新东方考研高等数学讲义
新东方在线考研数学基础班网络课程电子版教材
高等数学
引言
我们根据考研数学的考试大纲和历年真题，归纳出所需的数学概念、方法和技巧分为（甲）内容要点和（乙）典型例题两大部分来体现。又分为基础班、强化班和冲刺班三个阶段。这次基础班偏重于基本概念和基本方法以及一般性技巧，其内容安排如下：
第一章函数、极限、连续（全体）
第二章一元函数微分学（全体）
第三章一元函数积分学（全体）
常微分方程（全体）
第五章向量代数与空间解析几何（数学一）
第六章多元函数微分学（全体）
第七章多元函数积分学
§7．1 二重积分（全体）
§7．2 三重积分
§7．3 曲线积分
§7．4 曲面积分（数学一）
第八章无穷级数（数学一和数学三）
参考书：《新东方考研数学直通车》第I卷《高等数学》
汪诚义编北京新东方大愚文化传播有限公司出版
（2005年4月）
考研数学基础班
高等数学
第一章函数、极限、连续
§1．1 函数
甲内容要点
一．函数的概念
1．函数的定义
设D是一个非空的实数集，如果有一个对应规则f，对每一个D
x∈，都能对应唯一的一个实数y，则这个对应规则f称为定义在D上的一个函数，记以()x f
y=，称x为函数的自变量，y为函数的因变量或函数值，D称为函数的定义域，并把实数集
()
{}D
x
x
f
y
y
Z∈
=
=,
称为函数的值域
2．分段函数
如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两个或两个以上的表达式来表示。这类函数称为分段函数。
例如()
?
?
?
?
?
>
≤
≤
-
-
<
+
=
=
1
5
1
1
1
1
2
x
x
x
x
x
x
x
f
y
是一个分段函数，它有两个分段点，1-
=
x和1
=
x，它们两侧的函数表达式不同，因此讨论函数()x f
y=在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数，需要强调：分段函数不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。
又()
?
?
?
<
-
≥
=
=
,
,
x
x
x
x
x
x
f，
()
?
?
?
?
?
<
-
=
>
=
=
,1
,0
,1
s g n
x
x
x
x
x
f，都是分段函数
3．隐函数
形如()x f
y=的函数称为显函数，由方程()0
,=
y
x
F确定()x y
y=称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数，例如1
2
2=
+y
x，2
1x
y-
±
=，（不一定一个单值函数），而有些隐函数则不能化为显函数。
4．反函数
如果()x f
y=可以解出()y
x?
=是一个函数（单值）则称它为()x
f的反函数，记以()y
f
x1-
=。有时也用()x
f
y1-
=表示，例如()0
,2≥
=x
x
y解出y
x=，()0≥y
而()02≤=x x y 解出()0≥-=y y x
二．基本初等函数
1．常值函数c y =（常数） 2．幂函数αx y =（α常数）
3．指数函数x a y = (0>a ,1≠a 常数) x e y =（ 7182.2=e ，无理数）
4．对数函数x y a log =（1,0≠>a a 常数） 常用对数x x y lg log 10== 自然对数x x y e ln log ==
5．三角函数x y sin =；x y cos =；x y tan =； x y cot =；x y sec =；x y csc =。 6．反三角函数x y arcsin =；x y arccos =； x y arctan =；x arc y cot =。
关于基本初等函数的概念，性质及其图象非常重要，影响深远。例如以后经常会用x x arctan lim +∞
→；x x arctan lim -∞
→；
x x e 1
0lim +
→；x
x e 10
lim -→；x x ln lim 0
+
→等等。就需要关于x y arctan =，x e y =，x y ln =的图象很清晰。
三．复合函数与初等函数
1．复合函数
设()u f y = 定义域U
()x g u = 定义域X ，值域*U
如果U U ?*，则()[]x g f y =是定义在X 上的一个复合函数。其中u 称为中间变量。
2．初等函数
由基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成的用一个分析表达式表示的函数称为初等函数。
四．考研数学中常出现的非初等函数
1．用极限表示的函数
（1）()x f y n n ∞
→=lim
（2）()x t f y x
t ,lim →=
2．用变上、下限积分表示的函数
（1）()dt t f y x
?
=0
，其中()t f 连续，则
()x f dx
dy
= （2）()()()
dt t f y x x
?=21
??，其中()x 1?，()x 2
?可导，()
t f 连续， 则
()[]()()[]()x x f x x f dx
dy
112
2????'-'=
五．函数的几种性质
1．有界性：
设函数()x f y =在X 内有定义，若存在正数M ，使
X x ∈都有()M x f ≤则称()x f 在X 上是有界的。
2．奇偶性：
设区间X 关于原点对称，若对X x ∈，都有()()x f x f -=-，
则称()x f 在X 上是奇函数；若对X x ∈，都有()()x f x f =-，则称()x f 在X 上是偶函数、奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于y 轴对称。
3．单调性：
设()x f 在X 上有定义，若对任意X x ∈1，X x ∈2，
21x x <都有()()()()[]2121x f x f x f x f ><则称()x f 在X
上是单调增加的[单调减少的]；若对任意X x ∈1，X x ∈2，
21x x <都有()()()()[]2121x f x f x f x f ≥≤则称()x f 在X
上是单调不减[单调不增]。
（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。）
4．周期性：
设()x f 在X 上有定义，如果存在常数0≠T ，使得任意
X x ∈，X T x ∈+，都有()()x f T x f =+，则称()x f 是
周期函数，称T 为()x f 的周期。
由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。
乙 典型例题
一．求函数的定义域
例1．求函数()2100ln ln ln x x x f -+=的定义域
例2．求5
ln 1
-+-=x x x y 的定义域
例3．设()x f 的定义域为[]()0,>-a a a ，求()
12
-x f 的
定义域
例4．设
()?
?
?≤≤<≤=42 ,220
,1x x x g 求
()()()12-+=x g x g x f 的定义域，并求??
?
??23f 。
二．求函数的值域
例1．求3
31
1
-=x e y 的值域
例2．求()()??
?
??>--≤≤---<-==2,2122,52
,323x x x x x x x f y 的值域，
并求它的反函数
三．求复合函数有关表达式
1．已知()x f 和()x g ，求()[]x g f 例1．已知()1
-=x x
x f ，求()??
????-11x f f
例2．设()2
1x x x f +=
，求()()[]()
重复合
n x f x f f f n =
例3．设()??
?>≤-=2
,
02
,
42x x x x f ，求()[]x f f
2．已知()x g 和()[]x g f ，求()x f 例1．设(
)
x e e e f x x
x
++=+21，求()x f
例2．已知()x
x
xe
e f -='，且()01=f ，求()x f
例3．设()x x f sin =，求()x f '
例
4．已知
()x x f 2c o s 3s i n -=，求证
()x x f 2cos 3cos +=
3．已知()x f 和()[]x g f ，求()x g
例．已知()()x x f +=1ln ，()[]x x g f =，求()x g 解：()[]x f
x g 1
-=实际上为求反函数问题
()[]()[]x x g x g f =+=1ln ，()x e x g =+1 ()1-=x e x g
4．有关复合函数方程
例．设()x x f x x f 2311-=??
?
??-+，求()x f
四．有关四种性质
例1．设()()x f x F ='，则下列结论正确的是[ ] （A ）若()x f 为奇函数，则()x F 为偶函数。 （B ）若()x f 为偶函数，则()x F 为奇函数。 （C ）若()x f 为周期函数，则()x F 为周期函数。 （D ）若()x f 为单调函数，则()x F 为单调函数。
解：（B ）不成立，反例()2
x x f =，()13
3
+=x x F （C ）不成立，反例()1cos +=x x f ，
()x x x F +=sin
（D ）不成立，反例()x x f 2=，()2
x x F =在
()+∞∞-,内
（A ）成立。证明：()()()?+=x
dt t f F x F 0
0，f 为奇函
数
()()()()()()?
?---+=+=-x
x
u d u f F dt t f F x F 0
00
()()()?=+
=x
x F du u f F 0
()x F ∴为偶函数。 例2．求()
()[
]
dx x x e e x x I x x 1ln 1
1
25?
--++-+=
§1.2 极限
甲 内容要点
一．极限的概念与基本性质
1．极限的定义
（1）A x n n =∞
→lim （称数列{}n x 收敛于A ）
任给0>ε，存在正整数N ，当N n >时，就有
ε<-A x n 。
（2）()A x f x =+∞
→lim
任给0>ε，存在正整X ，当X x >时，就有
()ε<-A x f 。
（3）()A x f x =-∞
→lim
任给0>ε，存在正数X ，当X x -<时，就有
()ε<-A x f
（4）()A x f x =∞
→lim
任给0>ε，存在正数X ，当X x >时，就有
()ε<-A x f
（5）()A x f x x =→0
lim
任给0>ε，存在正数δ，当δ<-<00x x 时，就有
()ε<-A x f
（6）()A x f x x =+
→0
lim （用()00+x f 表示()x f 在0x 的右极限值）
任给0>ε，存在正数δ，当δ<-<00x x 时，就有
()ε<-A x f
（7）()A x f x x =-
→0
lim （用()00-x f 表示()x f 在0x 的左极限值）
任给0>ε，存在正数δ，当00<-<-x x δ时，就有
()ε<-A x f
其中()00+x f 称为()x f 在0x 处右极限值，()00-x f 称为()x f 在0x 处左极限值。
有时我们用()A x f =lim 表示上述六类函数的极限，它具有的性质，上述六类函数极限皆具有这种性质，有时我们把()n f x n =，把数列极限也看作这种抽象的变量的极限的特例，以便于讨论。
2．极限的基本性质
定理1．（极限的唯一性）设()A x f =lim ，
()B x f =lim ，则B A =
定理2．（极限的不等式性质）设()A x f =lim ，
()B x g =lim
若x 变化一定以后，总有()()x g x f ≥，则B A ≥ 反之，B A >，则x 变化一定以后，有()()x g x f > （注：当()0≡x g ，0=B 情形也称为极限的保号性） 定理3．（极限的局部有界性）设()A x f =lim 则当x 变化一定以后，()x f 是有界的。 定理4．设()A x f =lim ，()B x g =lim 则（1）()()[]B A x g x f +=+lim （2）()()[]B A x g x f -=-lim （3）()()[]B A x g x f ?=?lim （4）()()B
A
x g x f =lim
()0≠B （5）()[]()
B x g A x f =lim ()0>A
二．无穷小
1．无穷小定义
若()0lim =x f ，则称()x f 为无穷小 （注：无穷小与
x 的变化过程有关，01
lim
=∞→x
x ，当∞→x 时，x 1为无穷小，而0x x →或其它时，x
1
不是无穷
小）
2．无穷大定义
任给0>M ，当x 变化一定以后，总有()M x f >，则称()x f 为无穷大。 记以()∞=x f lim
3．无穷小与无穷大的关系
在x 的同一个变化过程中 若()x f 为无穷大，则
()
x f 1
为无穷小， 若()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()
x f 1
为无穷大
4．无穷小与极限的关系
()()()x A x f A x f α+=?=lim 其中()0lim =x α
5．两个无穷小的比较
设()0lim =x f ，()0lim =x g ，且()()
l x g x f =lim
（1）0=l ，称()x f 是比()x g 高阶的无穷小，记以
()()[]x g x f 0=
称()x g 是比()x f 低阶的无穷小。 （2）0≠l ，称()x f 与()x g 是同阶无穷小。
（3）1=l ，称()x f 与()x g 是等价无穷小，记以
()()x g x f ~
6．常见的等价无穷小
当0→x 时
x x ~s i n ，x x ~tan ，x x ~arcsin ，x x ~arctan 2
2
1~
c o s 1x x -，x e x ~1-，()x x ~1ln +，()x x αα~11 -+
7．无穷小的重要性质
有界变量乘无穷小仍是无穷小
三．求极限的方法
1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则
2．两个准则
准则1．单调有界数列极限一定存在
（1）若n n x x ≤+1（n 为正整数）又m x n ≥（n 为正整数）
则A x n n =∞
→lim 存在，且m A ≥
（2）若n n x x ≥+1（n 为正整数）又M x n ≤（n 为正整数）
则A x n n =∞
→lim 存在，且M A ≤
准则2．（夹逼定理）设()()()x h x f x g ≤≤ 若()A x g =lim ，()A x h =lim ，则()A x f =lim
3．两个重要公式
公式1．1sin lim
0=→x
x
x
公式2．e n n
n =??? ??+∞→11lim ；e u u
u =??
?
??+∞
→11lim ；
()e v v
v =+→1
1lim
4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换
5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和数学二）
当0→x 时，()
n n
x
x n x x x e 0!
!212+++++= ()()()
1212530!121!
5!3s i n ++++-+++-=n n n
x n x x x x x
()()()
n n
n x n x
x x x 22420!21!
4!21c o s +-+-+-=
()()()n n
n x n
x
x x x x 01321l n
132+-+-+-=++ ()(
)
121215301
2153a r c t a
n +++++-+-+-=n n n x n x
x x x x
()()
()()[]
n n x x x !
11!
21112 ---+
+-+
+=+ααααααα
6．洛必达法则
法则1．（
型）设（1）()0lim =x f ，()0lim =x g （2）x 变化过程中，()x f '，()x g '皆存在 （3）()()
A x g x f =''lim
（或∞） 则()()
A x g x f =lim
（或∞） （注：如果()()
x g x f ''lim
不存在且不是无穷大量情形，则不能得出()()
x g x f lim
不存在且不是无穷大量情形） 法则2．（
∞
∞
型）设（1）()∞=x f lim ，()∞=x g lim （2）x 变化过程中，()x f '，()x g '皆存在 （3）()()
A x g x f =''lim
（或∞） 则()()
A x g x f =lim
（或∞）
7．利用导数定义求极限
基本公式：()()
()0000
lim x f x
x f x x f x '=?-?+→? [如果存
在]
8．利用定积分定义求极限
基本公式 ()?∑=??? ??=∞→1
11l i m dx x f n k f n n
k n [如果存在]
9．其它综合方法
10．求极限的反问题有关方法
乙 典型例题
一．通过各种基本技巧化简后直接求出极限
例1．设0≠m a ，0≠n b 求
01110
111lim b x b x
b x b a x a x a x a n n n n m m m m x ++++++++----∞→
例2．设0≠a ，1 lim -∞ →+++n n ar ar a 解：( ) r a r r a ar ar a n n n n -=--=+++∞→-∞ →111lim lim 1 特例（1）求()??? ???????? ??-+-??? ??+??? ??-+∞→n n n 321323232lim 132 解：例2中取32=a ，32-=r ，可知原式5 232132 =?? ? ??--= （2）34 2 323131121211lim == ?? ? ??+++??? ??+++∞ →n n n 例3．求n n n n n 3 223lim 11+-++∞→ 例4．设l 是正整数，求() ∑=∞ →+n k n l k k 11 lim 特例：（1）() 111 lim 1=+∑=∞ →n k n k k （2）()43 21lim 1 =+∑=∞→n k n k k 例5．设l 是正整数，求() () ∑=∞→++n k n l k k l k l 1 2 22lim 特例：（1=l ）() 111 2lim 12 2=++∑=∞ →n k n k k k （2=l ）() () 45 2 112222lim 2 1 2 2 =+ =++∑=∞ →n k n k k k 例 6 ． 设 >d 为常 数 ， 求 ()?? ????-+++++∞→2221111lim n d n n d n n 例7．求下列各极限 （1）x x x x --+→11lim （2） x x x x 33 011lim --+→ （3）x x x x x --+--+→1111lim 33 （4） () x x x x x 3lim 22 --++∞ → 二．用两个重要公式 例1．求x x x -→ππsin lim 例2．求() x x x x x cos 1sin 1tan 1lim -+-+→ 解一：原式()()()() x x x x x x x sin 1tan 1cos 11sin 1tan lim +++-+-+=→ ()()2 1tan lim 21cos 1cos 1tan lim 2100==--= →→x x x x x x x x 解 二 ： 原 式 ()()()() x x x x x x x x x x cos 1sin tan lim 21cos 11sin 11tan 1lim 00 --=--+--+=→→ 21tan lim 210==→x x x 例3．求n n x x x 2 cos 4cos 2cos lim ∞→ 例4．求下列极限 （1）10 21lim +∞ →? ? ? ??-x x x （2）x x x x 1 011lim ?? ? ??+-→ （3）x x x x ??? ??+-∞→11lim （4） 1 1232lim +∞→?? ? ??++x x x x 例5．求下列极限 （1）() x x x cot tan 1lim +∞ → （2）1 4 1 lim -→x x x （3）() x x x 2cot 0 cos lim → （4） () () x x x 3csc 0 2cos lim → 三．用夹逼定理求极限 例1．求?? ? ??-??∞→n n n 212654321lim 解：令n n x n 212654321-??= ，1 225432+?=n n y n 则n n y x <<0， 于是1 21 02 += < =∞ →n n x ，于是原极限为0。 例2．求下列极限 ∑ =∞ →+n k n k n 1 21l i m 四．用洛必达法则求极限 1．“ 00”型和“∞ ∞ ”型 例1．求n n n n 1 sin 1sin 1lim 3 -∞→ 解：离散型不能直接用洛必达法则，故考虑 3030 s i n lim sin sin lim x x x x x x x x --→→等价无穷小代换 61 6s i n l i m 3c o s 1l i m 020==-=→→x x x x x x ∴原式6 1 = 例2．求101 02 lim x e x x - → 2．“∞-∞ ”型 和“∞?0”型。 例1．求?? ? ??--→111lim 0x x e x 例2．求??? ? ? ?-→22 20cos sin 1lim x x x x 例3．求x x x ln sin lim 2 ?+ → 例4．设0>a ，0>b 常数，求??? ? ??-+∞→x x x b a x 1 1lim 3．“∞ 1”型，“00”型和“0 ∞”型 这类都是()[] () x g x f lim 形式，可化为()()[] x f x g e ln lim 而()()[]x f x g ln lim 都是“∞?0”型，按2的情形处理 例1．求x x x 2sin 0 lim + → 例2．求() x x x 2cot 0 cos lim → （前面已用重要公式的方法） 解：令()x x y 2cot cos =，x x y cos ln cot ln 2 = 2 02020 c o s ln lim tan cos ln lim cos ln cot lim ln lim x x x x x x y x x x x →→→→=== （“ 00”型）=2 1 2tan lim 0-=-→x x x ， ∴ 2 10 l i m -→=e y x 例3．求x x x x ?? ? ?? +∞ →1cos 1sin lim 五．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 例1．求1sin 1 31 lim 23 2 ++++∞ →n n n n n 解： 0131 11l i m 1 31l i m 3 3 23 2=+ ++=+++∞→∞→n n n n n n n n n ， 11sin 2 ≤+n ， 根据有界变量乘无穷小仍是无穷小，可知原式0= 例2．求()()()x x e x x x x 5sin 21ln 13arctan 2cos 1lim 0+--→ 例3．求()() x x x x x x +++→1ln cos 11 cos sin 3lim 20 解：这个极限虽是“ ”型，但分子，分母分别求导数后的极限不存在，因此不能用洛必达法则。 原式()231ln 1cos sin 3cos 11lim 0=????? ???????+++=→x x x x x x x x 例4．设n 为正整数，求[] x x x x n n n x cos 111lim 20-+-++→ 六．求分段函数的极限 例1．求下列函数在分段点处的极限 （1）()???????>-<=0 ,cos 10 ,2sin 2 x x x x x x x f （2）()??? ????≥+<--=1 ,211 ,1 1 22x x x x x x g 解：（1）()222sin 2lim 2sin lim 0000 =?==-- - →→x x x x f x x ()22 1lim cos 1lim 002 2 020==-=+++→→x x x x f x x ()2lim 0 =∴→x f x （2）()()21lim 11 lim 01121=+=--=-- -→→x x x g x x ()2 321lim 012 1=??? ??+=++ →x g x 因为()()0101+≠-g g ，故()x g x 1 lim →不存在。 例2．求? ?? ? ? ??+++→x x e e x x x sin 12lim 41 七．求极限的反问题 例1．设() 31 sin lim 221=-++→x b ax x x 求a 和b 例2．设1sin 1lim 02 0=+-?→x x dt t a t x bx ，求a 和 b 。 §1.3 连续 甲 内容要点 一．函数连续的概念 1．函数在点0x 处连续 定义1．设函数()x f y =在点0x 的某个邻域内有定义， 如果当自变量的改变量x ?（初值为0x ）趋近于0时，相应的函数改变量y ?也趋近于0，即 0lim 0 =?→?y x 或 ()()[]0lim 000 =-?+→?x f x x f x 则称函数()x f y =在点0x 处连续。 函数()x f y =在点0x 处连续也可作如下定义。 定义2．设函数()x f y =在点0x 的某个领域内有定义，如果当0x x →时，函数()x f 的极限值存在，且等于0x 处的函数值()0x f ，即 ()()00 lim x f x f x x =→ 则称函数()x f y =在点0x 处连续，此时有 ()()()00 lim lim x f x f x f x x x x ==+ -→→ 并且有 ()()[]0 lim lim 0x x x x x f x f x f →→== 即如果函数在点0x 处连续，则在点0x 处可以交换极限号和函数号的顺序。 定义3．设函数()x f y =，如果()()00 lim x f x f x x =- →，则称函数()x f 在点0x 处左连续；如果()()00 lim x f x f x x =+ →，则称函数()x f 在点0x 处右连续。 由上述定义2可知，如果函数()x f y =在点0x 处连续，则()x f 在0x 处既左连续也右连续。 2．函数在区间内（上）连续的定义 如果函数()x f y =在开区间()b a ,内的每一点都连续，则称()x f 在()b a ,内连续。 如果()x f y =在开区间内连续，在区间端点a 右连续，在区间端点b 左连续，则称()x f 在闭区间[]b a ,上连续。 二．函数的间断点及其分类 1．函数的间断点的定义 如果函数()x f y =在点0x 不连续，则称0x 为()x f 的间断点。 2．函数的间断点的分类 函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点 设0x 是函数()x f y =的间断点。如果()x f 在间断点0x 处的左、右极限都存在，则称0x 是()x f 的第一类间断点。 第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。 （2）第二类间断点 第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。 常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。 例如．0=x 是()x x x f sin = 的可去间断点，是()x x x f = 的跳跃间断点，是()x x f 1 = 的无穷间断点，是()x x f 1 sin =的振荡间断点。 三．初等函数的连续性 1．在区间I 连续的函数的和、差、积及商（分母不为零），在区间I 仍是连续的。 2．由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。 3．在区间I 连续且单调的函数的反函数，在对应区间仍连续且单调。 4．基本初等函数在它的定义域内是连续的。 5．初等函数在它的定义区间内是连续的。 四．闭区间上连续函数的性质 在闭区间[]b a ,上连续的函数()x f ，有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。 定理1．（有界定理）如果函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，则()x f 必在[]b a ,上有界。 定理2．（最大值和最小值定理）如果函数()x f 在闭区间 []b a ,上连续，则在这个区间上一定存在最大值M 和最小值 m 。 其中最大值M 和最小值m 的定义如下： 定义 设()M x f =0是区间[]b a ,上某点0x 处的函数值，如果对于区间[]b a ,上的任一点x ，总有()M x f ≤，则称M 为函数()x f 在[]b a ,上的最大值。同样可以定义最小值m 。 定理3．（介值定理）如果函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，且其最大值和最小值分别为M 和m ，则对于介于m 和 M 之间的任何实数c ，在[]b a ,上至少存在一个ξ，使得 ()c f =ξ 推论：如果函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，且()a f 与 ()b f 异号，则在()b a ,内至少存在一个点ξ，使得 ()0=ξf 这个推论也称为零点定理 思考题：什么情况下能保证推论中的ξ是唯一的？ 乙 典型例题 一．讨论函数的连续性 由于初等函数在它的定义区间内总是连续的，所以，函数的连续性讨论多是指分段函数在分段点处的连续性。对于分段函数在分段点处的连续性，若函数在分段点两侧表达式不同时，需根据函数在一点连续的充要条件进行讨论。 例1．讨论函数 ()??? ? ???>=<=0 ,1 sin 0,00,1 x x x x x e x f x 在点0=x 处的连续性。 解： 因 ()()0lim lim 001 ===-- -→→x x x e x f f ()()01 sin lim lim 0000===+++→→x x x f f x x ()00=f 即有()()()00000f f f =+=-，故()x f 在点0=x 连续。 例2．讨论函数 ()()? ?? ? ?????>-+=<-0 ,1 10 ,21 0 ,1ln x x x x x x x x f 在点0=x 的连续性。 二．已知函数的连续性求未知参数 例1．设()??? ??=≠=0 0sin x k x x x x f 在0=x 处连续 求常数k 例2．如果函数 ()??? ? ???>+=<=0 1 s i n 0 sin 1 x q x x x p x x x x f 在0=x 处连续，求常数p 和q 。 例 3．设()?? ? ??>≤≤-++-<-=1 211122x x b ax x x x f 在()+∞∞-,内连续 求常数a 和b 解：()b a f +-=-11 ，()b a f ++=11， 由1-=x 的连续性可知21-=+-b a 得3-=-a b 由1=x 的连续性可知21=++b a 得1=+a b 所以1,2-==b a 三．求函数的间断点并确定其类型 例1．求函数()1 1 3 --=x x x f 的间断点，并确定其类型 例2．求函数()() 4 22 2-+=x x x x x f 的间断点，并确定其类型。 例3．求函数()x x x f tan = 的间断点，并确定其类型。 解：这是初等函数，在它的定义区间内函数都是连续的，此函数在0=x 及() ,2,1,02 ±±=+=k k x π π无定义，所以 它的间断点是 0=x 和() ,2,1,02 ±±=+ =k k x π π 下面确定它们的类型。 当0=x 时，由于1tan lim 0=→x x x ，所以0=x 是第一类间断点，且是可去间断点。 当 () ,2,1,02 ±±=+ =k k x π π时，由于 () ,2,1,0tan lim 2 ±±=∞=+ →k x x k x ππ， 所以() ,2,1,02 ±±=+=k k x π π是第二类间断点，且 是无穷间断点。 例4．求函数 ()??? ? ???>=<=0 ,1a r c t a n 0, 001x x x x e x f x 的间断点，并确定其类型。 四．求连续函数的极限 分两种情形： 1．如果()x f 是初等函数，0x 是()x f 定义区间内的一点， 则()()00 lim lim x f x f x f x x x x =?? ? ? ?=→→， 即只需在函数的表达式中把自变量x 换成它的极限值0x 就行了。 例1．求()x x sin 2ln lim 2 +→ π 解：()x sin 2ln +是初等函数，2 π =x 是它的定义区间内 的一点，所以 ()3ln 2sin 2ln sin 2ln lim 2 =?? ? ? ?+=+→ ππ x x 2．如果()a x g x x =→0 lim ，而函数()u f y =在点a u =连续， 则()[]()()a f x g f x g f x x x x =?? ? ??=→→00 lim lim 例2．求?? ? ??→x x x sin arctan lim 0 解：因1sin lim 0=→x x x ，而函数u y arctan =在点1=u 连 续，所以 41 a r c t a n s i n lim arctan sin arctan lim 00 π==?? ? ?? =??? ??→→x x x x x x 例3．求x x x 1 2lim 0-→ 例4．设()x f 在2=x 处连续，且()32=f ，求 ()?? ????---→4421 l i m 2 2 x x x f x 五．利用介值定理的推论判断方程的根 例1．证明五次代数方程0155 =--x x 在区间()2,1内 至少有一个根。 例2．证明2sin +=x x 至少有一个不超过3的实根 例3．设()x f 在[]b a ,上连续，且()a a f <，()b b f >， 第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 甲 内容要点 一．导数与微分概念 1．导数的定义 设函数()x f y =在点0x 的某邻域内有定义，自变量x 在 0x 处有增量x ?，相应地函数增量()()00x f x x f y -?+=?。 如果极限()()x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?0000lim lim 存在，则称此极 限值为函数()x f 在0x 处的导数（也称微商） 记作()0x f '，或0 x x y ='， 0x x dx dy =， ()0 x x dx x df =等。 并称函数()x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在，则称函数()x f y =在点0x 处不可导。 导数定义的另一等价形式，令x x x ?+=0，0x x x -=?， 则()()()0 000 lim x x x f x f x f x x --='→ 我们也引进单侧导数概念。 右导 数 ： ()()()()() x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='++ →?→+000000lim lim 0 左 导 数 ： ()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='-- →?→-000000lim lim 0 则有 ()x f 在点0x 处可导()x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 2．导数的几何意义与物理意义 如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率。 切线方程：()()()000x x x f x f y -'=- 法线方程：()() ()0001 x x x f x f y -'- =-()()00≠'x f 设物体作直线运动时，路程S 与时间t 的函数关系为 ()t f S =，如果()0t f '存在，则()0t f '表示物体在时刻0t 时 的瞬时速度。 3．函数的可导性与连续性之间的关系 如果函数()x f y =在点0x 处可导，则()x f 在点0x 处一定连续，反之不然，即函数()x f y =在点0x 处连续，却不一定在点0x 处可导。 例如，()x x f y ==，在00=x 处连续，却不可导。 4．微分的定义 设函数()x f y =在点0x 处有增量x ?时，如果函数的增量()()00x f x x f y -?+=?有下面的表达式 ()()x x x A y ?+?=?00()0→?x 其中()0x A 为与x ?无关， ()x ?0是0→?x 时比x ?高阶的无穷小。 则称()x f 在0x 处可微，并把y ?中的主要线性部分 ()x x A ?0称为()x f 在0x 处的微分， 记以0x x dy =或() x x x df = 我们定义自变量的微分dx 就是x ?。 5．微分的几何意义 ()()00x f x x f y -?+=?是曲线()x f y =在点0x 处相应于自变量增量x ?的纵坐标()0x f 的增量，微分0 x x dy =是曲线()x f y =在点()()000,x f x M 处切线的纵坐标相应的增量（见图）。 6．可微与可导的关系 ()x f 在0x 处可微()x f ?在0x 处可导。 且()()dx x f x x A x x dy 000 '=?== 一般地，()x f y =则()dx x f dy '= 所以导数()dx dy x f ='也称为微商，就是微分之商的含义。 7．高阶导数的概念 如果函数()x f y =的导数()x f y '='在点0x 处仍是可导的， 则把()x f y '='在点0x 处的导数称为()x f y =在点0x 处的二阶导数， 记以0x x y =''，或()0x f ''，或0 2 2x x dx y d =等， 也称()x f 在点0x 处二阶可导。 如果()x f y =的1-n 阶导数的导数，称为()x f y =的 n 阶导数记以()n y ，() ()x f n ，n n dx y d 等，这时也称()x f y =是 n 阶可导。 二．导数与微分计算 1．导数与微分表 ()0=' c ()0=c d ()1 -='αα αx x （α实常数） () dx x x d 1 -=ααα （α实常数） ()x x c o s s i n =' x d x x d c o s s i n = ()x x s i n c o s -=' x d x x d s i n c o s -= ()x x 2 s e c t a n =' x d x x d 2 s e c t a n = ()x x 2 c s c c o t -=' x d x x d 2 c s c c o t -= ()x x x t a n s e c s e c =' x d x x x d t a n s e c s e c = ()x x x c o t c s c c s c -=' x d x x x d c o t c s c c s c -= ()a x x a ln 1 log = ' ()1,0≠>a a a x dx x d a ln log = ()1,0≠>a a ()x x 1ln = ' dx x x d 1ln = ()a a a x x ln ='()1,0≠>a a adx a da x x ln =()1,0≠>a a ()x x e e =' dx e de x x = ()2 11a r c s i n x x -=' dx x x d 2 11arcsin -= ()2 11a r c c o s x x --=' dx x x d 2 11arccos -- = ()2 11 a r c t a n x x +=' dx x x d 2 11 arctan += ()2 11 c o t x x a r c +-=' dx x x darc 2 11 cot +- = ( )[]2 22 2 1ln a x a x x += ' ++ ( )dx a x a x x d 2 2 2 21ln += ++ ( )[]2 2 2 21ln a x a x x -= '-+ () dx a x a x x d 2 2 221 ln -= -+ 2．四则运算法则 ()()[]()()x g x f x g x f '±'=' ± ()()[]()()()()x g x f x g x f x g x f '+'=' ? ()()()()()()()x g x g x f x g x f x g x f 2 '-'=' ?? ?? ?? ()()0≠x g ()()[]()()x dg x df x g x f d ±=± ()()[]()()()()x dg x f x df x g x g x f d +=? ()()()()()()()x g x dg x f x df x g x g x f d 2 -=?? ?? ?? ()()0≠x g 3．复合函数运算法则 设()u f y =，()x u ?=，如果()x ?在x 处可导，()u f 在 对应点u 处可导，则复合函数()[]x f y ?=在x 处可导，且有 ()[]()x x f dx du du dy dx dy ??''== 对应地()()[]()dx x x f du u f dy ??''='= 由于公式()du u f dy '=不管u 是自变量或中间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变性。 4．由参数方程确定函数的运算法则 设()t x ?=，()t y ψ=确定函数()x y y =，其中()t ?'， ()t ψ'存在，且()0≠'t ?，则 ()() t t dx dy ?ψ''= ()()0≠'t ? 二 阶 导 数 ()()()()()[]32 21t t t t t dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d ??ψ?ψ''''-'''=?? ?? ???=??????= 5．反函数求导法则 设()x f y =的反函数()y g x =，两者皆可导，且 ()0≠'x f 则 ()()()[] y g f x f y g '='= '1 1 ()()0≠'x f 二阶导数()()[]()dx dy dx x f d dy y g d y g 11???? ???'='= '' ()()[] ()[]()[]{}3 3y g f y g f x f x f '''-='''- = ()()0≠'x f 6．隐函数运算法则 设()x y y =是由方程()0,=y x F 所确定，求y '的方法如下： 把()0,=y x F 两边的各项对x 求导，把y 看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y '的表达式（允许出现y 变量） 例：122=+y x ，022='?+y y x ，y x y - =' ()0≠y 7．对数求导法则 先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数y '。 对数求导法主要用于： ①幂指函数求导数 ②多个函数连乘除或开方求导数 关于幂指函数()[] () x g x f y =常用的一种方法 ()()x f x g e y ln =这样就可以直接用复合函数运算法则进行。 关于分段函数求分段点处的导数，常常要先讨论它的左、 右两侧的导数。 乙 典型例题 一．用导数定义求导数 例1．设()()()x g a x x f -=，其中()x g 在点a 处连续，求()a f '。 解： 没有假设()x g 可导，所以不能用导数的乘法公式，我们就用导数的定义 ()()()()()a x x g a x a x a f x f a f a x a x ---=--='→→0lim lim ()()a g x g a x ==→lim 例2．设()( )a x a x x f n n --=（n 为正整数） ，求()a f ' 例3．设()x f ，()x g 在()+∞∞-,内有定义，且满足 ()()()()()x g y f y g x f y x f +=+，()00=f ，()10=g ，()a f ='0，()b g ='0，其中b a ,为常数，求()x f '。 二．分段函数在分段点处可导性 例1．讨论函数 ()?? ?≥<-===0 x x x x x x f y 在00=x 处的连续性与可导性。 解：函数()x x f y ==在00=x 处连续，因为()00=f ， ()()0lim lim 0 =-=- -→→x x f x x ()0lim lim 0 ==+ +→→x x f x x 则 ()00lim 0 ==→f x x 但是，在00=x 处()x f 没有导数，因为 ()x x x y f x x ?-?+=??='-- →?→?-00l i m l i m 000 1lim lim 0 -=??-=??=- - →?→?x x x x x x ()x x x y f x x ?-?+=??='++ →?→?+00l i m l i m 000 1lim lim 0 =??=??=+ + →?→?x x x x x x ()()00+-'≠'f f 曲线x y =在原点的切线不存在。（见上 图） 例2．讨论函数()32-=x x f 在点2=x 处的连续性与可导性。 例3．设函数 ()?? ?>+≤=1 ,1 ,2x b ax x x x f 试确定a 、b 的值，使()x f 在点1=x 处可导。 例4．设()()()1 l i m 112+++=--∞→x n x n n e b ax e x x f 问a 和b 为何值时，()x f 可导，且求()x f '。 例5．设(){} 32,,max x x x x f =，在()2,0内求()x f '。 例6．设()?????>-=<=, 0 ,,0 ,0,0 ,2 2 x e x x e x f x x ()()dt t f x x F ???=0， 求()x F '。 三．用各种运算法则求导数 1．运用四则运算和复合函数求导法则 例1．求下列函数的导数： （1）() 221ln 1x x x y +++=； （2）221arccos cot x x y --=； （3）x x y 2cos 12sin +=； 解 ： （ 1 ） ()()()()' ++++++ ' += '2 2 2 2 1ln 11ln 1x x x x x x y ( ) ???? ?? ?????? ? ?++?+++++++= 22 2 2 2 1111 11ln 1x x x x x x x x x () 11ln 122 ++++= x x x x （2）() ( )' --' ='2 2 1arccos cot x x y () 2 2 2 1111csc cot 2x x x x x --? +-+ -= ??? ? ? ?-+ -=231sin cos 2x x x x x （ 3 ） ()()() ()x x x x x x y co 122cos 12cos 122cos 12sin 22cos 12cos 22 2 2+= ++= +++?= '。 例2．求下列函数的微分 （1）x e y x sin 2 =； （2）x x x y sin cot ln += ； （3）1ln arctan 22++=x x y 。 例3．设()()()()10021---=x x x x x f ，求()50f ' 例4．设()x f 可导，()[] x f e f y arctan =，求dx dy 例5．设()x f 可微，()()x f e x f y ln =，求dy 例6．设()x f 可微，()()() x f x f e y x f arctan =，求dy 2．运用隐函数求导法则 例1．设()x y y =由方程() x ye y x =+22arctan 所确定， 求 dx dy 和dy 解：对方程两边关于x 求导，y 看作x 的函数，按中间变量处理 () ()x x e x y e y y y x y x 222112 2 2+ '='+++ () ( ) 2 22 2 2212212y x x e x y e y x y y x x ++- = ??? ??? ? ?-++' ( ) ( ) ()[]( )[ ]x x x x e y x x x y x x y x y e y x y y x x e x y y 2 22 222 2 22 2 22 1244 112122++--++= -++++- = ' 于是，()[]( )[ ]dx e y x x x y x x y x y dy x x 2 22 222 1244 1++--++= 3．运用对数求导法则 例1．求()() ( )() 32121x e x x x x y x ++++=的导数y ' 解 ： ()()()()[] x e x x x x y x +-+-++++= ln 1ln 2ln 1ln ln 3 1 ln 2 对x 求导，得 ?? ? ???++-+-++++='x e e x x x x x y y x x 112211113112 因 此 ， ()()()() ?? ????++-+-++++++++='x e e x x x x x x e x x x x y x x x 1122111112131232 例2．设()0>=x x y x x ，求 dx dy 例3．设()x y y =由方程x y y x =所确定，求 dx dy 4．运用参数方程求导法则 例1．设() ?????=+=t t y t x sin 1ln 2 3 ，求dx dy 例2．设()?? ? ??+==??du u e y udu e x t u t t u 1ln sin 202 2，求dy dx 例3．设()u f 可导，()u g 连续，()2 1t f x += () d u u g y t 2 01+=?，求dx dy 五．高阶导数 1．求二阶导数 例1．设( ) 22ln a x x y ++ = 求y '' 例2．设() ???+==21ln arctan t y t x 求2 2dx y d 例3．设()x y y =由方程122=+y x 所确定，求y '' 解：022='+y y x ， y x y - =' 2 221y y x y y y x y y + -='-?-='' 3 3221 y y x y -=+-= 2．求n 阶导数（2≥n ，正整数） 先求出,,, y y '''总结出规律性，然后写出()n y ，最后用归纳法证明。 有一些常用的初等函数的n 阶导数公式 （1）x e y = () x n e y = （2）()1,0≠>=a a a y x ()()n x n a a y ln = （3）x y sin = ()??? ? ? + =2sin πn x y n （4）x y cos = ()?? ? ? ? +=2c o s πn x y n (5) x y ln = ()()()n n n x n y ----=!111 两个函数乘积的n 阶导数有莱布尼兹公式 ()()[] () () ()()()∑=-=n k k n k k n n x v x u C x v x u 0 其中 ()! !!k n k n C k n -= ， () ()()x u x u =0， ()()()x v x v =0 假设()x u 和()x v 都是n 阶可导。 例1．设k x y =（k 正整数）求()n y （n 正整数） 解：() ()()? ? ?>≤+--=-,,0, ,11k n k n x n k k k y n k n 例2．设x x y n -=1，求()n y （n 正整数） 例3．设2 31 2 +-=x x y 求()n y （n 正整数） 例4．设4 32 3 +-=x x x y 求() n y （n 正整数） §2.2 微分中值定理 本节专门讨论考研数学中经常考的四大定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理（泰勒公式） [注：数学三不考泰勒定理，数学四不考柯西中值定理和泰勒定理] 这部分有关考题主要是证明题，其中技巧性比较高，因此典型例题比较多，讨论比较详细。 甲 内容要点 一．罗尔定理 设函数()x f 满足 （1）在闭区间[]b a ,上连续； （2）在开区间()b a ,内可导； （3）()()b f a f = 则存在()b a ,∈ξ，使得()0='ξf 几何意义：条件（1）说明曲线()x f y =在()()a f a A ,和 ()()b f b B ,之间是连续曲线；[包括点A 和点B ] 条件（2）说明曲线()x f y =在B A ,之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x 轴的切线[不包括点A 和点B ] 条件（3）说明曲线()x f y =在端点A 和B 处纵坐标相等。 结论说明曲线()x f y =在A 点和B 点之间[不包括点A 和点B ]至少有一点，它的切线平行于x 轴。 （注：如果要证明这样的ξ还是唯一的，那么需要证明 ()x f 在()b a ,内是单调增加或单调减少，一般就需要证明在 ()b a ,内()0>'x f 或()0<'x f ） 二．拉格朗日中值定理 设函数()x f 满足 （1）在闭区间[]b a ,上连续； （2）在开区间()b a ,内可导； 则存在()b a ,∈ξ，使得 ()()()ξf a b a f b f '=-- 或写成()()()()a b f a f b f -'=-ξ ()b a <<ξ 有时也写成()()()x x x f x f x x f ???+'=-?+θ000 ()10<<θ 这里0x 相当a 或b 都可以，x ?可正可负。 几何意义：条件（1）说明曲线()x f y =在点()()a f a A ,和点()()b f b B ,之间[包括点A 和点B ]是连续曲线； 条件（2）说明曲线()x f y =[不包括点A 和点B ]是光滑曲线。 结论说明曲线()x f y =在B A ,之间[不包括点A 和点B ]至少有一点，它的切线与割线AB 是平行的。 推论1．若()x f 在()b a ,内可导，且()0≡'x f ，则()x f 在()b a ,内为常数。 推论2．若()x f ，()x g 在()b a ,内皆可导，且 ()()x g x f '≡'，则在()b a ,内()()c x g x f +=，其中c 为一 个常数。 （注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当 ()()b f a f =特殊情形，就是罗尔定理） 三．柯西中值定理（数学四不要） 设函数()x f 和()x g 满足： （1）在闭区间],[b a 上皆连续； （2）在开区间()b a ,内皆可导；且()0≠'x g 则存在()b a ,∈ξ使得 ()()()()()() ξξg f a g b g a f b f ''=-- ()b a <<ξ （注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形()x x g =时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。） 几何意义：考虑曲线AB ?的参数方程()()???==t f y t g x ()b a t ,∈点()()()a f a g A ,，点()()()b f b g B ,曲线在AB ? 上是 连续曲线，除端点外是光滑曲线，那么在曲线上至少有一点，它的切线平行于割线AB 。 值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理。罗尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽然更广，但用得不太多。在考研数学命题中，用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少。 四．泰勒定理（泰勒公式）（数学一和数学二） 定理1．（皮亚诺余项的n 阶泰勒公式） 设()x f 在0x 处有n 阶导数，则有公式 ()()()()()()()n f x x x f x x x f x f x f n ++-''+-'+=2 00000!2!1 ()0x x → 其中()()[] n n x x x R 00-= ()0x x →称为皮亚诺余 项。 ()()??? ? ??=-→0l i m 00n n x x x x x R 前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同 情形取适当的n ，所以对常用的初等函数如 ()x x x e x +1ln ,cos ,sin ,和()α x +1（α为实常数）等的n 阶 泰勒公式都要熟记。 定理2（拉格朗日余项的n 阶泰勒公式） 设()x f 在包含0x 的区间()b a ,内有1+n 阶导数，在 []b a ,上有n 阶连续导数，则对[]b a x ,∈，有公式 ()()()()()()()n f x x x f x x x f x f x f n ++-''+-'+=2 00000!2!1 其中()()()()()101! 1++-+=n n n x x n f x R ξ，（ξ在0x 与x 之间） 称为拉格朗日余项。 上面展开式称为以0x 为中心的n 阶泰勒公式。当0 0= x 一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-极限知识点讲解和习题】，同时中公考研网首发2017考研信息，2017考研时间及各科目复习备考指导、复习经验，为2017考研学子提供一站式考研辅导服务。 模块二 极限 1、设221,0 ()0,01,0x x f x x x x ?->? ==??+ （3） () 22311lim arcsin 121x x x x x →∞++++ （4）30 tan sin lim sin x x x x →- （5）2 10lim ln cos x x e e x +→- （6）() tan sin 3 0lim ln 1x x x e e x →-- （7 ）1x →（8 ）021ln 1x x x →+ ? -?? 7、求下列极限 （1）0lim sin x x x e e x -→- （2）() 20ln 1lim sec cos x x x x →+- （3）()02sin 22lim arcsin ln 16x x x x x →-?? + ??? （4）0ln cos lim arctan x x x x x →- （5 ）0 x x → （6）0 1 1lim cot sin x x x x →??- ??? （7）2 10 lim x x xe → （8）2 1lim(ln(1))x x x x →∞ -+ 8、求下列极限 （1）( ) 1 lim x x x x e →+ （2）0 )x x π +→ （3）tan 24 lim(tan ) x x x π → （4）222lim 12x x x x x →∞??+ ?-+?? （5） ( ) 1lim x x x x e →+∞ + （6 ）tan 0lim x x +→ 9 、设)12n x x n ==≥，求lim n n x →∞ . 高等数学基础 高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创建于十七世纪的一门数学学科，创始人是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz ）。用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。“微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。时至今日，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。 第1讲 函数 1.2 函数 要知道什么是函数，需要先了解几个相关的概念。 一、常量与变量 先看几个例子： 圆的面积公式 2πr S = 自由活体的下落距离 202 1gt t v s + = 在上述讨论的问题中，g v ,,π0是常量，t s r S ,,,是变量。变量可以视为实属集合（不止一个元素）。 二、函数的定义 定义1.1 设D 是一个非空数集。如果有一个对应规则f ，使得对每一D x ∈，都能对应于唯一的一个数y ，则此对应规则f 称为定义在集合D 上的一个函数，并把数x 与对应的数y 之间的对应关系记为 )(x f y = 并称x 为该函数的自变量，y 为函数值或因变量，D 为定义域。 实数集合 },)(;{D x x f y y Z ∈== 称为函数f 的值域。 看看下面几个例子中哪些是函数： }6,3,1{=X f }9,8,6,2{=Y f 是函数，且 2)1(=f ，8)3(=f ，6)6(=f 定义域}6,3,1{=D ，值域}8,6,2{=Z ，一般地Y Z ?。 }7,6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 不是函数。 }6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 是函数，且 2)1(=f ，8)3(=f ，8)6(=f 定义域}6,3,1{=D ，值域}8,2{=Z 。 }6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 不是函数。 由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有x 轴上的点。 例1 求函数x y -=1的定义域。 解 在实数范围内要使等式有意义，有 01≥-x 即 f f f 考研高数基础练习题及答案解析 一、选择题： 1、首先讨论间断点： 1°当分母2?e?0时，x? 2x 2 ，且limf??，此为无穷间断点； 2ln2x? ln2x?0? 2°当x?0时，limf?0?1?1，limf?2?1?1，此为可去间断点。 x?0? 再讨论渐近线： 1°如上面所讨论的，limf??，则x? x? 2 ln2 2 为垂直渐近线； ln2 2°limf?limf?5，则y?5为水平渐近线。 x??? x??? 当正负无穷大两端的水平渐近线重合时，计一条渐近线，切勿上当。 2、f?|x4?x|sgn?|x| sgn?|x|。可见x??1为可导点，x?0和x?3为不可导点。 2011智轩高等数学基础导学讲义——第2章第4页原文： f???|??|，当xi?yj时 为可导点，否则为不可导点。注意不可导点只与绝对值内的点有关。 ?x ,x?0? 设f??ln2|x|，使得f不存在的最小正整数n是 ? ,x?0?0 x?0 1 2 3 limf?f?0，故f在x?0处连续。 f’?lim x?0 f?f ?0，故f在x?0处一阶可导。 x?0 当x?0时，f’?? ? ?x12x’ ‘????223 ?ln?lnlnxsgnx ? 12 ，则limf’?f’?0，故f’在x?0处连续。?23x?0ln|x|ln|x|f’’?lim x?0 f’?f’ ??，故f在x?0处不二阶可导。 x?0 a b x?0 对?a,b?0，limxln|x|?0。这是我们反复强调的重要结论。 3、对，该函数连续，故既存在原函数，又在[?1,1]内 考研高数辅导：高等数学的比重 考生已经进入了复习准备，考生首要了解的就是自己考试的专业、学校和考试科目等等。为了让考生尽快的了解自己的优缺点，尽快对考研数学有多了解，帮助自己选择专业院校，这里就高等数学在历年考研数学中的比重来做一个简要的分析。 提到高等数学很多考生有或多或少的想起一些事情来，比如有的考生会说“大一大二时哪块知识点没有学好，没有学会”、“哪里掌握的还好”、“线代还好” 等等。可谓是有的头痛有的欢喜，但头痛的考生也不要气馁，因为这里有跨考教育，可以帮助你达标过线，甚至将“劣势”转为“优势”。那我们先看看高等数学在考研数学中的比重。考研数学按照难易程度分为数学一、数学二和数学三，其中数学一考查内容最多，相比于数学二和数学三较难，数学二在积分计算中注重考查积分的物理应用，而数学三则侧重于经济方面的应用，数学一和数学三的考试内容包括高等数学、线性代数和概率论与数理统计，考试分数分配比为高等数学占56%，线性代数占22%，概率论与数理统计占22%。数学二的考试内容有高等数学和线性代数，没有概率论与数理统计，分数比例为高等数学占78%，线性代数占22%。上述分数比例均是通过统计历年真题得到的大致比例，实际上，由于高等数学与线代和概率论之间的关联，使得高等数学的比例达到80%左右，可见它有多重要，自然高等数学也成了广大考生复习的重要学科，投入更多的复习时间。 今年的考研数学试题仍不改往年的传统，高等数学的占到了80%以上，数学一中涉及到的高数知识点有无穷小的比较、曲面的切平面方程、傅里叶级数、曲线积分、数列极限、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解、隐函数求导、参数方程求导、反常积分、变上限函数求积分、幂级数的和函数、多元函数的极值、微分中值定理的应用、求曲面的方程以及立体的形心等。数学二中涉及到的高数知识点有无穷小的比较、数列极限、函数极限、函数的连续性、反常积分的收敛性、多元函数的偏导数计算、二重积分的计算、反函数求导、定积分的应用(平面图形的面积及旋转体的体积)、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解、微分中值定理的应用、多元函数的极值、导数的应用(求函数的最值)、弧长积分及平面图形的形心。数三中有无穷小的比较、函数间断点的判断、二重积分的计算、级数收敛性的判断、数列极限、多元函数偏导数的计算、反常积分的计算、二阶常系数齐次线性微分方程通解、定积分的应用(旋转体的体积)、导数的应用(与经济学相关的应用题)、微分中值定理的应用。 在高等数学的题目中数学一、数学二、数学三中虽然有重复的，但是题目的难度不一样，侧重点也有所不同，除了要很好的掌握知识点意外还要具有一定的计算能力，不要会做算不 江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷 （江西师大附中使用）高三理科数学分析 一、整体解读 试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。 1．回归教材，注重基础 试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。 2．适当设置题目难度与区分度 选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。 3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察 在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。 二、亮点试题分析 1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC → → =，则A BA C →→ ?的最小值为（ ） A ．1 4- B ．12- C ．34- D ．1- 第一部分函数极限连续 历年试题分类统计及考点分布 本部分常见的题型 1.求分段函数的复合函数。 2.求数列极限和函数极限。 3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。 4.确定方程在给定区间上有无实根。 一、 求分段函数的复合函数 例1 (1988, 5分) 设2 (),[()]1x f x e f x x ?==-且()0x ?≥,求()x ?及其定义 域。 解: 由2 ()x f x e =知2 () [()]1x f x e x ? ?==-,又()0x ?≥, 则()0 x x ?= ≤. 例2 (1990, 3分) 设函数 1,1 ()0,1 x f x x ?≤?=?>??,则[()]f f x =1. 练习题: (1)设 1,1, ()0,1,(),1,1, x x f x x g x e x ??求[()]f g x 和[()]g f x , 并作出这 两个函数的图形。 (2) 设 20,0,0,0, ()(), ,0,,0, x x f x g x x x x x ≤≤??==??>->??求 [()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x . 二、 求数列的极限 方法一 利用收敛数列的常用性质 一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。 性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。 性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。 性质3(收敛数列的保号性) 如果lim n n x a →∞ =,且0a >(或0a <),那么存在 0n N + ∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <). 性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,, lim lim n n n n x a y b →∞ →∞ ==那么 (1)()lim n n n x y a b →∞ ±=±; (2)lim n n n x y a b →∞ ?=?; (3)当0()n y n N + ≠∈且0 b ≠时,lim n n n x a y b →∞ = . 考研高数精华知识点总结：极限的运算 高等数学是考研数学考试中容最多的一部分，分值所占比例也最高。为此我们为大家整理分享了考研高数精华知识点总结之闭区间连续函数的性质。凯程考研将第一时间满足莘莘学子对考研信息的需求，并及时进行权威发布，敬请关注! 凯程考研： 凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由海洋教授、鑫教授、卢营教授、王洋教授、武金教授、释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的 辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，海洋、鑫教授、方浩教授、卢营教授、浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程。在凯程官方的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 凯程考研历年战绩辉煌，成就显著！ 在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下国最高学府清华大学五道口金融学院金融硕士29人，占五道口金融学院录取总人数的约50%，五道口金融学院历年状元均出自凯程.例如，2014年状元武玄宇,2013年状元少华，2012年状元马佳伟，2011年状元玉倩;考入北大经院、人大、中财、外经贸、复旦、上财、上交、社科院、中科院金融硕士的同学更是喜报连连，总计达到150人以上，此外，还有考入北大清华人大法硕的博等10人，北大法学考研王少棠，北大法学经济法状元王yuheng等5人成功考入北大法学院，另外有数10人考入人大贸大政法公安大学等名校法学院。北师大教育学和全日制教育硕士辅导班学员考入15人，创造了历年最高成绩。会计硕士保录班考取30多人，中传家威勇夺中传新闻传播硕士状元，王园璐勇夺中传全日制艺术硕士状元，（他们的经验谈视频在凯程官方有公布，随时可以查看播放。）对于如此优异的成绩，凯程辅导班班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。 考研高等数学复习方法指导 考研高等数学复习方法指导 下面简单谈谈如何复习考研数学中的高等数学部分。 首先考生们要明确的是考研数学主要是考根底，包括基本概念、基本理论、基本运算等，假如概念、基本运算不太清晰，运算不太 纯熟那你肯定是考不好的。高数的根底应着重放在极限、导数、不 定积分、当然还有定积分、一元微积分的应用，还有中值定理、多 元函数、微分、线面积分等内容，这些内容可以看成那三部分内容 的联系和应用。另一部分考查的是简朴的分析综合能力。因为现在 高数中的一些考题很少有单纯考一个知识点的，一般都是多个知识 点的综合。如果能够围绕着这几个方面进行有针对性地复习，取得 高分也就不再是难事了。 在复习过程中考生们要注意以下几点： 第一：要明确考试重点，充分把握重点。比如高数第一章的不定式的极限，我们要充分把握求不定式极限的各种方法，比如利用极 限的四则运算、利用洛必达法则等等，另外两个重要的极限也是重 点内容;对函数的连续性的探讨也是考试的重点，这要求我们需要充 分理解函数连续的定义和掌握判定连续性的方法。 第三：关于积分部分。定积分、分段函数的积分、带绝对值的函数的积分等各种积分的求法都是重要的题型。而且求积分的过程中，特别要留意积分的对称性，利用分段积分去掉绝对值把积分求出来。二重积分的计算，当然数学一里面还包括了三重积分，这里面每年 都要考一个题目。另外曲线和曲面积分，这也是必考的重点内容。 第四：一阶微分方程，还有无穷级数，无穷级数的求和等。 (1)强调学习而不是复习 (2)复习顺序的选择问题 对于考研数学，建议先高等数学再线性代数再概率论与数理统计。高等数学是线性代数和概率论与数理统计的基础，一定要先学习。 我们并不主张三门课齐头并进，毕竟三门课有所区别，要学一门就 先学精了再继续推进，做成“夹生饭”会让你有种骑虎难下的感觉，到时你反而会耗费更多的时间去收拾烂摊子。同学们也可根据自己 的特殊情况调整复习顺序。 (3)注意基本概念、基本方法和基本定理的复习掌握 (4)加强练习，重视总结、归纳解题思路、方法和技巧 数学考试的所有任务就是解题，而基本概念、公式、结论等也只有在反复练习中才能真正理解和巩固。试题千变万化，但其知识结 构却基本相同，题型也相对固定，一般存在相应的解题规律。通过 大量的训练可以切实提高数学的.解题能力，做到面对任何试题都能 有条不紊地分析和计算。 (5)不要依赖答案 学习的过程中一定要力求全部理解和掌握知识点，做题的过程中先不要看答案，如果题目确实做不出来，可以先看答案，看明白之 后再抛弃答案自己把题目独立地做一遍。不要以为看明白了就会了，只有自己真正做一遍，印象才能深刻。 (6)强调积极主动地亲自参与，并整理出笔记 对于考研数学来说，做题是最关键的，考生必须保证一定的做题量!看书是获得理论知识，要想考场上考出好成绩，必须经过大量的 做题实践，只有经过大量的做题实践，才能熟练、自如的应用理论 知识。做题有很多好处的：一是通过做题来准确理解、把握基本概念、公式、结论的内涵和外延，并逐渐掌握它们的使用方法。单纯 的看书，许多概念是无法掌握其精髓的，也不知道在什么情况下使用，如何使用。试卷上不需要考生默写某个概念或公式，而是用这 些概念或公式解决问题，这种灵活运用公式的能力只有也只能通过 做题来获得，所以考生必须做一定数目的题目。二是题目做的多了， 凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 考研高数辅导：高等数学的比重 考生已经进入了复习准备，考生首要了解的就是自己考试的专业、学校和考试科目等等。为了让考生尽快的了解自己的优缺点，尽快对考研数学有多了解，帮助自己选择专业院校，这里就高等数学在历年考研数学中的比重来做一个简要的分析。 提到高等数学很多考生有或多或少的想起一些事情来，比如有的考生会说“大一大二时哪块知识点没有学好，没有学会”、“哪里掌握的还好”、“线代还好” 等等。可谓是有的头痛有的欢喜，但头痛的考生也不要气馁，因为这里有跨考教育，可以帮助你达标过线，甚至将“劣势”转为“优势”。那我们先看看高等数学在考研数学中的比重。考研数学按照难易程度分为数学一、数学二和数学三，其中数学一考查内容最多，相比于数学二和数学三较难，数学二在积分计算中注重考查积分的物理应用，而数学三则侧重于经济方面的应用，数学一和数学三的考试内容包括高等数学、线性代数和概率论与数理统计，考试分数分配比为高等数学占56%，线性代数占22%，概率论与数理统计占22%。数学二的考试内容有高等数学和线性代数，没有概率论与数理统计，分数比例为高等数学占78%，线性代数占22%。上述分数比例均是通过统计历年真题得到的大致比例，实际上，由于高等数学与线代和概率论之间的关联，使得高等数学的比例达到80%左右，可见它有多重要，自然高等数学也成了广大考生复习的重要学科，投入更多的复习时间。 今年的考研数学试题仍不改往年的传统，高等数学的占到了80%以上，数学一中涉及到的高数知识点有无穷小的比较、曲面的切平面方程、傅里叶级数、曲线积分、数列极限、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解、隐函数求导、参数方程求导、反常积分、变上限函数求积分、幂级数的和函数、多元函数的极值、微分中值定理的应用、求曲面的方程以及立体的形心等。数学二中涉及到的高数知识点有无穷小的比较、数列极限、函数极限、函数的连续性、反常积分的收敛性、多元函数的偏导数计算、二重积分的计算、反函数求导、定积分的应用(平面图形的面积及旋转体的体积)、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解、微分中值定理的应用、多元函数的极值、导数的应用(求函数的最值)、弧长积分及平面图形的形心。数三中有无穷小的比较、函数间断点的判断、二重积分的计算、级数收敛性的判断、数列极 高等数学考研复习资料，最全篇，适合于一遍，二遍复习研究细节，祝你考研数学春风得意马，突破130分大关！ 目录 一、函数与极限 ········································································错误!未定义书签。 1、集合的概念····································································错误!未定义书签。 2、常量与变量····································································错误!未定义书签。 2、函数·············································································错误!未定义书签。 3、函数的简单性态······························································错误!未定义书签。 4、反函数··········································································错误!未定义书签。 5、复合函数·······································································错误!未定义书签。 6、初等函数·······································································错误!未定义书签。 7、双曲函数及反双曲函数·····················································错误!未定义书签。 8、数列的极限····································································错误!未定义书签。 9、函数的极限····································································错误!未定义书签。 10、函数极限的运算规则 ······················································错误!未定义书签。 第三章 中值定理与导数的应用 ?????? ? ? ?? ?? ?? ??????????? ?????????????? ??必要条件求解函数的性态，充分渐近线凹凸性，拐点单调性，极值，最值—求极限—洛必达法则—应用数，求极限证明，确定无穷小的阶泰勒中值定理柯西中值定理拉格朗日中值定理罗尔定理中值定理 第一节 微分中值定理 极值:设) f在0x的某一邻域) (x U内有定义，若 (0x 对一切) ) ( (0x f≤,则 f≥)) x f ( U (0x x ( x∈有) f (0x ) 称) (x f的极f在0x取得极小（大）值，称0x是) (x 小（大）值点，极小值和极大值统称为极值，极小值点和极大值点统称为极值点。 费马引理：设) f在0x (x f'存在， (0x x=取极值，又) 则0)(0='x f 。 在0x x =取极值的必要条件：可导的极值点导数必为零。 驻点：若0)(='a f ，则称a x =为)(x f 的驻点。 可导的极值点一定为驻点，但是驻点不一定为极值点。 定理1（罗尔定理）： 条件： ①)(x f 在],[b a 上连续； ②在),(b a 可导； ③)()(b f a f = 结论： 一定存在),(b a ∈ξ， 使得0)(='ξf 。 几何意义：设AB 是 （1）定义在],[b a 上的光滑曲线)(x f y =； （2）若除端点外处处有不垂直于x 轴的切线； （3）两端点纵坐标相等 则在AB 上至少存在一点C ，其切线是水平的． 即两端点同高的连续曲线内至少有一点的切线是水平的．（如图所示） 考研数学知识点复习：高等数学复习攻 略 考研的各门科目中，考研数学考试综合性强、知识覆盖面广、难度大，应及早复习为佳。与英语相比，考研数学只要方法得当，提高分数相对要快一些。高等数学是考研数学内容最多的一部分，所以高等数学的分量也就显得尤为重要。 今年试卷整体难度合适，与往年相当，题型也都是我们课堂给大家讲授到的，对知识点的考查很全面，“三基本-基本概念、基本理论和基本方法”占的比重很大，约为83%，对数学的实际应用能力的考查有所体现，抓住了数学考试的本质思想。对于选择题仍然考查考生的基本计算能力、基本逻辑推导能力等；填空题考查基本计算能力；而计算题考查基本计算能力、简单的应用能力和证明能力等。所以，我们XX年参加考试的考生在复习时，一定要以国家考试中心的考试大纲为标准，严格按照规定的考点及层次去复习，至今命题的核心是考察两个层次的问题，一个是三基本，高数的基础应着重放在极限、导数、不定积分这三方面，后面当然还有定积分、一元微积分的应用，还有中值定理、多元函数、微分、线面积分等内容，这些内容可以看成那三部分内容的联系和应用。另一部分考查的是简单的分析综合能力。因为现在高数中的一些考题很少有单纯考一个知识点的，一般都 是多个知识点的综合。再一个就是知识的运用能力，有几何、物理、化学、力学等知识。所以考研数学复习的准备也应该从这样两个方面去针对性的复习。 在具体的复习过程中如何规划复习才能取得事半功倍的效果也是考试普遍关注的问题。数学复习要保证熟练度，平时应该多训练，一天至少保证三个小时。把一些基本概念、定理、公式复习好，牢牢地记住。同时数学还是一种基本技能的训练，要天天练习，必须保证一定的题量。不通过一定的题量练习稳固知识基础，也很难把握知识的灵活运用，所以建议大家找一些典型的题做一些训练，通过这种练习来反馈我们知识的把握情况，同时还能更好的掌握这些相关的知识。 根据命题考核层次及学习的科学规律，我们总的来说把复习规划可以分为三个阶段： 第一个阶段是基础阶段。这个阶段的长短应该根据自己的情况来实施，基础好一点的同学，这个时间可以短一点，基础差一点的同学，这个阶段可以长一点。但是要提醒大家，这个基础阶段的时间不能太长，不能到了十月、十一月份还在打基础，那这样的话，复习的效率就太低了，我们建议基 《附件3》----2018届管理类考研数学基础班课程讲义 导论 一、管理类联考数学考试大纲 管理类专业学位联考(MBA,MPA,MPAc等)综合能力考试数学部分要求考生具有运用数学基础知识、基本方法分析和解决问题的能力. 综合能力考试中的数学部分(75分)主要考查考生的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和数据处理能力，以及分析问题和解决问题的能力，通过问题求解(15小题，每小题3分，共45分)和条件充分性判断(10小题，每小题3分，共30分)两种形式来测试. 数学部分试题涉及的数学知识范围有： (一)算术 1．整数 (1)整数及其运算(2)整除、公倍数、公约数(3)奇数、偶数(4)质数、 合数 2. 分数、小数、百分数 3．比与比例 4．数轴与绝对值 (二)代数 1．整式 (1)整式及其运算(2)整式的因式与因式分解 2．分式及其运算 3．函数 (1)集合(2)一元二次函数及其图像(3)指数函数、对数函数 4．代数方程 (1)一元一次方程(2)一元二次方程(3)二元一次方程组 5．不等式 (1)不等式的性质(2)均值不等式(3)不等式求解：一元一次不等 式(组)，一元二次不等式，简单绝对值不等式，简单分式不等式. 6. 数列、等差数列、等比数列 (三)几何 1．平面图形 (1)三角形(2)四边形(矩形、平行四边形、梯形) (3)圆与扇形 2．空间几何体 (1)长方体(2)柱体(3)球体 3．平面解析几何 (1)平面直角坐标系(2)直线方程与圆的方程(3)两点间距离公式与点到直线的 距离公式 (四)数据分析 1. 计数原理 (1)加法原理、乘法原理 (2)排列与排列数 (3)组合与组合数 2．数据描述 (1)平均值 (2)方差与标准差 (3)数据的图表表示：直方图，饼图，数表 3．概率 (1)事件及其简单运算 (2)加法公式 (3)乘法公式 (4)古典概型 (5)伯努利概型 二、数学基础两种考查题型 数学基础共25道题，满分75分,有两种考查题型： 第一种是问题求解，1-15题,每道小题3分,共45分； 第二种是条件充分性判断，16-20题,每道小题3分,共30分. 两种考查形式说明如下： 1. 问题求解题型说明 联考中的问题求解题型是我们大家非常熟悉的一般选择题，即要求考生从5个所列选项(A)、(B)、(C)、(D)、(E)中选择一个符合题干要求的选项，该题型属于单项选择题，有且只有一个正确答案. 该题型有直接解法(根据题干条件推出结论)和间接解法(由结论判断题干是否成立)两种解题方法. 下面举例说明： 【范例1】(200901)方程214x x -+=的根是( ). (A)5x =-或1x = (B)5x =或1x =- (C)3x =或53x =- (D)3x =-或5 3x = (E) 不存在 【答案】C 2. 条件充分性判断题型说明 第六章 定积分的应用 ?? ??? ?? ??? ????????? ????????????? ???? 基本方法—微元法平面图形的面积与旋转体的体积一元几何应用—平面曲线的弧长，旋转体的侧面积函数平行截面面积已知的立体体积（数一数二）定积应用—分的变力做功、引力、侧压力、质心（形心）应用物理应用—函数平均值（数一数二） 简单的经济应用（数三） 第一节定积分的元素法 微元法:把一个所求量分解，近似，求和，取极限，最后表示成定积分的分析方法。 复习上一章第一节中的引例： 求由曲线() y f x =及直线x a =，x轴所 =，x b 围成的图形（曲边梯形）的面积A。 步骤：1、分割：1 n i i A A ==?∑ 2、取近似：1()()i i i i i i A f x x x ξξ-?≈??≤≤ 3、求和得：1()n i i i A f x ξ=≈??∑ 4、求极限：0 1 lim ()()n b i i a i A f x f x dx λξ→==??=∑? 取消这里的下标i ,同时[][,],i i i x x dx x x x +?+?； x ξ?；dA A ??。事实上，因为A A =?∑且 ()A f x dx dA ?≈=，所以()A f x dx ≈∑，即： lim ()()b b a a A f x dx f x dx dA ===∑?? 一般地，若所求量A 满足： 1）A 是一个与变量x 的变化区间[],a b 有关的量； 2）A 对于区间[],a b 具有可加性； 3）A 的部分量i A ?可近似地表示为()i i f x ξ??，其差 别是i x ?的高阶无穷小，则A 可用定积分 ()b a A f x dx =?计算. 第一章 函数、极限、连续 §1.1 函数 一、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性) 1. 0 () (0)()2() ()a a a f x a f x dx f x dx f x ->?? =???? ?当为奇函数当为偶函数 口诀(1)：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。 2. 在(a,b )内，若()0f x '>，则()f x 单调增加 若()0f x '<，则()f x 单调减少 口诀(2)：单调增加与减少；先算导数正与负 例1 求1 51 [()ln(.x x I x x e e x dx --= +-+? 解 1()x x f x e e -=-是奇函数， ∵112()(),()ln(x x f x e e f x f x x --=-=-=+是奇 函数， ∵ 222()ln(ln f x x -=-+ = 2ln1ln(()x f x =-=- 因此()ln(x x x e e x --是奇函数。 于是1 1 6 61 2027 I x dx x dx -= +== ? ?。 例2 设()()F x f x '=，则下列结论正确的是 (A)若()f x 为奇函数，则()F x 为偶函数。 (B)若()f x 为偶函数，则()F x 为奇函数。 (C)若()f x 为周期函数，则()F x 为周期函数。 (D)若()f x 为单调函数，则()F x 为单调函数。 解 (B)不成立，反例3 2 (),()13 x f x x F x ==+ (C)不成立，反例()cos 1,()sin f x x F x x x =+=+ (D)不成立，反例2 ()2,()(,)f x x F x x ==-∞+∞在内 (A)成立。 证明 0 ()(0)(),x F x F f t dt f =+ ? 为奇函数， 考研数学基础班概率统计讲义 第一章随机事件与概率 一、随机试验与随机事件 （一）基本概念 1、随机试验—具备如下三个条件的试验： （1）相同条件下可重复。（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。 （3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为E。 2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。 3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。 （二）事件的运算 1、事件的积—事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A,B的积，记为AB。 2、事件的和—事件A或者事件B发生,称为事件A,B的和事件，记为A+ B。 3、事件的差—事件A发生而事件B不发生,称事件A,B的差事件，记为A- B。 （三）事件的关系 1、包含—若事件A发生则事件B一定发生，称A包含于B，记为A? B。若 A? B且B? A，称两事件相等，记A= B。 2、互斥（不相容）事件—若A与B不能同时发生，即AB= φ ，称事件A,B不相容或互斥。 3、对立事件—若AB = φ 且A+ B = ∧ 称事件A,B为对立事件。 【注解】（1）A= (A- B)+ AB，且A- B与AB互斥。 （2）A+ B= (A- B)+ (B- A)+ AB，且A- B,B- A,AB两两互斥。 （四）事件运算的性质 1、（1）AB? A(或B)? A+ B；（2）AB= BA,A+ B= B+ A； 2、（1）A? A= A,A? A= A； （2）A? (B? C)= (A? B)? (A? C),A? (B? C)= (A? B)? (A? C)； 3、（1）A= (A- B)? A；（2）(A- B)? A= A- B； （3）A+ B= (A- B)? AB? (B- A)。 4、（1）A+ A= ∧ ；（2）A? A= φ 。 二、概率的定义与性质 （一）概率的定义—设随机试验的样本空间为∧ ，满足如下条件的随机事件的函数P(?)称为所对应事件的概率： 第一讲 极限与连续 主要内容概括（略） 重点题型讲解 一、极限问题 类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限： （1）???? ? ?+-++?+?∞→)12)(12(1 531311lim n n n Λ； （2）1 1 lim 332+-=∞→k k n k n π； （3）∑=∞ →+n k n n k k 1]) 1(1 [ lim ； 2．求下列极限： （1）???? ??++++++∞→n n n n n 22241 2411 41lim Λ； 3．求下列极限： （1）??? ? ??++++++∞→2222221 211 1lim n n n n n Λ； （2）n n n n !lim ∞ →； （3）∑ =∞ →++ n i n n i n 1 2 11 lim 。 类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限： （1）)0(2 cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x x x x n n Λ； （2）n n n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+； 2．求下列极限： （1）( ) x x x cos 11 20 sin 1lim -→+； （3）) 21ln(103 sin 1tan 1lim x x x x x +→?? ? ??++； （4）2 1cos lim x x x ?? ? ?? ∞ →； 类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限： （1）) cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x x x -+-+→； （2）)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→； （3）]1)3cos 2[(1lim 30 -+→x x x x ； （4）)tan 1 1(lim 220x x x -→； 考研高等数学复习方法的指导考研高等数学复习方法的指导 按照大纲要求准确把握基本定理 数学是一门演绎的科学，靠侥幸押题是行不通的。只有对基本概念有深入理解，对基本定理和公式牢牢记住，才能找到解题的突破口和切入点。分析近几年考生的数学答卷可以发现，考生失分的一个重要原因就是对基本概念、定理理解不准确，数学中最基本的方法掌握不好，给解题带来思维上的困难。 加强解综合性试题和应用题能力的训练 在解综合题时，迅速地找到解题的切入点是关键一步，为此需要熟悉规范的解题思路，考生应能够看出面前的题目与他曾经见到过的题目的内在联系。为此必须在复习备考时对所学知识进行重组，搞清有关知识的纵向与横向联系，转化为自己真正掌握的东西。解应用题的一般步骤都是认真理解题意，建立相关数学模型，如微分方程、函数关系、条件极值等，将其化为某数学问题求解。建立数学模型时，一般要用到几何知识、物理力学知识和经济学术语等。 重视历年试题的强化训练 统计表明，每年的研究生入学考试高等数学内容较之前几年都有较大的重复率，近年试题与往年考题雷同的占50%左右，这些考题或者改变某一数字，或改变一种说法，但解题的思路和所用到的知识点几乎一样。通过对考研的试题类型、特点、思路进行系统的归纳总结，并做一定数量习题，有意识地重点解决解题思路问题。对于那些具有很强的典型性、灵活性、启发性和综合性的题，要特别注重解题思路和技巧的培养。老师认为尽管试题千变万化，其知识结构基本相同，题型相对固定。提练题型的目的，是为了提高解题的针对性，形成思维定势，进而提高考生解题的速度和准确性。 数学一：加强了探究性问题的设计与应用 从组织的十万人大联考的数学一得分可以看出，该试卷难度略大，难度系数约0.73，试题虽然注重了基础知识的考查、但是考虑到诊 断的作用，在题目设置上加大了综合性和学生复习中知识盲点的考查，因此造成学生得分率较低。试题突出对主干知识的考察，重要 的章节、内容都有所体现。在注重基础知识、基本能力和基本思想 方法的考查的同时，还注重了对数学活动过程的考查，加强了探究 性问题的设计与应用，很好的体现了数学课程标准倡导的理念。 客观题中选择题难度相对适中，得分率为0.600，填空题相对较难，得分率只有0.219，另外，试卷的解答题难度也相对较大，得 分率平均为0.295，另外，从最高分和最低分统计来看，试题的区 分度较大，试题很好的反映学生的真实水平。 根据这个数字分析，教研室文老师建议这样应对：单项选择题所考查的内容主要是基本概念、基本性质、基本定理等知识，考生只 需掌握基础概念和性质，即可拿到分数。填空题一般所考查的知识 点也是基础知识，但主要是考察考生的运算能力。填空题的特性就 是注重结果，不注重过程，只要答案正确，就可以得分，考生要掌 握利用 温馨提示：在解题时，第一步既是迅速地找到解题的切入点，为此需要熟悉规范的解题思路，有时能够看出面前的题目与他曾经见 到过的题目的内在联系。为此必须在复习备考时对所学知识进行重组，搞清有关知识的纵向与横向联系，转化为自己真正掌握的东西。 数学二：计算是重点也是难点 从十万人大联考数学二得分情况来看，难度和覆盖率很符合考研大纲的要求，根据得分情况，表现出考生对知识的掌握情况参差不齐，按照平均情况看，选择题和填空题得分率还算正常，基本能够 体现考研数学整体方向，解答题平均得分偏低，一方面可能考题计 算量有些大，而对于一般的考生，计算其实是重点也是难点，计算 的熟练程度和计算方法的掌握都需要考生自己用更多的时间练习。考研数学高数习题—极限
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