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B3-高三立体几何

1.通过对学生观察\注意力的有效训练,促使学生集中精神学习,激发学生观察的主动性2.通过合理规划学习,培养学生时间管理能力,提高学生的条理\效率性

3.通过构建观察法,提升学生自我认知能力,引导学生掌握******的方法及技巧

空间图形的位置关系

1 空间直线的位置关系(相交、平行、异面)

1.1 平行线的传递公理:平行于同一直线的两条直线相互平行。

即:a∥b,b∥c a∥c

1.2 等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角

相等或互补。

1.3 异面直线

⑴定义:不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。

⑵判定定理:连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直

线为异面直线。

即:

1.4 异面直线所成的角

⑴异面直线成角的范围:(0°,90°].

⑵作异面直线成角的方法:平移法。

注意:找异面直线所成角时,经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等),形成异面直线所成的角。

2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行)

图2-1 异面直线

图2-2 直线与平面的位置关系

3 平面与平面的位置关系(平行、斜交、垂直)

㈢平行关系(包括线面平行和面面平行)

1 线面平行

1.1 线面平行的定义:平面外的直线与平面无公共点,则称为直线和平面平行。

1.2 判定定理:

1.3 性质定理:

1.4 判断或证明线面平行的方法

⑴利用定义(反证法):l ∩ α = ф ,l∥α (用于判断);

⑵利用判定定理:线线平行线面平行(用于证明);

⑶利用平面的平行:面面平行线面平行(用于证明);

⑷利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判

断)。

2 线面斜交和线面角:l ∩α = A

2.1 直线与平面所成的角(简称线面角):若直线与平面

斜交,则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。

2.2 线面角的范围:θ∈[0°,90°]

注意:当直线在平面内或者直线平行于平面时,θ=0°;

当直线垂直于平面时,θ=90°

3 面面平行

3.1 面面平行的定义:空间两个平面没有公共点,则

称为两平面平行。

3.2 面面平行的判定定理:

⑴判定定理1:如果一个平面内的两条相交直线都

平行于另一个平面,那么两个平面相互平行。即:

推论:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一

个平面的两条线段,那么这两个平面平行。即:

⑵判定定理2:垂直于同一条直线的两平面互相平

图2-3 线面角

图2-4 面面平行

图2-5 判定1推论

行。即:

3.3 面面平行的性质定理

⑴(面面平行线面平行)

图2-6 判定2

⑶夹在两个平行平面间的平行线段相等。

㈣垂直关系(包括线面垂直和面面垂直)

1 线面垂直

1.1 线面垂直的定义:若一条直线垂直于平面内的任意一条直线,则这条直线垂直于平面。

1.2 线面垂直的判定定理:

1.3 线面垂直的性质定理:

⑴若直线垂直于平面,则它垂直于平面内任意一条直线。

即:

⑵垂直于同一平面的两直线平行。

即:

1.4 常用的判定或证明线面垂直的依据

⑴利用定义,用反证法证明。

⑵利用判定定理证明。

⑶一条直线垂直于平面而平行于另一条直线,则另一条直线也垂直与平面。

⑷一条直线垂直于两平行平面中的一个,则也垂直于另一个。

⑸如果两平面垂直,在一平面内有一直线垂直于两平面交线,则该直线垂直于另一平面。

★1.5 三垂线定理及其逆定理

⑴斜线定理:从平面外一点向这个平面所引的所有线段中,

斜线相等则射影相等,斜线越长则射影越长,垂线段最短。

如图:

⑵三垂线定理及其逆定理

图2-7 斜线定理

已知PO ⊥α,斜线PA 在平面α内的射影为OA ,a 是平面 α内的一条直线。

① 三垂线定理:若a ⊥OA ,则a ⊥PA 。即垂直射影则垂直斜线。

② 三垂线定理逆定理:若a ⊥PA ,则a ⊥OA 。即垂直斜线则垂直射影。

⑶ 三垂线定理及其逆定理的主要应用 ① 证明异面直线垂直; ② 作出和证明二面角的平面角; ③ 作点到线的垂线段。 2 面面斜交和二面角

2.1 二面角的定义:两平面α、β相交于直线l ,直线a 是α内的一条直线,它过l 上的一点O 且垂直于l ,直线b 是β内的一条直线,它也过O 点,也垂直于l ,则直线a 、b 所形成的角称为α、β的二面角的平面角,记作∠α-l-β。 2.2 二面角的范围:∠α-l-β ∈[0°,180°] 2.3 二面角平面角的作法:

⑴ 定义法:证明起来很麻烦,一般不用; ⑵ 三垂线法:常用方法;

⑶ 垂面法:常用于空间几何体中的二面角。 3 面面垂直

3.1 面面垂直的定义:若二面角α-l-β的平面角为90°,则两平面α⊥β。

3.2 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 即:

3.3 面面垂直的性质定理

⑴ 若两面垂直,则这两个平面的二面角的平面角为90°; ⑵ ⑶

图2-8 三垂线定理

图2-9 面面垂直

图2-10 面面垂直性质2

三立体几何主要难点

角的类

范围解题步骤

异面直线所成角0°~

90°

1找:利用平移法找出异面直线所成角;

⑴固定一条直线,平移另一条直线,

⑵将两条直线都平移至一特殊位置。

2证:证明所作出的角就是异面直线所成角或其补角,常

需证明线线平行;

3计算:通过解三角形,算出异面直线角的角度。

直线与平面所成角0°~

90°

1找:作出斜线与其在平面内射影的夹角,一般用三垂线

定理;

2证:证明所作出的角就是直线与平面所成角或其补角,

常证明线面垂直;

3计算:通过解三角形,求出线面角的角度。

二面角的平面角0~π1作:根据二面角平面角的定义,作出这个平面角;

2证:证明所作的角就是二面角的平面角,常用三垂线法

和垂面法;

3计算:通过解三角形,求出二面角平面角的角度。

2 立体几何知识网络

图2-11 面面垂直性质3

例 题目:

一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A .7

B .223

C .476

D .233

构建观察:

笔记区域

此环节老师指导学生用画图或者划线的形式来记录关键词和重要条件,并由

学生在笔记区域写出

解题思路:老师正常讲解,学生复述并逐条记录解题思路 1.

1 (

3

……

题目:

某三棱锥的正视图如图所示,则这个三棱锥的俯视图不可能是()

构建观察:

笔记区域

此环节老师指导学生用画图或者划线的形式来记录关键词和重要条件,并由

学生在笔记区域写出

解题思路:老师正常讲解,学生复述并逐条记录解题思路

1.

2.

3.

2

题目:一个几何体的三视图如图所示,图中直角三角形的直角边长均为1,则该几何 体体积为

(A )1

6

(B (C )

6

(D )

12

构建观察:

3

题目:一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的是()

(A)47 6

(B)23 3

(C)15 2

(D)7

动力观察:构建观察:

侧(左)视图正(主)视图

俯视图

A

C

E

B

题目:5、

在如图所示的多面体中,EA ⊥平面ABC ,DB ⊥平面ABC ,

BC AC ⊥,且22====AE BD BC AC ,M 是AB 的中点. (Ⅰ)求证:CM ⊥EM ;

(Ⅱ)求平面EMC 与平面BCD 所成的锐二面角的余弦值; (Ⅲ)在棱DC 上是否存在一点N ,使得直线MN 与平面

6、如图1,在直角梯形ABCD 中,,22,,//DC AD BC DC AD BC AD ==⊥四边形

ABEF 是正方形,将正

方形ABEF 沿AB 折起到四边形11F ABE 的位置,使平面11F ABE ⊥平面ABCD ,

M 为1AF 的中点,如图2. (1)求证:DC BE ⊥1

(2) 求BM 与平面M CE 1所成角的正弦值; (3)判断直线DM 与1CE 的位置关系

7、如图所示,在四棱锥P ABCD -中, //AB CD ,AB AD ⊥,

22AB AD AP CD ====, M 是棱PB 上一点.

(Ⅰ)若2BM MP =,求证://PD 平面MAC ;

(Ⅱ)若平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAD ⊥平面ABCD ,求证:PA ⊥平面

ABCD ;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若二面角B AC M --的余弦值为

23,求PM

PB 的值.

M

B

D

C A

P

E

F

A

8、

如图,三棱柱ABC DEF -的侧面BEFC 是边长为1的正方形,侧面BEFC ⊥侧面

ADEB ,4AB =,60DEB ∠=,G 是DE 的中点. (Ⅰ)求证:CE ∥平面AGF ;(Ⅱ)求证:GB ⊥平面BEFC ;

(Ⅲ)在线段BC 上是否存在一点P ,使二面角

P GE B --为45,若存在,求BP 的长;若不存在,说明理由

构建观察:

方法提炼:

2、如图所示,已知AB 为圆O 的直径,点D 为线段AB 上一点,且13AD DB

=,

点C 为圆O 上一点,且3BC AC =.点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ,PD DB =.

(1)求证:PA CD ⊥;

(2)求二面角C PB A --的余弦值.

第二关:

A 组和

B 组的题目在难易程度、知识点设置

计时:

根据题目的难易程度来设置时间,要求学生

P

A

B

D

C

O

第18题图

图4

上都是一样的,要求:学生如果能在规定的时间内完成A 组,则可以顺利进行下去,如果没有按时完成,那么B 组需要回家当作课后作业完成。

在规定时间内完成

1、如图4,四棱锥ABCD P -中,⊥PA 底面ABCD ,ABCD 是直角梯形,E 为

BC 的中点,090=∠=∠ADC BAD ,3=AB ,1=CD ,2==AD PA . ⑴求证:⊥DE 平面PAC ;⑵求PA 与平面PDE 所成角的正弦值.

1、如图,在四棱锥P-ABCD中,AB丄平面PAD,PD=AD, E为PB的中点,向量

,点H在AD上,且

(I):EF//平面PAD.

(II)若PH=3,AD=2, AB=2, CD=2AB,

(1)求直线AF与平面PAB所成角的正弦值.

(2)求平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值.

任务A :自行总结本节课重难点(方法、规律),可以用文字、导图、表格等形式呈现出。 任务B :与例题相同知识点、相关难度的习题

1、如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC 为等腰直角三角形,∠ACB=900,AC=1,

C 点到AB1的距离为CE=23

,D 为AB 的中点.

(1)求证:AB1⊥平面CED ;

(2)求异面直线AB1与CD 之间的距离; (3)求二面角B1—AC —B 的平面角

A

B

C D

A1

E B1

C1

2、在直角梯形ABCD 中,∠A=∠D=90°,AB <CD ,SD ⊥平面ABCD ,AB=AD=a ,S D=a 2,在线段SA 上取一点E (不含端点)使EC=AC ,截面CDE 与SB 交于点F 。

(1)求证:四边形EFCD 为直角梯形; (2)求二面角B-EF-C 的平面角的正切值;

(3)设SB 的中点为M ,当AB CD

的值是多少时,能使△DMC

为直角三角形?请给出证明.

3、在如图所示的多面体中,EA⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,AC⊥,且2

BC

BD

AC,M是AB的中点.

BC

=AE

2=

=

=

(Ⅰ)求证:CM⊥EM;

(Ⅱ)求平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值;

(Ⅲ)在棱DC上是否存在一点N,使得直线MN与平面EMC

所成的角为60?.若存在,指出点N的位置;若不存在,请说明理由.

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