一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O,⊙O交BC于点D,交CA的延长线于点E.过点D作DF⊥AC,垂足为F.
(1)求证:DF为⊙O的切线;
(2)若AB=4,∠C=30°,求劣弧BE的长.
【答案】(1)证明见解析(2)4 3
【解析】
分析:(1)连接AD、OD,根据直径所对的圆周角为直角,可得∠ADB=90°,然后根据等腰三角形的性质求出BD=CD,再根据中位线的性质求出OD⊥DF,进而根据切线的判定证明即可;
(2)连接OE,根据三角形的外角求出∠BAE的度数,然后根据圆周角定理求出∠BOE的度数,根据弧长公式求解即可.
详解:(1)连接AD、OD.∵AB是直径,∴∠ADB=90°.
∵AB=AC,∴BD=CD,
又∵OA=OB,∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,∴OD⊥DF
即∠ODF=90°.∴DF为⊙O的切线;
(2)连接OE.∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,∴∠BAE=60°,
∵∠BOE=2∠BAE,∴∠BOE=120°,
∴=·4π=π.
点睛:本题是圆的综合题,考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、圆周角定理,灵活添加辅助线是解题关键.
2.如图AB是△ABC的外接圆⊙O的直径,过点C作⊙O的切线CM,延长BC到点D,使CD=BC,连接AD交CM于点E,若⊙OD半径为3,AE=5,
(1)求证:CM⊥AD;
(2)求线段CE的长.
【答案】(1)见解析;(2)5
【解析】
分析:(1)连接OC,根据切线的性质和圆周角定理证得AC垂直平分BD,然后根据平行线的判定与性质证得结论;
(2)根据相似三角形的判定与性质证明求解即可.
详解:证明:(1)连接OC
∵CM切⊙O于点C,
∴∠OCE=90°,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵CD=BC,
∴AC垂直平分BD,
∴AB=AD,
∴∠B=∠D
∵∠B=∠OCB
∴∠D=∠OCB
∴OC∥AD
∴∠CED=∠OCE=90°
∴CM⊥AD.
(2)∵OA=OB,BC=CD
∴OC=1
AD
2
∴AD=6
∴DE=AD-AE=1
易证△CDE~△ACE
∴CE DE
AE CE
∴CE2=AE×DE
∴CE=5
点睛:此题主要考查了切线的性质和相似三角形的判定与性质的应用,灵活判断边角之间的关系是解题关键,是中档题.
3.已知:如图,在矩形ABCD中,点O在对角线BD上,以OD的长为半径的⊙O与AD,BD分别交于点E、点F,且∠ABE=∠DBC.
(1)判断直线BE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若sin∠ABE=
3
3
,CD=2,求⊙O的半径.
【答案】(1)直线BE与⊙O相切,证明见解析;(2)⊙O的半径为
3
2
.
【解析】
分析:(1)连接OE,根据矩形的性质,可证∠BEO=90°,即可得出直线BE与⊙O相切;(2)连接EF,先根据已知条件得出BD的值,再在△BEO中,利用勾股定理推知BE的长,设出⊙O的半径为r,利用切线的性质,用勾股定理列出等式解之即可得出r的值.详解:(1)直线BE与⊙O相切.理由如下:
连接OE,在矩形ABCD中,AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC.
∵OD=OE,∴∠OED=∠ODE.
又∵∠ABE=∠DBC,∴∠ABE=∠OED,
∵矩形ABDC,∠A=90°,∴∠ABE+∠AEB=90°,
∴∠OED+∠AEB=90°,∴∠BEO=90°,∴直线BE与⊙O相切;
(2)连接EF,方法1:
∵四边形ABCD是矩形,CD=2,∴∠A=∠C=90°,AB=CD=2.
∵∠ABE =∠DBC ,∴sin ∠CBD =33
sin ABE ∠=, ∴23DC
BD sin CBD
∠=
=,
在Rt △AEB 中,∵CD =2,∴22BC =. ∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ,∴2222
DC AE AE
AE BC AB ,,=∴=∴=, 由勾股定理求得6BE =
.
在Rt △BEO 中,∠BEO =90°,EO 2+EB 2=OB 2.
设⊙O 的半径为r ,则222
623r r +=-()()
,∴r =3
, 方法2:∵DF 是⊙O 的直径,∴∠DEF =90°. ∵四边形ABCD 是矩形,∴∠A =∠C =90°,AB =CD =2. ∵∠ABE =∠DBC ,∴sin ∠CBD =3
3
sin ABE ∠=. 设3DC x BD x ==
,,则2BC x =.
∵CD =2,∴22BC =. ∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ,∴2222
DC AE AE
AE BC AB ,,=∴=∴=, ∴E 为AD 中点.
∵DF 为直径,∠FED =90°,∴EF ∥AB ,∴132DF BD =
=,∴⊙O 的半径为3
.
点睛:本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及三角函数的应用等知识点,具有较强的综合性,有一定的难度.
4.等腰Rt △ABC 和⊙O 如图放置,已知AB=BC=1,∠ABC=90°,⊙O 的半径为1,圆心O 与直线AB 的距离为5.
(1)若△ABC 以每秒2个单位的速度向右移动,⊙O 不动,则经过多少时间△ABC 的边与圆第一次相切?
(2)若两个图形同时向右移动,△ABC 的速度为每秒2个单位,⊙O 的速度为每秒1个单位,则经过多少时间△ABC 的边与圆第一次相切?
(3)若两个图形同时向右移动,△ABC 的速度为每秒2个单位,⊙O 的速度为每秒1个单位,同时△ABC 的边长AB 、BC 都以每秒0.5个单位沿BA 、BC 方向增大.△ABC 的边与圆
第一次相切时,点B 运动了多少距离?
【答案】(1)52
2
-;(2) 52-;(3)20423-
【解析】
分析:(1)分析易得,第一次相切时,与斜边相切,假设此时,△ABC 移至△A′B′C′处,A′C′与⊙O 切于点E ,连OE 并延长,交B′C′于F .由切线长定理易得CC′的长,进而由三角形运动的速度可得答案;
(2)设运动的时间为t 秒,根据题意得:CC′=2t ,DD′=t ,则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t -2t=4-t ,由第(1)的结论列式得出结果;
(3)求出相切的时间,进而得出B 点移动的距离. 详解:(1)假设第一次相切时,△ABC 移至△A′B′C′处, 如图1,A′C′与⊙O 切于点E ,连接OE 并延长,交B′C′于F ,
设⊙O 与直线l 切于点D ,连接OD ,则OE ⊥A′C′,OD ⊥直线l , 由切线长定理可知C′E=C′D , 设C′D=x ,则C′E=x , ∵△ABC 是等腰直角三角形, ∴∠A=∠ACB=45°, ∴∠A′C′B′=∠ACB=45°, ∴△EFC′是等腰直角三角形, ∴2x ,∠OFD=45°, ∴△OFD 也是等腰直角三角形, ∴OD=DF , ∴
2x+x=1,则2-1,
∴CC′=BD -BC-C′D=5-1-2-1)2, ∴点C 52
-;
则经过
52
2
-秒,△ABC 的边与圆第一次相切; (2)如图2,设经过t 秒△ABC 的边与圆第一次相切,△ABC 移至△A′B′C′处,⊙O 与BC 所在直线的切点D 移至D′处,
A′C′与⊙O 切于点E ,连OE 并延长,交B′C′于F , ∵CC′=2t ,DD′=t ,
∴C′D′=CD+DD′-CC′=4+t -2t=4-t , 由切线长定理得C′E=C′D′=4-t , 由(1)得:4-t=2-1, 解得:t=5-2,
答:经过5-2秒△ABC 的边与圆第一次相切; (3)由(2)得CC′=(2+0.5)t=2.5t ,DD′=t , 则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t -2.5t=4-1.5t , 由切线长定理得C′E=C′D′=4-1.5t , 由(1)得:4-1.5t=2-1, 解得:t=
1022
3
-, ∴点B 运动的距离为2×
10223-=2042
3
-.
点睛:本题要求学生熟练掌握圆与直线的位置关系,并结合动点问题进行综合分析,比较复杂,难度较大,考查了学生数形结合的分析能力.
5.如图,OB 是以(O ,a )为圆心,a 为半径的⊙O 1的弦,过B 点作⊙O 1的切线,P 为劣弧OB 上的任一点,且过P 作OB 、AB 、OA 的垂线,垂足分别是D 、E 、F .
(1)求证:PD2=PE?PF;
(2)当∠BOP=30°,P点为OB的中点时,求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF.
【答案】(1)详见解析;(2)D(﹣
3
4
a,
3
4
a),E(﹣
33
4
a,
3
4
a),F(﹣
3
2
a,
0),P(﹣
3
2
a,
2
a
);S△DEF=
33
16
a2.
【解析】
试题分析:(1)连接PB,OP,利用AB切⊙O1于B求证△PBE∽△POD,得
出PB PE
OP PD
=,同理,△OPF∽△BPD,得出
PB PD
OP PF
=,然后利用等量代换即可.
(2)连接O1B,O1P,得出△O1BP和△O1PO为等边三角形,根据直角三角形的性质即可解得D、E、F、P四个点的坐标.再利用三角形的面积公式可直接求出三角形DEF的面积.
试题解析:(1)证明:连接PB,OP,
∵PE⊥AB,PD⊥OB,
∴∠BEP=∠PDO=90°,
∵AB切⊙O1于B,∠ABP=∠BOP,
∴△PBE∽△POD,
∴=,
同理,△OPF∽△BPD
∴=,
∴=,
∴PD2=PE?PF;
(2)连接O1B,O1P,
∵AB切⊙O1于B,∠POB=30°,
∴∠ABP=30°,
∴∠O1BP=90°﹣30°=60°,
∵O1B=O1P,
∴△O1BP为等边三角形,
∴O1B=BP,
∵P为弧BO的中点,
∴BP=OP,
即△O1PO为等边三角形,
∴O1P=OP=a,
∴∠O1OP=60°,
又∵P为弧BO的中点,
∴O1P⊥OB,
在△O1DO中,∵∠O1OP=60°O1O=a,
∴O1D=a,OD=a,
过D作DM⊥OO1于M,∴DM=OD=a,OM=DM=a,
∴D(﹣a, a),
∵∠O1OF=90°,∠O1OP=60°
∴∠POF=30°,
∵PE⊥OA,
∴PF=OP=a,OF=a,
∴P(﹣a,),F(﹣a,0),
∵AB切⊙O1于B,∠POB=30°,
∴∠ABP=∠BOP=30°,
∵PE⊥AB,PB=a,
∴∠EPB=60°
∴PE=a,BE=a,
∵P为弧BO的中点,
∴BP=PO,
∴∠PBO=∠BOP=30°,
∴∠BPO=120°,
∴∠BPE+∠BPO=120°+60°=180°,
即OPE三点共线,
∵OE=a+a=a,
过E作EM⊥x轴于M,∵AO切⊙O1于O,∴∠EOA=30°,
∴EM=OE=a,OM=a,
∴E(﹣a, a),
∵E (﹣a , a ),D (﹣a , a ), ∴DE=﹣
a ﹣(﹣
a )=
a ,
DE 边上的高为: a , ∴S △DEF =×
a×a=
a 2.
故答案为:D (﹣a , a ),E (﹣a , a ),F (﹣
a ,0),P (﹣
a ,
);S △DEF =
a 2.
6.已知,ABC ?内接于
O ,点P 是弧AB 的中点,连接PA 、PB ;
(1)如图1,若AC BC =,求证:AB PC ⊥; (2)如图2,若PA 平分CPM ∠,求证:AB AC =; (3)在(2)的条件下,若24
sin 25
BPC ∠=
,8AC =,求AP 的值.
【答案】(1)见解析;(2)见解析5 【解析】 【分析】
(1)由点P 是弧AB 的中点,可得出AP=BP , 通过证明APC BPC ??? ,ACE BCE ???可得出AEC BEC ∠=∠进而证明AB ⊥ PC.
(2)由PA 是∠CPM 的角平分线,得到∠MPA=∠APC, 等量代换得到∠ABC=∠ACB, 根据等腰三角形的判定定理即可证得AB=AC.
(3)过A 点作AD ⊥BC,有三线合一可知AD 平分BC,点O 在AD 上,连结OB ,则∠BOD =
∠BAC ,根据圆周角定理可知∠BOD=∠BAC, ∠BPC=∠BAC ,由∠BOD=∠BPC 可得
sin sin BD
BOD BPC OB
∠=∠=
,设OB=25x ,根据勾股定理可算出OB 、BD 、OD 、AD 的长,再次利用勾股定理即可求得AP 的值. 【详解】
解:(1)∵点P 是弧AB 的中点,如图1, ∴AP =BP ,
在△APC 和△BPC 中 AP BP AC BC PC PC =??
=??=?
, ∴△APC ≌△BPC (SSS ), ∴∠ACP =∠BCP , 在△ACE 和△BCE 中
AC BC ACP BCP CE CE =??
∠=∠??=?
, ∴△ACE ≌△BCE (SAS ), ∴∠AEC =∠BEC , ∵∠AEC +∠BEC =180°, ∴∠AEC =90°, ∴AB ⊥PC ;
(2)∵PA 平分∠CPM , ∴∠MPA =∠APC ,
∵∠APC +∠BPC +∠ACB =180°,∠MPA +∠APC +∠BPC =180°, ∴∠ACB =∠MPA =∠APC , ∵∠APC =∠ABC , ∴∠ABC =∠ACB , ∴AB =AC ;
(3)过A 点作AD ⊥BC 交BC 于D ,连结OP 交AB 于E ,如图2,
由(2)得出AB =AC ,
∴AD 平分BC , ∴点O 在AD 上,
连结OB ,则∠BOD =∠BAC , ∵∠BPC =∠BAC , ∴sin sin BOD BPC ∠=∠=2425BD OB
=, 设OB =25x ,则BD =24x ,
∴OD 7x ,
在Rt ABD 中,AD =25x +7x =32x ,BD =24x , ∴AB
40x ,
∵AC =8, ∴AB =40x =8, 解得:x =0.2,
∴OB =5,BD =4.8,OD =1.4,AD =6.4, ∵点P 是AB 的中点, ∴OP 垂直平分AB , ∴AE =
1
2
AB =4,∠AEP =∠AEO =90°,
在Rt AEO ?中,OE 3=,
∴PE =OP ﹣OE =5﹣3=2,
在Rt APE ?中,AP == 【点睛】
本题是一道有关圆的综合题,考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定定理和三线合一,是初中数学的重点和难点,一般以压轴题形出现,难度较大.
7.如图,AB 为⊙O 的直径,且AB =m (m 为常数),点C 为AB 的中点,点D 为圆上一动点,过A 点作⊙O 的切线交BD 的延长线于点P ,弦CD 交AB 于点E . (1)当DC ⊥AB 时,则
DA DB
DC
+= ; (2)①当点D 在AB 上移动时,试探究线段DA ,DB ,DC 之间的数量关系;并说明理由;
②设CD 长为t ,求△ADB 的面积S 与t 的函数关系式;
(3)当
20
PD AC =
时,求DE OA 的值.
【答案】(12;(2)①DA+DB 2DC ,②S =12t 2﹣14m 2 ;(3)242DE OA =. 【解析】 【分析】
(1)首先证明当DC ⊥AB 时,DC 也为圆的直径,且△ADB 为等腰直角三角形,即可求出结果;
(2)①分别过点A ,B 作CD 的垂线,连接AC ,BC ,分别构造△ADM 和△BDN 两个等腰直角三形及△NBC 和△MCA 两个全等的三角形,容易证出线段DA ,DB ,DC 之间的数量关系;
②通过完全平方公式(DA+DB )2=DA 2+DB 2+2DA?DB 的变形及将已知条件AB =m 代入即可求出结果;
(3)通过设特殊值法,设出PD 的长度,再通过相似及面积法求出相关线段的长度,即可求出结果. 【详解】
解:(1)如图1,∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ADB =90°, ∵C 为AB 的中点, ∴AC BC =, ∴∠ADC =∠BDC =45°, ∵DC ⊥AB ,
∴∠DEA =∠DEB =90°, ∴∠DAE =∠DBE =45°, ∴AE =BE , ∴点E 与点O 重合, ∴DC 为⊙O 的直径, ∴DC =AB ,
在等腰直角三角形DAB 中, DA =DB 2
AB , ∴DA+DB 2AB 2CD , ∴
DA DB
DC
+2;
(2)①如图2,过点A 作AM ⊥DC 于M ,过点B 作BN ⊥CD 于N ,连接AC ,BC , 由(1)知AC BC =, ∴AC =BC , ∵AB 为⊙O 的直径,
∴∠ACB =∠BNC =∠CMA =90°,
∴∠NBC+∠BCN =90°,∠BCN+∠MCA =90°, ∴∠NBC =∠MCA , 在△NBC 和△MCA 中,
BNC CMA NBC MCA BC CA ∠=∠??
∠=∠??=?
, ∴△NBC ≌△MCA (AAS ), ∴CN =AM ,
由(1)知∠DAE =∠DBE =45°, AM =
22DA ,DN
=22
DB , ∴DC =DN+NC =
2DB+2DA =2
(DB+DA ), 即DA+DB =2DC ;
②在Rt △DAB 中, DA 2+DB 2=AB 2=m 2,
∵(DA+DB )2=DA 2+DB 2+2DA?DB , 且由①知DA+DB 2DC 2t , ∴2t )2=m 2+2DA?DB , ∴DA?DB =t 2﹣
12
m 2,
∴S △ADB =
12DA?DB =12t 2﹣1
4
m 2, ∴△ADB 的面积S 与t 的函数关系式S =12t 2﹣14
m 2
; (3)如图3,过点E 作EH ⊥AD 于H ,EG ⊥DB 于G , 则NE =ME ,四边形DHEG 为正方形,
由(1)知AC BC =, ∴AC =BC ,
∴△ACB 为等腰直角三角形, ∴AB
AC ,
∵
20
PD AC =
,
设PD =,则AC =20,AB =, ∵∠DBA =∠DBA ,∠PAB =∠ADB , ∴△ABD ∽△PBA , ∴AB BD AD
PB AB PA
==,
∴
=
, ∴DB =
, ∴AD
=,
设NE =ME =x , ∵S △ABD =12AD?BD =12AD?NE+1
2
BD?ME , ∴
1
2=12?x+1
2?x ,
∴x =
7
, ∴DE
HE x =967
,
又∵AO =1
2
AB =,
∴
96
735
DE OA ==
.
【点睛】
本题考查了圆的相关性质,等腰直三角形的性质,相似的性质等,还考查了面积法及特殊值法的运用,解题的关键是认清图形,抽象出各几何图形的特殊位置关系.
8.如图,BD为△ABC外接圆⊙O的直径,且∠BAE=∠C.
(1)求证:AE与⊙O相切于点A;
(2)若AE∥BC,BC=23,AC=2,求AD的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)23
【解析】
【分析】
(1)根据题目中已出现切点可确定用“连半径,证垂直”的方法证明切线,连接AO并延长交⊙O于点F,连接BF,则AF为直径,∠ABF=90°,根据同弧所对的圆周角相等,则可得到∠BAE=∠F,既而得到AE与⊙O相切于点A.
(2))连接OC,先由平行和已知可得∠ACB=∠ABC,所以AC=AB,则∠AOC=∠AOB,从而利用垂径定理可得AH=1,在Rt△OBH中,设OB=r,利用勾股定理解得r=2,在Rt△ABD中,即可求得AD的长为3
【详解】
解:(1)连接AO并延长交⊙O于点F,连接BF,
则AF为直径,∠ABF=90°,
∵AB AB
,
∴∠ACB=∠F,
∵∠BAE=∠ACB,
∴∠BAE=∠F,
∵∠FAB+∠F=90°,
∴∠FAB+∠BAE=90°,
∴OA⊥AE,
∴AE与⊙O相切于点A.
(2)连接OC,
∵AE∥BC,
∴∠BAE=∠ABC,
∵∠BAE=∠ACB,
∴∠ACB=∠ABC,
∴AC=AB=2,
∴∠AOC=∠AOB,
∵OC=OB,
∴OA⊥BC,
∴CH=BH=1
BC=3,
2
在Rt△ABH中,
AH=22
-=1,
AB BH
在Rt△OBH中,设OB=r,
∵OH2+BH2=OB2,
∴(r﹣1)2+(3)2=r2,
解得:r=2,
∴DB=2r=4,
在Rt△ABD中,AD=22
-=22
BD AB
-=23,
42
∴AD的长为23.
【点睛】
本题考查了圆的综合问题,恰当的添加辅助线是解题关键.
9.如图1,⊙O的直径AB=12,P是弦BC上一动点(与点B,C不重合),∠ABC=30°,过点P作PD⊥OP交⊙O于点D.
(1)如图2,当PD∥AB时,求PD的长;
(2)如图3,当弧DC=弧AC时,延长AB至点E,使BE=1
2
AB,连接DE.
①求证:DE是⊙O的切线;
②求PC的长.
【答案】(1)26;(2)①证明见解析;②33﹣3.
【解析】
试题分析:(1)根据题意首先得出半径长,再利用锐角三角三角函数关系得出OP,PD的长;
(2)①首先得出△OBD是等边三角形,进而得出∠ODE=∠OFB=90°,求出答案即可;
②首先求出CF的长,进而利用直角三角形的性质得出PF的长,进而得出答案.
试题解析:(1)如图2,连接OD,
∵OP⊥PD,PD∥AB,
∴∠POB=90°,
∵⊙O的直径AB=12,
∴OB=OD=6,
在Rt△POB中,∠ABC=30°,
∴OP=OB?tan30°=6×=2,
在Rt△POD中,
PD===;
(2)①如图3,连接OD,交CB于点F,连接BD,
∵,
∴∠DBC=∠ABC=30°,
∴∠ABD=60°,
∵OB=OD,
∴△OBD是等边三角形,
∴OD⊥FB,
∵BE=AB,
∴OB=BE,
∴BF∥ED,
∴∠ODE=∠OFB=90°,
∴DE是⊙O的切线;
②由①知,OD⊥BC,
∴CF=FB=OB?cos30°=6×=3,
在Rt△POD中,OF=DF,
∴PF=DO=3(直角三角形斜边上的中线,等于斜边的一半),∴CP=CF﹣PF=3﹣3.
考点:圆的综合题
10.如图,AN是⊙M的直径,NB∥x轴,AB交⊙M于点C.(1)若点A(0,6),N(0,2),∠ABN=30°,求点B的坐标;(2)若D为线段NB的中点,求证:直线CD是⊙M的切
线.
【答案】(1) B(,2).(2)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)在Rt△ABN中,求出AN、AB即可解决问题;(2)连接MC,NC.只要证明∠MCD=90°即可
试题解析:(1)∵A的坐标为(0,6),N(0,2),
∴AN=4,
∵∠ABN=30°,∠ANB=90°,
∴AB=2AN=8,
∴由勾股定理可知:NB=,
∴B(,2).
(2)连接MC,NC
∵AN是⊙M的直径,
∴∠ACN=90°,
∴∠NCB=90°,
在Rt△NCB中,D为NB的中点,
∴CD=NB=ND,
∴∠CND=∠NCD,
∵MC=MN,
∴∠MCN=∠MNC,
∵∠MNC+∠CND=90°,
∴∠MCN+∠NCD=90°,
即MC⊥CD.
∴直线CD是⊙M的切线.
考点:切线的判定;坐标与图形性质.
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
初中数学易错题分类汇编 一、数与式: 1 (A )2,(B (C )2±,(D ) 2例题:等式成立的是.(A )1c ab abc =,(B )632x x x =,(C )1 12112a a a a + +=--,(D )22a x a bx b =. 二、方程与不等式 ⑴字母系数 1例题:关于x 的方程2(2)2(1)10k x k x k ---++=,且3k ≤.求证:方程总有实数根. 2例题:不等式组2,.x x a >-??>? 的解集是x a >,则a 的取值范围是. (A )2a <-,(B )2a =-,(C )2a >-,(D )2a ≥-. ⑵判别式 例题:已知一元二次方程222310x x m -+-=有两个实数根1x ,2x ,且满足不等式 121214 x x x x <+-,求实数的范围. ⑶解的定义 例题:已知实数a 、b 满足条件2720a a -+=,2720b b -+=,则 a b b a +=____________. ⑷增根 例题:m 为何值时,22111 x m x x x x --=+--无实数解. ⑸应用背景 例题:某人乘船由A 地顺流而下到B 地,然后又逆流而上到C 地,共乘船3小时,已知船在静水中的速度为8千米/时,水流速度为2千米/时,若A 、C 两地间距离为2千米,求A 、B 两地间的距离. ⑹失根
例题:解方程(1)1 -=-. x x x 三、函数 ⑴自变量 例题:函数y=中,自变量x的取值范围是_______________. ⑵字母系数 例题:若二次函数22 =-+-的图像过原点,则m=______________. y mx x m m 32 ⑶函数图像 例题:如果一次函数y kx b =+的自变量的取值范围是26 -≤≤,相应的函数值的范围是 x -≤≤,求此函数解析式. y 119 ⑷应用背景 例题:某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,客床可全部租出.若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次这种提高2元的方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚应提高_________元. 四、直线型 ⑴指代不明 ,则斜边上的高等于________. ⑵相似三角形对应性问题 例题:在ABC BC=,D为AC上一点,:2:3 DC AC=,在AB AB=,12 AC=18 △中,9 上取点E,得到ADE △,若两个三角形相似,求DE的长. ⑶等腰三角形底边问题 例题:等腰三角形的一条边为4,周长为10,则它的面积为________. ⑷三角形高的问题 例题:等腰三角形的一边长为10,面积为25,则该三角形的顶角等于多少度? ⑸矩形问题 例题:有一块三角形ABC铁片,已知最长边BC=12cm,高AD=8cm,要把它加工成一
一、选择题 1.PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm (1μm =0.000001m )的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,它们还有一定量的有毒、有害物质,对人体健康和大气环境质量有很大影响.2.3μm 用科学记数法可表示为( ) A .23×10﹣5m B .2.3×10﹣5m C .2.3×10﹣6m D .0.23×10﹣7m 2.计算1÷ 11m m +-(m 2 -1)的结果是( ) A .-m 2-2m -1 B .-m 2+2m -1 C .m 2-2m -1 D .m 2-1 3.如图,设k= 甲图中阴影部分面积 乙图中阴影部分面积 (a >b >0),则有 ( ) 甲 乙 甲
(A )k >2 (B )1<k <2 (C )121< 10.若分式 的值为零,则x 的值为( ) A .0 B .﹣2 C .2 D .﹣2或2 11.分式 (a 、b 均为正数),字母的值都扩大为原来的2倍,则分式的值( ) A .扩大为原来的2倍 B .缩小为原来的 C .不变 D .缩小为原来的 12.在 2x ,1()3x y +,3ππ-,5a x -,24x y -中,分式的个数为( ) A .1 B.2 C.3 D .4 13.若a =-0.3-2 ,b =-3-2 ,c =(- 13)-2,d =(-13 )0 ,则( ) A .a <d <c <b B .b <a <d <c C .a <d <c <b D .a <b <d <c 14.如果为整数,那么使分式 2 22 21 m m m +++的值为整数的的值有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 15.下列代数式y 2、x 、13π、11 a -中,是分式的是 A . y 2 B . 11 a - C .x D . 13π 16.把分式2n m n +中的m 与n 都扩大3倍,那么这个代数式的值 A .不变 B .扩大3倍 C .扩大6倍 D .缩小到原来的 13 17.已知空气的单位体积质量是0.001239g /cm 3,则用科学记数法表示该数为( )g /cm 3. A .1.239×10﹣3 B .1.2×10﹣3 C .1.239×10﹣2 D .1.239×10﹣4 18.无论a 取何值,下列分式总有意义的是( ) A . 2 1 a a + B . 21 1 a a -+ C . 21 1 a - D . 11 a + 19.下列式子:2222 2213,, ,,,x y a x x a b a xy y π----其中是分式的个数( ). A .2 B .3 C .4 D .5 20.若分式 的值为0,则x 的值是( ) A .3 B -3 C .4 D .-4 21.已知实数 a , b ,c 均不为零,且满足 a + b +c=0,则 O G F B D A C E 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm ,点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2 cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区 进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2 EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2 ADFE S AF DE =g 四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.是 . 6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福 娃们的讨 论,请你解该题,你选择的答案是( ) 贝 贝:我注意 s t O A s t O B s t O C s t O D A D C E F G B s 80 O v t 80 O v 80 O t v O A . B. C . D . 80 A D B F E 第20题图 D C B P A 函数2y x x m =-+(m 为常数)的图象如左图, 如果x a =时,0y <;那么1x a =-时, 函数值( ) A .0y < B .0y m << C .y m > D .y m = x y O x 1 x 2 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m . 【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC. (1)求证:∠AEC=90°; (2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)若DC=2,求DH的长. 【答案】(1)证明见解析; (2)四边形AOCD为菱形; (3)DH=2. 【解析】 试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得 ,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出 ∠AEC=90°; (2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形); (3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由 DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长. 试题解析:(1)连接OC, 数形结合部分 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm , 点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将ABC △沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2ADFE S AF DE =四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+ ∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点 P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,折叠正方形纸片ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.展开后,折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②tan ∠AED=2;③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是 . A D C E F G B t t A . B. C . D . F 第20题图 6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福娃们的讨论,请你解该题, 你选择的答案是( ) 贝贝:我注意到当 0x =时,0y m =>. 晶晶:我发现图象的对 称轴为1 2 x = . 欢欢:我判断出12x a x <<. 迎迎:我认为关键要判断1a -的符号. 妮妮:m 可以取一个特殊的值. 7 正方形ABCD 中,E 是BC 边上一点,以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心,AB 为半径的圆弧外切,则sin EAB ∠的值为( ) A . 43 B . 34 C .45 D . 3 5 8 一个函数的图象如图,给出以下结论: ①当0x =时,函数值最大; ②当02x <<时,函数y 随x 的增大而减小; ③存在001x <<,当0x x =时,函数值为0. 其中正确的结论是( )A .①② B .①③ C .②③ D .①②③ 9.函数2 y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是 ( ) 10 如图,水平地面上有一面积为2 30cm π的扇形AOB ,半径OA=6cm ,且OA 与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止,则O 点移动的距离为( )A 、20cm B 、24cm C 、10cm π D 、30cm π 11 在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形,则,,a b c 满足的关系式是( ) A 、b a c =+ B 、b ac =C 、2 2 2 b a c =+ D 、22b a c == 一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空: 当点A位于时,线段AC的长取得最大值,且最大值为(用含a,b的式子表示) (2)应用:点A为线段BC外一动点,且BC=4,AB=1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE. ①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值. (3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),点P 为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标. 【答案】(1)CB的延长线上, a+b;(2)①CD=BE,理由见解析;②BE长的最大值为5;(3)满足条件的点P坐标(222)或(222),AM的最大值为2+4. 【解析】 【分析】 (1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;(2) ①根据已知条件易证△CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质即可得CD=BE;②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果;(3)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为2+4;如图2,过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标.如图3中,根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件,由此求得符合条件的点P另一个的坐标. 【详解】 (1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b, ∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b, 故答案为CB的延长线上,a+b; (2)①CD=BE, 理由:∵△ABD与△ACE是等边三角形, ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠CAD=∠EAB, 来看这些历年中考数学易错题你能都做对吗?(附答案) 作者:学大教育编辑整理 来源:网络 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 初中数学选择、填空、简答题 易错题集锦及答案 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( C ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( A ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( B ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( B ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( C ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2 -(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( C ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2 ,则两圆的位置关系是( B ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 中考数学易错题集锦 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线不是平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交点 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b中考数学易错题题目(经典)
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