时间序列分析与动态预测
时间序列分析
与动态预测第一节时间序列及相关概念一时间序列 time series 1 定义同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的序列用t 表示观察的时刻 X 表示观察值的数量则 Xt t 0 1 2 为时间 t 上的观察值因此时间序列又可表示为 Xt t 012 或 2 时期序列与时点序列a 时期序列观察值是时间段t 年季月周日等内的数据反映现象在时间段t 内发展变化的总结果 b 时点序列观察值是时间点t 年季月周日等上的数据反映现象在时间点t 上的结果注意时期序列与时点序列的区别 I 可加性与时间的关系 III 资料的登记方法二时间序列的分类 a 平稳序列 stationary series 基本上不存在趋势的序列序列中的各观察值基本上在某个固定的水平上波动 b 非平稳序列un-stationary series 序列的变化规律存在趋势性 trend 季节性 seasonality 周期性 cyclity 第二节时间序列的对比分析一发展水平与平均发展水平水平时间序列中的每一项观察值体现了客观现象发展变化在各个不同时间上所达到的状态规模或水平期初发展水平时间序列中的第一个位置上的发展水平记为x1 期末发展水平时间序列中的最后一个位置上的发展水平xn 中间发展水平时间序列中的首尾两个位置以外的其余位置上的发展水平即x2 x2 xn-1 基期水平作为对比分析
基础的观察值水平报告期水平作为被比较对象的观察值水平注
意基期与报告期的关系平均发展水平客观现象在各个时间上达到
的发展水平的平均数平均发展水平的计算 1 时期序列平均发展水
平简单算术平均若时间序列为x1 x2 xn 则 2 时点序列平均发
展水平 a 若时间间隔以日天计则公式 141 有效 b 若时间间隔
大于日且各时间点的间隔距离相等则 c 若时间间隔大于日且各
时间点的间隔距离不相等则例143 某地区2000年人口数单位万
人如下计算该地区2000年的平均人口数二增长量与平均增长量
增长量时间序列中不同时期发展水平的差反映了客观现象在观察
期内增加或减少的绝对数量即增长量报告期水平 - 基
期水平144 逐期增长量t t Xt1- Xt 145 基期水平
都选择为报告期的前一期水平累积增长量st st Xt - X1 146 基期水平都选择为最初或某一固定时期的水平逐期增长量与
累积量的关系st 12 st 12 3
st 12 34 st 123 n 例144
销售额变化的增长量平均增长量观察期内各时期增长量的平均数
主要用于反映现象在观察在观察内平均增减变化的情况即三发展
速度与平均发展速度发展速度时间序列中两个时期发展水平的比
值反映了客观现象在观察期内变化的快慢即例146 计算人均
收入的发展速度四增长速度与平均增长速度增长速度
增长量与基期水平的比值用于反映现象发展变化的相对程度计算
方法为例148 计算人均收入的发展速度第三节时间序列的
分解与假定模型时间序列的构成要素
长期趋势成分 T 季节性或季节变动
成分 S
周期性或循环波动成分 C 随机性或不规则性
成分 I 资料来源《中国统计年鉴2001》北京中国统计出版社2001 长期趋势成分 T 季节性或季节变动成分 S 时间
序列的假定模型第四节长期趋势的测定与预测要点 a 对时间
序列进行平滑以描述序列的趋势
b 对时间序列进行短期预测长期趋势的测定的意义 1 现象运
动发展和变化的基本态势 2 现象受到某些基本的决定性因素的影
响 3 测定长期趋势并从序列中分解出趋势性成分后有利于研究季
节变动循环变动和不规则变动一长期趋势的测定 1 时距扩大
法测定时间序列长期趋势一种比较简单的方法把原来的
时间序列中的各个时间上的观察值加以合并得到较长时间上的观
察值从而强化较长时距上的趋势特征表1411 商品出口额简单移动平均法 simple MA 将最近的k 期数据的平均值作为下一期的预测值设移动的间隔为 k 1 k t 则 t 期的移动平均为例对表中数据进行2期3期4 期和5期光
滑处理例1412 一自行车生产厂家过去十年的自行车销售量时间
序列如下表单位千辆试用最小二乘法建立趋势直线方程并求出
趋势值二趋势预测 1 移动平均 MA 预测以时间序列中
k 个时期的观察值的平均数直接作为下一个时期的现象的估计值即
汽油销售量数据图及平滑数据图如果已经获得时间序列的
趋势直线方程则可将直线方程中的时间项用所欲预测的时间值
替代即可计算出相应的预测值参见P399例1413 用SPSS演示计算方法通过对预测误差的分析达到两个目的 1
确定预测结果的可用性 2 判断所用分析方法与模型的合理性预
测误差实际观察值与预测估计值之间的离差即 Dt 绝对
值的算术平均值即 Dt 的平方的算术平均值即 MSD 的算术平方根即
第五节季节变动的测定与分析一季节性分析
测定季节性因素是为了确定现象过去的季节变化规律
以作为当前活动的依据同时测定季节变动也是为了消除时间序
列中的季节因素以便于分析其他构成因素的影响
一季节指数 seasonal index
季节指数刻画了现象在一个年度内各月或季的典型数量特
征月份数据12个指数季度数据 4个指数季节分析的原理与
方法在乘法模型中季节指数以其平均数等于100 为条件
构成的反映了某一月份季度的数值占全年平均数值的大小如
果现象的发展没有明显的季节变动则各期的季节指数等于
100 反之则各期的季节指数大于或小于100 季节
动的程度是根据各季节指数与其平均数 100的偏差程度来测定
例下表是一家啤酒企业1997-2002年各季度的啤酒销售量数据试计
算各季的季节指数二分离季节性因素用各实际
观察值分别除以相应的季节指数将季节性因素从时间序
列中分离出去即 2 移动平均法 moving average MA 加权移动平均weighted MA 1028 1997 1083 1996 1171 1995 1241 1994 1147 1993 1064 1992 1034 1991 1031 1990 1180 1989 1188 1988 1073 1987 1065 1986 CPI 年份 1094 1165 1186 1151 1082 1043 1082 1133 1147 1109
3期MA 1056 1127 1206 1194 1106 1049 1033 1106 1184 1131 1069
2期MA 1131 1161 1156 1122 1069 1077 1108 1118 1127 4期MA 1134 1141 1131 1103 1091 1099 1101 1107 5期MA 90 120 150 **** **** 1990 1992 1994 1996 1998 CPI 2期MA 3期MA 4期MA 5期MA 注
意利用移动平均法对时间序列处理后的新序列项数将减少若时
间序列较平稳时用移动平均法进行修匀和预测的效果较好其中关
键步骤是移动步长k 的选择 3 半数平均法假定时间序列
的观察值为Xt t 12n 分成两部份 4 最小二乘法时间序
列的观察值与其估计值的离差的平方和最小即设令其中 314 286 297 315 275 239 219 255 229 216 销售量 10 9 8 7 6 5 4 3 2
1 年份解首选利用散点图观察变化规律图146 自行车销售量曲
线 2645 合计 314 10 286 9 297 8 315 7 275 6 239 5 219 4 255 3 229 2 216 1 Xt t 0 45 35 25 15 05 -05 -15 -25 -35 -45 t – t 314 303 292 281 270 259 248 237 226 215 趋势值 Xt 90750 22275 7525 8125 7575 0575 1275 6825 2375 12425 21825 t- t Xt- X 8250 2025 1225 625 225
025 025 225 625 1225 2025 t- t 2 0 495 215 325 505 105
-255 -455 -095 -355 -485 Xt- X 因此拟合趋势直线方程为趋势
值的预测值列在表格的最后一列 22 15 20 22 18 30 16 18 23 19 21
17 销售量 19 20 20 18 18 19 20 21 19 －－－三期预测 12 11
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 时间 2 指数平滑法 exponential smoothing
预测进而 22 15 20 22 18 30 16 18 23 19 21 17 Xt 12 11 10 9 8
7 6 5 4 3 2 1 t 表1418 汽油销售量的指数平滑 02 185 194 192
185 186 183 188 190 180 178 17 － Xt 汽油销售量三期简单MA 三
期加权MA 平滑数据 10 15 20 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
3 利用趋势直线预测预测误差主要类型平均绝对差 MAD 均方误差 MSD 均方根误差 RMSD 相对平均误差
MAPD 三预测误差 1平均绝对误差计算汽油销售量的三期简单MA
预测的误差则其平均绝对误差为合计 19 22 12 20 19 15 11
20 19 20 10 18 20 22 9 18 20 18 8 19 18 20 7 20 18 16 6 21 19
18 5 19 20 23 4 21 19 3 19 21 2 17 1 简单预测三期MA 汽
油销售量周 0 3 5 0 4 0 1 -4 -3 4 预测误差 24 3 5 0 4 0 1
4 3 4 误差绝对值 2 均方误差计算汽油销售量的三期简单MA预
测的误差则其均方误差为合计 19 22 12 20 19 15 11 20 19
20 10 18 20 22 9 18 20 18 8 19 18 20 7 20 18 16 6 21 19 18 5
19 20 23 4 21 19 3 19 21 2 17 1 简单预测三期MA 汽油销
售量周 0 3 5 0 4 0 1 -4 -3 4 预测误差 92 9 25 0 16 0 1 16
9 16 误差平方 3 均方根误差计算汽油销售量的三期简单MA预
测的误差则其均方根误差为 4 相对平均误差计算汽油销售量的三期简单MA预测的误差则其均方根误差为合计 19 22 12 20 19 15 11 20 19 20 10 18 20 22 9 18 20 18 8 19 18 20 7 20 18 16 6 21 19 18 5 19 20 23 4 21 19 3 19 21 2 17 1 简单预测三期MA 汽油销售量周 0 3 5 0 4 0 1 -4 -3 4 预测误差 12921 1364 3333 000 1818 000 500 2500 1667 1739 预测误差比 41 54 43 31 2002 38 55 42 29 2001 37 51 39 30 2000 35 50 39 29 1999 30 42 38 30 1998 26 37 32 25 1997 4 3 2 1 季度年份 1999 1998 1997 年份 29 9 1 39 10 2 50 11 3 35 12 4 30 8 4 42 7 3 38 6 2 30 5 1 26 4 4 37 3 3 32 2 2 25 1 1 销售量时间 t 季度 3850 3825 3700 3500 3475 3500 3400 3275 3125 3000 4期MA 38500 38375 37625 36000 34875 34875 34500 33375 32000 30625 －－ CMA 09091 13029 10365 08056 08602 12043 110214 08989 08125 12082 －－比值 XCMA 2002 2001 2000 31 21 1 43 22 2 54 23 3 41 24 4 38 20 4 55 19 3 42 18 2 29 17 1 37 16 4 51 15 3 39 14 2 30 13 1 4225 4150 4175 4150 4100 4075 3975 3900 3925 3875 3850 －－41875 41625 41625 41250 40875 40250 39375 39125 39000 38625 －－ 10269 07447 09129 13333 10275 07205 09397 13035 10000 07767 合计 07447 07205 07767 08056 08989 － 1 季度－－－12690 2002 － 09129 13333 10275 2001 － 09397 13035 10000 2000 － 09091 13029 10365 1999 － 08602 12043 11014 1998 － 08125 12062 － 1997 4 3 2 年份各季节指数计算表－ 44344 63522
51924 39464 合计 40000 8902 12752 10424 7922 季节指数
39851 8869 12704 10385 7893 平均西南民族大学经济学院毛
瑞华统计学西南民族大学经济学院毛瑞华统计学 Xn X1
X0 观察值 Xt n 1 0 时间 t 例141 计算每周汽油的平均
销售量 22 15 20 22 18 30 16 18 23 19 21 17 销售量 12 11 10 9
8 7 6 5 4 3 2 1 周例142 计算36月该企业的平均职工人数 1420
1460 1500 1400 销售量 6月30日 5月31日 4月30日 3月31日时
间 64 10月1日 62 61 63 65 人口数 12月31日 7月1日 3月1
日 1月1日统计时点 499 1993 55 44 40 35 销售额 1994 1992 1991
1990 年份 59 51 4 5 逐期增长量 149 20 9 5 累积增长量平
均增长量逐期增长量之和逐期增长量个数累积增长量时间序
列项数 -1 例145 销售额变化的平均增长量平均增长量销售
额平均每年增加5百万元 925 1994 923 1993 1080 910 910 890 人
均收入 1995 1992 1991 1990 年份 1002 1014 1168 1000 1022 环
比发展速度 1039 1037 1213 1022 1022 定基发展速度时
间序列中各时期发展速度的一般水平称为平均发展速度 925 1994
923 1993 1080 910 910 890 人均收入 1995 1992 1991 1990 年份
1002 1014 1168 1000 1022 环比发展速度 02 14 168 0 22 环比
增长速度 1039 1037 1213 1022 1022 定基发展速度 39 37 213 22
22 定基增长速度平均增长速度平均发展速度- 1 1417 即t1期增长1的实际数据为第t 期的发展水平除以100 1121
4854 1994 1145 2939 1993 1160 2287 1992 1298 1879
1991 1439 1634 1990 1504 1512 1989 1573 1355 1988
1661 1103 1987 1557 956 1986 人口增长率‰人均
GDP 元年份人均国内生产总值等时间序列 824 7078 2000
877 6547 1999 953 6307 1998 1006 6054 1997 1042 5576 1996 1055 4854 1995 人口增长率‰人均GDP 元年
份 2154 第二季度 1834 第一季度 1997 1986 第四季度 2514 第三
季度 2343 第二季度 1921 第一季度 1996 1908 第四季度 2415 第
三季度 2203 第二季度 1861 第一季度 1995 客房出租数时间旅
馆客房出租数 2098 第三季度 1967 第四季度 2339 第三季度 2414
第二季度 2073 第一季度 1999 1965 第四季度 2304 第三季度
2025 第二季度 1873 第一季度 1998 2098 第四季度 1997 客房出
租数时间客房出租数 19951 1800 2000 2200 2400 2600 19961 19971 19981 19991 87 1998 产量年份 75 1992 78 1993 82 1994 82
1995 84 1996 85 1997 91 1999 1992 1999年的粮食产量 75 80 85
1992 1994 1996 1998 2000 90 95 加法模型 Xt TtStCtIt t 12n 1419 乘法模型 Xt TtStCtIt t 12n 1421 乘法模型
1421 可变形为 lnXt lnTtlnStlnCtlnIt 1422
Xt TtStCtIt t 12n 1423
399 1997 324 1996 出口额年份 213 1990 273 1991 258 1992 263
1993 293 1994 294 1995 424 1998 1147 19961998 出口额年份 744 19901992 850 19931995