高考数学圆的方程

2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》

圆的方程

圆的定义与方程 定义

平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方程

标准式 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0) 圆心为(a ，b )

半径为r

一般式 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 充要条件：D 2＋E 2－4F >0

圆心坐标：????－D 2

，－E 2 半径r ＝12

D 2＋

E 2－4F

概念方法微思考

1．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是什么？

提示 ????? A ＝C ≠0，B ＝0，

D 2＋

E 2－4A

F >0.

2．已知⊙C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则“E ＝F ＝0且D <0”是“⊙C 与y 轴相切于原点”的什么条件？

提示 由题意可知，⊙C 与y 轴相切于原点时，圆心坐标为???

?－D 2，0，而D 可以大于0，所以“E ＝F ＝0且D <0”是“⊙C 与y 轴相切于原点”的充分不必要条件．

3．如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？

提示 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤：

(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．

(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组．

(3)解出a ，b ，r 或D ，E ，F 代入标准方程或一般方程．

4．点与圆的位置关系有几种？如何判断？

提示 点和圆的位置关系有三种．

已知圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)

(1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2；

(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；

(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√)

(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(√)

(3)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．(×)

(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.(√)

(5)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．(×)

题组二教材改编

2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()

A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1

C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2

答案 D

解析因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.

3．以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是()

A．(x－3)2＋(y＋1)2＝1

B．(x－3)2＋(y－1)2＝1

C．(x＋3)2＋(y－1)2＝1

D．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1

答案 A

4．圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为______________．答案(x－2)2＋y2＝10

解析设圆心坐标为C(a,0)，

∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，

∴|CA|＝|CB|，即(a＋1)2＋1＝(a－1)2＋9，

解得a＝2，∴圆心为C(2,0)，

半径|CA|＝(2＋1)2＋1＝10，

∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.

题组三易错自纠