位置随着a的变化而变化，设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D，线段CD的长度会发生变化吗？如果不变，求出CD的长；如果变化，请说明理由． 4．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个

求函数自变量的取值范围方法总结

求函数自变量的取值范围方法总结 函数自变量的取值范围 使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围. 求自变量的取值范围一般从两个方面考虑: （1）使函数关系式有意义; （2）符合客观实际. 确定自变量的取值范围的方法: （1）如果函数关系式的右边是关于自变量的整式,则自变量的取值范围是全体实数. 例如函数1-=x y ,自变量x 的取值范围是全体实数. （2）如果函数关系式的右边是分式,则自变量的取值范围是使分母不等于零的所有实数. 例如函数1 2-=x y ,自变量x 的取值范围是1≠x . （3）如果函数关系式的右边包含二次根号,则自变量的取值范围是使被开方数为非负数. 例如函数2-=x y ,自变量x 的取值范围是x ≥2. （4）如果函数关系式是有具体问题建立的,则自变量的取值范围不但要使函数关系式有意义,还要符合实际意义. 例如函数2x y =,自变量x 的取值范围是全体实数,如果x 表示正方形的边长,y 表示正方形的面积,则自变量x 的取值范围就变成了0>x （边长不能为负数）. （5）有些函数自变量的取值范围是以上情况的综合,需进行多方面的考虑. 例如函数21 -=x y ,自变量x 应满足两个条件:一是满足分母不等于零,二是 保证被开方数为非负数,所以得到关于自变量的不等式组???≥-≠-0 202x x ,求得自变量x 的取值范围是2>x .

例1. 求函数13 1-+-=x x y 中的自变量x 的取值范围. 分析:本题中,自变量x 的取值范围应同时满足分母()3-x 不等于零和被开方数()1-x 为非负数. 解:? ??≥-≠-0103x x 解这个不等式组得:x ≥1且3≠x . ∴自变量x 的取值范围是x ≥1且3≠x . 习题1. 函数x x y 2+=的自变量x 的取值范围是__________. 习题2. 函数413-+ -=x x y 中自变量x 的取值范围是__________. 习题3. 在函数x x y -=1中, 自变量x 的取值范围是__________. 习题4. 下列函数中,自变量的取值范围是2>x 的是 【 】 （A ）2-=x y （B ）2 1 -=x y （C ）12-=x y （D ）121 -=x y 习题5. 函数2 1--=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 习题6. 下列函数中,自变量的取值范围错误的是 【 】 （A ）2-=x y （x ≥2） （B ）11+= x y （1-≠x ） （C ）22x y =（x 取全体实数） （D ）31 +=x y （x ≥3-） 习题7. 在函数24-++=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 例2. 已知等腰三角形的周长为20,求底边长y 与腰长x 的函数关系式及自变量的取值范围. 分析:本题为易错题,考虑问题不全面导致自变量的取值范围不完整.

函数中的取值范围问题

1、（2014西工大模拟）已知)(x f 是R 上的偶函数，若将)(x f 的图象向右平移一个单位，则得到一个奇函数的图像，若(),12-=f 则(1)(2)(3)...(2014)f f f f ++++= （A ）0 (B)1 （C ）－1 ( D)－1004.5 2．（2014西工大模拟）“0m <”是“函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 3．（2014西工大模拟）已知函数()f x 满足1 ()1(1) f x f x += +，当[]0,1x ∈时，()f x x =。若在区间(1,1] -内，函数()()g x f x mx m =--有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A.1[0,)2 B. 1[,)2+∞ C. 1[0,)3 D. 1(0,]2 4、（2011西工大模拟）设函数2(0) ()2 (0) x bx c x f x x ?++≤=? >?，若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则函数 ()()F x f x x =-的零点个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5．（2012西工大模拟）函数2 (4)|4|()(4)x x f x a x ?≠? -=??=? ，若函数2)(-=x f y 有3个零点，则实数a 的值为 （ ） A ．－2 B ．－4 C ．2 D ．不存在 6．（2014·湖南）已知函数f (x )＝x 2＋e x －1 2 (x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的 取值范围是( ) A ．(－∞，1 e ) B ．(－∞，e) C ．????－1e ，e D ．? ???－e ，1 e

函数自变量的取值范围

教学设计上蔡县党店镇一中：安钧凯 17.1 变量与函数（2） 函数自变量的取值范围

17.1变量与函数（2） 函数自变量的取值范围 设计思路介绍 《变量与函数》是八年级数学下册17章第一节的内容。函数是研究运动变化的重要数学模型，它源自生活，又服务于生活。函数有着广泛的应用，初中阶段对函数的认识也是逐步加深的，因此，本节课的学习效果如何将直接影响学生的后续学习。《函数自变量的取值范围》是本节课的重点内容之一，我把它单独安排一个课时来学习。 在教学设计上，我主要是以四个活动为载体： 1、情境活动：使学生感到容易---我能学。 2、探究归纳：提出问题，引起学生求知欲---我要学。 利用情境活动中的三个问题的解析式提出”自变量的取值有限制吗’这一问题，从而勾起学生求知的欲望-----我想学，调动学生的主动性。 3、实践应用：结合所学知识应用到实践中---我学会。 这一活动中我设计了两个例题，其中例1是针对单纯解析式中的函数自变量取值范围，例2是在实际应用中的自变量取值范围。每个题目都让学生分组完成，尽量照顾到每位同学的态度，使每个人都参与其中，都能发表自己的见解。4、交流反思：引导学生回顾在活动中的得失，以提高自己---我会学。 根据实践活动的应用，引导学生反省自己在活动中的得失，以弥补不足之处，同时锻炼归纳总结的能力，以便更好的形成知识体系。 在活动的设计上，我注重了活动的目的性、活动的层次性、活动的思维性以

及活动的可操作性，和学生的所有交流都是在自然进行的。在整个教学过程中，始终注重的是学生的参与意识；注重学生对待学习的态度是否积极；注重引导学生从数学的角度去思考问题，让学生主动暴露思维过程，及时得到信息的反馈。我在课堂上，尽量留给学生更多的空间，让学生有更多的展示自己的机会，让学生在充满情感的、和谐的课堂氛围中，充分调动他们的非智力因素，特别是内在动机，让他们以强烈的求知欲和饱满的热情来学习新知识，在老师和同学的鼓励与欣赏中认识自我，找到自信，体验成功的乐趣，从而树立起学好数学的信心。 教学目标 1、知识与技能 （1）能根据函数关系式直观得到自变量取值范…… （2）理解实际背景对自变量取值的限制。 2、过程与方法 （1）通过让学生主动的观察、交流、归纳等探索活动形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式。 （2）联系代数式中未知数的取值的要求，探索求函数自变量取值范围的方法。 3、情感态度与价值观 使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建 模意识。 教学重难点 1、教学重点：函数自变量取值范围的求法。 2、教学难点：理解实际背景对自变量取值的限制。

二次函数专题之参数范围问题

···二次函数专题之参数范围问题 基本思想方法： ①函数与方程； ②数形结合； ③化归与转化； ④逆向思维； ⑤分类 1x2-x+2 1.（2015海淀一模）在平面直角坐标系xoy中，抛物线y= 2 与y轴交于点A,顶点为点B，点C与点A关于抛物线的对称轴对称。（1）求直线BC的解析式； （2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4，将抛物线在点A,D之间的部分（包含点A,D）记为图像G,若图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围。 2.（2015朝阳二模）已知关于x的一元二次方程ax2-2(a-1)x+a-2=0(a ＞0). （1）求证：方程有两个不等的实数根. （2）设方程的两个实数根分别为x1,x2（其中x1＞x2）.若y是关于a的函数，且y=ax2+x1,求这个函数的表达式. （3）在（2）的条件下，若使y≤-3a2+1，则自变量a的取值范围为3.(2015顺义二模)已知关于x的方程x2+(m-2)x+m-3=0.

（1）求证：方程x2+(m-2)x+m-3=0总有两个实数根； （2）求证：抛物线y=x2+(m-2)x+m-3总过x轴上的一个定点；（3）在平面直角坐标系xoy中，若（2）中的定点记作A，抛物线y=x2+(m-2)x+m-3与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，且△OBC 的面积小于或等于8，求m的取值范围. 4.（2015怀柔一模）在平面直角坐标系xoy中，二次函数y=（a-1）x2+2x+1的图像与x轴有交点，a为正整数. （1）求a的值. （2）将二次函数y=（a-1）x2+2x+1的图像先向右平移m个单位长度，再向下平移m2+1个单位长度，当-2≤x≤1时，二次函数有最小值-3，求实数m的值. 5.（2015石景山一模）在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=mx2-2mx-3（m≠0）与x轴交于A（3,0），B两点. （1）求抛物线的表达式及点B的坐标. （2）当-2＜x＜3时的函数图像记为G，求此时函数y的取值范围. （3）在（2）的条件下，将图像G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图像G的其余部分保持不变，得到一个新图像M.若经点C(4,2)的直线y=kx+b（k≠0）与图像M在第三象限内有两个公共过点，结合图像求b的取值范围.

如何确定自变量的取值范围

三、如何确定自变量x 的取值范围 第一，自变量x 必须要在“特定意义范围内取值”,如表达式是： 1.整式，x 取一切实数； 2.分式，x 取分母不为零的数； 3.二次根式，x 取使被开方数为非负数的数，三次根式，则x 取一切实数； 4. 实际问题则根据实际需要来确定. 选择 1、函数 4 31-+=x x y 中，自变量x 的取值范围是（ ） A ． 34≠x B ． 1≠x C ． 13 4-≠x 2、下列函数中，自变量x 的取值范围标注错误的是（ ）． A ． y=2x 2中 ，x 取全体实数； B.y=3 x +中，x 取x ≥-3的实数 C.y=11x +中，x 取x ≠-1的实数; D.y=2x -中，x 取x ≥2的实数 3、函数y= 3x -中自变x 的取值范围是（ ） A ．x ≥3 B ．x ≤3 C ．x ≤3且x ≠0 D ．x<3 函数中自变量x 的取值范围是（ ）. （A ）x ≠-1 （B ）x ＞-1 （C ）x ≠1 （D ）x ≠0 4、函数x y 32-=自变量x 的取值范围是( ) A.x ≤32- B.x ≥3 2- C.x ≥32 D.x ≤32 5、下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ） A ．2x -．2x -．24x - D ．2x +2x -6、在函数2x y +=中，自变量x 的取值范围是（ ） Ａ．2x -≥且0x ≠ Ｂ．2x ≤且0x ≠ Ｃ．0x ≠ Ｄ．2x -≤ 7、 以等腰三角形一个底角的度数x 为自变量，顶角的度数y 为x 的函数，则它的解析式为y ＝180－2x ，其中x 的取值范围为 （ ） （A ）x ＞0 （B ）x ＜90 （C ）0＜x ＜90 （D ）0＜x ≤90 8．下列函数关系式中，对于x ＞0的一切实数，y 都大于0的函数是

中考复习_自变量的取值范围

自变量的取值范围 一、选择题 1. （2011南昌，11，3分）下列函数中自变量x 的取值范围是x ＞1的是（ ） A ．11 -=x y 错误！未找到引用源。 B ．1-=x y C ．1 1 -=x y 错误！未找到引用源。 D ．x y -=11 错误！未找到引用源。 考点：函数自变量的取值范围． 分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，逐一检验． 解答：解：A ，二次根式和分式有意义，x ﹣1＞0，解得x ＞1，符合题意；B ，二次根式有意义，x ﹣1≥0，解得x ≥1，不符合题意；C ，二次根式和分式有意义，x ≥0且01≠-x 错误！未找到引用源。，解得x ≥0且x ≠1，不符合题意；D ，二次根式和分式有意义1﹣x ＞0，解得x ＜1，不符合题意．故选A ． 点评：本题考查了函数自变量的取值范围．当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 2. （2011云南保山，3，3分）在函数y =2x 自变量x 的取值范围是___________． 考点：函数自变量的取值范围。 分析：根据二次根式有意义的条件．被开方数一定是非负数即可求解． 解答：解：根据题意得：1﹣x ≥0，解得：x ≤1 故答案是：x ≤1 点评：本题主要考查了函数自变量的范围的确定． 一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； 点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 4. （2011?河池）函数y=错误！未找到引用源。的自变量x 的取值范围是（ ）

三角函数f(ωx+φ)中ω、φ的取值范围问题

三角函数()f x 中、的取值范围问题利用对称中心与对称轴间距离 例1：已知 0，函数()cos()3f x x 的一条对称轴为直线3x ，一个对称中心为点(,0)12，则 有（）B A ．最大值2 B ．最小值2 C ．最小值1 D ．最大值1 例2：设函数() sin()f x x （,,A 是常数，0A ，0）.若()f x 在区间[,]62上具有单调性，且 2()()()236f f f ，则()f x 的最小正周期为______.（）利用特殊点的坐标 例3：已知函数 ()sin()f x A x （0，0）是R 上的偶函数，其图象关于点3( ,0)4M 对称，且在区间[0,]2上是单调函数，则和的值分别为（）C A ．2,34 B ．2,3 C ．2,2 D ．10,32 例4：如果函数3cos(2)y x 的图象关于点4(,0)3中心对称，那么的最小值为（）A A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 例5：若将函数()sin 2cos 2f x x x 图象向右平移 （0）个单位，所得图象关于y 轴对称，则 的最小值是（）C A ．8 B ．4 C ．3 8 D ．3 4 例6：若将函数tan()4y x （0）的图象向右平移 6个单位长度后，与函数tan()6y x 的图象重合，则的最小值为（ ）D A ．16 B ．14 C ．13 D ．12 利用题设区间长度与周期的关系建立不等式 例7：已知函数 ()cos()4f x A x （0A ）在(0,)8内是减函数，则的最大值是______.（ 8 ） 例8：已知()sin()3f x x （0），()()63f f ，且()f x 在区间(,)63内有最小值，无最大值，则 ______.（143）利用“函数单调区间I ”与该函数“在区间D 上单调”的包含关系建立不等式